GeoGebra在高中數學單元教學的應用

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一、教材的結構與內容安排

本文教學設計所使用的是人教A版（2019）普通高中數學教科書選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線的方程》。在內容上以橢圓、雙曲線、拋物線的概念、性質和應用的內在統一性作為學習的明線，在邏輯結構上強調知識發展的合理性，結合數學史和學生的心理特征設計邏輯連貫的數學活動，循序漸進地滲透坐標法的思想，促進學生的直觀想象、數學運算等核心素養的發展，這是學習的暗線。教材在圓錐曲線的定義處理上采用了統一定義和個性定義相結合的方式。在本章的章頭圖部分，教材通過平面截圓錐得到三種截線引入，這是阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中的定義，優點是此定義便于學生容易區分圓錐曲線的類型，缺點是每種圓錐曲線的幾何特征不明顯。所以在橢圓、雙曲線的定義上，教材使用了幾何定義，這種定義便于作圖和建立平面直角坐標系研究曲線的方程和性質。為了與拋物線的定義相銜接，教材借助于例題拓展介紹了圓錐曲線的統一定義。這種兼顧共性定義和個性定義的方式，利于學生形成系統的知識結構。

二、本單元的整體設計

學生在學完本章內容后，普遍有一個疑惑，就是在章頭圖中通過圓錐曲線的歷史介紹了圓錐截線定義后，在具體的教學內容安排上又采用了幾何定義的方式，這種截線得到的圓錐曲線是否滿足幾何定義呢？現行蘇教版的高中數學選修教材2-1第一節標題是“圓錐曲線”，內容上也是通過圓錐曲線的截線定義引出三種曲線，然后介紹了旦德林雙球模型，分析模型中隱含的幾何特征得到三種曲線的第一定義，然后分三個小節展開學習。這樣的編排有利于學生消除疑問，從整體上建構圓錐曲線的概念，但如何發現并理解兩種定義之間的聯系是教學的難點。在探討本單元的教學設計時，我們提出了借助geogebra軟件，在課堂教學時嘗試向學生講解截線定義和幾何定義的歷史，通過問題串引導學生發現兩種定義之間的聯系，幫助學生從整體上學習和認識圓錐曲線。筆者仔細閱讀了人教A版和蘇教版的教材后，基于學生的認知基礎，根據教材內容的結構，把本單元的教學分為橢圓、雙曲線和拋物線三個小單元來實施，每個小單元的教學過程是“同構”的，包括定義、標準方程、性質和應用四個環節，單元教學的整體結構如圖1所示。橢圓是三個小單元教學的重點，橢圓定義的學習從截線定義出發，通過旦德林雙球模型得到幾何定義，繼而推導出橢圓的標準方程和性質。通過橢圓的學習引導學生掌握圓錐曲線的研究架構，理解坐標法研究幾何問題的過程與方法，雙曲線和拋物線的定義可以類比橢圓讓學生通過合作探究來完成。

三、圓錐曲線定義的發展簡史

圓錐曲線的定義教材中出現了三種形式，分別是截線定義、第一定義（幾何定義）和第二定義（焦點—準線定義）。圓錐曲線是如何被發現的？一開始是如何定義的？圓錐曲線的定義經歷了怎樣的發展過程？帶著疑問，筆者認真查閱了圓錐曲線的發展史，從中發掘可以輔助我們進行教學的關鍵歷史節點，經過研究筆者梳理出下面的三個關鍵階段。第一個階段是指圓錐曲線的圓錐截線定義。公元前4世紀古希臘數學家在研究倍立方問題中發現了圓錐曲線，提出用垂直于母線的平面去截頂角分別為直角、鈍角和銳角的正圓錐，得到直角圓錐曲線（即拋物線）、鈍角圓錐曲線（即雙曲線）和銳角圓錐曲線（即橢圓）。阿波羅尼奧斯使用對頂斜圓錐來表示圓錐曲線，從而發現了雙曲線有兩支，他所著的《圓錐曲線論》用綜合幾何的方法得到目前高中數學涉及的幾乎所有圓錐曲線的性質。第二個階段是指圓錐曲線的第二定義。公元4世紀，古希臘幾何學家帕普斯在《數學匯編》中用幾何方法證明了歐幾里得《面軌跡》中的一個引理：平面上定點和定直線的距離之比等于常數的動點軌跡為圓錐曲線，常數大于、等于和小于1時，軌跡分別為雙曲線、拋物線和橢圓。第三個階段是指圓錐曲線的第一定義（幾何定義）。17世紀初期，笛卡爾創立了解析幾何，數學家們開始注重從代數的視角，運用解析的方法，研究圓錐曲線的定義、方程和各種性質。18世紀初，法國數學家洛必達（1661~1704）在其著作《圓錐曲線分析論》中給出了橢圓的第一定義，即將橢圓定義為平面上到兩定點距離之和等于常數的動點軌跡，并據此推導出橢圓方程。雖然數學家們先后給出了圓錐曲線的截線定義和幾何定義，并借助坐標系推導出了圓錐的方程，研究了圓錐曲線的性質，但圓錐截線定義與幾何定義之間是孤立的。直到1822年，比利時數學家旦德林在一篇論文中利用圓錐的兩個內切球，直接在圓錐上作出橢圓截面的焦點，推導出橢圓的焦半徑性質，從而證明了截線定義與幾何定義的統一性。

四、小單元的教學設計

（一）章節引入的教學設計

“章引言”是一章教學的起點，本章的引言部分有5段，介紹了圓錐曲線的截線定義、在實際中的廣泛應用和坐標法的研究思路，說明了圓錐曲線是什么、為什么學、學什么和怎樣學的問題。通過學習學生可以獲得本章內容的整體感知，從結構的角度形成認知地圖，尤其截線定義和坐標法是貫穿本單元學習的一明一暗兩條主線，可以讓學生明確本單元的學習內容和方法，形成良好的認知狀態。上課之前布置學生完成課前作業：1.圓錐曲線的名稱是怎么來的？它和我們學過的圓錐有什么關系？2.圓錐曲線在日常生活中有哪些應用？3.平面解析幾何的基本思想是什么？課前作業的設計一是引導學生認真閱讀章引言，二是讓學生通過收集和整理資料的過程，初步獲得本單元的整體感知。引言部分提出用一個平面去截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角度不同時得到了圓、橢圓、雙曲線和拋物線四種不同的截口曲線，并用章頭圖展示了這幾種不同的曲線。課堂教學中教師首先是讓學生展示課前作業中第一個問題的研究成果，同時利用GeoGebra軟件動態地展示這四種曲線的形成和變化過程（圖2），目的是借助圓錐的截線定義，讓學生容易區分圓錐曲線的不同類型，明確不同圓錐曲線之間是有著自然的聯系的，但如何去畫一個標準的圓錐曲線，每一種曲線有什么幾何性質卻不明顯，這容易激發學生的學習興趣，形成一種求知的良好心態。然后分組展示兩個問題的研究成果，通過豐富的實例展示讓學生體會圓錐曲線的廣泛應用，明確幾何圖形源于生活，又服務于生活，明白為什么要學圓錐曲線。接著教師介紹圓錐曲線的發展歷史，回顧總結直線與圓的研究架構，使學生了解解析幾何的核心思想，通過類比明確圓錐曲線的研究路徑，為本章的學習奠定基礎。

（二）橢圓定義的教學設計

教學設計時筆者借鑒了2005年初審通過的人教版選修教材2-1第42頁“探究與發現”欄目中“為什么截口曲線是橢圓”專題的內容，通過平面截圓錐形成圓和橢圓的動態演示，提出問題：在平面內到一個定點的距離等于定長的動點形成的軌跡是圓，橢圓是否也有類似的幾何性質呢？歷史上很多數學家想要證明橢圓的這個幾何特征。直到19世紀，比利時數學家旦德林建構了雙球模型，才嚴謹地給出了證明。然后介紹數學家GerminalDandelin的研究方法，教學中學生難于理解的一點是這么巧妙的模型是如何想到的。為了降低旦德林雙球模型的理解難度，教師可以借助學生比較熟悉的直觀形象的“球在光源下的投影”，課堂上通過手電筒照射籃球，在桌面上的投影呈現橢圓形狀，引導學生理解此時球與桌面相切于一點，手電筒發出的光束是圓錐狀的，光線與球相切在桌面上投影出橢圓，從而理解球內切于圓錐的幾何特征。在根據光線可逆性，從點光源發出的光束也可以看作是一束光聚焦到點光源上，從而建構出旦德林雙球模型，同時利用GeoGebra演示旦德林雙球模型，在圓錐里放置兩個球，用一平面與兩個球相切（圖3）。圖中在圓錐內兩球與圓錐內表面相切，球心分別為O1、O2，用一個不平行于圓錐底面的平面去截圓錐，并且平面與兩球分別相切于F1和F2，在橢圓上任取一點P，過點P的圓錐母線交兩個圓（兩球與圓錐內表面的切線）于點M、N。因為PF1=PM，PF2=PN，從而PM+PN=MN>F1F2，且MN為定值。教學中借助GeoGebra動畫演示，引導學生深刻理解橢圓上任意一點到兩個切點的距離之和為定值的幾何特征，從而順利完成從截面定義到幾何定義的過渡。然后結合課本中的探究活動，讓學生通過細繩、鉛筆和畫板親自動手畫一畫，加深對幾何定義的理解。通過上面一系列的教學活動，培養了學生自主探究與合作學習的能力，提升了學生數學抽象、直觀想象與邏輯推理的核心素養。

（三）雙曲線定義的教學設計

課堂上先通過問題“在橢圓的學習中，主要研究了哪些內容？研究的過程是怎樣的？”引導學生回顧和反思橢圓的研究歷程，經過師生共同研討形成研究圓錐曲線的路徑，即從形到數再到形，用以指引雙曲線的學習。通過橢圓定義的探究學習，學生對于旦德林雙球模型有了一定的認識，會用球的切線長度來探究動點和切點之間的幾何關系，所以本節課繼續借助旦德林雙球模型來探究雙曲線的幾何定義。教學時借助GeoGebra畫出一個對頂圓錐和兩個半徑相同的內切球，并動態演示平面與兩球相切且與對頂圓錐相交時形成的截口曲線，讓學生類比橢圓的定義探究雙曲線的定義。學生經過觀察分析，在教師的引導下得出了曲線上任意一點到兩切點的距離之差的絕對值為一個定值。然后再結合新教材中的內容，借助GeoGebra演示在平面內根據雙曲線的幾何定義作圖的過程，以加深學生對定義的理解。

（四）拋物線定義的教學設計

在新舊版本的教材的教學中，教師都是借助于信息技術，畫出平面內到一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡，從而得出拋物線的定義。但這種設計會讓學生產生兩個疑問：一是初中所學的二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，是否也滿足上面的定義？二是在章頭圖中展示的截口曲線中的拋物線是否也滿足上面的定義？對于學生的疑問，教學中我們仍然借助于旦德林雙球模型，讓學生借助于信息技術進行小組合作學習，利用GeoGebra軟件動態地演示動點的軌跡，幫助學生理解拋物線的定義。課堂小結時進一步總結整個圓錐曲線的研究路徑、定義之間的聯系，通過這樣的教學活動完善學生對圓錐曲線的整體認知。圓錐曲線從截線定義到幾何定義，實現了從三位空間到二維平面的轉化，這種過渡對學生的直觀想象和邏輯推理素養的要求較高，GeoGebra輔助圓錐曲線的教學顯示了該軟件在3D作圖上的優勢，將靜態的章頭圖動態地展示給學生，提高了學生的學習興趣，提升了學生的直觀想象能力，加深了學生對定義的理解。運用純幾何方法來研究圓錐曲線存在一定的局限性，旦德林雙球模型解釋了圓錐曲線上的點都滿足幾何定義，但無法說明滿足幾何定義的點都在圓錐曲線上，所以隨著解析幾何的建立，數學家們漸漸拋棄了純幾何的方法，而更多地用坐標法來研究圓錐曲線。GeoGebra整合了代數、微積分、幾何和概率統計等要素，有著強大的數形結合功能，有助于培養和提高學生的數學抽象、直觀想象和數學建模等核心素養。

參考文獻

［1］章建躍.第三章圓錐曲線的方程教材介紹與教學建議［J］.中學數學教學參考（上旬），2021（1）：8-16.

［2］章飛，顧繼玲.單元教學的核心思想與基本路徑［J］.數學通報，2019，58（10）：23-28.

作者：陳鋒 沈才權