高斯消元法的基本原理范文

導語：如何才能寫好一篇高斯消元法的基本原理，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關鍵詞：平面桁架；MATLAB；有限元分析

MATLAB是以矩陣為基本的運算單元，可以靈活地進行矩陣運算、圖形繪制、編程開發等，具有編程效率高、可移植性強、計算速度快等特點；有限元分析法是根據變分原理求解數學及物理問題的數值計算方法，它是隨著近年來計算機技術的迅速發展而得到的廣泛應用。本文以解決一個實際的平面桁架問題為例，運用有限元分析法，并利用MATLAB軟件進行編程計算來演示MATLAB軟件在平面桁架中的應用。接下來，首先介紹解決平面桁架問題的有限元分析方法。

1 平面桁架有限元分析的基本原理

在用有限元法對平面桁架受力分析中，平面桁架元是分析的基本單元，它是一種二維有限元，每個平面桁架元有2個節點和3個參數，參數分別為長度L、彈性模量E和橫截面積A，當假設桁架元與正方向總體X軸逆時針傾斜θ角時，并令C=Cos（θ），S=Sin（θ），則單元剛度矩陣可表示為：

在有限元分析中，通過單元分析，建立單元剛度矩陣k，然后再將單元剛度矩陣通過剛度集成規則集合成結構的整體剛度矩陣K，對于一個有n個節點的結構而言，其整體的剛度矩陣K為2n×2n的矩陣，在實際MATLAB軟件操作中，并不需要編寫函數程序，而是直接調用相應的函數即可，正是因為這樣，在用MATLAB軟件進行桁架受力分析時，可以大大提高效率，節省時間。整體剛度矩陣的函數名稱為PlaneTrussAssemble。一旦得到剛度矩陣K，就可以列出方程：

式中，U代表節點的位移矢量，F是結構節點的荷載矢量，這兩個邊界條件需要手動賦值，然后利用高斯消元法便可求解上述方程組，一旦求解出為止的位移和支反力，就可以利用方程：

求解單元的節點力。式中f代表單元節點力，u是單元節點的位移矢量，最后，將單元節點力除以桁架的橫截面積便可以得到單元應力，之后就可以進行結構校核、結構安全性檢驗等一系列力學性實驗分析。

2 有限元法分析的一般步驟

有限元法是一種高效能、普遍使用的數值計算方法，隨著近年來計算機技術的迅速進步，有限元法得到了廣泛的使用和發展，對于有限元法分析的步驟，不同書籍的介紹不盡相同，但大體上可以分為以下幾步：

離散化域：將結構分解為獨立的單元和節點，對于桁架和鋼架這類的離散系統，這一步可以省略，對于其他的連續性結構，如板殼，這一步就顯得尤為重要，離散化的好壞直接影響到最后結果的準確性。

得到單元剛度矩陣：由上一步離散化處理的結果，寫出每個單元的剛度矩陣，這一步可以通過調用MATLAB工具箱來完成，相應函數的使用方法將在下面的實例中做出介紹。

集成整體剛度矩陣：根據上一步得到的單元剛度矩陣，通過剛度集成規則，集成結構整體的剛度矩陣，這一步也可以直接用MATLAB工具箱來完成，

引入邊界條件：所謂的邊界條件是指位移、外加荷載、支座類型等，不同結構的邊界條件不盡相同，所以這一步需要手動賦值，具體的操作步驟會在案例中演示。

解方程：在這一步中，需要對整體剛度矩陣進行分解，然后再用高斯消去法求解方程組，在用高斯消去時，有時候需要手動分解矩陣。

后處理：當需要得到其他信息時，如支反力、單元節點力、單元應力等，還需要進行后處理工作，這一步需要操作者掌握一定的材料力學方面的知識。

3 實例分析

為了進一步說明MATLAB在平面桁架計算中的作用，接下來通過計算一個實例，來演示有限元法分析平面桁架問題的具體操作步驟。

如圖為一平面桁架結構，為了便于計算，

假定結構的彈性模E=200GPa

橫截面積A=2cm2，結構受力如圖所示：

先對結構進行離散化處理，由于桁架結構已經是離散化結構，所以我們只需要將結構單元編號即可：

接下來多次調用MATLAB的PlaneTrussElementStiffness函數，分別生成單元剛度矩陣k1、k2、k3。然后集成整體剛度矩陣，由于該結構有3個節點，所以整體剛度矩陣為6×6矩陣，在生成整體剛度矩陣前，要先建立一個6×6的零矩陣，零矩陣可以手動設置，也可以直接調用MATLAB的zeros（）函數直接生成相應的零矩陣，得到零矩陣后，再反復調用planeTrussAssemble函數生成整體剛度矩陣K，由于本題結構只有3個單元，所以只需調用3次該函數即可；得到整體剛度矩陣后，就可以建立該結構的矩陣方程[K]{U}={F}，再輸入邊界條件，本題的邊界條件為U1x=U1y=U2y=0，F2x=0，F3x=5，F3y=-10 。接著手動分解方程并通過MATLAB軟件用高斯消法求解方程，便可得到節點的位移，最后一步就是后處理，這一步需要看題目要求解什么未知數，如求外力，用F=K*U等式便可求解，然后調用PlaneTrussElementstress函數即可求出。下面是該實例在用MATLAB軟件求解的程序：

% 輸入參數 E=200e6；A=2e-4；

% 計算各桿的長度

L1=4；L2=PlaneTrussElementLength（0，0，2，3）；L3=PlaneTrussElementLength（4，0，2，3）；

% 計算單元剛度矩陣，

k1=PlaneTrussElementStiffness（E，A，L1，0）；theta2=atan（3/2）*180/pi；theta3=180-theta2；k2=PlaneTrussElementStiffness（E，A，L2，theta2）；k3=PlaneTrussElementStiffness（E，A，L3，theta3）；

% 建立零矩陣 K=zeros（6，6）；

% 整體的剛度矩陣

K=PlaneTrussAssemble（K，k1，1，2）；K=PlaneTrussAssemble（K，k2，1，3）；K=PlaneTrussAssemble（K，k3，2，3）；

% 引入邊界條件，手動賦值 k=[K（3，3），K（3，5：6）；K（5：6，3），K（5：6，5：6）]；

% 外力 f=[0；-5；-10]；

% 利用高斯消去法解方程組 u=k＼f； U=[0；0；u（1）；0；u（2：3）]；

% 計算節點力矢量 F=K*U；

% 調用節點位移矢量

u1=[U（1）；U（2）；U（3）；U（4）]；u2=[U（1）；U（2）；U（5）；U（6）]；u3=[U（3）；U（4）；U（5）；U（6）]；

% 計算單元應力

sigmal=PlaneTrussElementStress（E，L1，0，u1）；sigma2=PlaneTrussElementStress（E，L2，theta2，u2）；sigma3=PlaneTrussElementStress（E，L3，theta3，u3）；

運行后的部分結果：

4 結論

實踐證明，應用MATLAB軟件解平面桁架問題簡便、易行、通用，本文只是列舉了一個簡單的例子，對于求解復雜的平面桁架問題，本文介紹的方法同樣適用。因此，我們倡議將MATLAB軟件運用到教學里，讓更多的學生了解并會用MATLAB軟件求解力學問題，以便提高學生學習效率，激發學生學習興趣。

參考文獻

篇2

關鍵詞：開關磁阻電機驅動系統；轉子位置檢測；自適應模糊參考系統；模糊算法

中圖分類號：TM352，TP274文獻標識碼：B文章編號：1004-373X(2008)06-171-04

An Improved Sensorless Driving Method of Switched Reluctance Motors Based on Fuzzy Logic

ZHANG Dapeng，WANG Wei，SU Lanxin

(Tianjin Polytechnic University，Tianjin，300160，China)

Abstract：The measurement of rotor position for switched reluctance drive is essential to proper running.This paper introduces a method of detecting the rotor position based on fuzzy logic.In order to improve the measurement accuracy of the rotor position，some unique techniques are adopted.At first，the block of predictive filter is used to examine and eliminate the noise of the feedback signal.Then，an optimized fuzzy model of the motor is created using an Adaptive Neural Fuzzy Inference System (ANFIS).At last，the block of angle position selector can modify the rotor-position.The result of simulation indicates that the position obtained by this method is accurate for the operation of SRM.

Keywords：switched reluctance motor driving system；rotor position detection；Adaptive Neural Fuzzy Inference System (ANFIS)；fuzzy algorithm

位置檢測環節是開關磁阻電機驅動系統[1]的重要組成部分。檢測到的位置信號既是繞組開通與關斷的依據，也為轉速閉環控制提供轉速信息。傳統的位置傳感器的引入，不僅增加了系統的復雜性和成本，更重要的是降低系統的可靠性，并且難以實現電機的高速控制，限制SRM的應用領域。

目前，SRM無位置傳感器技術已經成為世界范圍內SRM研究領域的熱點之一。文獻[2]中全面介紹了當前開關磁阻電機轉子位置檢測的基本原理及方法，文獻[3]中介紹了一種基于模糊模型的轉子位置檢測方法。本文針對傳統的基于模糊模型的SRM轉子位置檢測方法進行分析，并通過一些改進算法以獲得較高的精度，從而提高無位置傳感器SRM驅動系統的運行性能。

1 無位置傳感器檢測技術理論依據

無位置傳感器檢測技術的方法很多，但基本原理就是通過分析繞組電壓、電流、磁鏈之間的關系來得到轉子位置信息。為說明方便，列出SRM的電路方程[4]，如下式表示：

其中式(2)是基于線形模型由式(1)簡化得到的，式中：uk為相繞組兩端的電壓；ik為相繞組電流；Rk為相電阻；Lk為相電感；ψk為相繞組磁鏈；θ為轉子位置角。

對于SRD系統，uk，Rk，ik，dikdt和ω可以直接測量得到，當SRM處于運行狀態時，相電壓uk以及相電流ik可以直接測量得到，其磁鏈ψkЭ捎商菪位分法近似得到，如下式表示：

2基于模糊模型的轉子位置檢測

模糊控制法[3，5，6]是基于SRM的繞組磁鏈、位置角以及電流之間的非線性關系，首先根據電機的電磁特性建立合理的模糊規則庫，定義磁鏈、電流為輸入，位置角為輸出，建立一個雙輸入、單輸出的模糊控制模型。由檢測得到的磁鏈、電流通過模糊控制模型就可以推理得到位置角的模糊輸出。

為了建立電機Е-I-θе間的模糊推理關系，電機的各種信息的模糊邏輯規則訓練是必須的。訓練數據被定義為2個輸入和1個輸出的數據對，所測點由式(4)表示：

И(ψ(n)，i(n)，θ(n))(4)И

式(4)中：n表示第n數據對。

訓練階段包括以下步驟：

(1) 對輸入和輸出變量進行模糊化。標準化磁鏈Е祝電流I以及位置角θ的隸屬度函數如圖1所示，其中ψ，I，θУ姆旨毒度可以再細，但分級精度越細，數據量越大，模糊推理規則越多，要求的處理器速度越高，系統造價越高。

圖1 輸入輸出變量的隸屬度函數

(2) 建立模糊推理規則。每個規則有如下形式：

ИR(n)：if ψ is A(n)ψand i is A(n)i then θ is B(n)θ(5)И

式(5)中：R(n)表示第n條規則；A(n)ψ表示隸屬度函數為μA(ψ)模糊變量的一個集合；A(n)i表示隸屬度函數為μA(i)模糊變量的一個集合；B(n)θ為轉子位置角論域中具有隸屬度函數為μA(θ)У慕峁性模糊子集。

(3) 獲得模糊規則適用度：當一個新的規則由步驟2獲得以后，就對這個規則進行適用度的歸算以得到更好的模糊規則。

(4) 建立模糊規則庫：數據元素處理后，將得到的模糊推理規則建成一個相關的模糊規則庫。

3 提高估算精度的算法研究

在已建立的電機模型中，轉子位置可以通過電流與磁鏈得到。由于建模的近似以及反饋信號的噪聲，從而轉子位置的檢測也存在誤差。為提高估算精度，本文在以下3個方面進行了改進。

3.1 模糊估測中的超前濾波

在轉子位置的檢測中，一個突出的問題就是用所測的反饋信號在實時狀態下計算轉子的位置角，電機的工作環境和現實測量系統都勢必對其產生影響。為了改善性能，可以采用傳統濾波的方式，但在實際條件下，傳統濾波的方式都有一定的延遲，這與電機的實時控制是不相容的。

圖2 基于模糊控制的轉子位置檢測方法原理圖

如圖2所示，本文在決策模塊之前加一個超前一步的斜坡預測器，他是最簡單形式的牛頓線性平滑(RLSN[7])預測器，可用來檢測和消除反饋信號中的噪聲，并且沒有時間延遲。其傳輸函數由式(6)表示：

Иk11(z)=a+1N-z-NN1-(1-a)z-1(6)И

式(6)中：N為移動平均數的長度；a為遞歸區的權重因數；兩個參數的選擇需要在噪聲衰減與瞬時過沖之間做一個折中，本文中N=16，a=0.1。其波特圖如圖3所示。

圖3 超前一步預測器的波特圖

從圖3中可見，濾波器的截止頻率大約是0.085 奈奎斯特頻率，因此盡管在電機轉速快速變化時，該濾波器對減小誤差非常有效。

3.2 模糊模型的優化

如上所述，采用模糊邏輯建立起來的映射模型具有簡單直觀，但為了達到較高的精度而必須采用較多的模糊規則，從而造成在線推理時間長而影響實時性的問題，同時模糊邏輯的學習能力自適應性較差。因此，這樣的一個模糊模型遠非最優的。結果是為了得到一個精確模型，一般需要模糊集合和模糊規則的數量很大，這不僅為了存儲模糊規則而增加內存需求，也增加了計算時間。而模糊神經網絡兼具有模糊邏輯和神經網絡的優點。將模糊邏輯和神經網絡的優點結合起來，構成模糊神經網絡可使得神經網絡的每一層的神經元具有明確的物理意義；可充分利用專家知識和語言信息。從而避免陷入局部極值，加快神經網絡的訓練速度，且具有較強的魯棒性，對檢測信號中的噪聲具有較強的容錯能力。

ANFIS已經被證明是一種優秀的近似工具。圖4顯示一個典型的帶有2個輸入(x和y)和1個輸出(z)的ANFIS結構。

圖4 ANFIS結構

圖4中，圓圈代表一個固定節點；方塊代表自適應節點。為簡化起見，圖4中只有2個輸入x，y和1個輸出z。П疚鬧脅捎玫囊喚T-S類模糊規則可表示為：

規則1：If x is A1 and y is B1 then z1=p1x+q1y+r1

規則2：If x is A2 and y is B2 then z2=p2x+q2y+r2

其中，Ai和Bi是前件中的模糊子集；pi，qi，ri是后件參數。

模糊神經建模是基于得到的數據集合，并對數據進行自動的學習，得到建模需要的隸屬度函數。為訓練一個模糊參考模型(FIS)，本文用的方法分為2步：第一步使用分組方法初步識別FIS；第二步使用自適應模糊神經系統(ANFIS)[8，9]微調且優化初步識別的FIS。本文對每一個輸入數據采用7個模糊子集進行模糊化運算，模糊子集的隸屬度函數采用高斯函數如圖5所示，最優化前后的模糊模型的映射表面如圖6示。

3.3 位置預測

如圖2所示，位置預測模塊的功能是預測轉子的下一個值，當轉子估算值有較大誤差時，用預測值代替估算值，此方法可以有效地減小誤差，提高轉子測量精度。這種方法通過以下2步完成：

(1) 根據轉子的前一個位置，可以得到轉子的運行角速度Е兀因為在每一個預測過程中的時間是一個定值，所以轉子的預測值θP(n)Э梢雜墑(7)得到：

ИЕp(n-1)+ω×Δt=θP(n)(7)И

式中：Еp(n-1)前次位置選擇模塊的值，ΔtЪ涓羰奔洹

(2) 根據上面所述的轉子位置檢測的知識，本文設計一個位置選擇模塊。在此模塊中，對轉子的估算值與預測值做一個比較來決定最后的輸出信號。

圖5 訓練前后輸入變量的隸屬度函數

圖6 最優化后的模糊模型的映射表面

在電機運行過程中，在一個很短的時間段內轉子的速度不會發生太大的變化，因此可以取一個最大誤差允許值Еう泉Ю詞迪治恢醚竦墓δ堋H綣比較結果在最大誤差允許值內，就把估算值作為最后的轉子位置輸出值，否則預測值作為最后的輸出值。位置選擇模塊可以由式(8)來描述：

ИIf|θ(n)e-θ(n)p|≤Δθ then θ(n)=θe(n)

Otherwise θ(n)=θP(n)(8)И

式(8)中：Еe(n)為估算值；θP(n)為預測值；θ(n)為轉子位置選擇模塊的輸出值。

4 仿真結果與結論

選用一臺8/6，3 kW電機在Matlab[10]環境下進行仿真研究，當電機運行速度為1 500 rpm時，其仿真曲線如圖7所示。圖7中曲線1為系統仿真得出的曲線位置，曲線2為通過模糊邏輯算法得出的估算位置。圖7中經過算法改進后的轉子的實際位置與測量值基本一致，由轉子反饋信號引起的誤差得到很好的抑制，轉子的位置估算精度很高。

本文提出的開關磁阻電機轉子位置檢測方法由電機的模型建立開始，介紹了基于模糊模型的轉子位置檢測方法，以及對現有算法進行了改進。前置濾波器、自適應模糊參考系統以及位置預測模塊的引入，極大提高了轉子位置檢測的精度。仿真結果證明，這種方案使轉子的位置估算更加精確、可靠。

圖7 仿真曲線

參考文獻

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[2]周素瑩 林輝.無位置傳感器的開關磁阻電機轉子位置檢測技術[J].電氣傳動，2006，36(2)：8-16.[3]Ertugrul N，Cheok A D.Indirect Angle Estimation in Swi-tched Reluctance Motor Drives Using Fuzzy Logic Based Predictor/Corrector[C].in Proc.IEEE PESC′98，Fukuoka，Japan，1998：845-851.

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