初中數學定值問題總結范文

導語：如何才能寫好一篇初中數學定值問題總結，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、簡析初中數學解題思維

數學知識以及數學教學的開展都離不開解題，學生們通過解題這個應用數學知識的平臺，掌握了數學解題思想，提升了數學應用能力。不過解數學題本身并不是數學教學的最終目的，教師也不能簡單的為完成教學任務而將整堂整堂的數學課變成滿黑板數學題目的習題課。

筆者認為，一名優秀的數學老師應當把練習題作為傳授數學知識的一種載體，并且讓學生在解題的過程中掌握數學知識以及解題思維。通過有意識的在課堂上培養學生的數學解題思維無疑是直接有效的，劉建德老師說到：“一堂數學課，至少要解決三個問題：第一，增強數學的趣味性，讓學生熱愛數學，感到數學可親；第二，增強數學的應用性，讓數學源于生活，使學生感到數學有用；第三，增強數學的開放性，突出思想和方法，讓學生覺得數學啟智?！币虼耍處熆梢酝ㄟ^增加數學知識的應用性、開放性以及趣味性來更好地向學生們傳授數學的解題思維。

二、分析倒推法解題思維

在有的數學題中，假設問題已經解決，還需要進一步找到使得條件成立的隱含信息，進而發現解題的航標。在遇到這類數學題時，我們可以通過分析倒退法來解決。

三、分解法解題思維

分解法解題是指將一個復雜問題分解為幾個小問題，或者將其解題過程分成幾個步驟，之后逐步解決。

例如，求證：正n面體（n=4、6、8、12、20）內任一點到各個面的距離之和是一定值。這道題抽象程度較高，將其由難化簡，分解成幾個小問題。問題1，正n邊形內任何一點到各邊的距離之和是一定值。我們進一步具體化，將正n邊形確定為正三角形；問題2，正三角形內部任何一點到三邊的距離之和是一個定值。這樣一個較難的問題就可以通過較簡單的方式加以解決。

證明如下：設P為正三角形ABC內任一點，P到三邊的距離為PD、PE、PF，正三角形ABC的面積為S，邊長為a，

SPAB+SPBC+SPCA=S，

■（PDa+PEa+PFa）=S，PD+PE+PF=■為定值。參照問題2的證明，則可證明問題1。

四、特殊值代入解題思維

特殊值代入法是數學中常用的一種方法，能夠在所有值中逐一考慮，選擇最簡單的數據進行代入，避開常規解法，跳出傳統思維，更加簡潔的進行解題。初中數學的難度雖然不大，但是作為基礎數學，初中數學應當體現出數學的解題思維。初中數學的問題設置中體現了一定的難度，以求引導學生主動進行探索，改變單一的解題思維，對于部分數學問題可以進行創新型、便捷性思考。

例如分解因式題：x2+2xy-8y2+2x+14y-3。

在這道題中，教師可以先運用常規的解法進行解題，然后引導學生從巧取特殊值的思路出發，將其中的一個未知數設為0，暫時隱去這個未知數，對另一個未知數的式子進行分解，實現化二元為一元的目的。

令y=0，得x2+2x-3=（x+3）（x-1）；令x=0，得 -8y2+14y-3=（-2y+3）（4y-1）。兩次分解的一次項系數為1、1；-2、4，運用十字相乘進行試驗，即1×4+（-2）×1，正好為原式中的xy項系數。因此，可得，x2+2xy-8y2+2x+14y-3=（x-2y+3）（x+4y-1）。

從上面的解析中可以看出，特殊值代入法（本題中使用的是取零法）能夠在因式分解中發揮奇妙的作用。從上題中可以進行經驗總結，因式分解殊值代入法的解題思路為：①把多項式中的一個未知數設為0化簡后進行因式分解；②把多項式中的另一個未知數設為0化簡后也進行因式分解；③把兩步分解形成的結果進行綜合驗證，如果兩次分解的一次因式中的常數項相等，即可得出題中多項式的分解結果。

五、歸納猜想解題思維

在數學試題中常見的一種就是找規律題，這種題目中條件都十分隱蔽，學生常常會感到無從下手。這種題目需要利用數學的歸納猜想思維，對題目進行觀察，找到題目隱含的規律。

例如：觀察下列各式：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，……，

①從上面的式子中可以得出：1+3+5+7+9+11=（ ）2；

②從上面的式子中可以猜想：1+3+5+……+（ ）=n2；

③根據②猜想得出的結論進行填空：1+3+5+……+（ ）=522.

解法分析：

對于第①問，一種是直接相加，可以得出1+3+5+7+9+11=36=62，可以得出括號中應該填6；第二種經過觀察可以先填出缺項即1+3+5+7+9=52，可以推出下面的一個等式右邊應該為62，經過驗證，正確。

對于第②問，需要研究左邊最后一項與右邊冪底數之間的關系，在題目中是3與2，5與3，7與4，9與5，11與6，可以發現，左邊最后一項的數字是右邊冪底數數字的2倍減1，所以當右邊冪底數數字為n時，左邊最后一個數字應該為2n-1。可以得出第②問的答案是1+3+5+……+（2n-1）=n2；

篇2

關鍵詞：初中數學　概念教學　有效性

數學概念主要反映了現實世界中的數量關系與空間形式，是一種體現本質的思維方法。概念是學好數學的基礎與前提，也是進一步掌握公式、定理、法則的根本，有利于學生形成數學思維，為計算、證明、解答等提供根據。數學概念教學，是初中數學教學中的重要內容。數學概念具有明確性、嚴謹性、抽象性，在傳統的教學中，大多教師以“概念同化”方式開展教學，教師占據課堂主體地位，以“填鴨式”灌輸為主，學生被動接受知識，甚至只能對概念死記硬背，根本不能實現活學活用。隨著初中新課程標準的不斷推進，對概念教學提出了全新要求，教師必須改變教學觀念與教學方法，鼓勵學生發現概念、思考概念、認知概念、掌握概念、應用概念，培養數學思維與數學素質。

一、數學概念的分類

初中數學教學作為高中數學的準備階段，具有非常重要的基礎地位。由于教學概念繁多、復雜，一般按照整個教材的章節劃分，但是數學作為一個整體性體系，以下將以觀察和比較角度為出發點，將數學基本概念劃分為直觀型與抽象型兩大類。一方面，直觀型數學概念，可以通過簡單的觀察和比較獲得結論，具有較強的直觀性。在初中數學中，如對稱特殊四邊形、直角三角形、相交、平行等概念都屬于這一類別，只要通過嚴謹的語言進行表述，就可科學解釋研究對象的空間形式及數量關系等屬性。另一方面，抽象型數學概念，與直觀型數學概念恰好相反，它是直觀概念的引申、擴展，需要通過對概念語言的深刻理解和認知才能獲得結論，而無法通過表面觀察或比較而獲得。例如二次函數的概念，學生在理解這一概念過程中，必須在自己已經掌握的直觀概念基礎上，對二次函數進行深入分析與認識。

二、透過概念的現象看本質

數學概念是形成數學思維的基礎，若想讓學生深刻理解數學概念，并能應用到實際中，教師必須引導學生對概念的本質進行剖析，理解概念的內涵和外延，才能做到從質和量兩方面認知。例如“垂線”的概念，應主要從以下方面逐層分析：其一，了解垂線的背景，即概念的內涵——兩條相交的直線構成四個角，其中一個角為90°，那么其他三個角也是90°；其二，分析概念的外延，即認識到兩條直線的相互垂直是兩條直線相交情形下的特殊情況；其三，通過推理“垂線”的定義，認識到定義的判定與性質雙重功能。另外，教師還應引導學生利用概念解決實際問題，反過來鞏固概念的理解與記憶。例如，“一般將式子　a（a≥0）稱作二次根式”，這就是一個描述性概念，其中“式子　a（a≥0）”作為整體概念，而“a≥0”則是必要條件。

再如，在講解“函數”的概念時，為了能讓學生更深刻地體會函數，教師也應注重揭示本質，逐層剖析：其一，認識到變量的存在，即“存在的某個變化過程”；其二，認識到兩個變量之間存在的依存關系，是函數的主要特征，即“在某個變化過程中的變量（x和y）”；其三，概念中的變量x取值應在一定范圍內，即“對于x在某個范圍之內的每一個確定值”；其四，函數具有一定的對應原則，即“y有唯一的對應值”?？梢姡ㄟ^這種層層剖析的方法，能讓學生更深刻地體會函數的對應關系。

三、概念教學與生活實際相結合

數學概念的形成，必須與學生生活實際相結合，才能促進學生對概念的感性認識，以觀察、比較、分析等方法，找到概念的本質特征，更直觀、具體地理解概念。在初中數學的概念教學中，教師應善用“直觀教學法”，讓原本抽象、復雜的數學概念變成看得見、想得到甚至摸得著的實實在在東西，讓學生認識到數學就在自己的身邊，既加深對概念的理解，也利于提高學習興趣，增強學習的主動性與積極性。

例如在學習“絕對值”概念時，學生第一次接觸這個概念，普遍認為難以理解，太抽象、太復雜。為了將復雜的絕對值概念直觀化，在教學過程中，教師應引導學生體會絕對值產生的過程，在此基礎上進一步理解、掌握。首先，復習“有理數”的概念以及在數軸中的對應位置。假設數軸上有a、b兩點，其中a點在數軸原點右側的“6”上，即有理數為6，那么a點到原點的距離是多少？b點在數軸原點左側的“-6”上，即有理數為-6，那么b點到原點的距離是多少？經學生分析、思考可知：b點距離原點6個單位，因此距離是“6”，也就是-6的相反數。這時候，概念的結論出現了質的飛躍，由“-6”變成了“6”，也就是負有理數成為相反數，即正有理數。

這時候，教師就可引入絕對值的概念，同時通過平面數軸的分析，再延展到實際生活中。例如在測量兩棵樹之間的距離時，兩棵樹立在兩點的位置，它們之間的長度就是距離，無論是從甲樹到乙樹，還是從乙樹到甲樹，它們的距離是一樣的。而這個距離值與方向沒有關系，都是正數。通過以上分析，從已學概念到生活實際，學生基本初步認識了絕對值的產生與應用，有了現實背景的支撐，學生更容易記憶并掌握絕對值。

四、積極應用多媒體教學法

通過多媒體教學設備的應用，以動畫、聲音等方式，將概念教學中的內容更加具體化、直觀化、生動化，與初中生的認知水平相符。再加上教師的引導作用，可概括出多媒體圖例中蘊含的新概念。尤其在幾何概念教學過程中，通過多媒體教學方法，能有效提高教學效率。例如講解“角的平分線”時，過去教師常常在黑板中畫圖，既浪費時間又不規范；而通過幾何畫板可展示角平分線的定理、逆向定理等，還可對角平分線的作圖過程一個步驟一個步驟地加以分析，讓學生通過圖形、數據等變化，進一步加深對角平分線的理解與認知。

五、概念的深刻理解

對數學概念的深刻理解，更利于將概念應用于解題中，加深基本概念的理解，可通過有針對性的練習、講評等方式，挖掘概念的深層意義。尤其在教學過程中，教師不應將概念孤立，而是注重新舊知識相結合，在新概念中復習舊概念，在舊概念中引申新概念。例如，在“因式分解”教學中，往往基礎差的學生容易將因式分解和乘法運算的變形混為一談，或者在多項式分解中僅分解了個別項。在“a3＋a2－a＋2”中，很多學生認為只要將系數“a”提取出來就可以，結果出現了“a（a2＋a－1）＋2”的錯誤，這就是對數學概念的誤解。

六、概念內涵的鞏固

在課堂中，教師向學生講解了某一概念，但并不代表學生可以完全掌握概念并在實際中應用，因此對概念的鞏固是教學中必不可少的環節。實際上，鞏固數學概念的過程，就是靈活理解、運用的過程，在深刻理解的基礎上，反復記憶、靈活運用。在教學中，學生掌握概念是一個由特殊到一般的過程，而概念內涵的鞏固則是由一般到特殊的過程。教師可根據初中生的特點，采取各種各樣的練習方式，如采取選擇題、填空題、是非題、問答題等方式，還可以為了進一步掌握概念中的難點而開展“模擬練習”、“對比練習”、“判斷練習”等等。在練習過程中，學生獨立面對概念，更利于對概念的自我領會、自我發現，最終得出結論，在自覺學習過程中記憶概念。

七、概念的運用

概念的獲得與應用是一個從個別到一般、從一般到個別的過程。而學生掌握數學概念并不是靜止的，而是不斷在腦中思維、運轉。通過掌握概念，可將已經獲得的知識更加形象化、具體化，有利于形成數學思維，同時提高實際運用能力。數學的應用離不開解題，因此教師在教學過程中應引導學生利用數學概念解題，這也是培養學生數學能力的重要方法之一。例如，通過對基本概念的正用、變用、反用等，提高學生的思維能力、計算技能等。因此，這就需要教師多給學生提供運用概念的機會，提高數學的靈活應變能力，例如對平方差公式、平方公式的應用。在初中數學中，所有教學方法都有自身的不足與缺陷，最終都要通過對概念的實際運用而檢驗，只有將理論與實際相結合，才能真正達到數學教學的目標，培養學生的數學能力，符合素質教育需要。

八、結束語

由上可見，在新課程標準下，教師應改變初中數學概念教學的觀念與方法，積極應用新思路、新技術，同時不斷完善自身建設，加強對心理學、教育學的研究，進一步鞏固自身能力水平，掌握概念教學的相關技能，深刻認識到新課改賦予的新內涵，加強對學生主體地位的重視，著重培養創新能力與實踐水平。教師在更新自身觀念的基礎上，在教學中應培養學生的主體意識與參與意識，提高團隊協作能力，改變傳統數學教學中“重計算、輕概念”的思想，幫助學生自主學習，改變學習方法。教師通過教學實踐，不斷總結經驗教訓，規范自身教學行為，這樣才能順利實現教學目標，減少重復性勞動，通過對概念教學的整體認知，營造良好的課堂氛圍，激發學生的學習興趣，提高教學效率與教學效果。

參考文獻

[1]趙國榮 初中數學概念教學的有效生成策略探微[J].新校園（理論版），2011（2）。

[2]張玉婷 初中數學概念有效創新教學策略初探[J]。

[3]郭會杰 初中數學概念教學情境創設的一些思考[J].中學英語之友·教育研究與實踐，2009（6）。

[4]黃惠娟 在概念教學中培養學生的探究意識[J].教學研究，2005（4）。

[5]楊琴艷 淺談初中數學基本概念的教學[J].當代教育，2007（4）。

[6]陸洪華 淺談初中數學概念教學的“三注重”[J].文理導航·教育研究與實踐，2010（4）。

篇3

數學轉化思想、方法無處不在，它是分析問題、解決問題有效途徑.在數學中，很多問題能化生疏為熟悉，化復雜為簡單，化未知為已知，化部分為整體，化一般為特殊，化高次為低次……下面就“轉化思想”在初中數學的應用通過舉例作個簡單歸納.

一、生疏問題熟悉化

生疏問題轉化成熟悉問題是解題中常用的方法.解題能力實際上是一種創造性的思維能力，而這種能力的關鍵是能否細心觀察.因此，教師應深刻挖掘量變因素，將教材的抽象程度通過利用學過知識，加工到使學生通過努力能夠接受的水平上來，縮小接觸新內容時的陌生度，避免因研究對象的變化而產生的心理障礙，這樣做可得到事半功倍的效果.

例1已知：兩圓內切于P，過P點的直線交小圓于A，交大圓于B.求證：PA∶PB為定值.

分析過P點的直線繞P旋轉形成無數個不同的位置，其中過P的直徑每個圓只有一條，要證PA∶PB為定值，先將直線PAB過圓心，這時PA′∶PB′=r∶R.再過P點任作一條直線交小圓于A，交大圓于B，連結AA′、BB′，即可把要求解的PA∶PB為定值轉化為證明三角形相似或證明平行線對應線段成比例.

二、復雜問題簡單化

所謂“復雜問題簡單化”即為教師先將一個復雜的問題分成幾個難度與學生的思維水平同步的小問題，再分析說明這幾個小問題之間的相互聯系，以局部知識的掌握為整體服務.

例2解方程（x-1）2-5（x-1）+6=0.

分析此方程形式較復雜，可通過換元化為簡單方程.

令x-1=y，則y2-5y+6=0，通過換元轉化為會解的一元二次方程可進一步求解.

三、實際問題數學化

即是將實際問題轉化為數學問題的解題方法.

重視數學知識的應用，加強數學與實際的聯系，是近年來數學教改的一個熱點，已成為我國教育改革的一個指導思想，也是新大綱強調的重點之一.新編教材在加強用數學的意識方面也作了改進，理論聯系實際是編寫教材的重要原則之一，教材注意把數學知識應用到相關學科和生活、生產實際中去，引導學生在解決實際問題過程中提高分析問題和解決問題的能力.

例3甲乙兩個糧庫要向A、B兩地運送玉米，已知甲庫可調出100噸玉米，乙庫可調出80噸玉米；A地需70噸玉米，B地需110噸玉米；兩庫到A、B兩地的路程和運費如表1.

（1）設甲庫運往A地玉米x噸，求總運費（y元）關于x的函數關系式；

（2）當甲、乙兩庫各運往A、B兩地多少噸玉米時，總運費最??？最省的運費是多少？

所以，總費用為y=20×12x+15×12（70-x）+25×10（100-x）+20×8（10+x），

即y=-30x+39200.

（2）上述一次函數中，y的值隨x的增大而減小，x=70時，總運費（y元）最小，為37100元.

四、“部分”問題“整體”化

在解題的過程中，我們可以將部分問題轉化為整體問題進行求解，比較直觀、易懂，方便掌握.

例4已知x2-x-1=0，則代數式-x2+x+2009的值為多少？

解把x2-x-1=0看成整體，-x2+x+2009中可變出這個整體，即可變為-（x2-x-1）-1+2009.把（x2-x-1）看作整體為0，代入-（x2-x-1）-1+2009中得出結果為2008.

五、數與形的轉化

即利用數形結合（數形轉化），化解綜合類數學題.

例5一次函數y=x+m與反比例函數y=m11x的圖象在第一象限交于一點（a，b），ABx軸，垂足為B，已知ABO的面積為3，試求一次函數與反比例函數的解析式.

解由SABO=1112ab=3，得ab=6.因為點A（a，b）在y=m11x的圖象上，即m=ab=6，所以一次函數的解析式為y=x+6，反比例函數的解析式為y=611x.

六、高次問題低次化

即將高次方程轉化為低次方程后再進行解答.這種方法比較便捷、易懂，解題快、準，在提高解題速度方面有很大的優勢.

例6解方程x4-5x2+6=0.

篇4

數學素質是人才素質的一個重要組成部分，也是素質教育目標之一。作為初中生，并非要求每一個人都造詣甚高，但必須具有常備的數學素質：有掌握基礎知識，總結基本方法，綜合運用知識解決問題的技能、技巧，并能在此基礎上不斷拓展。

總結十多年的畢業班數學教學經驗，我深深感受到：初中數學綜合復習，是夯實基礎、提升學生學科素質的非常重要階段，每一個教師都必須予以重視。

一、重概念，理系統，扎穩基礎

數學概念是數學的基本元素。把數學體系喻為萬丈高樓，概念就是一塊塊堅實的基石。因此，我們在組織綜合復習時，務必從基本概念入手，讓學生在準確、熟練、系統掌握概念的基礎上提高解決數學問題的技能和技巧，推動數學學習向縱深發展，提高綜合解題能力。在數學復習教學中，我們可以設計一套利用基本概念作為解題思路的習題，以啟迪學生的應用思維。例如復習方程組的解的概念時，可組織如下一套題。

例1：在 和 兩組數中，方程組 的解是哪一組？為什么？

例2：已知 是方程組 的解，求a，b。

例3：已知方程組 的解為 ，求證：a，b，c為Rt三邊的量數。

又如，在復習絕對值與二次根式的概念時，學生對|a|≥0， ≥0已有認識。為使它們成為尋求解題思路的向導，可以設計以下復習題。

例4：已知 ，求 的值。

例5：已知 ，且a，b，c為三角形三邊的量數，求c的取值范圍。

通過諸如以上例題的講解，給學生以啟迪：數學方法往往寓于概念之中。因此，注重基本概念的復習，理清基本概念的體系，是培養學生綜合能力和數學素質的基礎。

二、明原理，溯根源，掌握技巧

數學中的定理、定律、公式和法則是學生必須掌握的基本知識。為了克服學生死記硬背、囫圇吞棗、記而不牢，或牢而難用的毛病，教學中，教師必須指導學生追本溯源，讓他們掌握推導的思路和方法。這就是常說的，教者不僅要教學生知其然，更重要的是教學生知其所以然。從而實現感性認識到理性認識的飛躍。只有這樣，才能使學生既學到知識，又掌握方法、技巧。

比如：推證等比定律：若 ，則 時，

教者要講清設定 （定值）的必要性和優越性。讓學生懂得這一推理思路對以后類似的解題很有幫助。

例6：已知 ，求 的值。

例7：設a，b，c分別為ABC三內角的對邊，R為ABC的外接圓半徑，試證明 。

以上例子舉不勝舉，充分說明數學方法一部分來自定理的證明及定律、公式和法則的推導，復習時務必注重這方面的引導。

三、抓培養，速成效，啟迪思維

培養學生多動腦，勤動手，是復習收益頗豐的途徑，同時也是促成學生思維素質形成的有效手段。

比如，一題多解的教學能很有效地啟迪學生的發散思維（當然不單純是這一條途徑）。

例8：求證：三角形的內角和等于

證明的基本思想是將三角形的三內角拼（平移）成一個平角，作如下三種輔助線均可得證：

（1）延長BC（其他邊均可），過C點作CE∥AB；

（2）過任一頂點作對邊的平行線；

（3）在任意位置作直線平行于三角形的一邊。

例9：ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD、CE，求證：CD=2CE。

四、善歸納，巧總結，提升層次

知識系統里往往既具有縱向的相關關系，又具有橫向的相關關系。在組織綜合復習時，教者必須對知識羅列歸納，從而揭示一般規律，并總結出一些解題（或輔助解題）的常用技巧與方法。

例如：在組織平面幾何綜合復習時，教者著手于揭示解題（或輔助解題）的一般規律是提高復習效率，濃縮學生接受間接經驗的過程的優選手段。

諸如兩圓相切，必作輔助線時常作兩圓的公切線；直線與圓相切，常作過切點的半徑（或直徑）；兩圓相交，必作輔助線時常作兩圓的公共弦，與三角形中線有關時，常把倍長中線作為輔助線，還有兩圓的連心線，圓的直徑，四邊形的對角線，垂徑分弦線，線段的平移線等都是一些常規輔助線，在復習中結合例題，讓學生充分認識這些常規輔助線的作用。

例10：如圖，ABEF和ACGH是ABC外的兩個正方形，AM是BC邊上的中線，求證FH=2AM

（提示：倍長中線）

例11：如圖，O1與O2相交于A，B，分別過A點、B點作直線EF、GH交兩圓于E、F；G、H，求證：EG//FH

（提示：作兩圓的公共弦）

五、順勢導，促個性，發展特長

篇5

數學素質是人才素質的一個重要組成部分，也是素質教育目標之一。作為初中生，并非要求每一個人都造詣甚高，但必須具有常備的數學素質：有掌握基礎知識，總結基本方法，綜合運用知識解決問題的技能、技巧，并能在此基礎上不斷拓展。

總結十多年的畢業班數學教學經驗，我深深感受到：初中數學綜合復習，是夯實基礎、提升學生學科素質的非常重要階段，每一個教師都必須予以重視。

一、重概念，理系統，扎穩基礎

數學概念是數學的基本元素。把數學體系喻為萬丈高樓，概念就是一塊塊堅實的基石。因此，我們在組織綜合復習時，務必從基本概念入手，讓學生在準確、熟練、系統掌握概念的基礎上提高解決數學問題的技能和技巧，推動數學學習向縱深發展，提高綜合解題能力。在數學復習教學中，我們可以設計一套利用基本概念作為解題思路的習題，以啟迪學生的應用思維。例如復習方程組的解的概念時，可組織如下一套題。

例1：在x=6y=-2和x=3y=2兩組數中，方程組5x-y=32x-2y=10的解是哪一組？為什么？

例2：已知x=1y=2是方程組ax-by=-42（a+b）x-（2b-1）y=13的解，求a，b。

例3：已知方程組ax+b=7（2a+1）x-3cz=22（b-2）z-cz=1的解為x=1y=-2z=-1，求證：a，b，c為Rt三邊的量數。

又如，在復習絕對值與二次根式的概念時，學生對|a|≥0，■≥0已有認識。為使它們成為尋求解題思路的向導，可以設計以下復習題。

例4：已知y=■+■■，求x■-2y的值。

例5：已知|3a+4b-11|+■=0，且a，b，c為三角形三邊的量數，求c的取值范圍。

通過諸如以上例題的講解，給學生以啟迪：數學方法往往寓于概念之中。因此，注重基本概念的復習，理清基本概念的體系，是培養學生綜合能力和數學素質的基礎。

二、明原理，溯根源，掌握技巧

數學中的定理、定律、公式和法則是學生必須掌握的基本知識。為了克服學生死記硬背、囫圇吞棗、記而不牢，或牢而難用的毛病，教學中，教師必須指導學生追本溯源，讓他們掌握推導的思路和方法。這就是常說的，教者不僅要教學生知其然，更重要的是教學生知其所以然。從而實現感性認識到理性認識的飛躍。只有這樣，才能使學生既學到知識，又掌握方法、技巧。

比如：推證等比定律：若■=■=■=……，則■=■時，教者要講清設定■=■=■=k（定值）的必要性和優越性。讓學生懂得這一推理思路對以后類似的解題很有幫助。

例6：已知■=■=■，求■的值。

例7：設a，b，c分別為ABC三內角的對邊，R為ABC的外接圓半徑，試證明■=■=■=2R。

以上例子舉不勝舉，充分說明數學方法一部分來自定理的證明及定律、公式和法則的推導，復習時務必注重這方面的引導。

三、抓培養，速成效，啟迪思維

培養學生多動腦，勤動手，是復習收益頗豐的途徑，同時也是促 成學生思維素質形成的有效手段。

比如，一題多解的教學能很有效地啟迪學生的發散思維（當然不單純是這一條途徑）。

例8：求證：三角形的內角和等于180°

證明的基本思想是將三角形的三內角拼（平移）成一個平角，作如下三種輔助線均可得證：

（1）延長BC（其他邊均可），過C點作CE∥AB；

（2）過任一頂點作對邊的平行線；

（3）在任意位置作直線平行于三角形的一邊。

例9：ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD、CE，求證：CD=2CE。

思路1：延長CE到F，使EF=CE，連接BF，易證

CFB≌CDB？圯CD=CFCF=2CE？圯CD=2CE

思路2：過B點作BF∥CD交AB于F，易證

CD=2BFBF=CE？圯CD=2CE

思路3：過B點作BF∥CE交AC的延長線于F，易證

CD=BF=2CE

思路4：過A點作AF∥CE交BC的延長線于F，易證ACF≌DBC？圯CD=AFAF=2CE？圯CD=2CE

思路5：過B點作BF∥AC交CD于F，易證CD=2CF

CEB≌CFB CF=CE

得：CD=2CE

四、善歸納，巧總結，提升層次

知識系統里往往既具有縱向的相關關系，又具有橫向的相關關系。在組織綜合復習時，教者必須對知識羅列歸納，從而揭示一般規律，并總結出一些解題（或輔助解題）的常用技巧與方法。

例如：在組織平面幾何綜合復習時，教者著手于揭示解題（或輔助解題）的一般規律是提高復習效率，濃縮學生接受間接經驗的過程的優選手段。

諸如兩圓相切，必作輔助線時常作兩圓的公切線；直線與圓相切，常作過切點的半徑（或直徑）；兩圓相交，必作輔助線時常作兩圓的公共弦，與三角形中線有關時，常把倍長中線作為輔助線，還有兩圓的連心線，圓的直徑，四邊形的對角線，垂徑分弦線，線段的平移線等都是一些常規輔助線，在復習中結合例題，讓學生充分認識這些常規輔助線的作用。

例10：如圖，ABEF和ACGH是ABC外的兩個正方形，AM是BC邊上的中線，求證FH=2AM

（提示：倍長中線）

例11：如圖，O1與O2相交于A，B，分別過A點、B點作直線EF、GH交兩圓于E、F；G、H，求證：EG//FH

（提示：作兩圓的公共弦）

五、順勢導，促個性，發展特長

篇6

【關鍵詞】 基本圖形，分析圖形，培養能力

許多九年級學生反映不會復習幾何，以為幾何復習就是做題，把復習等同于做題.但是有同學做了大量的幾何題，復習的效果卻不明顯，在面對幾何問題時仍然沒有多少把握，缺乏分析幾何問題和解決問題的方法和能力.而這些方法和能力又是中考復習階段必須形成的.

該如何有效組織中考幾何復習呢？本人做了一種新嘗試――由點及面，多向輻射.這是基于幾何基本圖形的復習方法，經過連續兩年中考復習的實踐，取得了不俗的效果.

下面我從特殊平行四邊形――菱形的復習介紹這種復習方法.

在復習菱形時，我從一個一般的菱形入手：

問題1：當我們看到一個菱形時，你能從圖形中得到哪些性質？其中有哪些邊角的特殊數量關系？如圖1.

此時學生能把菱形的邊角性質做一個回顧.

然后在圖1的基礎上添加一條對角線AC，如圖2，有了下一步思考.

問題2：在圖2中你能得到哪些圖形和性質？

學生容易發現圖中ABC≌ADC，∠ACD = ∠ACB = ∠BAC = ∠DAC.

接著連接BD交AC于點O，如圖3.

問題3：在圖3中你又能得到哪些特殊圖形和性質？

學生經過觀察和分析不難發現，圖中有四個全等的直角三角形、兩對全等的等腰三角形、AC與BD的垂直平分關系等結論.

以上三個問題旨在引導學生回顧復習菱形的重要性質，以及啟發學生能通過觀察分析圖形，發掘其中的特殊圖形和數量關系，學會讀圖.

此后，我從兩個方面進一步變換圖形，挖掘性質，達到多向輻射的復習目的：

問題4：在圖3的條件下，你有什么方法計算菱形的面積？

大部分學生能想起通過對角線計算菱形面積的公式.然后老師請同學分析此公式的推導方法，進一步加深對角線分割菱形轉化為特殊三角形的理解.

問題5：如圖4，四邊形ABCD中，ACBD，你能計算四邊形的面積嗎？并分析你的方法.

學生通過剛才菱形面積的計算方法，不難遷移聯想到此四邊形也能利用對角線來計算面積.通過問題5的思考學生能從特殊四邊形過渡到具有相同特征的一般四邊形，培養了學生思維的遷移能力和靈活性.

再回到圖3.

問題6：在圖3的基礎上取BC中點E，連接OE，得到圖5，請認真分析，你能得出哪些重要的結論？

這個問題很開放，結論很多，旨在鍛煉學生觀察分析圖形的能力，給學生幾分鐘時間認真分析歸納，得到了許多有益的發現：OE為ABC和BCD的中位線，OE∥AB∥CD，OE = ■AB = ■CD，OE = CE = BE = ■BC，OEC和OEB為等腰三角形，OEC∽ABC，等等.

在此基礎上設置兩個具體的問題，鞏固學生剛才發現的結論：

問題7：如圖5，若OE = 2，則菱形的周長為 ；

若AC = 6，BD = 8，則OCE的周長為 ，面積為 .

在圖5的基礎上再進一步.

問題8：取CD 、AD、AB的中點F、G、H，并連接EF、FG、GH、EH，得到圖6，判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

還可以把圖形一般化，進一步培養學生思維的遷移能力.

問題9：如圖7，四邊形ABCD中，ACBD，E、F、G、H為四邊中點，判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論.

到此時，我們把菱形與三角形的有關知識聯系起來了，既復習菱形的有關性質，也再次鞏固了矩形、全等三角形、相似三角形、等腰三角形、直角三角形以及三角形中位線的有關知識和方法，達到多向輻射的目的.

并且在整個探究過程中，以圖形變換為主線，從一個最基本的圖形開始，不斷變換，增加線條，構造性質豐富的圖形.而每一步都只呈現圖形，設置開放性的問題，讓學生從已知條件出發邏輯地導出應有的結論，旨在培養學生觀察分析圖形的意識和能力，發展學生思維的廣闊性，把其中包含的特殊圖形和特殊性質發掘出來之后，就能輕松解決問題了.這種方式也是為了教會學生學習幾何的方法，就是要充分分析圖形，展開聯想，挖掘其中的基本圖形和數量關系.

回到圖1，繼續變換.

問題10：在圖1的基礎上，取菱形的邊CD、BC上兩點E、F，且DE=CF，得到圖8，判斷AE和AF的數量關系，并證明你的結論.

本題只需連接AC，證明一對全等三角形即可.

問題11：在圖8的基礎上連接EF，得到圖9，判斷AEF的形狀并證明.

問題12：如圖8，若點E、F是邊CD、BC上的動點，滿足DE=CF，在兩點移動過程中，AEF的形狀會發生改變嗎，請說明理由.

問題13：在問題12的基礎上，若菱形ABCD中，∠ABC = 60°，猜想AEF的形狀并證明.

問題10-13是一組遞進式的問題，從一個菱形的最基本圖形出發，從判斷線段AE，AF的數量關系遞進到探究它們所在AEF的形狀，從定點問題遞進到動點問題，由靜態過渡到動態，從特殊到一般，再從一般回到特殊，既復習考查了學生菱形和等腰三角形的有關性質，也訓練了學生構造全等三角形的基本能力，還培養了學生運動變化的數學思維.

問題14：在問題13的基礎上，若菱形的邊長為4 cm，求AEF面積的最大和最小值.

問題15：在問題14的基礎上，當點E、F在什么位置時，CEF有最大面積，求出最大面積.

問題14、15是在剛才的幾何圖形之上構造的“最大面積”問題，其中問題14中AEF的最大（或最?。┟娣e問題可以轉化為其邊AE（或AF）的最大（或最?。﹩栴}，連帶復習了垂線段最短的應用，技術難度不算大，但思維量不小，并且學生容易往構造關于AEF面積的二次函數求最大（或最?。┲档姆较蛩伎迹@就難以解決了.而CEF的最大面積問題可以有兩個思考方向，首先是在四邊形AECF中利用AEF的最小面積，可以求出CEF的最大面積（因為四邊形AECF面積是菱形面積的一半，為定值）；也可以直接過點F作EC的垂線段，如圖10，利用三角形的面積公式構造關系CEF面積的二次函數，轉化為求函數的最大值問題，這是學生熟悉的思路.

設置以上兩個問題旨在溝通幾何與代數的聯系，這類問題是中考試題中常見的綜合性問題，訓練學生綜合運用數學知識的能力和意識，培養學生分析和解決問題的思維能力，達到由點及面、多向輻射的復習效果.

課堂的最后階段，我做了總結性表述：我們幾何的復習不能停留在記住幾個定理，也不能停留在會做幾個題目，而是要多從研究圖形出發，學會分析圖形，展開聯想，發掘其中的特殊圖形和位置、數量關系，運用有關性質，培養分析圖形和解決問題的能力.掌握了工具，有了思維能力，方能應對可能遇到的一切問題.

我國著名數學家華羅庚先生指出“學習有兩個過程，一個是從薄到厚，一個是從厚到薄.”前者是量的積累，后者則是質的飛躍.教師在數學復習過程中，不僅應該要求學生對所學的知識、典型的例題進行反思，而且還應該重視對學生鞏固所學的知識由“量”到“質”的飛躍這一轉化過程.“由點及面，多向輻射”的復習方式就是熟悉基本圖形，再作圖形變換，引導學生聯想與探索，把有關知識通過圖形演變讓學生分析探究，由圖形得出性質，多向輻射，牽出一條條知識和思想方法的紅線，使學生形成知識系統和方法系統，形成數學思想和解決問題的能力，達到由量變向質變的飛躍.

【參考文獻】

[1]李果民. 中學數學教學建模. 廣西教育出版社.

[2]馬維民. 新課程理念下的創新教學設計――初中數學. 東北師范大學出版社.

篇7

一、素質教育目標

（一）知識教學點：

1．熟練運用判別式判別一元二次方程根的情況．

2．學會運用判別式求符合題意的字母的取值范圍和進行有關的證明．

（二）能力訓練點：

1．培養學生思維的嚴密性，邏輯性和靈活性．

2．培養學生的推理論證能力．

（三）德育滲透點：通過例題教學，滲透分類的思想．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：運用判別式求出符合題意的字母的取值范圍．

2．教學難點：教科書上的黑體字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根”可看作一個定理，書上的“反過來也成立”，實際上是指它的逆命題也成立．對此的正確理解是本節課的難點．可以把這個逆命題作為逆定理．

三、教學步驟

（一）明確目標

上節課學習了一元二次方程根的判別式，得出結論：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根．”這個結論可以看作是一個定理．在這個判別方法中，包含了所有各種情況，所以反過來也成立，也就是說上述結論的逆命題是成立的，可作為定理用．本節課的目標就是利用其逆定理，求符合題意的字母的取值范圍，以及進行有關的證明．

（二）整體感知

本節課是上節課的延續和深化，主要是在“明確目標”中所提的逆定理的應用．通過本節課的內容的學習，更加深刻體會到“定理”與“逆定理”的靈活應用．不但不求根就可以知道根的情況，而且知道根的情況，還可以確定待定的未知數系數的取值，本節課內容對學生嚴密的邏輯思維及思維全面性進行恰如其分的訓練．

（三）重點、難點的學習及目標完成過程

1．復習提問

（1）一元二次方程的一般形式？說出二次項系數，一次項系數及常數項．

（2）一元二次方程的根的判別式是什么？用它怎樣判別根的情況？

2．將復習提問中的問題（2）的正確答案板書，反之，即此命題的逆命題也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有兩個不相等的實數根，則＞0；如果方程有兩個相等的實數根，則=0；如果方程沒有實數根，則＜0．”即根據方程的根的情況，可以決定值的符號，‘’的符號，可以確定待定的字母的取值范圍．請看下面的例題：

例1已知關于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值時

（1）方程有兩個不相等的實數根；

（2）方程有兩個相等的實數根；

（1）方程無實數根．

解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，

b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）

＝8k+9．

方程有兩個不相等的實數根．

方程有兩個相等的實數根．

方程無實數根．

本題應先算出“”的值，再進行判別．注意書寫步驟的簡練清楚．

練習1．已知關于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．

t取什么值時，（1）方程有兩個不相等的實數根？（2）方程有兩個相等的實數根？（3）方程沒有實數根？

學生模仿例題步驟板書、筆答、體會．

教師評價，糾正不精練的步驟．

假設二項系數不是2，也不是1，而是k，還需考慮什么呢？如何作答？

練習2．已知：關于x的一元二次方程：

kx2+2（k+1）x+k=0有兩個實數根，求k的取值范圍．

和學生一起審題（1）“關于x的一元二次方程”應考慮到k≠0．（2）“方程有兩個實數根”應是有兩個相等的實數根或有兩個不相等的實數根，可得到≥0．由k≠0且≥0確定k的取值范圍．

解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．

原方程有兩個實數根．

學生板書、筆答，教師點撥、評價．

例求證：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0沒有實數根．

分析：將算出，論證＜0即可得證．

證明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）

＝4m2-4m4-20m2-16

＝-4（m4＋4m2＋4）

＝-4（m2＋2）2．

不論m為任何實數，（m2＋2）2＞0．

-4（m2＋2）2＜0，即＜0．

（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，沒有實根．

本題結論論證的依據是“當＜0，方程無實數根”，在論證＜0時，先將恒等變形，得到判斷．一般情況都是配方后變形為：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……從而得到判斷．

本題是一道代數證明題，和幾何類似，一定要做到步步有據，推理嚴謹．

此種題型的步驟可歸納如下：

（1）計算；（2）用配方法將恒等變形；

（3）判斷的符號；（4）結論．

練習：證明（x-1）（x-2）=k2有兩個不相等的實數根．

提示：將括號打開，整理成一般形式．

學生板書、筆答、評價、教師點撥．

（四）總結、擴展

1．本節課的主要內容是教科書上黑體字的應用，求符合題意的字母的取值范圍以及進行有關的證明．須注意以下幾點：

（1）要用b2-4ac，要特別注意二次項系數不為零這一條件．

（2）認真審題，嚴格區分條件和結論，譬如是已知＞0，還是要證明＞0．

（3）要證明≥0或＜0，需將恒等變形為a2＋2，-（a＋2）2……從而得到判斷．

2．提高分析問題、解決問題的能力，提高推理嚴密性和思維全面性的能力．

四、布置作業

1．教材P．29中B1，2，3．

2．當方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有實數根時，求a的正整數解．

（2、3學有余力的學生做．）

五、板書設計

12．3一元二次方程根的判別式（二）

一、判別式的意義：……三、例1……四、例2……

=b2-4ac…………

二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

（1）當＞0，……練習1……練習2……

（2）當＝0，……

（3）當＜0，……

反之也成立．

六、作業參考答案

方程沒有實數根．

B3．證明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5

當k無論取何實數，4k2≥0，則4k2＋5＞0

＞0

方程x2+（2k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實數根．

2．解：方程有實根，

＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0

即：a≤3，a的正整數解為1，2，3

當a＝1，2，3時，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有實根．

3．分析：“方程”是一元一次方程，還是一元二次方程，需分情況討論：

（2）當2m-1≠0時，