藝術學概念范文

導語：如何才能寫好一篇藝術學概念，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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關鍵詞：初中數學 概念教學 變式 課堂練習 概括能力

數學概念是反映現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式。在初中數學教學中，加強概念教學是學好數學的基礎，是理解數學知識的前提，是學好定理、公式、法則和數學思想的基礎，同時也是提高解題能力的關鍵。因此，在數學教學中，數學概念的學習是非常重要的一個內容，教會學生正確地理解、判斷概念就顯得非常重要。

一、創設情境，注意概念的引入

要成功地上好一堂新概念課，教師的注意力應集中到創設情景、設計問題上，讓學生在教師創設的問題情景中，學會觀察、分析、揭示和概括，教師要則為學生思考、探索、發現和創新提供盡可能大的自由空間，幫助學生去體會概念的形成、發展和概括的過程。此外，概念的引入也是非常重要的內容。從平常的教學實際來看，對概念課的教學產生干擾的一個不可忽視的因素是心理抑制。教師方面，會因為概念單調枯燥而教得死板乏味；而學生方面，又因為不了解概念產生的背景及作用，缺乏接受新概念的心理準備而產生對新概念的心理抑制。要解決師生對概念課的心理抑制問題，可加強概念的引入，幫助學生弄清概念產生的背景及解決的方法。由于形成準確概念的先決條件是使學生獲得十分豐富和符合實際的感性材料，通過對感性材料的抽象、概括，來揭示概念所反映的本質屬性。因此在教學中，教師要讓學生密切聯系數學概念在現實世界中的實際模型，通過對實物、模型的觀察，對圖形的大小關系、位置關系、數量關系的比較分析，在具有充分感性認識的基礎上引入概念。

二、重點培養學生的概括能力

在學生的概念學習中，要重點培養學生的概括能力。概括是形成和掌握概念的直接前提。學生學習和應用知識的過程就是一個概括過程，遷移的實質就是概括。概括又是一切思維品質的基礎，因為如果沒有概括，學生就不可能掌握概念，從而由概念所引申的定義、定理、法則、公式等就無法被學生掌握；沒有概括，就無法進行邏輯推理，思維的深刻性和批評性也就無從談起；沒有概括，就不可能產生靈活的遷移，思維的靈活性與創造性也就無從談起；沒有概括，就不能實現思維的“縮減”或“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現。學生掌握概念，只接受他們的概括水平的制約，要實現概括，學生必須能對相應的一類具體事例的各種屬性進行分化，再經過分析、綜合、比較而抽象出共同的、本質的屬性或特征，然后再概括起來；在此基礎上，再進行類化，即把概括而得到的本質屬性推廣到同類事物中去，這既是一個概念的運用過程，又是一個在更高層次上的抽象概括過程；然后，還要把新獲得的概念納入到概念系統中去，即要建立起新概念與已掌握的相關概念之間的聯系，這是概括的高級階段。從上所述可知，對概念的具體例證進行分化是概括的前提，而把概念類化，使新概念納入到概念系統中去，又成為概念學習深化的重要步驟，因此，教師應該把教會學生對具體例證進行分化和類化當成概念教學的重要環節，使學生掌握分化和類化的技能技巧，從而逐漸學會自己分析材料、比較屬性，并概括出本質屬性，以逐步培養起概括能力。另外，數學概括能力中，很重要的是發現關系的能力，即發現概念的具體事例中各種屬性之間的關系，發現新概念與已有認知結構中相關概念之間關系的能力。

三、運用變式，尋求概念的本質

變式是變更對象的非本質屬性的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質屬性，突出那些隱蔽的本質要素，一句話，變式是指事物的肯定例證在無關特征方面的變化，讓學生在變式中思維，可以使學生更好地掌握事物的本質和規律。

變式是概念由具體向抽象過渡的過程中，為排除一些由具體對象本身的非本質屬性帶來的干擾而提出來的。一旦變更具體對象，那么與具體對象緊密相聯的那些非本質屬性就消失了，而本質屬性就顯露出來。數學概念就是通過對變式進行比較，舍棄非本質屬性并抽象出本質屬性而建立起來的。值得注意的是，變式不僅可以在概念形成過程中使用，也可以在概念的應用中使用。因此，我們既可以變更概念的非本質屬性，也可以變換問題的條件和結論；既可以轉換問題的形式或內容，也可以配置實際應用的各種環境。總之，就是要在變化中求不變，萬變不離其宗。這里，變的是事物的物理性質、空間表現形式，不變的是事物在數或形方面的本質屬性。變化的目的是為了使學生有機會親自經歷概念的概括過程，使學生所掌握的概念更加精確、穩定和易于遷移，避免把非本質屬性當成本質屬性。

變式的運用要注意為教學目的服務。數學知識之間的聯系性是變式的依據，即利用知識的相互聯系，可以有系統地獲得概念的各種變式。另外，變式的運用要掌握好時機，只有在學生對概念有了初步理解，而這種理解又需要進一步深化的時候運用變式，才能收到好的效果；否則，如果在學生沒有對概念建立初步理解時就運用變式，將會使學生不能理解變式的目的，變式的復雜性會干擾學生的概念理解思路，先入為主而導致理解上的混亂。

四、精心設置課堂練習，通過反復練習掌握概念

精心設計課堂練習，再次給學生提供探究的機會。學生對新概念的掌握不是一次能完成的，需要由“具體抽象具體抽象”的多次實踐。因此，在教學中，教師要針對概念的學習，設計有助于學生更好地理解、運用概念的題目，讓學生在多次的課堂、課外實踐的基礎上理解和掌握有關概念。

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關鍵詞： 數學 概念教學 引入教學 理解與記憶 鞏固與運用

1.新概念的引入教學

學生接受新概念有一個循序漸進的過程，要具有形象直觀的感受。中學數學教學中引入新概念的途徑是：第一，用實際事例或實物、模型進行介紹，使學生對研究對象的認識由感性到理性，逐步認識它的本質屬性，建立起新的概念。例如在教學“棱柱、棱錐、圓柱、圓錐”的概念時，先讓學生觀察有關的實物、圖示、模型，在具有充分的感性認識的基礎上再引入概念。第二，從數學內在需要引入概念是一種有效方法。例如一個數的平方為負數，從而引入了虛數，然后對虛數單位進行性質的研究，進行簡單的運算，由此引入復數。第三，由舊概念的引申或變形引導出新概念。如向量的模、復數的模與兩點間的距離公式、向量的方向、復數的幅角與直線的傾斜角等一些列關聯概念。

2.新概念的理解與記憶

數學中的新概念教學必須對概念進行仔細分析，講清數學概念之內涵和外延，溝通知識的內在聯系。在講解新概念前，先給出預習題，使學生了解以下幾個方面的問題：這個概念討論的對象是什么？概念中有哪些規定和條件？與其他概念比較有無容易混淆的地方？它們與過去學過的知識有什么聯系？這些規定和條件的確切含義是什么？應當如何理解這些區別？根據概念中的條件和規定，能否歸納出哪些基本性質？各個性質又分別由概念中的哪些因素決定？這些性質在應用中有什么作用？能否派生出一些重要的數學思想方法？例如，關于“角”的概念的深化與系統化，首先羅列出“平面角”、“異面直線所成的角”、“直線與平面所成的角”、“二面角”、“二面角的平面角”各種定義，進行對比。然后對“角”的概念形成一個良好的認知結構，進一步認識到空間“異面直線所成的角”、“直線與平面所成的角”、“二面角”都是在“平面角”概念的基礎上發展和推廣的；反之，這些空間的角都又是轉化為“平面角”來表示的，只有“二面角”是通過“二面角的平面角”來表示。概念講完后，教師要及時地運用各種手段使學生加深對概念的理解。例如，可以讓學生復述定義；也可以舉一些相關的例子使學生掌握概念的內涵和外延；還可以同一些相關概念進行比較，以找出它們之間的聯系與區別。當學生學習了一定數量的概念后應幫助他們溝通概念間的內在聯系，充分揭示知識發展的脈絡，把所學的知識加深鞏固，并能從數學思想方法的深度去認識它?？捎靡恍┤衷E、四字訣等習慣術語幫助記憶，如三角函數的誘導公式，“奇變偶不變，符號看象限”，使學生正確理解并能正確運用數學概念的名稱和符號，從而啟發學生理解和掌握所學概念。

概念課教學中，教師應根據概念數學內容和學生實際，提供機會，創造情景，善于提出問題，啟發學生積極、主動思考，逐步培養學生獨立思考、自主學習的能力，引導學法、培養習慣。正像波利亞所說：教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學生想了些什么，學生的思路應該在學生自己的頭腦中產生，教師的作用在于“系統地給學生發現事物的機會”。如，學習等比數列時，可設計啟發性思考題，啟動學生自主的觀察、歸納、概括出等比數列的概念，并把類比的數學思想落到實處，一一引導學生對等差數列、等比數列進行概念類比、內涵對比、外延類比、函數公式的結構類比、概念應用中的解法類比等，使學生在類比和自主探索中學習、理解、掌握等比數列及相關概念。所以在概念教學中，可以引用各種數學思維方式來理解數學概念，這樣不僅能提高對數學概念的記憶，而且能強化數學思維模式，使學生真正從數學的角度來理解數學，從數學的整個體系來記憶數學概念。

教師要突出要素記憶，如“數軸”的三要素：原點、正方向、單位長度。又如函數概念的二要素：定義域與對應法則，最簡根式的三要素：根指數與被開方式乘方指數互質、根指數小于被開方式中每一個因式的次數、被開方式不含分母（或分母為1）；同類根式的二要素：根指數相同，被開方式相同等等。突出概念的要素，即突出了概念的本質特征，為應有概念創造了條件。如判斷兩個不同解析式表達的函數是否為同一個函數，學生就可以先比較定義域，若定義域不同，肯定不是同一個函數，若定義域相同，再進一步查對應法則，只有對應法則也相同的兩個函數才是同一個函數。數形結合法對理解、掌握及運用這一抽象概念至關重要。如實數絕對值與復數絕對值概念的教學，除講清定義本身，還一定要把各自的幾何意義結合起來學習，如此學生方能更好地把握這兩個概念的本質特性，同時，如果能將二者的幾何意義一般化，就能為應用絕對值概念解題創造條件。對于易混淆或相關的概念用對比法能更好地揭示概念的特性。如排列與組合、指數與對數、三角函數與反三角函數等概念教學時，用對比法可收到好的效果。排列與組合是兩個完全不同的概念。前者與元素順序有關，而后者則無關，因此，應用場合也就不同了。

3.新概念的鞏固與運用

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在初中數學教學中,教師應重視和加強數學概念的教學,引導學生經歷概念的探索、發現和創新的過程,獲得相應的數學概念,體驗成功的喜悅,從而真正達到理解并融會貫通的目的,以切實提高教與學的效率。

一、生動恰當的引入概念

每當學生用一個新的概念時,教師都應讓其感到有必要學習這個概念,從而使他全身心地投入到下面的學習中去。要做到這一點有時并非輕而易舉,而是要費一番周折的。因此,合理地“引入”就顯得尤為重要。

1.以史為引。

在講授新概念時,教師結合課題內容,適當引入數學史、數學典故或數學家的故事,往往能激起學生的學習興趣、熱情。如講“無理數”時,教師可由無理數的發現者希伯索斯捍衛真理的英勇故事引入等。

2.以舊帶新。

在數學中有很多概念和以往學習的舊概念有密切的聯系。因此,在學習這些概念時,教師可在復習舊概念的基礎上類比引入新概念。如在講“一元二次方程”概念時,教師可先復習一元一次方程的概念,讓學生理解什么是“元”和“次”,接著寫出一個一元二次方程如x2+2x-1=0,讓學生將其與一元一次方程進行比較,找出異同,從而得出一元二次方程的概念。這樣既自然,又利于學生理解、記憶。再如不等式可類比方程引入,分式可類比分數引入,等等。

3.猜想導入。

“數學的發展并非是無可懷疑的真理在數學上的單純積累,而是一個充滿了猜想與反駁的過程”。因此,在概念引入時,教師應讓學生依據已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想像,讓學生經歷數學家發現新概念的最初階段,以培養學生敢于猜想的習慣,形成數學直覺,發展數學思維。

4.從“需要”入手。

有的概念可以從解決數學內部的需要來引入,如“負數”概念的教學,教師可以從溫度計上的零下溫度入手,引導學生感知現實生活中存在比零更小的數,但用以前學過的數無法表示出來,產生了思維沖突,從而有必要引入“負數”這一比零更小的數來表示這一部分數,導入自然,恰到好處。

5.直觀操作導入。

實踐出真知。手是腦的老師,學生通過動手操作、實踐,往往可以理解一些難以理解的概念。因此在教學中,教師可密切聯系數學概念在現實世界中的實際模型,通過對事物、模型的觀察、操作、比較、分析,進而自然地引入概念。

二、自主合理地形成概念

從學生學習數學概念的心理過程來看,概念的形成大致有概念同化和概念形成兩類。其中概念同化是指學生以原有知識為基礎,教師以定義的方式直接向學生揭示概念的方式;概念形成是指從大量的具體例子出發,從學生肯定經驗的例證中,以歸納的方式概括出事物的本質屬性。

但是,初中生已有的認知結構還不夠充分,知識經驗還很貧乏。顯然,概念同化的方式對其是不適的。所以,初中生掌握概念的典型方式還是概念形成。因此,在具體的教學中,教師應重視概念的形成過程。此環節教師絕不能包辦代替,應讓學生積極、主動地參與概念的形成過程。

三、準確、無誤地理解概念

1.語言表述要準確。

概念形成之后,教師應及時讓學生用語言表述出來,以加深對概念的印象。語言作為思維的物質外殼,教師可從學生的表述中得到反饋信息,了解、評價學生的思維結果。如概括圓的定義時,有的學生會漏掉“在同一平面內”這個條件;講分式的基本性質時,有的學生會了“零除外”這一條件等。教師讓學生自己把這些概念表述出來,及時發現問題,并加以糾正,給學生一個準確的表象,這樣既能培養學生的語言表達能力,又能發展他們的思維能力。

2.揭示概念的外延與內涵。

數學概念的內涵是指概念所反映的數學對象的本質屬性,反映的是“質”的方面,如“由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形”、“兩邊之和大于第三邊”、“內角和為180?”等都是“三角形”這一概念的內涵。數學概念的外延是指數學概念所反映的對象的數量或范圍,反映的是“量”的方面。如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形是“三角形”這個概念的外延。充分揭示概念的內涵和外延有助于學生加深對概念的理解。

3.加深對表示數學概念的符號理解。

數學概念本身就較為抽象,加上符號表示,從而更加抽象化,因此教師必須使學生真正理解符號的含義。如有學生會將sin(-θ)中的記號sin與(-θ)認為是相乘而錯誤地理解為sin(-θ)=-sinθ中左邊的符號是提出來的,所以教師要一開始就幫助學生正確地理解這些符號的意義,盡量克服學生發生類似的錯誤。

四、在靈活運用中鞏固概念

鞏固是概念教學的重要環節。心理學原理告訴我們:概念一旦獲得,如不及時鞏固,便會被遺忘。除了正確復述之外,教師還要引導學生在靈活運用中發展鞏固相應的概念。

1.嘗試錯誤,鞏固概念。

每一個數學概念都有這樣或那樣的限制條件,如果忽略了這些條件就可能導致解題的失誤。因此,學生鞏固概念時可以允許適當“示錯”,以加深印象,從而真正認識概念的本質。

2.利用變式,鞏固概念。

所謂變式,就是教師使提供給學生的各種感性材料不斷變換其表現形式,使非本質屬性時有時無,而本質屬性保持恒在。在幾何教學中教師常常采用“標準圖形”,學生就有可能把非本質的屬性如圖形的位置、大小等當作本質屬性,而造成錯誤。恰當運用變式,能使學生的思維不受消極定勢的束縛,實現思維方向的靈活轉換。

五、在概念系統中深化概念

數學是一門系統性很強的科學。布魯納說:“獲得的知識,如果沒有圓滿的結構把它聯在一起,那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據在記憶中僅有短促得可憐的壽命?！币虼?在每一教學單元結束后,教師要及時進行概念總結,在總結時要特別重視同類概念的區別和聯系,從不同角度出發,制作較合理的概念系統歸類表。這樣不但可使學生的知識、概念網絡化,而且可培養學生的綜合能力。

總之,概念教學是初中數學教學的重要環節,教師在平時的教學中要加以足夠的重視,并遵循一定的教與學的規律,不斷探索、不斷創新,這樣一定能收到意想不到的教學效果。

參考文獻:

[1]全日制九年義務教育中學數學新課程標準(試驗稿).

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關鍵詞：思辨數學；算法；概率統計；直覺思維

1思辨數學詞源詮釋

思辨數學一詞是荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾（Freudenthal，1905—1990）首先提出的。他在名著《作為教育任務的數學》中舉例詮釋了思辨數學與算法數學的區別：設有相同數量的白酒與紅酒各一杯，取一匙白酒倒入紅酒內，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒內。試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反？答案是：兩種含量一樣多。然而解題方法有兩種，一種是根據其取法操作，列出算式計算...另一種是這樣思考的：設想每個杯子中的白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒正是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現在正好被白酒所填補。前一種解法是算法求解，后一種解法是思辨求解]。

顯然，這是兩種思維風格迥然不同的解法，解法一是邏輯性的算法求解，屬于算法數學；解法二主要是直覺性的思辨求解，屬于思辨數學。這里舉例僅僅是為了詮釋概率論中思辨數學與算法數學的區別。我們認為，思辨數學就是動態地辯證地把握概念和體味推據（這里把思辨推理的理論依據簡稱推據），憑借對概念的直覺和數學美的啟迪（而非邏輯性的推理），產生直觀的解題思路方法或做出合情推理決策。換言之，在直覺領引下，圍繞推據，換位思考，思維在運動中覓到解題方法的一套數學知識體系。

德國數學家、數學教育家克萊因（KleinF，1849—1925）指出：“數學學科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面，它們遠不能代表數學，就如同調配顏色遠不能當作繪畫一樣，技巧是將數學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落后的產物。”[4]克萊因這一論斷，對概率統計教學具有重要的指導意義，把握思辨數學與算法數學的區分，它能為教學提供重心，對于貫徹概率統計思想方法為主線的教學大有裨益。

2概率統計課程中的思辨數學內涵透析

從思維的邏輯層面透析，概率統計知識內容可以分為兩類，大部分是程序性的，有一些則是思辨性的。算法是程序性的，概率統計的演算中充斥著算法；然而，在概率演算題中也會遇到思辨求解問題，雖然這類題數量不多，但解題思維中頗富有理性精神，有著方法論的教育意義。特別值得一提的是，就產生數理統計一些重要方法的思想而言，思辨因素起著關鍵性的作用，從本質上講，作為數理統計核心內容的統計推斷也隸屬于思辨數學的范疇，即思辨數學至少包含思辨求解和思辨推斷兩大模塊?，F分述如下：

2.1思辨求解問題

若對某些概率問題的題設條件進行分析，抓住題目中的關鍵概念，由對這些概念的直覺和思辨，就能引發解題的思AXB路和方法。具體說來，吃透問題的條件和結論，抓住起決定性作用的思辨因素，運用發散思維或逆向思維，進行類比聯想或換位思考推理，進而恰當地引入輔助事件或輔助隨機變量，就會建構和洞察到所研究的數學對象中蘊涵著的事件之間或隨機變量之間的某種對稱性、對等性或等可能性的關系。那么，這些事件、事件關系所遵從的一般的概率法則、統計規律或一些概率原理等就構成解題思維的支點，即推據；思維一旦受到這些推據以及數學中對稱美的直覺啟發，就會迅速地做出判斷，尋到簡便的解法，或直接給出答案。

2.2.1最大似然法（以離散型隨機變量為例）

2.2.2最小二乘估計

回歸分析的基本思想是首先根據樣本組的分布特征以及對問題的思辨認識而先驗地選定一個模型類型，然后求出（估計出）模型中相應參數。至于對參數的估計，一般采用最大似然估計法，具體到回歸分析上叫做最小二乘法。所謂最小二乘法系利用拉格朗日條件極值原理，對所選模型在所給樣本下，保證誤差最小時，求得參數估計值[6]。說到底它也是一種思辨推斷模式。

2.2.3假設檢驗

先根據統計目的對總體提出一個統計假設0H（也叫原假設），然后再由一次抽樣的結果來檢驗這個假設是否可信，從而做出決策：拒絕還是接受這個假設。一方面，我們先假定0H是正確的，在此假定下，某事件A出現的概率很小，比如p(A)=0.05；另一方面，進行一次試驗，如果事件A出現了，就是說在一次試驗中就居然發生了小概率事件，那么根據直覺：“概率很小的事件在一次試驗中一般認為是不會發生的?！保ㄐ「怕适录恚赐茡┪覀儾荒懿粦岩勺鳛樾「怕适录那疤峒僭O0H的正確性，因而做出拒絕0H的決策；如果進行一次試驗，小概率事件沒有出現，則試驗結果與假設相符，沒有理由拒絕0H，因而只好接受0H。進一步歸結出假設檢驗的一般步驟（略），即是算法程序，使概念的直觀具體性有了一個邏輯思維的圖式，如果沒有這些邏輯模式，推理將變得沒有質量。從根本上看，假設檢驗法是以小概率事件原理為推據的思辨推斷模式。概言之，最大似然估計、最小二乘估計和假設檢驗本質上都是思辨的產物；從思維方法上講，它們是思辨數學與算法數學有機的統一體；“思辨”當頭，“算法”自然就在其中了。

2.3概率統計中的思辨數學之特征分析

2.3.1思辨求解問題與思辨推斷的異同

思辨求解問題的推據具有確定性和真理性。。然而，思辨推斷的推據則具有“或然性”，比如最大似然原理中的用詞：“應該是”，并非“一定是”；小概率事件原理中的用詞“一般認為是不會發生”，但并非“絕對不會發生”，可見思辨推斷的結論則是概率邏輯意義下的必然。比如假設檢驗就是概率性質的反證法。故思辨推斷理屬合情推理。

思辨求解與思辨推斷的共同之處，都是主體基于對概率統計領域的基礎知識及其結構的透徹了解，基于對整個問題的理解把握以及已有的知識背景，使主體能跨越邏輯的思考而進入直念（即數學直觀，形象觀念）[3]，想象和直覺判斷，以推據為準繩，迅速解決有關數學問題。

2.3.2思辨數學與算法數學的比較

由于思辨數學一詞是相對于與算法數學的概念提出的，下面我們就其兩者進行對比分析：

算法數學有具體化、程序化和機械化特點，又有抽象性、概括性和精確性；思辨數學有抽象化、模式化和直念化特點，又帶有假定性、哲理性和啟示性。

算法有算理，比如概率的公理、定理、性質等構成概率算法求解的基本算理。算理是算法的理論基礎，算法是算理的具體體現；思辨求解和思辨推斷有推據，比如對稱性、對等性、等可能性、最大似然原理、小概率事件原理等構成概率思辨求解和思辨推斷的推據。推據是思辨的理論基礎，思辨求解和思辨推斷是推據的實際表達。

與算法相比較，算法求解依據邏輯思維、邏輯推理，思維是縱向的、條理化的；思辨數學則依據認識之直覺，思維是跳躍性的、橫向的和發散的。思辨求解的推理是非邏輯的；思辨推斷是歸納性質的合情推理。

3提出思辨數學概念對概率統計教學具有的要義

關于思辨數學與算法數學的這種區分，在教學法上具有重要意義。傳統的概率教學著眼于概率算法求解，重視運算規則和方法技巧，注重邏輯思維能力培養，忽視或根本不談概率思辨求解，因為許多概率教材的例題與習題都鮮見思辨求解類的素材；輕視概率統計課程的基本概念教學，因而造成了概率思想、統計認識諸方面知識匱乏和直覺能力的缺失。比如統計推斷是數理統計的核心，統計推斷是對統計總體的未知數量特征做出概率形式表達的推理，鑒于思維上推與證的不同而分別提出了參數估計與假設檢驗，由此構成統計推斷內容的兩面。參數估計是根據樣本數據對總體參數所作的“猜想”，而前提是樣本與總體的同分布（即樣本與總體的同質性）的假定；假設檢驗即對總體特征做出的一種假設，然后根據樣本信息對這一假設的支持程度做出描述。前提同樣都是樣本與總體的同分布的假定。從哲學層面講，它們探討的都是共性與個性的辯證關系。

從戰略上看，由樣本推斷總體具有歸納性質，從戰術上看，最大似然估計法與假設檢驗的解題程式中的樣本值nx,x,,x12􀀢又非具體的數值，因而具有演繹性質，所以最大似然估計法和假設檢驗是歸納與演繹的辯證統一。對于統計推斷內容的教法，目前多數教學已落入算法化、程式化的俗套，把參數的最大似然估計和假設檢驗作為一套處理問題的規則或算法來教；2003年出版的《Mathematica基礎及數學軟件》一書，把參數的最大似然估計和假設檢驗按算法編程由計算機來做[7]，毫無思想。誠然，數學教育不應該拒絕計算機的滲透，特別是統計推斷問題常會涉及一些煩瑣的數據統計和計算，借助于計算機可節省大量的時間和精力。但是，數學方法的內核是數學思想，由于意識不到統計推斷是思辨數學體系，所以容易忽視產生統計推斷方法所依賴的統計推斷思想、策略及其思維活動過程的教學，以致學生不能目睹數學過程的形象而生動的性質，體悟不到統計推斷方法中蘊涵的概率思想，更達不到思維訓練之效。誠然，給學生一個可仿效的范例，就足以教會一個算法，盡管這樣的教學，學生學會了套用統計推斷的解題步驟，可能會做對若干道數理統計習題，但是對統計推斷的思想實質和認識機制理解不深。比如，有學生在用最大似然估計法解題時，先把具體的實測數據帶入似然函數的表達式，再作取對數、求導、求極值點的運算；有的學生在假設檢驗解題中，在寫到最后一步：“拒絕H0”或“接受H0”時就擱筆了，把“即認為...”這句關鍵的陳述語省略了不寫。不難想到，他們對樣本的二重性以及最大似然法所使用的辯證邏輯思維領悟不透徹；對統計推斷所表達的非決定論的因果關系規律認識不到位。一句話，對最大似然估計和假設檢驗方法的本質思想，缺少深層的思考。傳統教學的結果只會給學生留下這樣的印象：數理統計是裝著一筐子的“算法”。這種只強調算法與規則的數學課程，正如只強調語法和拼寫的寫作課程一樣，都是一種本末倒置。

任何一門數學學科都是由概念和技巧支撐的；若能區別概率統計教材中思辨數學與算法數學，區分或認識思辨數學的結構，這就意味著預先設定將它們作為思維訓練來教，其意義在于強調思辨因素，強調概率統計思想方法形成的思維活動的過程，自然也是強調了以概念為本的課程教學模式。

3.1凸顯以概率論為基礎的統計思想以深化統計認識

毫無疑問，概率論是統計的運載工具，統計思想是統計方法的靈魂。按照思辨數學模式講授統計推斷，能夠更好地揭示和表達統計思想，深化統計認識。因為貫徹三段論即：“在某種假定（假設）...之下，一方面...另一方面...，依推據則有...”的思辨推斷模式，勢必強調深刻理解概念和推據，充分展示換位思考中的思辨原理與辯證思維方法，這就凸顯了以概率論為基礎的統計推斷思想。比如假設檢驗，如果統計假設被理解為構成概率計算的基礎的話，那么，看來極不可能的某個事件發生了，那就有悖于常理，于是統計假設認為是小概率的事件的發生，將是一個反對該假設的證據，并且這種概率越小，其證據越顯得強有力。又由于在統計檢驗的邏輯中，前提與結論之間的邏輯蘊涵不再是必然的，而是一種概率蘊涵。換句話說，概率解釋中的解釋前提是假說，所以得到的邏輯必然的推論是可能的概率解釋。而在概率解釋中，對個別事實解釋的概率性與統計規律在每一個別情況下無法實現這一規律聯系著，因為統計規律是大數定律，它僅在大量觀察或多次試驗中才能出現。因此在統計規律上所作的關于個別事實的結論，只能解釋這一事實的可能性，而不是它的必然性。因此，“接受”中的“納偽”和“拒絕”中的“棄真”這兩類錯誤不可避免的發生充分說明了這一點。

3.2強調數學思辨對培育直覺能力具有獨特功效

數學強調思辨性。弗賴登塔爾指出：“算法是好的，數學中的常規也是不可避免的?！盵1]誠然，對數學來說算法具有極大的重要性，代數、微積分、概率中都有算法。當前教學的強烈趨勢就是盛行算法化[1]。將一個領域算法化是更容易超越該領域的一種方式[1]。然而，現代數學之不同于古老數學，在于它強調的是思辨的因素而不是算法[1]。最引人注目的新生事物，也就是引起現代化過程發生的事物——集合論、抽象代數、分析學、拓撲——都是思辨的產物。它們是沖破算法的僵化的外殼噴射而出的[1]。同時弗賴登塔爾還指出：算法數學與思辨數學的關系是辯證的，不能把它們看作是新與舊、高與低的對立。從培養數學思維能力的層面看，算法數學與思辨數學好比“算術和幾何正是作為互相的直接對立面在智力上發展起來的，但這并不表明因為喜歡其中一個就應該把另一個貶低。相反，教學應該將這種發展繼續下去”[8]，教學應該像重視算法數學一樣重視思辨數學，但問題在于目前的數學教育現狀，人們有些重算法而輕思辨的傾向。概率統計的思辨求解和思辨推斷解決問題的重要策略和特點是：對具體問題作具體分析，以已有知識和經驗為背景，在直覺領引下發掘問題中蘊含著的思辨因素，尋找到推據或生成推據，以推據為支點，憑借直覺展開思辨推算或推斷。其思維方式是直覺的。從心理學視角看，思辨數學是直覺思辨的產物，它是思維對那種隱藏于數學對象深層的數學事物關系間的和諧性與規律性的感受，正是這種感受把知識空間投影和凈化成那幅心智圖像。顯意識和潛意識溝通形成頓悟，進而達到直覺思維的目標。

因此，強調思辨數學，必然注重培育直覺能力。思辨求解不僅能增加和豐富學生概率解題的方法策略，而且對其直覺思維乃至創新能力的培養大有裨益?？巳R因說過：“在某種意義上講，數學的進展主要歸功于那些以直覺能力著稱的人多于那些以嚴謹證明著稱的人。”

3.3透過思辨求解法感悟數學方法的奇異美

思辨求解法的產生離不開直覺，數學直覺本質上就是“美的意識或美感”。美的意識力或鑒賞能力越強，發現和辨認隱蔽的和諧關系的直覺能力也就越強。數學審美意識是產生數學直覺、爆發數學靈感的“刺激素”。

思辨求解法的思想性強，其方法直觀，運算簡捷，甚至用不著計算就能直接獲得答案。從思辨求解法產生的心理機制來看，其思維空間是動態的；每一個具體的思辨性解法，無不聯系著主體解題的思維運作：數形結合，動靜聯想，等價語意轉換，整體性把握思考，以及受到數學美的啟迪等。它把數學表達式的對稱美、數學關系的和諧美、數學方法的簡潔美、數學思想的思辨美發揮的淋漓盡致。奇妙的解法閃爍著智慧之光，常給人以精神上的愉悅和滿足。

“奇異性與思辨性是密切相關的，奇異性的結果會導致數學的新進展，而思辨能引起人們的思索，調動人們的想象，幫助人們對未知事物作深入地理解、把握和預見，促使人們去追求數學中內在旋律?！奔醋非髷祵W美的旋律。

［參考文獻］

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[2]KennethHR。初等數論及其應用[M]。夏鴻剛譯。北京：機械工業出版社，2009。

[3]張奠宙，戴再平，唐瑞芬，等。數學教育研究導引[M]。南京：江蘇教育出版社，1998。

[4]劉培杰。數學奧林匹克與數學文化[M]。哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2008。

[5]藺云。用隨機方法證明一類組合恒等式[J]。高等數學研究，2003，（2）：32。

[6]高隆昌。數學及其應用[M]。北京：高等教育出版社，2001。

[7]陽明盛，林建華。Mathematica基礎及數學軟件[M]。大連：大連理工大學出版社，2003。

[8]弗賴登塔爾。數學教育再探：在中國的講學[M]。劉意竹，楊剛譯。上海：上海教育出版社，1999。

篇5

【關鍵詞】數學概念；概念引入；實踐；鞏固

對數學概念，即使是那些原始概念，都不能望文生義。在教學中，既要把握它的內涵，這是掌握概念的基礎；又要了解它的外延，這樣才有利于對概念的理解和擴展；同時，對于概念中的各項規定、各種條件，都有要逐一認識，綜合理解，從而印象更深，掌握更牢。

一、認識數學概念

在中小學數學中，數學概念是最基本的內容。所謂數學概念，就是事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性，是人們通過實踐，從數學所研究的對象的許多屬性中，抽出其本質屬性概括而形成的。就是指那些數學名詞和術語。（在小學數學中反映數和形本質屬性的數字、圖形、符號、名詞術語和定義、法則等都是數學概念。）

數學概念是進行數學推理、判斷的依據，是建立數學定理、法則、公式的基礎，也是形成數學思想方法的出發點。因此學好數學的基礎關鍵是數學概念的學習，數學概念教學是數學教學的一個重要的組成部分。

數學概念形成是從大量的實際例子出發，經過比較、分類從中找出一類事物的本質屬性，然后再通過具體的例子對所發現的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。實際上應包含兩層含義：其一，數學概念代表的是一類對象，而不是個別的事物。例如“三角形”可用符號“”來表示。這時凡是像“”這樣具有三個角和三條邊的圖形，則不論大小，統稱為三角形，也就是說三角形的概念，就是指所有的三角形：等邊的、等腰的、不等邊的、直角的、銳角的、鈍角……；其二，數學概念反映的是一類對象的本質屬性，即該類對象的內在的、固有的屬性，而不是那些表面的非本質的屬性。

二、形成概念的教學

形成概念的教學是整個概念教學過程中至關重要的一步。概念的形成是通過對具體事物的感知、辨別而抽象、概括出概念的過程，因此，學生形成概念的關鍵就是發現事物本質屬性或規律。

1.形成概念的方法

（1）比較發現法。比較發現是指通過比較所學概念弄清它們的相同點和不同點，從而總結出本質屬性或規律。這種方法是針對事物之間的異同點進行探索，能提供對事物較為全面的認識，是一種重要的科學發現方法。如教學“質數和合數”時，可以先給出一些自然數，讓學生分別找出這些數的所有約數并比較每個數的約數的個數，然后根據約數的個數把這些數進行分類：a.只有一個約數的；b.只有1和它本身兩個約數的；c.除了1和它本身，還有別的約數的，即約數有三個或三個以上的。引導學生根據三類數的不同特點，概括出“質數”和“合數”的定義。

（2）類比的發現法。類比發現是指根據兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，猜測推斷出它們的其他屬性也可能相同或相似，繼而得到新的結論。類比發現可以使學生明確知識間的聯系，建立概念系統。

（3）歸類發現法。歸類發現是指引導學生對大量的個別材料進行觀察、分析、比較、總結，從特殊中歸納出一般的帶有普遍性的規律或結論。歸納發現雖然是一種不完全歸納，但它能從特殊事例中發現該類事物的一般規律，它體現了“從簡單到復雜”“由具體到抽象”的原則。教學中可以引導學生通過對具體實例的直接觀察，進行歸納推理，得出結論；也可以讓學生對實際例子進行分析，歸納出結論。例如“商不變的性質”“數的整除特征”“三角形三內角和等于180度”等一些基本概念公式方法中，都有一個不完全歸納的過程。

2.形成概念的教學中應該注意的問題

（1）要適當運用對比。對于容易混淆的新舊概念，要通過分析、對比找出它們的異同點，既要找到它們的內在聯系，又要找到它們的根本區別。

（2）要及時做出言語概括。在形成概念的教學過程中，需要把所學概念準確、精煉、及時地概括出來，使其條理化，便于學生記憶。在進行言語概括時，注意引導學生總結概括。進行言語概括還要注意適時，要根據知識的內在聯系和學生的認知水平，在學生豐富了感性認識后，水到渠成地揭示概念。概念如果概括過早，學生就會對概念死記硬背，使概念的掌握流于形式；過晚就起不到組織、整理概念的作用，達不到傳授知識、培養能力的目的。

3.使用準確的語言幫助學生確切地掌握概念

在概念的講解中必須注意語言的準確和精煉。否則就會影響學生形成準確的概念，甚至給學生留下錯誤的印象或引起誤解。例如一年級講“沒有”時，用“0”表示，而不能講“0”就是沒有；四年級講“自然數和零都是整數”，而不能講“整數就是零和自然數”，教師教學語言要嚴謹、準確。要求學生回答也要準確、完整，要用數學語言來表述。

三、教W概念的鞏固

數學概念的鞏固過程，就是識記概念與保持概念的過程，也就是加深理解與靈活運用的過程。要鞏固概念，最主要的方法就是對概念進行深透理解。只有深透的理解才能記得牢、用得活。數學概念的鞏固可在應用中鞏固，在應用數學知識計算和解決實際問題時，需用大量的數學概念。在實際應用中，可以鞏固所學概念，加深對概念的理解。一個新概念講完之后，要精心給學生設計練習，鞏固概念。

四、加強訓練，指導學以致用

篇6

關鍵詞： 小學數學 概念教學 教學策略

數學概念是數學教材結構與小學生認知結構中最基本的組成因素。在教學中，我們立足于現實生活的具體現象或事物，以學生的感性認識為出發點，通過直觀的教學方法，引導學生動腦、動口、動手，誘發學生敞開思維的“門扉”，使其積極主動地參與到概念的形成過程中，感知和認識概念的內涵和外延，從而深刻地理解、掌握概念。下面談談我的一些做法。

一、在操作中學習概念

著名心理學家皮亞杰認為：“思維是從動作開始的，切斷了動作和思維之間的聯系，思維就不能得到發展?！笨梢妱幼髟谛W生的思維活動中起著舉足輕重的作用。概念是最基本的思維形式，被稱為思維的細胞，因此，讓學生在操作中學習概念是符合學生的認知特點的。遵循兒童的這一思維特征，我在教學一些“起始概念”，以及易混、似是而非的概念時，加強了學生的操作活動。如：教學“平行與垂直”時，我讓學生進行如下操作。

1.折一折

讓學生拿出課前已準備好的兩張紙。

（1）把一張紙折2次，使折痕互相平行；

（2）把一張紙折2次，使折痕互相垂直。

2.畫一畫

讓學生拿出三角板和筆，在折好的紙上用三角板沿著折痕把四條線畫出來。

3.量一量

（1）用三角板量一量所畫的兩條平行線之間的寬度，你發現了什么？

（2）用三角板的兩條直角邊分別靠在兩條互相垂直的直線上，頂點靠在交點上，你發現了什么？

4.說一說

通過剛才的觀察和操作，請同學們說一說：

（1）怎樣的兩條線是互相平行的直線？

（2）怎樣的兩條線是互相垂直的直線？

在學生“折一折、畫一畫、量一量、說一說”四位一體下，將“平行與垂直”的概念一氣呵成，相信學生一定能夠“形成概念”。

二、在實際運用中加深對概念的理解

要使學生真正理解概念，有效途徑之一就是強化概念的運用。因此，每教完一個新的概念，我都注意從不同的角度、不同的方面安排學生運用概念解決問題的練習。

1.“變式”練習

“變式”是指從不同角度、方面和方式變換事物呈現的形式，以便揭示其本質屬性。如，在學習了三角形的“高”后，我讓學生依據高的定義畫銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的高。這三種不同三角形的“高”有的在三角形內，有的卻在三角形外，有的就是三角形的兩條邊。盡管高的位置不同，但每條高都是從角的頂點向對邊所作垂線的長。學生在反復作高的過程中，明白了高的真正含義，提高了自己的作圖技能，為進一步學習三角形的性質奠定了基礎。

2.加強易混概念間的對比練習

如果說變式是從材料方面促進理解的話，對比則是從方法上促進理解。根據概念與概念之間的聯系與區別，特別是針對學生對一些易混淆的概念所產生的錯誤，我加強了對比練習的訓練。例如，學生學習了整數大小的比較之后，知道30>8，407>47，懂得兩個自然數相比，數位越多，這個數就越大。學生頭腦中形成的這個概念對以后學習小數大小比較產生了一定的副作用。如在比較兩個小數大小時，有的學生認為0.407>0.47。為了防止錯誤的產生，我在教完小數大小的比較之后，設計了如下一組題，供學生進行練習。

通過以上題組的練習，學生明白了比較兩個小數大小與比較兩個整數大小的相同之處和不同之處，從而正確掌握了比較任意兩個數的大小的方法。

3.利用概念進行說理的練習

概念構成判斷，判斷又構成推理。判斷、推理的正確與否與學生是否掌握了概念的本質屬性有關。為了使學生真正掌握每個概念的本質屬性，我加強了讓學生運用概念進行說理的練習。如，在引入方程概念之后，讓學生判斷下面哪些是方程，哪些不是方程？并說明理由。

通過讓學生回答，特別是說明理由，培養了學生運用概念做簡單判斷的能力，而每作一次判斷，概念的本質屬性就在腦海里再現一次。這樣多次的說理練習，使學生牢牢掌握了概念的內涵，為其進行判斷和推理鋪好了基石。

三、不斷把新的概念納入原有的概念系統中

為了使所學過的概念不是單個的、孤立存在的，根據概念之間的聯系，每學完一個新概念，我都注意把新概念納入學生原有的概念系統中，這樣學生就能成塊地掌握所學過的概念，便于貯存、檢索和利用。例如，當學完了梯形的概念以后，我引導學生把所學過的四邊形進行歸類，系統整理，使學過的有關四邊形形成一個四邊形的概念系統，如下圖：

這樣，學生就容易記住以上圖形的特征，以及它們之間的聯系和區別，對于形成良好的空間觀念是十分有益的。

總之，概念教學是小學數學教學中的重要組成部分，正確理解和掌握數學概念是小學生學習數學知識的基石，同時又是培養小學生基本數學能力的前提。數學概念往往是以簡練、概括的語句表述的。如果不設法使這種較抽象的表述，與一定的生動、具體的“模型”建立聯系，小學生就難以真正理解它。因此上好概念課尤為重要。

參考文獻：

[1]劉品一.小學數學創新學習探究.山東教育出版社，2000.

篇7

關鍵詞:數學概念 教學 數學知識

數學概念是數學知識的基本要素。雖然每一個概念都是從實踐中得到,但在數學體系中,概念是法則、性質及實際應用的根本。而小學數學的概念多是淡化的描述,是不準確的、不嚴密的。這也許使教師在開展概念教學時,沒有足夠重視概念的教學,只抓計算、實際應用的教學。要使小學生掌握所學的基礎知識和計算技能,并且能夠實際應用,首先要使得學生學好數學概念。因此,概念的教學應該是重中之重。

1.教師要充分分析各種概念

小學數學中有很多概念,包括數的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念,以及統計初步知識的有關概念等。這些概念是構成小學數學基礎知識的重要內容,它們是互相聯系著的。如只有明確牢固地掌握數的概念,才能理解運算概念,而運算概念的掌握,又能促進數的整除性概念的形成。

因此,教師在備課時,要采取多種方式表現各種概念的不同,不要一味地使用一個方法教授各種概念。

2.教師應注意培養學生對概念的抽象的感悟

教授數學概念時應考慮學生的接受能力。小學生的思維特點是從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡。一般地說,數學概念具有不同程度的抽象水平。在確定教學某一概念的必要性的前提下還應考慮其抽象水平是否適合學生的思維水平。為此,必須根據不同的情況采取不同的措施進行教學。這是教學中時刻要注意的地方。

很多的時候,學生對某一概念的理解常常顯示出不同的水平,盡管他們都參加同樣的活動如操作、比較、抽象和概括等。有些學生甚至可能完全沒有理解概念的本質特征。這就出現了把握數學知識程度不同的學生,學得好的學生,對數學概念有著抽象的理解。學得不好的學生,沒能對數學概念作出抽象的理解。這就要求教師在具體化、形象化概念的同時,時刻注意培養學生對概念的抽象的理解。讓學得好的學生,更好發揮自身的潛力;學得不好的學生,在逐步理解概念的本質下,掌握數學知識。這就是,對數學概念有著抽象理解的學生,更具持久的數學學習能力。

3.教師應在練習中注意學生對概念的理解

在學生形成正確的數學概念之后,教師往往會進一步設計各種不同形式的概念練習題,讓學生綜合運用、靈活思考、達到鞏固概念的目的,這也是培養檢查學生判斷能力的一種良好的練習形式。這種題目靈活、靈巧,能考察多方面的數學知識,是近些年來鞏固數學概念的一種很好的練習內容。

練習概念性的習題,目的在于讓學生綜合運用、區分比較,深化理解概念。所安排的練習題,有一定梯度和層次,按照概念的序,學生認識的序去考慮習題的序。但在一般的練習中,教師還應該時刻注意分析習題中所涉及到的概念。例如在學習圓的面積后,一位教師就設計了這樣的問題:“我們已經學習了圓面積公式,誰能想辦法算一算,學校操場上荔枝樹樹干的橫截面面積?”同學們就討論開了,有的說,算圓面積一定要先知道半徑,只有把樹砍下來才能量出半徑;有的不贊成這樣做,認為樹一砍下來就會死掉。這時教師進一步引導說:“那么能不能想出不砍樹就能算出橫截面面積的辦法來呢?大家再討論一下?！睂W生們渴望得到正確的答案,通過積極思考和爭論,終于找到了好辦法,即先量出樹干的周長,再算出半徑,然后應用面積公式算出大樹橫截面面積。課后許多學生還到操場上實際測量了樹干的周長,算出了橫截面面積。我們可以看到,解決問題的關鍵是兩個概念,一個是圓周長的概念,一個是圓面積的概念。

要想提高教學質量,教師用心講好概念是非常重要的,既是落實雙基的前提,又是使學生發展智力、培養能力的關鍵。但這也僅僅是學習數學的一個起步,更重要的是在學生形成概念之后,要善于為學生創造條件,使學生經常地運用概念,才能有更大的飛躍。只有學生會運用所掌握的概念,才能更深刻地理解概念,從而更好地掌握新的數學知識。只有這樣,培養能力、發展智力才會有堅實的基礎。

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1.趙國防.有效教學和諧課堂――小學數學.光明日報出版社,2008

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3.趙國防.有效上課――問題 探究 對策.光明日報出版社,2009

4.小學數學教學論.湖南第一師范學院網

篇8

一、數和量

凡是可以測量、計數、計算的東西，都叫量。例如：一張桌子好看不好看，實用不實用，是不能量，不能數，也不能算出來的。但是桌子的長短和高低，是可以測量的。這是我們就說：美觀、實用不是量而長短和高底是量。同一類的量是可以比較的。為了準確的比較，我們就從同類的量中，取定一個度量單位，來度量其他的量的大小，度量的結果就得到數。量和數的區別還在于對于同一個量，用不同的度量單位來度量時，可以得到不同的數。例如一張長90cm的桌子，用米兩度量是0.9m，用毫米來度量則是900mm.所以我們在解決實際問題時，必須注明單位才算完整。

0和沒有

無在數量上可以用0來表示，這源于數物體個數的的過程，自然數是“有”的符號，它是對數量的肯定；而在實踐中我們也經常會遇到一個物體也沒有的情況，這是就用“0”來表示“沒有”，是對數量的否定。長久以來，人們經常用0來表示“沒有”，于是就誤以為0只能用來表示沒有。其實這只是0的意義的一個方面，0還有豐富的內容：

1、0是一個獨立的數字，它是整數，但不是自然數，它是唯一一個非負、非正的中性數。它小于一

切正數，大于一切負數，是正數和負數的分界點。在數軸上原點“0”比任何正負數的點都更為重要，它對應于數軸上的一點，便決定了其他各點的位置。

2、溫度是0℃表示一個特定的溫度，不能說沒有溫度。它表示了水的冰點這樣一個確定的量，就是在

一個大氣壓下，水在這個溫度開始結冰。

3、在近似計算中，0的作用也很重要。比如1.8和1.80的含義就不同：1.8表示精確到0.1位，而

1.80則是精確到0.01位，因而不能把1.80后面的0理解為可有可無，隨意化去。

4、0的了不起還在于：它在參與計算時，任何一個數與0相加仍得0；任何數減0，它的值不變；任

何數與0相乘，積得0；0除以一個非0的數，商等于0；此外，0是一個偶數，是任意自然數的倍數，0不能做除數，因為它作除數是無意義的或者說得不到確定的商；0的相反數是0，0的絕對值是0等隨著我們知識的擴充，對“0的認識也將更加全面?！表槺阏f明一點：在足球比賽時記分牌上出現的3：0等等，同學們一定覺得很奇怪，后項是零的比，分母是零的分數，除數是零的算式都是無意義的，其實它們只是借用數學符號的寫法，并列起來加以比較的意思，與數學無關。記分牌上出現的3：0是表示一方得3分，另一方沒得分，兩者之間相差3分。再如記分牌上8：2則表示一方得8分，另一方得2分.兩者之間相差6分。記分牌上的“幾比幾”不是數學中“比的含義，兩者不是倍數關系。”如果把記分牌上的8：2按數學中“比” 的含義化簡為“4：1”，比賽雙方原來比分相差6分，現在相差3分，贏的一方能同意嗎？ 正負號與加減號

符號是中學和小學數學的區別之所在，學生計算時最容易出錯?！?”和“-”在表示數的性質時叫做正號與負號，而在表示數的運算時則叫做加號與減號。舉個例子來說明：（-11）-（-7）+（-9）-（-6）在這個式子中在11，7，9，6前面的（+）和（-），是表示數的性質的，叫性質符號，又叫正負號。在括號之間的“+”和“-”號，是表示數的運算方法的，叫運算符號，分別叫加號和減號。根據減法法則可以統一成加法運算：（-11）+（+7）+（-9）+（+6）.這時省略所有的加號可得：-11+7-9+6，此時除第一個數是性質符號外，都轉化為運算符號，這種寫法叫代數和，讀作“負11，加7，減9，加6，或讀作負11、+7、-9、+6的和。這個例子說明，在一定的條件下，性質符號和運算符號是可以相互轉化的。在實際應用時，一定注意他們的區別與聯系。

乘方和冪

在數學課上，老師有時把an讀作“a的n次方”；有時讀作“a的n次冪”。學生就會搞不明白，為什么同一個符號an會有兩種不同的讀法？

這是因為乘方和冪既是兩個不同的概念，又是兩個有關聯的概念。乘方是求相同的因數的積的運算，是乘法的一種特殊的運算，從運算來考慮，可以把an讀作“a的n次方”；而冪是乘方運算的結果，那就只能讀作“a的n次方”。這就好像我們學過的加法、減法、乘法、除法等運算，每一種運算結果都有一個專門的名稱。加法運算的結果叫做和，減法運算的結果叫做差，乘法運算的結果叫做積，除法運算的結果叫做商一樣，乘方運算的結果叫做冪。

篇9

1調查目的

1）教師備課時主要考慮什么

2）教師上課時的通常做法是什么，怎么去評價概念的理解

2調查對象

一所普通高中和一所重點高中的部分數學教師，共26名．

3調查方法

問卷調查和個別訪談結合．其中問卷共22題，采取五個等級記分法：1表示“從不這樣”、2表示“很少這樣”、3表示“有時這樣”、4表示“經常這樣”、5表示“總是這樣”，另外，1表示“很不同意”、2表示“不同意”、3表示“無意見”、4表示“同意”、5表示“非常同意”．采用SPSS11.5進行數據統計．

4調查結果統計及分析

各個題的百分比統計如下列各表（橫行表示題號，豎列表示選項的編碼）

分析：對于第二題的回答統計，可以看出，61.5%的教師選擇了“有時這樣”，30.8%的教師選擇了“經常這樣”．這表明對于數學概念的背景，還沒有引起大多數教師應有的注意．對于第四題的回答，有15.4%和11.5%的教師選擇了“經常這樣”和“總是這樣”，這表明在概念的教學中有少數教師認為只要講清楚定義就行．對于第五題的回答，可以看出絕大多數教師很注意概念之間的聯系．對于教學目標的編寫（第6題），三分之一的教師選擇了“有時這樣”，表明概念的教學目標并非是每一個數學教師都去做的．對于概念的引入（第7題），多數教師比較重視．

分析：在教學中憑感覺和經驗備課（8），多數教師經常這樣做，也有極少教師選擇“很少這樣”或“從不這樣”，筆者認為這可能和教師的教齡有關，因為剛參加工作的教師經驗畢竟還是比較缺乏，但是憑感覺和經驗備課并非一定是好的做法．對于大班教學（9），多數教師盡量照顧大多數的學生．針對個性化提問(10),多數教師能夠做到這一點．對于不同的班級采用不同的方法（11），接近一半的教師“有時這樣”，也有42.3%的教師“經常這樣”，為何會有這樣的結果？這個問題有待于深入的探討．第12題表明多數教師還是重視啟發式教學．對于多媒體教學（14），似乎不太理想，經常使用的僅占19.2%，很少使用的占30.8%，這些和教師的年齡及學校的教學條件等很多因素有關（如這兩所學校的教學條件很不一樣）．

分析：促進學生對概念的理解，多數教師經常通過概念之間的聯系去引發學生去理解（15），也經常讓學生舉出符合概念的例子去檢驗學生的理解狀況（16）．對于利用反例去檢驗學生的理解這種做法（17），一半的教師選擇了“有時這樣”，而選擇“經常這樣”的比例顯然不夠高（占30.8%）．利用學生的表情來判斷他們的理解情況（18），少數教師很少這樣做，“經常這樣”和“總是這樣”的比例超過了一半．而對于讓學生重新敘述概念（19），一半的教師選擇了“有時這樣”，38.5%的教師選擇了“經常這樣”．對于通過做題來檢驗學生的理解（20），三分之一的教師“很少這樣”，“有時這樣”的占了23.1%，“經常這樣”的占了30.8%，這些數據表明教師對于“做題”這種評價手段已經有了一定的變化，表現在部分教師并不特別認同，同時說明了教師的教育教學的評價思想在逐步發生變化．如果學生不理解概念（21），26.9%的教師經常選擇“反復講解”，另有一半的教師會“有時這樣”．如果學生理解了概念，多數教師會給以積極的評價（22）．

5存在的問題及反思

對于概念的背景沒有引起足夠的重視．由于一直以來數學教學中存在著嚴重的“掐兩頭，燒中段”現象，而怎樣減少這樣的現象，有效的做法還不多見．筆者認為，就概念教學，加強概念的背景知識的傳播和滲透，是改變這種現象的有效手段之一．與之相對應的是，強化數學教師的數學史修養便顯得尤為重要．

對于多媒體教學有待進一步提高．多媒體只有恰當的進入課堂，才會有效發揮它的優勢．據調查，多媒體的應用并不理想，盡管有的學校具備了條件，但資源卻有浪費之嫌．將其應用到概念教學，更是少見．分析其原因，不外幾種：不會用，不愿用，不能用．我們認為，如果有條件，數學教師應盡可能多多使用，充分發揮數學教育技術的長處．

對于概念理解的評價應更加多樣化，經?；粋€概念學生是否理解以及理解的程度如何，必須采取一定的評價手段才能知道，在實際的教學中，數學教師采取的方法不夠豐富，不夠經常．因此應當加強對概念理解的評價研究，增強教學的針對性．

由于樣本較小，沒有從性別和教齡來深入探討教師對于概念教學的認識，但從本調查來看，對于概念教學，多數教師會采取通常的程序去準備，在備課和上課兩個環節上基本采取了較為正確的做法．但經過我們的個別訪談，得知在實際的教學中，很多的數學概念教師往往一帶而過，并沒有進行細致的講解，理解概念的通常的做法是題海戰術，即讓學生在練習中去領會概念的本質．這些做法有待商榷．那么對于概念的教學，應當怎么做才能更好地促進學生的理解，對于所有的概念有沒有一套詳細的操作步驟呢？這需要在教學實踐中進一步的摸索和深入的研究．

附

關于概念教學的問卷調查

老師：您好！

下面是一些關于數學概念教學的問題，請您根據自己的實際情況作出選擇，本問卷只供研究而用，只須打勾“√”即可，謝謝合作！

您的性別：男（）女（）教齡有年

1. 學習概念,重在理解

A非常同意B同意C無意見D不同意E很不同意

2．備課時，我會認真思考每一個數學概念的背景

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

3．備課時，我會認真思考概念的內涵與外延

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

4．備課時，我覺得只要講清概念的定義就行

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

5．備課時，我會考慮到所要講的概念與其他概念之間的關系

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

6．備課時，我把教學目標寫的很具體

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

7．備課時，我精心設計概念的引入

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

8.學生情況復雜,我根據自己的感覺和經驗備課

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

9.備課時，我覺得自己在盡量的照顧大多數學生

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

10.設計問題時，我會根據不同學生的個性特點進行提問

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

11.兩個不同的班級，我會采用不同的教學方法

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

12．上課時，我用啟發式的語言引導學生去發現概念的定義

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

13.有些概念，我直接就給出來，沒必要仔細講解

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

14．上課時，我使用多媒體幫助學生理解概念

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

15．上課時，我會通過概念之間的聯系去引導學生理解概念

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

16.上課時，我讓學生自己舉出符合概念的例子

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

17．上課時，我會舉出一些概念的反例讓學生辨別

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

18．我通過學生的表情來判斷學生對概念的理解情況

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

19．我讓學生用自己的話重新敘述概念

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

20．只要學生能把題目做對,我就認為他理解了概念

A非常同意B同意C無意見D不同意E很不同意

21．如果學生不理解概念，我會反復講解

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

22．學生理解了概念，我會盡可能積極去評價

A總是這樣B經常這樣C有時這樣D很少這樣E從不這樣

篇10

關鍵詞：心理學；數學概念；記憶

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

數學是由數學概念、命題、數學思想方法構成的一個完整的結構系統。數學概念是建構數學這一完整結構系統的基石，也是學生學好數學的基礎和前提。學生對數學概念的理解掌握程度是其數學基礎內容掌握好壞的重要標志。如何進行數學概念的學習，怎樣才能讓學生完成對數學概念的實質性的掌握過程，就成為我們需要認真思考的問題。

走進中小學數學課堂，大多數教師對數學概念的講授都是讓學生多讀幾遍、背下來，幾分鐘后檢查背誦結果，這樣的教學過程與數學課堂本身的特點背道而馳，同時也不符合新課程改革的教學理念。

一、對數學概念的認識

在心理學層面上，概念被定義為一種反映事物一般的和本質的屬性或聯系的思維方式，是用來對物體、事件和特性進行分組的心理類別。數學概念作為數學學科中的特有概念，是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，也可以認為數學概念其實就是一種數學思維方式。大部分數學概念是以屬概念加種差的方式定義的。屬概念就相當于概念的外延，即對象的“質”的特征，而種差則相當于概念的內涵，即對象的“量”的范圍。另外一少部分數學概念屬于強制性定義，如整數和分數統稱為有理數、π的值、e的值等。數學概念是具體性與抽象性的辯證統一，有些數學概念是對真實事物的直接抽象，具有直觀的特點，而有些數學概念則凌駕于已有認知結構之上，對已有概念進行再抽象。

數學中有許多的概念是“思維的自由想象和創造的產物”，它們與真實世界的距離是非常遙遠的。正由于數學概念高度抽象的特點，使得學生在學習數學概念的過程中，總是忽略對數學概念的記憶，認為數學學科最重要的是邏輯思維，對數學概念理解了就行，不需要記憶，卻不知道記憶是最基本的認知能力的層次，有記憶才會有思維，有思維才會有想象。如果在數學概念掌握不到位的情況下去解題，就如同“無源之水，無本之木”。數學概念作為建構數學大廈的基石，記憶大量的概念是很有必要的，而記憶切忌“死記硬背”，因為即使把概念背下來了，也不可能對其有實質性的理解，在實際應用過程中也只能生搬硬套，不能靈活運用，所以對數學概念一定要在理解的基礎上記憶。

二、從心理學角度看數學概念的記憶

數學學習中一少部分強制性定義的數學概念是需要學生機械記憶的，但大部分的數學概念都是需要學生有意義識記的，也就是在理解的基礎上記憶。認知心理學認為記憶是過去的經驗在人腦中的反映――是人腦對感知過的事物、思考過的問題、體驗過的情緒和做過的動作的反映。在數學學習過程中，對數學概念的記憶遵循編碼―存儲―提取的過程。這三個階段的任何一個階段出現問題都將影響記憶的效果。

記憶的第一階段――編碼，它是信息進入記憶系統進行存儲的過程。編碼過程中對信息的加工水平直接影響著記憶的程度，編碼是從表層到深層的連續統一體，加工水平越深，記憶越深刻，記憶效果越好。

以初中數學概念“數軸”為例，規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸。如果只對這個信息進行表層加工，需要注意原點、正方向、單位長度和直線四個關鍵詞，對初中生而言，認知負荷較大而且不易記住。如果對這個信息進行中間加工，將數軸歸為已有認知結構中的“直線”這一類概念之中，相對于表層加工階段而言，認知負荷減少，記憶效果就會好一些?？扇绻麑@個信息進行深層加工，將四個關鍵詞以符號的形式直觀表現出來（畫一條直線，箭頭指向表示正方向，平分表示單位長度，位置為原點），認知負荷最小且一目了然，數軸的概念也已了然于心。

記憶的第二階段――存儲，它是指如何保存信息以及在記憶中如何對信息進行表征。文章以語義網絡理論對記憶的存儲進行闡述，心理學家提出編碼后的信息可以被想象成一個代表不同分類或概念節點的復雜網絡，新編碼的信息進入記憶系統后被安放在這個復雜語義網絡中的適當位置，新信息會繼續同周圍網絡中的相關節點逐漸產生聯系，從而使得網絡語義系統越來越龐大。

以初中數學概念“正比例函數”為例，在學習正比例函數之前，學生的記憶系統中已形成了由函數、一次函數構成的語義網絡，在學習正比例函數的過程中，只需將正比例函數的概念放在該語義網絡中恰當的位置即可。正比例函數的概念不但被安置在已有語義網絡恰當的位置，還將會與日后學習的反比例函數、二次函數等概念產生新的聯系。這個理論可以很好地解釋死記硬背的缺陷，因為死記硬背下來的數學概念不能被很好地納入已有的語義網絡之中，通常只會是以表層加工而不是深層加工的方式形成短時記憶，不能得到有效的存儲。相反，經過精細的信息加工，將新概念同已有的認知結構中的概念聯系起來，就很容易被記憶系統所認可并得到存儲。

記憶的第三階段――提取，它是指在記憶系統中進行搜索，并找出需要的信息。從記憶系統中提取數學概念則體現在解題過程中對數學概念的運用上，只有靈活地將數學概念運用于解題過程中，對數學概念的記憶才有意義。而記憶的提取失敗主要原因是遺忘。著名的心理學家艾賓浩斯提出記憶的遺忘曲線理論，他認為，大部分遺忘發生在學習之后不久的時間里。繼艾賓浩斯之后，許多人用無意義材料和有意義材料以及不同的學習形式，對遺忘現象進行研究，都證實了艾賓浩斯遺忘曲線的普遍性。因此，對新學習的數學概念要進行及時回顧并應用于數學解題過程中。

三、數學概念的記憶策略

根據對數學概念記憶的心理^程的探討，筆者提出了以下幾點記憶策略。

1.理解概念，拒絕死記硬背

對新學習的數學概念要盡可能地進行“深層次加工”，充分理解概念的含義并試著用自己理解的數學符號來形象地表示數學概念，用自己的語言準確地表述，將新概念內化為自己的東西。

2.積極構建概念的語義網絡

盡可能多地將新學習的數學概念與記憶系統中已有的概念建立聯系，形成更飽滿的語義網絡系統，既有助于新概念的記憶，又可以在運用過程中很輕松地從記憶系統中提取出來。

3.對新概念進行及時復習

根據艾賓浩斯的遺忘曲線可以知道，在學習后的短時間內，學習者會遺忘掉大部分的學習內容，所以及時對新學習的數學概念進行有效復習，將有助于記憶。

數學概念是進行數學思維的基礎，在沒有足夠的數學概念記憶儲備的狀態下進行數學解題，就像是建高樓大廈沒有磚，劃船比賽沒有水一樣無能為力。在數學學習過程中，對數學概念的記憶是至關重要的一步。本文從記憶的“編碼”“存儲”和“提取”三個心理學過程對數學概念的記憶進行了闡述，并提出了幾點記憶策略，希望對數學概念的教學提供一定的幫助。

參考文獻：