數學建?？偨Y感悟范文

導語：如何才能寫好一篇數學建?？偨Y感悟，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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關鍵詞：模型思想；初中數學教學；意義；環節；策略

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2015）11-0257-02

多年來，我國數學教育重視數學理論的學習，輕視數學的實踐應用，缺乏對數學知識的背景介紹與應用訓練。近年來，社會輿論對中學生數學應用意識淡薄、數學應用能力低下的狀況表示不滿，敦促我國數學教育界采取有效措施以改變此種狀況，提出了加強中小學生數學應用意識、提升其數學應用能力的改革要求。對中小學生實施適當的數學建模教育，能在一定程度上平抑社會輿論對數學教育的不滿，消解社會對數學教育的壓力，順應社會對數學教育的要求。

就目前我國初中數學教學情況來看，由于學生難以掌握數學模型的思想，導致其無法真正應用模型解決數學實際問題，制約了學生數學實踐應用能力的提高。在新課標背景下，數學教學更注重數學知識與外界的聯系，發展學生思維邏輯能力和實踐應用能力成為數學教育的首要目標。在新課標環境下，初中數學老師應轉變傳統的教學觀念，以人為本，始終堅持培養學生的模型思想，調動學生學習的積極性和創造性，從而促進其全面發展。

1.培養數學模型思想的意義

1.1數學建模是對現象和過程進行合理的抽象和量化，然后應用數學公式進行模擬和驗證的一種思維。它是人類在探索自然社會的運作中所運用的最有效方法，也是數學應用于科學技術與社會的最基本的途徑。

1.2數學建模的重要性由于數學所特有的本質屬性使數學教育本質上是素質教育，而數學建模的問題，大都貼近生活，關注社會熱點，沒有現成的答案，沒有固定的方法，沒有指定的參考書，沒有規定的數學工具，主要靠學生獨立思考，反復鉆研并相互切磋，去形成相應的數學問題，尋求解決問題的方法，得出有關的結論，并判斷結論的對錯與優劣。這里鼓勵奇思怪想，提倡獨辟蹊徑、標新立異。它使同學們直接介入了數學的發現與創造的過程中去，每一步都是挑戰，每一步都需要創新。因此，數學建模是實施素質教育的有效途徑。

1.3初中數學建模教學的意義數學建模不同于傳統的數學課，用數學方法解決種種面臨的實際問題，是一個必要的準備和鍛煉，這是他們成為社會需要的優秀人才必不可少的能力和修養

（1）數學建模是數學應用于科學技術與社會的最基本的途徑；（2）數學建模思想的滲透是符合學生認知過程發展規律；（3）數學建模思想的滲透改變了數學教育的價值取向；（4）數學建模思想的滲透；（5）數學建模思想的滲透可培養和提高學生的數學素質，以改變數學教學長期以來以應試教育為主的局面；可以激發學生的參與探索的興趣。

2.數學建模應用的基本環節

2.1創設問題情景，激發求知欲：根據具體的教學內容，從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，選編合適的實際應用題，讓學生帶著問題在迫切要求下學習，為知識的形成做好情感上的準備，并提供給學生充分進行數學實踐活動和交流的機會。

2.2抽象概括，建立模型，導入學習課題：通過學生的實踐、交流，發表見解，搜集、整理、描述，抽象其本質，概括為我們需要學習的課題，滲透建模意識，介紹建模方法，學生應是這一過程的主體，教師適時啟發，介紹觀察、實驗、猜測、矯正與調控等合情推理模式，成為學生學習數學的組織者、引導者、合作者與共同研究者。

2.3研究模型，形成數學知識：對所建立的模型，靈活運用啟發式、嘗試指導法等教學方法，以教師為主導，學生為主體完成課題學習，形成數學知識、思想和方法，并獲得新的數學活動經驗。

2.4解決實際應用問題，享受成功喜悅：用課題學習中形成的數學知識解答開始提出的實際應用題。問題得以解決，學生能體會到數學在解決問題時的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，成功的喜悅油然而生。

2.5歸納總結，深化目標：根據教學目標，指導學生歸納總結，拓展知識的一般結論，指出這些知識和技能在整體中的相互關系和結構上的統一性，使學生認識新問題，同化新知識，并構建自己的智力系統。同時體會和掌握構建數學模型的方法，深化教學目標。此外，通過解決我國當前亟待解決的緊迫問題，引導學生關心社會發展，有利于培養學生的主體意識與參與意識，發揮數學的社會化功能。

3.教學策略

3.1教學中逐步滲透和建立數學模型思想。學生對模型思想的感悟需要經歷一個長期的過程，在這一過程中，學生總是從相對簡單到相對復雜，從相對具體到相對抽象，逐步積累經驗，掌握建模方法，逐步形成運用模型去進行數學思維的習慣。初中數學模型教學主要是結合相關概念學習，引導學生運用函數、不等式、方程、方程組、幾何圖形、統計表格等分析表達現實問題。模型思想的感悟應該蘊涵于概念、命題、公式、法則的教學之中，并與數感、符號感、空間觀念等培養緊密結合。模型思想的建立是一個循序漸進的過程。

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關鍵詞：建模；拓展；應用；聯想；創新思維

義務教育階段的初中數學課程強調從學生已有的經驗出發，讓學生親身經歷探究活動，體驗數學發現和創造的歷程． 教師就要善于給學生創設思維空間，引導學生在學習的過程中敢于質疑、勤于反思、善于拓展、大膽聯想，不拘泥于套用一種模型，學會多角度、多層次地審視問題，在建模解題過程中鍛煉學生思維的靈活性，提高學生的分析問題的能力． 本文嘗試把鮮活的2011年中考數學試題編擬到課堂教學設計中，挖掘中考試題所蘊涵的創新教育功能，拓展學生的認知水平，激發起學生的創造性思維意識． 嘗試先探究后建模與先建模后探究二種教學形式對矩形周長最小值問題的處理策略進行剖析，就此拋磚引玉為同行教學提供參考．

探究建模

1. 觀察計算、引導學生思考

例1?搖（德州市2011年中考數學第22題）

當a=5，b=3時，與的大小關系是__________．

當a=4，b=4時， 與的大小關系是__________．

解析?搖由特殊值引導學生思考、創設辨識問題情境、強化辨異對比、引導學生去認識究竟a，b滿足什么條件時才能判斷與的大小關系．

2. 探究證明、尋求規律

如圖1所示，ABC為圓O的內接三角形，AB為直徑，過C作CDAB于D，設AD=a，BD=b．

（1）分別用a，b表示線段OC，CD；

（2）探求OC與CD表達式之間存在的關系（用含a，b的式子表示）．

解析：由表及里、究根問底，由代數不等式問題遷移至圓的相關問題，擺脫不等式解法的定式，發揮想象，引導學生善于識別具有本質的因素，把不等式的數量關系轉化到線段OC與OD長，展開探究．

（1）如圖1，OC=，有ACD∽CBD，所以=. 即CD2=AD?BD=ab，所以CD=.

（2）當a=b時，OC=CD， =；a≠b時，OC>CD， >．

3. 歸納結論、建立模型

根據上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關系是：__________．

解析：數學教學的真諦不在于全盤授予，而在于教會學生自主探究.一堂高效的數學課，不是教師個性能力的體現，而是學生感悟和參與的過程，在學生主動探究、證明推理的過程中感悟與的大小關系，即≥．

4. 實踐應用

要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結論，求出鏡框周長的最小值．

解析：從知識的掌握到知識的應用不是自然而成的簡單運算，數學的應用意識只有在充分、有意識的訓練基礎上，學會從煩亂的數學問題中抽象出恰當的數學模型．

設長方形一邊長為x米，則另一邊長為米，設鏡框周長為l米，則l=2?x+ ≥4=4． 當x=，即x=1（米）時，鏡框周長最小． 此時四邊形為正方形時，周長最小為4米.

建模探究

1. 創設問題情境

例2 （南京市2011年中考數學第28題）

已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最?。孔钚≈凳嵌嗌?？

2. 轉化問題，給出數學模型

設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為y=2x+（x＞0）．

解析：突破傳統，上題是通過探究得出不等式模型，再求解，本題大膽猜想打破思維的固有模式，直接給出函數模型求解矩形的最小值問題．

3. 尋根究底、大膽探究

（1）我們可以借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數y=x+（x＞0）的圖象性質．

①填寫下表，在圖1上作出函數的圖象.

②觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質；

③在求二次函數y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數y=x+（x＞0）的最小值．

解析：引導學生大膽猜想，通過先建模再探究，類比求二次函數最大（?。┲档姆椒ǎ竽懖孪雽π碌膯栴}能合理地選擇有效的手段和策略，靈活運用所學的函數知識和配方法、圖象法進行探索研究，既體現了數形結合思想，又體現了轉化的數學思想，深刻領會函數解析式與函數圖象之間的聯系．理清解決問題的思路后搭好探究的大方向，引導學生創造性地解決問題，通過不斷的探索、總結、反思從圖象的最低點處，發現圖象最小值的含義，達到理性升華．

①，，，2，，，．

函數y=x+（x>0）的圖象如圖3．

②當00）的最小值為2．

③y=x+=（）2+2＝（）2+2－2?+2??=－2+2． 當－=0時，即x=1時，函數y=x+（x>0）的最小值為2．

4. 解決問題

（2）用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．

解析：從理性證明推理過渡到正確應用，解決“問題情境”中的問題，即當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值為4．

數學建模要教什么

1. 淡化形式、注重實質

數學建模是數學的基本方法之一，在數學建模教學過程中，淡化建模的形式化、套路化，要強調對數學本質的認識，不管建模順序先后，教學中應用“教者有意，學者無心”的形式，用建模解決問題的形式潛移默化地影響學生，使學生有意識地領會建模思想達到孕育建模的境界． 在建模過程中學生學到解決問題的方法，體驗到知識的產生過程，發揮學生學習的自主性、主動性．

2. 教會學生探究與交流

新課程倡導數學學習的過程應該表現為一個探索與交流的過程，在探究的過程中形成自己對數學的理解，引導學生通過建模教學對數學問題要一題多解，追根溯源、橫向類比、巧妙轉化，強化數學體驗，要時刻引導學生通過設計“問題鏈”、主動構知識，只有通過自身經歷和再創造的做，幫助學生逐步形成和發展數學的應用意識. 數學教學已經不是機械化的解題教學，而是通過“隨風潛入夜，潤物細無聲”式的教學模式，引導學生在探究中感悟、理解，啟發學生在充分展示思考問題的思維過程中相互探討、改正錯誤、完善解題過程，增強師生、生生之間的信息交流，鼓勵學生通過建模積極思考，主動進行知識的有效延伸和拓展．

3. 培養創新思維能力

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高中數學 學習能力 學習效率

一、注重創設問題情境

新課標中已經指出，數學教學應使生活實際和課堂教學緊密聯系起來，從學生的生活中已有的經驗和知識點出發，創建有趣、生動的情境，讓學生從實際生活中找到數學問題，使數學知識生活化、具體化。只有這樣，才能有利于學生提高學習數學的興趣，有利于學生的發展。例如：在引入對數的概念時可用“一張紙對折20 次能否比珠穆朗瑪峰高？”；引入排列的概念時可用“五個人排成一排照相有多少種不同的排法”；“兩點確定一條直線”早就被不懂數學的木工師傅在彈墨線時得到應用；房屋屋頂支架、自行車三角架、三角板等都是應用了三角形的穩定性。

二、提高課堂聽課效率

學習期間，在課堂的時間就占了一大部分。因此聽課的效率如何，決定著學習的基本狀況，提高聽課效率應注意以下幾個方面。

1.課前預習能提高聽課的針對性。預習中發現的難點，就是聽課的重點。讓學生對預習中遇到沒有掌握好的有關的舊知識，進行補缺，以減少聽課過程中的困難，有助于提高思維能力，預習后讓學生自己進行比較、分析，既可提高學生的思維水平，又可培養學生的自學能力。

2.聽課過程中的科學。引導學生全身心地投入課堂學習， 做到耳到、眼到、心到、口到、手到。

3.特別注意課堂的開頭和結尾。講課的開頭，一般是概括前節課的要點，指出本節課要講的內容，是把舊知識和新知識聯系起來的環節， 結尾常常是對一節課所講知識的歸納總結，具有高度的概括性，是在理解的基礎上掌握本節知識方法的綱要。

三、借用建模提高感悟

教學中通過建模，讓學生感悟數學的應用價值數學是為了解決實際問題的需求中產生的，這就需要數學建模，數學建模和數學一樣有著悠久的歷史。在古老的數學模型里有歐幾里得幾何、化學中的元素周期表、還有物理學的牛頓萬有引力定律、麥克斯偉方程組等全是數學建模的典范。當今時代，在計算機的幫助下，生態、地質、航空等方面數學建模都有了更廣泛的應用。因此，從客觀上講，要培養現代化的高科技人才、數學建模是一個必不可少的重要途徑，時代賦予數學建模更加重要的意義。在教學中運用數學建模，能激發學生濃厚的學習興趣。據調查顯示，很多學生對數學建模表現出很大興趣，同時也極大程度地提高了學生對其他課程的學習興趣。在解決問題的過程中感受到學習數學的快樂，從而體現出數學的魅力，在學習的過程中表現出更濃厚的興趣。

四、 運用科學的學習方法

高中數學主要是培養學生的運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，分析問題、解決問題的能力。運算能力確要“活”，要看書并要做題還要總結積累， 教學中進行一題多解思考，優化運算策略；邏輯思維能力是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高，使用歸類、歸納策略，區別好幾個概念：三段式推理、四種命題和充要條件的關系；空間想象能力對平面知識的擴充既要能鉆進去，又要能跳出來，結合立體幾何，體會圖形、符號和文字之間的互化；要重視應用題的轉化訓練，歸類數學模型，體會數學語言。

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數學建模就是建立數學模型來解決問題的方法。它是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段?！稊祵W課程標準》安排了“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”四塊學習領域，強調學生的數學活動，發展學生的數感、符號感、空間觀念、以及應用意識與推理的能力。這些內容中最重要的部分，就是數學建模。數學建模不僅為數學表達和交流提供有效途徑，也為解決現實問題提供重要工具，可以幫助學生準確、清晰地認識、理解數學的意義。在中學數學教學活動中，教師應采取有效措施，加強數學建模思想的滲透，提高學生的學習興趣，培養學生用數學意識以及分析和解決實際問題的能力。在教學中如何滲透數學建模思想呢？

一、創設情境，感知數學建模思想。

數學來源于生活，又服務于生活，因此，要將現實生活中發生的與數學學習有關的素材及時引入課堂，要將教材上的內容通過生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學生，描述數學問題產生的背景。情景的創設要與社會生活實際、時代熱點問題、自然、社會文化等數學問題相結合，讓學生感到真實、新奇、有趣、可操作，滿足學生好奇好動的心理要求。這樣很容易激發學生的興趣，并在學生的頭腦中激活已有的生活經驗，也容易使學生用積累的經驗來感受其中隱含的數學問題，從而促使學生將生活問題抽象成數學問題，感悟數學真諦，感知數學建模的存在。

二、參與探究，主動建構數學建模。

數學家華羅庚通過多年的學習、研究經歷總結出：對書本中的某些原理、定律、公式，我們在學習的時候不僅應該記住它的結論、懂得它的道理，而且還應該設想一下人家是怎樣想出來的，怎樣一步一步提煉出來的。只有經歷這樣的探索過程，數學的思想、方法才能沉積、凝聚，從而使知識具有更大的智慧價值。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。學生的數學學習活動應當是一個主動、活潑的、生動和富有個性的過程。因此，在教學時我們要善于引導學生自主探索、合作交流，對學習過程、學習材料、學習發現主動歸納、提升，力求建構出人人都能理解的數學模型。

三、解決問題，拓展應用數學建模。

用所建立的數學模型來解答生活實際中的問題，讓學生能體會到數學模型的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，進一步培養學生應用數學的意識和綜合應用數學知識解決問題的能力，讓學生體驗實際應用帶來的快樂。解決問題具體表現在兩個方面：一是布置數學題作業，如基本題、變式題、拓展題等；二是生活題作業，讓學生在實際生活中應用數學。通過應用真正讓數學走入生活，讓數學走近學生。用數學知識去解決實際問題的同時拓展數學問題，培養學生的數學意識，提高學生的數學認知水平，又可以促進學生的探索意識、發現問題意識、創新意識和實踐意識的形成，使學生在實際應用過程中認識新問題，同化新知識，并構建自己的智力系統。

四、注重活動，發展建模應用意識。

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然而，當前數學教學中假建模的現象屢見不鮮。如教學人教版數學四年級下冊《搭配的規律》時，有教師先讓學生用若干個木偶和帽子的圖片分組進行搭配，之后交流兩種搭配思路（先選帽子再配木偶，或先選木偶再配帽子），并將各組的實驗數據按“木偶個數、帽子個數和搭配種數”進行列表匯總。最后讓學生在觀察列表數據中得出關系式：木偶個數×帽子個數=搭配種數。結果一位學生當場質疑：老師，個數乘個數，結果怎么會等于種數??？究其原因，許多教師常常只重視讓學生進行數學學具操作（實物的，手勢的，肢體的），而對逐步由形象走向抽象、由現象深入本質的數學語言操作（畫圖，列表，列舉，列式，畫批，寫關系式及言語表述）關注不夠或流于形式，常常由學具操作直接跳躍到抽象數量關系。正是由于缺少由淺入深、由表及里的數學語言操作活動的開展，也就在建模過程中缺少了多次逐步的抽象與推理，這樣就容易形成思維的斷層，使大多數學生只知是什么、不知為什么，或常常處于口欲言而心未達的狀態，對知識的本質內涵理解不透，對模型的意義建構領會不深，如此學到的模型就缺少了遷移性和融通性，建模過程也失去了擔當學生“成長載體”的作用。

非常巧合的是，筆者也上過《搭配的規律》，當時不僅巧妙地將學校開展的智慧節節微與口號引入課堂進行搭配操作，還通過4次變化節微與口號的個數，使學生在擺畫算中充分經歷了抽象、推理、建模的活動歷程，積累了相關的活動經驗，現將建模的主要流程與思考呈現如下。

一、教學過程：

1.在學具操作中初步感知搭配規律。

從學生真實的學校生活入手，結合學校正在開展的首居校園智慧節活動，讓學生欣賞從上千份的作品中挑選出來的3個智慧節節微和2個智慧節口號，并提問：讓你從中為智慧節選出1個節微配1個口號，你準備怎樣選配？學生自由回答后，老師問：3個節微配2個口號，一共有多少種搭配方案呢？當學生脫口說出6種后，追問：是不是6種情況呢，是怎樣進行選配呢？于是讓學生用印有節微和口號圖案的卡片進行操作驗證，集體交流時指名學生上臺演示，讓其他學生仔細觀察并表述：他是怎樣選配的？還可以怎樣選配？從而明確選配的兩種方法：先選定節微，再去配口號；或先選口號，再依次去配節微。

2.在表象操作與符號操作中逐步感悟搭配規律。

在借助擺卡片經歷了有序選配后，讓學生將卡片放回信封，然后閉上眼睛，將剛才的選配思路在腦海里再回想一遍：先選定節微依次配口號，共有6種搭配方式，或者先選定口號依次配節微，一共也是有6種搭配方式！睜開眼睛，能用筆和紙將腦海中的思路方便快捷、清楚有序地表示出來嗎？接著以4人小組為單位，完成以下活動：（1）討論用什么方法表示選配思路。（2）用選定的方法將選配思路表示出來。

由于充分相信學生，放手讓學生在小組合作的頭腦風暴中充分地挖掘創造潛能，學生表現出驚人的創造才能，想出了異彩紛呈的表示方法。除了用連線法表示選配思路外，學生們還想到了列舉法（a1，a2，b1，b2，c1，c2），除了用圖形表示節微和口號外，學生還想到了用數字、字母、文字等來表示，真正顯示出其創造才能和發散思維能力，在這一過程中，符號意識和創新思維也因其迷人的魅力而深入人心。

接下來讓學生靜心觀察所畫的這兩種選配思路，看能否從中發現什么規律？通過小組討論和集體交流，學生明白了：1個節微配2個口號有2種方法，3個節微就有3個2種！1個口號可以配3個節微，2個口號就有2個3種！算式是2×3=6（種）。

3.在變式操作中抽象概括搭配規律。

（1）顯示4個節微和2個口號，讓學生說發現的規律：1個節微可以配2個口號，4個節微就是4個2種，1個口號可以配4個節微，2個口號就是2個4種，2×4=8（種）。

（2）顯示4個節微和3個口號，并問：又增加了1個口號，可以怎樣算，你是怎樣想的？結合學生的回答，顯示4個3種，3個4種，3×4=12（種）。

至此，抽象出數學模型已是水到渠成的事，于是追問：根據選配的規律，你覺得選配的種數可以怎樣算？（板書：節微數×口號數=選配種數）

（3）最后讓學生嘗試：據統計，四年級小朋友共設計了90個節微和80個口號，還是像剛才這樣選配，一共有多少種不同的方法？學生很快算出――7200種。

教師趁熱打鐵地追問：這些規律我們是怎樣一步步地找到的呢？生：是通過擺、畫、算得來的。教師順勢總結：擺、畫、算是我們研究數學的重要方法和手段，它會幫助我們去發現數學王國里更多的規律和奧秘！

二、教學心得

1.參透知識本質是成功建模的前提。

老師如果在課前未能參透所教數學知識的本質內涵、實質聯系及系統架構，他就不可能以己之昏昏使學生昭昭。如教學“搭配規律”時，老師心中就要明晰：兩種物體A（a個）或B（b個）進行搭配，有兩種搭配方法，共a乘b種方案：（1）1個A去搭b個B，得b種搭配方法，a個A去搭配，就有a個b種：（2）1個B去搭a個A，得a種搭配方法，b個B去搭配，得b個a。搭配過程中的機會均等，且一一對應，使得搭配規律自然體現出幾個幾相加的乘法模型特征。所以，只有深入挖掘并領會了知識的本質與內在機理，才有可能引領學生入木三分地走向知識的內核，走向思維的深刻與靈活。否則，師生都只可能是隔靴搔癢式的淺嘗輒止，猶如豬八戒吃人生果――囫圇吞棗，建模必然退變為“貼?！绷?。

2.引領有序操作是成功建模的關鍵。

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一、課堂教學與評價的聯姻

《義務教育數學課程標準》（2011版）在評價建議中指出：評價的主要目的是全面了解學生數學學習的過程和結果，激勵學生學習和改進教師教學。良好的學業評價不僅能準確地反映學習者的學習結果，還要反映學習者在學習過程中的問題，以便讓學生通過反思自己的學習過程來調整學習行為、情感和策略的參與水平，從而幫助學生改善自己的學習。良好的學業評價反饋給教師的不僅是每一個學習者的學習結果狀況，還包含過程狀況，可以幫助教師進一步了解學生對數學的態度和情感，了解學習方式的多樣性和差異性，了解學習的水平和形成數學自信心的過程，從而促進教師反思自己的教學，讓教學趨于完善?？茖W有效的評價應當成為教師手握的又一把利劍。

我們大膽提出：在教學實踐中，只有讓“課堂教學”與“有效評價”雙劍合璧，才能舞出別樣的精彩。

2010年我校在確定省廳重點課題時把教學評價當做研究的一個重點內容，在確定“自主探索”研究課題的同時也確定了“評價推進”研究小組。在一年多的實驗中，“評價推進組”和“自主探索”課題組相互配合，“自主探索”課題組在臺前展示體現數學思想方法在課堂中滲透的課程新理念的有效教學，評價推進組在幕后支持。評價推進組主要通過設計一些創新試題，分別組織普通班和實驗班的學生進行測試，并對學生的測試結果進行分析，反饋給“自主探索”研究小組，“自主探索”小組根據測試所反饋的信息對他們的課堂教學進行反思和研究，開展一課多輪和同課異構的研究活動，針對測試中所反映出來的問題改善教學方式，課后組織學生進行后測，檢驗教學效果，同時也檢驗試題的可行性和科學性。

二、雙劍合璧的田野實踐歷程

雙劍合璧不是停留在理念上，而是落實在實踐上，體現為案例研究中通過評價對教學質量的改良與完善上。從“雙基”到“四基”，從關注結果到既關注過程又關注結果，是《義務教育課程標準》的核心理念，數學教育的核心是培養公民的數學素養，數學思想方法的滲透、活動經驗的積累，是提高學生素養的有效途徑，因此數學“自主探索”研究小組，關注結合數學的課堂教學滲透數學的思想，積累數學活動經驗。我們在低、中、高三個年級中都嘗試開展“滲透數學思想方法、積累數學活動經驗”的案例研究，同時用評價進行反思，督促，改進。陳凱平老師執教的《簡單的搭配組合》、朱順進老師執教《植樹問題》、林碧珍老師執教《解決問題》等研究課例，都充分體現數學思想在課堂中的滲透，而這些課例之后，無一例外的是評價組的研討介入。模型思想的建立是《義務教育課程標準》新增的核心概念之一，數學模型能力的強弱直接影響著學生解決問題的能力，因此我們的研究從培養學生建模能力入手。

下面就以朱順進老師執教的四年級下冊《植樹問題》為例向大家展示我們在研究過程中如何以評價推進數學課堂教學，提高課堂教學有效性的具體做法。

（一）第一輪案例研討

1.片段描述

①問題情境，引發思考

師出示例題：現在準備在一條全長240米的小路一邊植樹，每隔4米栽一棵，可以怎么種？先引導學生得出：三種不同的植樹方法。接著讓學生猜一猜：需要準備幾棵樹？

②探究規律，驗證猜想

師引導學生思考可以怎樣驗證？并通過討論得出可以先舉些簡單的例子來驗證的方法。

③填表找規律

師：老師這里有一張表格，請你們畫一畫、填一填，看看能不能通過簡單的例子找到棵樹和段數之間的規律，來解決240米能種樹多少棵的問題。

生：舉簡單的數據畫圖、填表、匯報規律

師引導總結：兩端都栽時，比較段數與棵數，你得出什么規律？

師引導學生用一個式子表示段數與棵數之間的關系。

④嘗試應用

師：現在你們能解決240米長的路上的植樹問題了嗎？

學生列式。

⑤課堂總結、滲透思想

師引導學生回顧剛才解決問題的過程，從而滲透（從簡單的例子入手，通過畫圖、找到規律，再用規律來解決復雜的問題）建模思想。

⑤拓展提高

……

2.評價跟進

第一輪的案例研究課得到大部分聽課教師的好評，他們認為朱順進老師在設計中巧妙地滲透了數形結合、化繁為簡的思想幫助學生建立數學模型，這樣的課堂對于培養學生的建模能力是很有幫助的。但課題研究組的幾個教師，在觀課后，總有一種意猶未盡的感覺，總覺得課堂中似乎少了些什么？到底我們在課堂中滲透的思想方法能否深入學生的內心，我們的教學對于學生解決問題能力的提高有多大的作用呢？為此評價推進小組設計了一些能體現學生運用模型思想解決問題能力的創新試題對學生進行了測試。

（1）測試的問題

①觀察下列算式，想一想有什么規律，橫線上應該填什么？

1+2+1=（1+1）+2=____________

1+2+3+2+1=（1+2）+（2+1）+3=____________

1+2+3+4+3+2+1=（1+3）+（2+2）+（3+1）+4=____________

1+2+3+4+5+4+3+2+1=__________________________=____________

②利用上面的規律，請你寫出下面各題的得數：

1+2+3+……+9+10+9……+3+2+1=____________

1+2+3+……+19+20+19……+3+2+1=____________

1+2+3+……+29+30+29……+3+2+1=____________

③ ……

A根據上面的圓片層數與總個數之間的關系，填寫下表：

B按照這樣的規律放圓片，如果擺10層，一共需要（ ）個圓片；如果用了240個圓片，那就剛好擺了（ ）層。

（2）測試的對象

測試的對象選擇了小學四年級一個班的學生（朱順進老師同時教兩個班，我們任意選擇其中一個班，在按照《植樹問題》第一輪教學設計實施教學后進行測試，而另外一個班則留在《植樹問題》第二輪教學設計實施教學后進行測試）。

（3）測試的過程

2012年5月7日下午，在學生不知情的情況下，由班主任組織進行測試。在測試前，沒有給學生任何解題提示，學生均獨立解答，整個測試過程基本反映了學生獨立地在自然情景下解答問題的水平。測試后，對學生的試卷進行批改，并對解題情況進行初步統計和整理。

（4）測試結果分析

①第1題正確率不高，但失分情況卻呈現多樣化

對學生的試卷進行批改和統計后，我們發現：四年級學生能找到規律，正確解答第1大題只占22%；從解題過程上看，有60%的學生，因為未完全發現數與式中的規律，所以對半題，錯半題，其中模仿意味很濃；只有6%的學生，根本不知從何入手，交白卷。從試卷分析中我們看到第一小題學生僅僅靠機械模仿和計算就能完成，因此學生完成情況較好。

②第2題學生沒有深入理解每個數字的含義，一味地依葫蘆畫瓢

第二題中前面有算式樣例示范，94%的學生完成第一小題，可是最后兩空失分的學生比重高達64%。試卷批改結束后，我們對學生展開了一次“訪談”，意在更深入地了解學生解題時的想法和錯誤的原因。當問表格中的數據你是根據什么填寫時，學生們想法如下：將算式與圖形對應觀察，他們發現算式的積是圓片的個數，而且算式都是1×2、2×3、3×（ ）兩個連續自然數相乘，而對于表格中的每個數字的含義是什么？他們沒想太多?？梢?，我們的學生探索得到的只是算式表面規律，并不具有從算式中抽取數學模型的想法和能力。

通過測試和研討我們發現，課堂中雖然我們有意識地在為學生滲透建模的思想，但學生實際的建模能力還是不容樂觀，我們在觀察中發現學生在數學建模的能力形成上面臨兩大難關：A.通過觀察實際情景，從中發現問題，探索出事物內在規律的能力。B.通過抽象，將生活中的簡單現象利用數學符號表達成模型關系式的能力。圍繞如何突破這兩個難點，如何在教學中滲透數學模型思想，評價組參與討論，與課題組其他成員商議，開展了第二輪的嘗試性探索研究。

3.對第一輪案例的反思

在第一輪教學中，我們設計的意圖是希望讓學生經歷“現實題材——探究規律——建立數學模型——拓展應用”的過程，但回頭反思我們的教學，不難看出：我們的“經歷”實際只能稱為“經過”，化繁為簡、數形結合的方法是教師提示的。圖表是教師提供的，學生只是在教師的“牽引”下，“偽經過”了一次所謂發現“段數+1=棵數”的過程，在這個過程中學生沒有建構、只有機械的模仿。在整個建模過程中學生沒有思維的碰撞、沒有經驗的反思，更談不上活動經驗的積累，這樣的“偽探索”學生的建模能力怎么能夠得以提高呢？看來測試中所折射出的問題，正是我們課堂教學中所存在的盲區。那么在教學中，如何有效地讓學生經歷數學建模的過程，真正豐富學生解決問題的經驗、提高建模的能力呢？我們進行了第二輪的教學設計和實施。

（二）第二輪案例研究

1.片段描述

①問題情境，引發思考

A.師出示例題：現在準備在一條小路一邊植樹，每隔4米栽一棵，可以怎么種？

學生生動手利用桌面上的學具進行操作后得出三種植樹的方法。

B.師出示例題：現在如果要在全長240米的小路一邊植樹，每隔4米種一棵樹（兩端都要種），請學生猜一猜需要準備幾棵樹？

②探究規律，驗證猜想

A.師引導學生思考有什么方法可以驗證？

B.師通過在黑板上示范畫圖讓學生感受，如果畫出240米種幾棵很麻煩，費時間。從而引導學生得出可以舉些簡單的數據，畫圖找找規律的解決問題的策略。并引導學生得出可以先思考12米、16米、20米分別可以種多少棵？

C.師引導學生用算式表示出在12米、16米、20米的路上所種的棵數？并引導學生認真觀察算式，說說有什么發現？（生：都是把總長除以4再加1。）

D.師引導學生說說12÷4、16÷4、20÷4這些算式求的是什么？并進行小結：大家在求棵數前，都先求了段數。明明題目讓我們求棵數，為什么你們都先求段數呢？看來棵樹與段數之間是有關系的？那到底它們之間有怎樣的關系呢？我們一起來研究。

E.師生共同探討研究的方法，共同討論表格中體現的內容。

F.師：出示植樹問題（兩端都種）規律探究表

③填表找規律

師出示活動要求：討論、畫圖、觀察、思考、總結規律。

生：列表、畫圖、找規律，發現棵樹比段數多1。

師：為什么棵數會比段數多1了？

根據學生的發言，課件展示數形結合展示一一對應的過程。

……

④反思過程，提煉方法

師：大家能通過自己的努力把一道新的問題解決，那在學習的時候都經歷了哪些過程？

小結：當我們遇到一個難題時，可以從簡單的例子入手，來發現規律，回頭再來解決。我們可以根據已有知識先對問題進行猜想，然后來驗證，驗證的過程中，可以用到畫圖列表的方法，這些都是我們學習數學的好方法和好策略。

⑤體會并初步運用思想方法解決問題

師：那大家能用剛才所學的這些方法，來畫一畫，找一找植樹問題其它兩種情況種的規律嗎？

⑥聯系生活，解決問題

師讓學生說說生活中存在著的類似植樹現象。并選擇其中的幾組嘗試解決問題。

師：這節課你學到了什么？你們是怎樣解決植樹中的問題的？上了這節課對你今后的學習有什么幫助？

⑦課后延伸，自覺運用思想方法

出示在圓形的溜冰場一周植樹的問題，讓學生自己運用所學的思想方法解決問題。

2.第二輪教學反思

雙劍合璧的“教”“研”一體化的嘗試讓每一個參與其中的同行都感到受益匪淺。每個人在全過程中擔任的角色不同，收獲感受也不一樣，但從案例中汲取的成長的力量都是一樣的。

（1）大膽猜想，促進思考。與第一輪的教學設計相比較，這次設計中最突出的變化是從“牽著走，要我怎么做”變為“自主學，我要這么做”。教師先設置了“在240米的路一邊種樹（兩端都要種），需要幾棵樹？”這樣一個大數據的問題，鼓勵學生大膽猜想。猜測易，驗證難。畫圖顯然只能限于小數據由于路太長，無法使用。教師把學生逼到矛盾的尖端，在無計可施的情況下自然地引導學生找到解決問題的策略“化繁為簡”——“用些簡單的數，先畫20米或40米試試看?！本驮谝槐埔灰倪^程中，學生經歷并感悟了“化繁為簡”的思想方法，為數學建模奠定了基礎。

（2）真探究與“偽探究”。“填表找規律”是很多教師在《植樹問題》一課中采用的方法，意在讓學生通過表格，找尋棵樹與段數之間的規律?？杀砀裰幸拍切﹥热?？教師定，學生只要照要求做就行，學生心中難免犯嘀咕：為什么要求段數？我要的是棵樹呀？教師看似合理的安排，其實給學生的自主探索加上無形的枷鎖，探索變成既定計劃的走過程，探究變成“偽探究”。這樣的探索活動怎么能讓學生有所體悟。因此在我們的測試中就反映出學生的簡單模仿，缺乏深度的思考與探索。在第二輪的教學中，教師就能大膽放手讓學生自己去探索、去感悟、去尋找解決問題的突破口—為什么求棵樹必須先看段數，這樣的引導給學生自主的空間，為今后學生在解決實際問題時，如何學會思考積累了經驗。

（3）“回頭看”與“煉真金”。通過探索一種情況下的數量關系和規律，讓學生經歷探索規律的一般方法：化難為易、數形結合、觀察歸納……，接著讓學生“回頭看”，總結探索的一般方法，看似簡單的回頭看，實際卻是把“經歷”提升為“經驗”的經典之處，有了“回頭看”學生在反思中學會了思考，積累了思維的經驗。有了經驗之后教師又讓學生用所學的方法試著去探索另外兩種情況下植樹的規律，在應用中提高了建模的能力。從“形”中學習知識，適時適當地逐步歸納上升，在掌握數量關系后，再遷移出“數”后面“型”的模型?！靶螖敌汀钡慕虒W模式，為學生的數學建模和解決問題能力的提高打下了堅實的基礎。

3.對比測試、檢驗成效

課后我們馬上對朱順進老師所執教的班級實施了測試。以下是兩道測試題的兩次教學后測試情況對比統計結果。

第1題學生解題情況表

第2題學生解題情況表

三、實驗的階段總結

（一）實驗的收獲

1、評價為教學指明方向

從測試結果的對比中可以看出，通過第二輪的教學，學生感悟和運用模型思想解決問題的能力有所提高，他們不再是簡單的模仿，而是能充分地進行大膽的猜想、小心驗證，并通過畫圖等策略幫助自己發現并總結規律，能真正地建立起數量之間的模型關系，解決問題的能力有了明顯的提高。這得益于第一次教學后測試結果為我們教學提供的資源，因為學生的評價結果，我們看到了教學設計的不足，評價的結果為我們的第二輪教學設計指明的方向，我們的課堂因為評價的反饋作用更加充滿生機與活力，我們的教學設計也更加合理有效。

2.長期堅持教學與評價結合的探索以促進學生能力的提高

培養學生的模型思想，需要教師在長期的教學中逐步滲透和引導，課堂中要留給學生充分的感悟思想方法、進行數學思考的時間，讓學生在充分的數學活動、師生互動交流中積累思維的經驗形成正確的數學態度和科學的方法。通過這一輪的研究，我們也看到：以有效的“評價”推進“課堂教學”，雙劍合璧，這樣的課題研究方式讓我們的教學設計和實施情況在評價中及時得到反饋，而我們的評價通過課堂教學的檢驗，更加全面合理。以評促教、雙劍合璧的研究方式充分展示了它的魅力。

篇7

一、關于題解、數學基本思想和數學方法的問題

史寧中教授在《數學思想概論》中提出：“數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、建模，學習者通過在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系。”并由此而生發出其他的，如分類、歸納、簡化等許多分類思想?？梢姡瑪祵W思想是數學科學發生、發展的根本，是探索研究數學所依賴的基礎，也是數學課程教學的精髓。

由于“數學思想”概念比較抽象，故小學教師在數學教學中去滲透它時是有難度的，而要讓小學生在數學學習中理解個中含義，更是難上加難。但是，在實際教學中，卻處處隱含著數學思想，即通過對事物的推理、演繹、歸納或分類、集合、量化和統計等方法，使之轉化為數學方法，從而獲得解決問題的辦法。一旦學生理解了，掌握了，就會對它產生巨大的興趣，進而去進一步地發現它，研究它，不斷地提高自己的數學素養。

《義務教育數學課標（2011年版）》較之《課標實驗稿》，由原來的“雙基”發展為“四基”，新增了“兩基”――基本思想和基本數學活動經驗，其內涵和外延也更加豐富，更加深刻?！读x務教育數學課標（2011年版）》中所說的“數學基本思想”主要指“數學抽象思想”“數學推理思想”“數學建模思想”。人們通過“數學抽象”從客觀世界中得到數學的概念和法則，建立了數學學科；通過“數學推理”，進一步獲得更多的結論，使數學科學得以發展；通過“數學建模”，把數學應用到客觀世界中，在產生了巨大效益的同時，又反過來促進數學科學的發展。

筆者認為，以上三個基本思想是數學的“上位”思想，由此又派生、發展、演變出很多“分支”思想，即數學的“下位”思想。數學抽象思想的“下位”思想有“分類思想”“集合思想”“符號思想”，等等；數學推理思想的“下位”思想有“歸納思想”“演繹思想”，等等；數學建模思想的“下位”思想有“簡化思想”“量化思想”“函數思想”，等等。

縱觀《義務教育數學課標（2011年版）》中所談到的“數學思想”并不是指數學方法，數學思想與數學方法是既有區別又有聯系的。數學思想是宏觀的，屬于上位的思維范疇，它常常通過數學方法去實現；而數學方法卻是微觀的，屬于下位的實踐層面，是解決數學問題的最直接具體的手段。數學方法是在數學思想的指導下進行具體操作的，它是對數學思想的具體反映，屬于實施層面，兩者密不可分。

二、在小學數學教學中滲透數學思想的重要意義

從以上陳述可以看出，在小學數學教學中滲透數學思想有著重要意義。下面，與大家分享幾個生活中的“鏡頭”，以此說明其重要性。

【鏡頭1】《福爾摩斯探案――藍寶石案》片段：福爾摩斯根據一頂舊帽子來推斷帽子主人的特征.即“從帽子的外觀來看，很明顯這個人是個學識淵博的人，而且在過去三年里，生活相當富裕，盡管他目前已處于窘境；他過去很有遠見.可是已今非昔比，再加上家道中落，因此精神日趨頹廢。這仿佛說明了他受到某種‘壞’的影響.也許染上了酗酒的惡習。他這個人一向深居簡出，根本不鍛煉身體，是個中年人，頭發灰白，而且是最近幾天剛剛理過的。頭發上涂著檸檬膏。這些就是根據這項帽子所推斷出來的比較明顯的事實。還有，順便再提一下。他家里是絕對不可能安有煤氣燈的”。

【鏡頭2】我們會根據手機套餐內容，選擇適合自己使用的套餐，如動感地帶上網套餐（校園版）。

【鏡頭3】在第30屆英國倫敦奧運會上，我國以38枚金牌位居世界第二，“38”個數字深深地烙入人們的腦海中。

上述三個鏡頭，在滲透數學思想中，雖各具功能，但殊途同歸?！扮R頭1”中的福爾摩斯應用數學推理思想推斷出帽子主人的身份以及特征；“鏡頭2”是運用數學建模思想根據每個人的實際情況選擇合適的手機套餐；“鏡頭3”中的奧運金牌數38，就是一個數學抽象思想。三個鏡頭詮釋了同一個道理：數學思想。

雖然大多數人已經忘記了很多高深的數學知識，但是人們卻能夠用學到的數學思想方法去解決生活與工作中或其他領域遇到的問題，讓人們終身受益，正如一個學者對數學思想的描述――將具體的數學知識都忘掉后剩下的東西。盧梭說過：“我們的目的不是用知識充塞他的頭腦，而是教授愛彌爾獲得知識的方法，當他需要獲得知識時能獲得它。”這里盧梭所說的“方法”，筆者把它理解為“數學思想方法”。這就是《2012年數學課程標準》中為什么“使學生獲得數學的基本思想”應該作為數學課程的一個重要目標的意義之一。

同時，從數學學科的發展來說，數學思想和人的思想是一樣的，數學倘若沒有數學思想，它將是非常機械而枯燥的，根本談不上進步。數學思想就像科學技術一樣，能夠很好地推動數學學科的發展，是數學發展的內在動力。如解析幾何的產生正是由于有了數形結合思想的推動才發展的；公理化思想催促著歐式幾何的誕生等。數學思想能夠豐富數學內容，并且使得數學知識越來越完善，越來越深刻，不斷從基礎發展到高端，從而促進數學學科的發展。數學思想能使整個數學體系的各部分理論之間緊密聯系，如數形結合思想能讓代數和幾何這兩個理論緊密聯系，能夠充分發揮兩個理論的優勢，從而獲得最好的解決問題的辦法。

正因為數學思想具備以上重要意義，所以數學教師更應該在小學數學教學中就開始滲透它，讓學生終身受益。

三、如何在小學數學教學中滲透數學思想

既然數學思想有著以上重要意義，那么，教師在數學教學中應如何滲透數學思想呢？筆者將從以下幾個方面展開討論。

1.數學抽象思想的滲透

所謂數學抽象思想，是指在數學研究中，通過研究對象的現象，深入里層，抽取事物本質特征的一種思想。筆者在執教北師大版四年級下期“四邊形的分類”一課時，在教學中對數學抽象思想做了如下滲透。

首先.筆者出示8個四邊形（見圖1），請學生分類。怎么分由學生自己說了算，但要說明理由，對分類標準筆者不做任何限制。

學生通過自己動手操作.展示出如下幾種分法：第一種是把①②③④⑥⑦與⑤⑧分成兩類，學生這樣分的理由是把有平行線的分一類.沒有平行線的分一類；第二種是把①⑥與②④⑦以及⑤⑧分成三類，③單獨分一類，學生這樣分的理由是平行四邊形和梯形各分一類，一般四邊形分一類，菱形分一類；第三種是把①③⑥分成一類，把②④⑦分成一類，把⑤⑧分成一類，學生這樣分的理由是平行四邊形和梯形各分一類，一般四邊形分一類。學生從不同的角度思考問題.而且理由都充分。

這節課分類的目的是幫助學生更好地抽象出平行四邊形和梯形的概念。形成系統的知識體系。在學生思維充分展開的基礎上，筆者及時進行思維優化.并提出：“如果以對邊是否平行為標準要分成哪幾類？”引導學生從關注問題的“表層結構”――外在的圖形形態.過渡到關注問題的“深層結構”――圖形邊的形態。通過筆者提示，學生又做了如下分類：有把①③⑥分成一類的，有把②④⑦分成一類的，也有把⑤⑧分成一類的。筆者追問：“①③⑥為什么歸為一類？”在追問中學生抽象出“兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形。”當問到“②④⑦為什么歸為一類時”，學生的回答是“這三個四邊形都有一組對邊平行；有一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫梯形”。教師針對學生這樣的回答可用如下方式進行提升。

教師：“你們能用‘只有’造句嗎？”學生：“我只有一本數學書?！苯處煟骸澳沁@里什么叫梯形，你能像剛才那樣用‘只有’造句嗎？”這時.學生就會很自然地類比出：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

從以上案例可以看出數學抽象思想在實施過程中離不開三個環節，即“分離一提純一簡化”。從幾個四邊形中通過“分類”產生“分離”，接著通過“類比”等“提升”出初步概念，最后“簡化”出本質特征。

2.數學推理思想的滲透

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算?！惫P者曾指導一位教師執教北師大版二年級下期“長方形與正方形”一課時，在教學中對數學推理思想做了如下滲透。

先讓學生共同合作，在一塊釘有釘子的木板上圍出長方形和正方形各一個。

①匯報展示（略）。

②質疑反思：為什么你認為你圍出的圖形就是長方形？為什么你認為你圍出的圖形就是正方形？

③總結概念（根據學生的回答進行板書）：長方形的上下兩邊與左右兩邊都相等，四個角都是直角，長方形有對邊，也有鄰邊，長方形中相鄰的兩條邊或者說組成長方形每一個直角的兩條邊就是長方形的一組鄰邊；正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。

教師通過引導學生觀察、操作，鼓勵學生大膽猜想長方形的特征和正方形的邊角特征，并鼓勵學生對操作與猜想進行反思，激發學生探究的欲望。

之后，教師再通過提問，加以提升：“是不是所有的長方形和正方形都具備這些特征？”學生驗證：用量一量、折一折的方法，驗證自己的發現；并把經過驗證的結論填寫到書上，然后讓學生扮演小老師展示匯報驗證的過程。

以上片段說明，猜想驗證是推理思想的重要的步驟。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想，就不會有偉大的發現?！辈孪胧菍W生在對事物有所感知后，做出初步的未經證實的判斷。在這節課中，學生通過釘子板圍圖形猜想出圖形的特征，是以一定的數學知識、經驗知識和思維方法為基礎的一種合理猜想，也就是合情推理，并不是“瞎猜”。在這一過程中，教師充分發揮學生的主體作用，為學生提供自主學習的時間和空間，讓學生在自己動手操作中驗證了長方形和正方形的特征，在小組匯報時又展示出學生探索策略的多樣性；同時，讓學生不但要說出發現了什么，還要說出是怎樣發現的，關注學生的思考過程。通過讓學生動手操作來驗證自己的推理，讓學生感悟“猜想―驗證”的數學推理思想，在這樣的猜想驗證過程中又體現了合情推理和演繹推理是相輔相成的。

3.數學建模思想的滲透

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果，并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識?！比缃虒W北師大版五年級下期“分數乘法”一課時，教師在教學中可用如下方法滲透數學建模思想。

出示例題：1張圖片占一張彩紙的1/5.3張圖片占這張彩紙的幾分之幾？

先讓學生讀懂題意，明確問題，把實際問題抽象成數學問題。3個1/5是多少？或1/5的3倍是多少？1/5×3=？（3x1/5=？）

然后，解決問題，探索算法。首先，創設情境，建立模型：學生動手把1張紙平均分成5份，用彩筆涂畫出其中3份，涂色部分占這張紙的3/5，所以1/5×3=（）。其次，運用模型，解決問題：用已有的數學知識解釋上述算式為什么成立？解釋的過程即是寓理于算的推理過程。再次，互動質疑，深化概念：讓學生想想，這兩種算法是不是適合所有的分數乘整數.算一算2/7×3=（）。最后，教師激勵，拓展提升：歸納出分數乘整數的計算方法，并通過學生充分討論后歸納出分數與整數相乘的計算法則：axn/m=axn/m（a、m、n都是正整數）。

這一過程，通過提取關鍵步驟，簡縮思維過程，形成了運算法則，抽象成了數學模型，從而根據法則，進行計算。

篇8

所謂素質教育，就是必須以社會需要為依據，根據學生個人的素質和需要，對學生進行有區別的教學方法，但根本目的是為了提高全體學生的素質.

在教學過程中，學生始終是主體，教師要充分發揮學生的主動精神，盡最大可能地將學生的潛力發揮出來.

下面結合自己的教學實踐針對初中數學教學中如何體現素質教育談點體會.

一、在數學教學中體現素質教育

在教學中，教師應讓數學課成為初中生提升自身素質的重要環節，讓數學教學為提高學生的整體素質服務.實行自主學習，讓學生成為課堂的主體.

1.發揮初中生的自主性學習

中學生的學習習慣基本在這一時期養成，學生一定要在這一時期養成獨立學習的習慣和學習的主體意識，要有明確的學習目標，增強自控能力，能夠主動自愿地接受數學課堂教育，以自主學習的辦法將課本知識轉化成為自己的知識儲存，并可以在實踐活動中得以運用.

2.調動初中生學習的能動性

數學的學習一定要積極主動，自己多動腦子才能有所收獲，有所感悟，多問別人，然后將所學的在具體的數學應用中去熟練演練，歸納總結出自己的知識體系很認知結構，才能在下一個學習中得到更進一步的運用.

3.培養數學學習的創造性

這里的創造性不是指創造新的答案，而是善于一題多解，能夠用多種方法來完成一道題目，并能夠說出其中的道理.就學生的學習品格而言，要有大膽探索、自主自立、目標明晰等品質，要有創造性的態度和精神.

二、數學教學中體現素質教育的途徑

1.數學教育要采取辯證唯物主義教育

辯證唯物主義教育是要求教師在教數學的過程中采用和滲透辯證唯物主義的世界觀.物質的觀點，對立統一的觀點，運動變化的觀點，量變到質變的觀點，互相聯系、互相制約的觀點等是一個中學生應該有的基本觀點.

2.態度決定高度，端正態度是取得成功的必要前提

初中生學習數學是非常有必要的事情，初中數學是我們每個人一生都在運用的技能，所以要想很好地生活就必須認真地學習數學.教師不僅要教數學，讓學生逐步掌握知識內容和解題技巧，還要讓他們熱愛數學，樂于學習，逐漸培養良好的學習習慣和學習興趣.

3.愛國主義是中學生必須具有的素質和思想品德

愛國主義教育應該在數學課堂上得到有效的貫徹，在數學課堂上多講講古今以來我國的數學家在數學領域取得的著名成就，再講有關的知識時有意識地去挖掘有關的數學發展史料，對中學生進行愛國主義思想的教育.

三、應用數學能力的培養

數學是人們認識世界必不可少的工具，是我們人類認識世界的方法，數學能力的高低也是一個人素質高低的重要標志之一.所以，一定要培養學生應用數學的能力，而初中數學在應用中是非常普遍和廣泛的，培養初中生應用數學能力是一件極其有必要的事情.

數學的建模能力是一個人數學素質的重要組成部分.建立適當的數學模型，可以很好地幫助我們解決一些數學的實際問題.

例如，甲、乙兩名同學進行投擲飛鏢比賽，每人各投擲10次，中靶情況如下圖.

（2）分別寫出甲、乙兩名同學這10次投捉飛鏢比賽成績的平均數、中位數、和眾數；

（3）畫出甲、乙投擲飛鏢的折線圖；

（4）從折線圖的走勢看，請你分析哪位同學的潛力較大.

篇9

關鍵詞： 自主學習 高三數學復習 綜合解題能力

自主學習是指學生充分發揮主觀能動性而進行的創新學習,學習過程不斷呈現自主、主動、創新相互依存的三個層次。高考數學既考查中學數學的基礎知識和方法，更考查學生進入高等學校繼續學習所必需的基本能力。因此高三數學復習中綜合解題能力、應用意識和創新意識的培養既是高考數學的需要，又是培養目標的要求。而對于能力和意識的培養，課堂教學只能起指引作用，更多的應該讓學生在自主學習中“感悟”“領會”。通過自我總結、歸類，學生的綜合能力就會在不斷自我“反省”中得到培養和提高。

一、在基礎知識的復習中強化自主意識，注重基本技能的培養。

著名認知心理學家哈塔羅列舉知識獲得的五個特征時指出：知識是通過主體的積極建構而獲得，而不僅僅是通過傳遞來實現的。他強調了知識不能由教師傳遞，而要靠由學習者自己建構，強調了學生獲取知識的主體性。因此，高三數學一輪復習應以學生發展為本，力求通過各種不同形式的自主學習和探究活動，提高學生對數學知識的整合能力，達到知識間的融會貫通，為知識的綜合運用打下堅實的基礎。例如“函數”是高中數學中起聯接和支撐作用的主干知識，也是進一步學習高等數學的基礎。其知識、觀點、思想和方法貫穿于高中代數的全過程，同時也應用于幾何問題的解決。當問到學生類似于“函數主要有哪些內容？”等問題時，學生的回答大多是一些零散的數學名詞或局部的細節，這說明學生對函數知識還缺乏整體把握。所以復習的首要任務是立足教材，將高中所學的函數知識進行系統梳理，用簡明的圖表形式把基礎知識進行有機的串聯，以便找出自己的缺漏，明確復習的重點，合理安排復習計劃。當然，在這個過程中也發現，如果同學們梳理知識的過程過于被動、機械，只是將課本或是參考書中的內容抄在本子上，缺少了自己的認識與理解，將知識與方法割裂開來，則整理的東西成了空中樓閣，自然沒什么用。這時，需要指導學生自主地將每一個內容細化，問問自己復習這個內容時需要解決好哪些問題，以此為載體提煉與總結基本方法。由于高考強調在知識網絡的交匯點處命題，即增強綜合性，考查單一知識點和方法的試題一般不會出現。因此，全面、系統地掌握基礎知識和基本方法，構建數學知識網絡非常重要。俄國教育家烏申斯基有句名言：“智慧不是別的，而是組織得好的知識體系?！彼詮土暤闹埸c應放在建構完整的“知識網絡”上，“以不變應萬變”，從而突破弱點、培養能力。

二、在課后糾錯中強化自主歸類，提升綜合解題能力。

學習就是不斷地化歸轉化，不斷地繼承和發展更新舊知識。學習數學必須做題，做題一定要獨立而精細，只有具備良好的反思能力，才談得上精做。做題后，一定要認真反思，仔細分析，通過做幾道相關的變式題掌握一類題的解法，從中總結出一些解題技巧，更重要的是掌握解題的思維方式，內化為自己的能力，并總結出對問題的規律性認識和找出自己存在的問題，對做題中出現的問題，注意總結，及時解決，重點一定要放在培養自己的分析問題和解決問題的能力上。指導學生自我反思，反思一題多解，領會發散思想。通過多種解法的展開、比較、反思，能促進知識遷移，并達到舉一反三、觸類旁通的效果。能提高學生思維的深刻性和廣闊性，使各種層次的學生對該學科的思想方法都有不同程度的領悟，從而提高高三學生的復習效率和運用知識的能力。反思一題多變，培養學生探究能力?！耙活}多變”是從多角度、全方位對例題進行變化，引出一系列與本例題相關的題目，形成多變導向，使學生的思維變得活躍、發散，達到一題多練的效果，還能將形似神不似的題目并列在一起比較，，還能培養學生條件轉換、設問置疑、探究因果、主動參與、積極思考的好習慣，也能避免學生盲目做大量的練習而效果差的現象，減輕學生的課業負擔。反思多題歸一，感悟學科模型建立的重要性。在高三第一輪復習中，因為學生掌握了整個高中數學的基本知識結構、基本技能及基本的解題方法，所以在對問題的解決中往往會從多個角度加以思考，呈現思維的發散性，放開無法收攏理順現象。為引導思維的收斂，在復習時，要將很多例題有目的地串聯起來，編成一組，引導學生進行觀察，引導學生對多題一解進行反思，可提高學生的化歸能力，使零碎的知識成為一個有機的整體，體會解題的通則通法在解題中的作用，培養學生觀察問題的敏感性和思維的系統性，感悟學科模型建立的重要性，大大增強解題策略的選擇與判斷能力。

三、在知識應用中強化情境意識，注重自主數學建模，提升學生應用能力。

《數學課程標準》指出：教師應該充分利用學生已有的生活經驗，引導學生把所學的數學知識應用到現實中去，以體會數學在現實生活中的應用價值。教師應根據學生的認知規律，從他們的生活實際出發，在數學與生活之間架起橋梁。數學知識生活化是現代數學教學的改革方向。

應用題教學涉及數學教學的方方面面，要提高應用題的答題水平，必須全面提高學生數學素養。在平時的教學過程中，要求學生做到以下幾點：一是認真對待，不能隨意放棄。帶著自信，冷靜地讀題目是對學生心理素質的一種考驗，要求每一個學生都樹立起學習的信心，提高心理承受能力，保持冷靜。二是思想上重視計算。許多學生只注重列式不注重運算，對復雜的算式缺乏信心，對簡單的算式粗心馬虎。原因在于思想不重視，平時沒有養成良好的運算習慣。為此，教師要加強教育，讓學生知道運算失誤所造成的對學習成績的消極影響。三是算法要精心研究。在運算過程中使用的概念、公式和法則要準確無誤，這是保證運算準確的基本條件。因此，平時的作業、練習、測驗等都必須要求學生自主認真檢查、總結、訂正，提高運算的正確率。另外，學生運算要熟練且合乎算理，運算過程中的每一步都要有依據?；蚋鶕拍?，或根據公式，或根據法則，要養成思維嚴謹的好習慣。通過數學建模教學實踐，讓學生掌握數學建模的方法，了解數學知識的發展過程，從而發展數學創造能力，為高考和將來的工作打下堅實的基礎。

四、在綜合訓練中強化知識塊之間的聯系，培養學生自主探究的能力。

目前，強調各知識塊之間的整合與互補，已逐漸成為高考命題的新思路。要按照《高考說明》中的考試內容，研究高考試卷在知識的聯結點上設計問題的方法，將各知識點融合到一起，在考查某個主知識點的同時，回顧鞏固與之相關的其他知識點。在學生自主學習時，指導學生從不同側面整合知識。如：按主題的整合。比如：圖像交換，涉及初中二次函數中的平移、高中函數的奇偶性、軸對稱和中心對稱、三角中的伸縮變換、解析幾何中圖像的移動等諸多內容。這就需要把它們整合起來，研究它們的共通性，并拓展到各類函數的圖像、方程和曲線中去；再如：以問題為中心的跨模塊聯通。比如研究函數的最值，就要涉及代數、平面三角與幾何的有關知識，研究產生最值的背景，又要將它與代數、三角、平面幾何、立體幾何及解析幾何放在一起融會貫通；又如：各知識塊之間的交匯與融合。比如函數、數列、不等式，它們是有獨立意義的三塊，但綜合復習時要把它們作為一個整體來學：研究函數時以不等式為工具，討論不等式時運用函數的性質，數列可以從離散的角度刻畫函數，也可視為特殊函數，從而使三者構成自然聯系。

五、注重數學思想的自我領悟，提升學生實際解決問題的能力。

第一輪復習一定要透徹理解最基本的數學定義，熟記公式、定理并會運用于解題實踐。如解析幾何的基本思想――用代數方法（方程）研究圖形（直線、圓錐曲線）的幾何性質，立體幾何的基本思想方法之一是化空間問題為平面問題，因而在求角（異面直線所成角、線面角、二面角）、距離（點線、線面、二面角）時，?；瘹w到三角形中，有時要把某個平面從立體圖形中分離出來，這些基本思想同時也為解題提供了具體可操作的方法，復習時要引導學生及時總結，領悟到數學思想方法是數學的精髓，對此進行歸納、領會、應用，才能把數學知識與技能轉化為分析問題、解決問題的能力，使自己的解題能力和數學素質更上一個層次，成為“出色的解題者”。

只有具有自主學習能力的學生才能有良好的學習興趣，善于運用科學的學習方法，善于與他人合作，敢于質疑問難，有較強的進取精神和探索精神，才能在高考中立于不敗之地。然而長期的應試教育下學生的自主探究意識薄弱，培養自主探究、創新精神的人才，教育工作者任重而道遠。

參考文獻：

［1］徐宗琴.淺談高中數學中自主學習的教學［J］.人民教師論壇，2009，（7）：26.

［2］黃梅.高中數學教學思維能力培養之我見［J］.中國科技博覽，2009，（26）：53.

篇10

關鍵詞： 小學數學 數學思想 滲透途徑《數學課程標準（2011年版）》指出：“數學課程內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法?！盵1]課標總目標要求“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗?！盵2]基礎知識和基本技能是直接用圖文的形式寫在教材里的顯性知識，而基本思想和基本活動經驗則隱含在基礎知識和基本技能形成的過程中。由于數學思想的“隱形”特點，使得這些知識的隨意性比較大，因此教師在教學中對學生的引導是滲透數學思想的重要途徑。

一、 數學思想的定義

“所謂思想，一般是指客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果，是人類一切行為的基礎……數學思想是指數學發展所依賴、所依靠的思想?！盵3]“數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象和概括”[4]。數學思想應該是學生領會之后能夠受益終生的思想。

二、 在小學數學教學中滲透常見的數學思想

數學思想方法的類型較多，“在中小學數學中，基本思想是數學抽象、數學推理與數學建模，這些對學生在數學方面的終生可持續發展有益……由抽象思想派生出的下位的數學思想有分類思想、集合思想、數形結合思想、變中有不變思想、符號表示思想、對應思想等；由推理思想派生出的下位的數學思想有歸納思想、演繹思想、轉化思想、化歸思想、類比思想、逼近思想、代換思想等；由建模思想派生出的下位思想有化簡思想、量化思想、函數思想、方程思想、優化思想、隨機思想等?！盵5]

1.滲透抽象思想

數學中的概念、法則和公式定律都是通過抽象產生的，抽象化就是將現實問題數學化。只有具備了抽象的能力，才能從具體的事物之中找出本質屬性，從感性認識上升為理性認識。在教學列豎式計算的時候，要讓學生知道“相同數位要對齊”，教材出示了小棒圖，整捆的和整捆的放在一起，單根的和單根的放在一起。學生在數小棒數量的時候是數出整捆的共有幾捆，單根共有幾根，從具體操作中感知整捆的表示幾個十，單根的表示幾個一，幾個十的和幾個十的合在一起，幾個一的和幾個一的合在一起，這就是讓學生從具體事物中抽象出計算法則的過程。在二年級“角的初步認識”中，根據角的大小分類為銳角、直角和鈍角；在三年級“倍的認識”中用線段圖形象表示出倍數關系，使學生理解倍的意義，會解決倍數關系的數學問題。

2.滲透推理思想

推理思想是數學中經常使用的思維方式，它是由已知信息推出未知信息的過程。推理不是胡猜亂造，它需要一定的邏輯性。如下面兩個教學例子：

人教版三年級上冊多位數乘一位數這一單元中，在學生熟練掌握多位數乘一位數的計算方法后，教材提供了一道練習題：仔細觀察下面的算式你能發現什么規律？99×1=99，99×2=198，99×3=297，99×4=396……99×8=792，99×9=891.不同學習能力的孩子觀察到的規律層次不同。①第一個因數是99，第二個因數每題都增加1，積的百位和個位的和都是9，十位都是9。②9與第二個因素相乘的積左右分開寫，把9插在中間，就是所求得的積。③把99當做100來乘就是把99個幾當做100個幾，積就多算了一個幾。所以99乘幾就等于100乘幾再減幾，即99N=100N-N。這樣的題型就培養了學生的歸納推理能力。

學生在學習幾百幾十數加減幾百幾十數時，計算380+550是一個新知識，通過引導學生將380看成是38個十，550看成是55個十，在口算38+55=93，93個十是930，所以380+550=930。學生的這個學習過程就是將幾百幾十數轉化成幾十幾進行計算，推出幾百幾十加幾百幾十的計算方法的過程，是根據已學的知識經驗推理出未學知識的過程。

3.滲透模型思想（亦稱建模思想）

《數學課程標準（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義?！盵6]

人教版數學二年級下冊《表內乘法（二）》教學有多余條件的、稍微復雜的用乘法的意義解決的實際問題時，教材提供了一個情境圖，呈現出多種文具的價格（鉛筆3元、文具盒8元、橡皮2元、日記本4元），提出問題：買3個文具盒，一共多少錢？解決這個數學問題分三個步驟：①理解題意，明確“知道了什么”，提供了哪些數學信息和要解決什么數學問題。②分析和解決，對題目中提供的信息進行篩選，提取有用信息，即“解決這個問題需要哪些信息？”再結合乘法的意義，用圖文表示出幾個幾的關系，確定用乘法解決問題。③檢查與反思，即“解答正確嗎？”并借用小精靈的話“求3個文具盒的總錢數，可以用1個文具盒的價錢乘買的個數”，使學生解決完這個問題后能夠及時反思總結得出單價、數量、總價的數量關系。這三個步驟使學生在具體情境中感悟到數學模型，建立起解決此類數學問題的基本模型，但是學習并沒有停留在模型的建立階段。建立了此類解題模型后， “你還能提出其他用乘法解決的問題并解答嗎？”這是將已經建立起的數學模型進行提升運用。

總之，數學思想在數學學習中的重要作用不可忽略，教師在日常教學中應該認真鉆研教材，挖掘教材中隱含的數學思想，通過解決數學問題感悟數學思想，并引導學生積極鞏固運用數學思想，有意識、有目的、有計劃地滲透數學思想。

參考文獻：

[1]義務教育數學課程標準[M]. 北京：北京師范大學出版社，2011：2.

[2]義務教育數學課程標準[M]. 北京：北京師范大學出版社，2011.

[3] 鐘建林，林武.小學數學專題式教學引導[M].福州：福建人民出版社，2012：45.

[4]義務教育數學課程標準[M]. 北京：北京師范大學出版社，2011：46.