二元一次方程范文

導語：如何才能寫好一篇二元一次方程，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、教學目標

1．使學生掌握由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程組成的方程組的解法.

2.通過例題的分析講解，進一步提高學生的分析問題和解決問題的能力；

3.通過一個二元二次方程解法的分析，使學生進一步體會“消元”和“降次”的數學思想方法，繼續向學生滲透“轉化”的辨證唯物主義觀點.

二、重點·難點·疑點及解決辦法

1．教學重點：通過把一個二元二次方程分解為兩個二元一次方程來解由兩個二元二次方程組成的方程組.

2．教學難點：正確地判斷出可以分解的二元二次方程.

3．教學疑點：降次后的二元一次方程與哪個方程重新組成方程組，一定要分清楚.

4．解決辦法：（1）看好哪個二元二次方程能分成兩個二元一次方程，它們之間是“或”的關系，不能聯立成方程組.（2）分解好的二元一次方程應與另一個二元二次方程組成兩個二元二次方程組.

三、教學過程

1．復習提問

（1）我們所學習的二元二次方程組有哪幾種類型？

（2）解二元二次方程組的基本思想是什么？

（3）解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的基本方法是什么？其主要步驟是什么？

（4）解方程組：.

（5）把下列各式分解因式：

①；②；③.

關于問題設計的說明：

由于二元二次方程組的第一節課已經向學生闡明了我們所研究的二元二次方程組有兩種類型．其一是由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組；其二是由

兩個二元二次方程所組成的方程組．由于第一種類型我們已經研究完，使學生自然而然地接

受了第二種類型研究的要求．關于問題（2）的提出，由于兩種類型的二元二次方程組的解題思想均為“消元”和“降次”，所以問題（2）讓學生懂得“消元”和“降次”的數學思想，貫穿于解二元二次方程組的始終．問題（3）、（4）是對上兩節課內容的復習，以便學生對已學過的知識得到進一步的鞏固．由于本節課的學習內容是由兩個二元二次方程組成的二元二次方程組的解法，其中有一個二元二次方程可以分解，因此，問題（5）的設計是為本節課的學習內容做準備的.

2．例題講解

例1解方程組

分析：這是一個由兩個二元二次方程組成的二元二次方程組，其解題的基本思路仍為“消元”、“降次”，使之轉化為我們已經學過的方程組或方程的解法．那么如何轉化呢？關于轉

化的形式有兩種，要么降二次為一次，要么化二元為一元我們通過觀察方程組中的兩個方程有什么特點，可以發現：方程組（2）的右邊是0，左邊是一個二次齊次式，并且可以分解為，因此方程（2）可轉化為，即或，從而可分別和方程（1）組成兩個由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組，從而解出這兩個方程組，得到原方程組的解．

解：由（2）得

因此，原方程組可化為兩個方程組

解方程組，得原方程組的解為

說明：本題可由教師引導學生獨立完成，教師應對學生的解題格式給予強調．

例2解方程組

分析：這個方程組也是由兩個二元二次方程組成的方程組，通過認真的觀察與分析可以

發現方程（2）的左邊是一個完全平方式，而右邊是完全平方米，因此將右邊16移到左邊后可利用平方差公式進行分解，，即或，從而可仿例1的解法進行.

解：由（2）得

.

即，或.

因此，原方程組可轉化為兩個方程組

解這兩個方程組，得原方程組的解為

鞏固練習：

1．教材P60中1.此練習可讓學生口答.

2．教材P60中2.此題讓學生獨立完成.

四、總結擴展

本節小結，內容較為集中并且比較簡單，可引導學生從兩個方面進行總結：（1）本節課學習了哪種類型的方程組的解法；（2）這種類型的方程組的解題步驟如何？

這節課我們學習了由兩個二元二次方程組成的并且有一個方程是可以分解成兩個二元一次方程的方程組的解法，解這種類型的方程組的步驟是將原二元二次方程組轉化為兩個已學習過的二元二次方程組，從而求出原方程組的解.

關于比較特殊的二元二次方程組的解法，教師可以利用輔導課的時間補充兩個二元二次方程都可以分解的二元二次方程組的解法.

五、布置作業

1．教材P61A1，2，3.

六、板書設計

探究活動

若關于的方程只有一個解，試求出值與方程的解．

解：化簡原方程，得（1）

當時，原方程有惟一解，符合題意．

當時，方程（1）根據的判別式

，故方程（1）總有兩個不同的實數解，按題意其中必有一根是原方程的增根，原方程可能產生的增根只是0或1．

篇2

本節是在二元一次方程組的基礎上進一步探究其解法，讓學生通過解二元一次方程組了解其關鍵在于消元，即將“二元”轉化為“一元”，不論是通過等量代換的方法，消去一個未知數，從而求得原方程組的解；還是將兩個方程相加消元，變成一元一次方程，從而求得原方程組的解，都是學生必須掌握的基本方法。二元一次方程組是方程組的基礎，是學習一次函數的基礎，也是中考和競賽的常見題目。

二、二元一次方程組解法的教材分析

（一）本節的主要內容

本節采用了兩種教學方式進行講解。一是在于靈活運用代入法，并且在求出一個未知數的值后，應將它代入到哪一個方程求另一個未知數的值比較簡便；二是在于靈活運用加減法的技巧，以便將方程變形為比較簡單和計算比較簡便。不論是哪種方法，學生們都要了解解二元一次方程組的關鍵在于消元，即將“二元”轉化為“一元”，把“未知”轉化為“已知”。

（二）本節的教學要求

使學生會分析二元一次方程組中的兩個方程，分析同一個未知數系數的關聯，從而決定用哪種方法比較簡便，再進行解答。

（三）二元一次方程組的解法

它的解法有很多種，但是常見的只有兩種，即代入法和加減法。它們雖是兩種不同的方法，但其目的相同---“消元”，都是把“二元”轉化為“一元”，進而求解方程組。不同點是消元的方法不同，或通過“代入”或通過“加減”。對于一個方程組用哪種消元方法解都是可以的，但應根據方程組的具體形式選擇比較簡便的方法，對應不同的題目在解題時可采用不同的消元方法。

（1）代入法

用這種方法求解關鍵是選擇哪一個方程變形，消什么元。選取的方法是：①選擇未知數的系數是1或-1的方程；②若未知數的系數不是1或-1，選系數的絕對值較小的方程，將要消的元用含另一個未知數的代數式表示，再把它代入到沒有變形的方程中去。

（2）加減法

用這種方法求解關鍵是相加減哪個元。選取的方法是：①某個未知數系數的絕對值相等時，可直接加減消元；②若同一個未知數的系數絕對值不等時，則應選一個或兩個方程變形，使一個未知數的系數的絕對值相等，然后再直接用加減法求解，若方程組比較復雜，應先化簡整理。

（四）本節應注意的問題

（1）“系數變形”時，應注意同一個方程的左、右兩邊每一項均應乘同一個適當的數，防止漏乘。

（2）“加減消元”時，由于是兩個方程的左、右兩邊分別相加或相減，特別易出現漏項、變號（相減時）等錯誤。

（3）“回代求解”時，應代入系數相對較簡單的一個方程。

（4）“加減消元”時，若同一個未知數系數的絕對值都不相等，則選取一組系數（選最小公倍數較小的一組系數），求出它們的最小公倍數（如果一個系數是另一個系數的整數倍，該系數即為最小公倍數），然后將原方程組變形，從而進行加減消元。

（5）對于比較復雜的二元一次方程組，應先化簡（去分母、去括號、移項、合并同類項等），再進行消元。

（五）典型例題

例1.已知方程組 2x-y=7 ①和 x+by=a ③有相同的解，求a，b的值。

ax+y=b ② 3x+y=8 ④

[分析]由已知兩個方程組有相同的解，可知方程2x-y=7和3x+y=8有相同的解，故將此兩方程聯立得二元一次方程組，其解又應滿足由ax+y=b和x+by=a組成的方程組，進而求解。

解：依題意得 2x-y=7，解之，得 x=3，

3x+y=8， y=-1.

將它分別代入兩個方程組的另兩個方程，得到關天a、b的方程組 3a-b=1，

a+b=3.

解之，得 a=1，即為所求。

b=2

說明：此例須找每個方程組中都是已知數的方程組成新的方程組，得到的解，即是相同的解，再代入另一個方程一，從而求出參數的解。

例2. m取什么整數時，方程組 2x-my=6 ①的解是正整數？

x-3y=0 ②

[分析]將m看成已知數，求出含字母的x、y的值，再由解為正整數來決定m的取值。

解：由②得 x=3y

將它代入①中 2×3y-my=6

得 y=6/（6-m）.

x、y都是正整數

6-m的值為1、2、3、6；

即m的值為0、3、4、5.

說明：此例是把參數當作已知數求出方程的解，再依據已知條件求出參數的值。

三、結束語

篇3

一、在圖形中的應用

例1一副三角板按如圖1所示的方式擺放，且∠1的度數比∠2的度數大50°，若設∠1＝x°，∠2＝y°，則可得到方程組為（ ）.

A.x＝y－50x＋y＝180B.x＝y＋50x＋y＝180

C.x＝y－50x＋y＝90 D.x＝y＋50x＋y＝90

解析：本題以一副三角板的擺放方式為背景，通過三角板中隱藏的直角條件，挖掘出∠1與∠2互余的關系，故容易得到答案為D.同時，同學們可以從中體會到用代數方法（如列方程組）解答幾何問題的思路.

二、在對話情景中的應用

例2第41屆世界博覽會“中國2010年上海世界博覽會”5月1日舉辦，小亮計劃在暑假期間為他們全家5人預訂世博會門票，根據圖中的對話內容請你求出甲、乙兩種門票的價格各是多少元？

解：設每張甲種門票的價格為x元，每張乙種門票的價格為y元.依題意，得

x－y＝70，2x＋3y＝590.解得x＝160，y＝90.

答：每張甲種門票的價格為160元，每張乙種門票的價格為90元.

點評：本題以兩人對話的方式給出了相關的數學信息．解題時，要分析他們的對話，弄清已知量與未知量，找出其中蘊涵的等量關系，設未知數，列出方程組．

三、在表格中的應用

例3老師布置了一個探究活動作業：僅用一架天平和一個10克的砝碼測量壹元硬幣和伍角硬幣的質量．（注：同種類的每枚硬幣質量相同）

聰明的孔明同學找來足夠多的壹元和伍角的硬幣，經過探究得到以下記錄：

請你運用所學的數學知識計算出一枚壹元硬幣重多少克，一枚伍角硬幣重多少克．

分析：題目中待求的未知數有兩個，故可以考慮列方程組求解．根據天平平衡的記錄可以找到兩個等量關系：5枚壹元硬幣的質量＋10克砝碼的質量＝10枚伍角硬幣的質量；15枚壹元硬幣的質量＝20枚伍角硬幣的質量＋10克砝碼的質量．

解：設一枚壹元硬幣重x克，一枚伍角硬幣重y克.依題意，得

5x＋10＝10y，15x＝20y＋10.解得x＝6，y＝4.

答：一枚壹元硬幣重6克，一枚伍角硬幣重4克.

點評：本題從天平著手，建立相應的等量關系，得出二元一次方程組.對于這類圖表型信息應用題，我們要善于從圖表中挖掘信息，建立相應的數學模型，靈活運用所學知識來解決實際問題．

四、在實際生活中的應用

例4端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗，今年某商場銷售甲廠家生產的高檔、中檔、低檔三個品種及乙廠家生產的精裝、簡裝兩個品種的盒裝粽子．現需要在甲、乙兩個廠家的產品中各選購一個品種．

（1）寫出所有的選購方案；

（2）現某中學準備購買兩個品種的粽子共32盒(價格如下表所示)，發給學校的留守兒童，讓他們過一個愉快的端午節.其中指定購買了甲廠家的高檔粽子，再從乙廠家購買一個品種.若恰好用了1200元，請問購買了甲廠家的高檔粽子多少盒？

解：（1）共有6種選購方案：(高，精)，（高，簡），（中，精），（中，簡），（低，精），（低，簡）．

（2）當選用方案(高，精)時，設購買高檔粽子、精裝粽子分別為x，y盒.根據題意，得

x＋y＝32，60x＋50y＝1200.解得x＝－40，y＝72.

經檢驗，不符合題意，舍去；

當選用方案（高，簡）時，設購買高檔粽子、簡裝粽子分別為x，y盒.根據題意，得

x＋y＝32，60x＋20y＝1200.解得x＝14，y＝18.

篇4

1、會用代入法解二元一次方程組

2、會闡述用代入法解二元一次方程組的基本思路——通過“代入”達到“消元”的目的，從而把解二元一次方程組轉化為解一元一次方程。

此外，在用代入法解二元一次方程組的知識發生過程中，讓學生從中體會“化未知為已知”的重要的數學思想方法。

引導性材料：

本節課，我們以上節課討論的求甲、乙騎自行車速度的問題為例，探求二元一次方程組的解法。前面我們根據問題“甲、乙騎自行車從相距60千米的兩地相向而行，經過兩小時相遇。已知乙的速度是甲的速度的2倍，求甲、乙兩人的速度?！痹O甲的速度為X千米／小時，由題意可得一元一次方程2（X＋2X）＝60；設甲的速度為X千米／小時，乙的速度為Y千米／小時，由題意可得二元一次方程組 2（X＋Y）=60

Y=2X

觀察

2（X＋2X）＝60與　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②　有沒有內在聯系？有什么內在聯系？

（通過較短時間的觀察，學生通常都能說出上面的二元一次方程組與一元一次方程的內在聯系——把方程①中的“Y”用“2X”去替換就可得到一元一次方程。）

知識產生和發展過程的教學設計

問題1：從上面的二元一次方程組與一元一次方程的內在聯系的研究中，我們可以得到什么啟發？把方程①中的“Y”用“2X”去替換，就是把方程②代入方程①，于是我們就把一個新問題（解二元一次方程組）轉化為熟悉的問題（解一元一次方程）。

解方程組　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②

解：把②代入①得：

2（X＋2X）＝60，

6X＝60，

X＝10

把X＝10代入②，得

Y＝20

因此：　X＝10

Y＝20

問題2：你認為解方程組　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②　的關鍵是什么？那么解方程組

X＝2Y＋1

2X—3Y＝4　的關鍵是什么？求出這個方程組的解。

上面兩個二元一次方程組求解的基本思路是：通過“代入”，達到消去一個未知數（即消元）的目的，從而把解二元一次方程組轉化為解一元一次方程，這種解二元一次方程組的方法叫“代入消元法”，簡稱“代入法”。

問題3：對于方程組　2X＋5Y＝－21　①

X＋3Y＝8

②　能否像上述兩個二元一次方程組一樣，把方程組中的一個方程直接代入另一個方程從而消去一個未知數呢？

（說明：從學生熟悉的列一元一次方程求解兩個未知數的問題入手來研究二元一次方程組的解法，有利于學生建立新舊知識的聯系和培養良好的學習習慣，使學生逐步學會把一個還不會解決的問題轉化為一個已經會解決的問題的思想方法，對后續的解三無一次方程組、一元二次方程、分式方程等，學生就有了求解的策略。）

例題解析

例：用代入法將下列解二元一次方程組轉化為解一元一次方程：

（1）X＝1－Y

①

3X＋2Y＝5

②

將①代入②（消去X）得：

3（1－Y）＋2Y＝5

（2）5X＋2Y－25.2＝0　①

3X－5＝Y

②

將②代入①（消去Y）得：

5X＋2（3X－5）－25.2＝0

（3）2X＋Y＝5

①

3X＋4Y＝2?、?/p>

由①得Y＝5－2X，將Y＝5－2X代入②消去Y得：

3X＋4（5－2X）＝2

（4）2S－T＝3

①

3S＋2T＝8

②

由①得T＝2S－3，將T＝2S－3代入②消去T得：

3S＋2（2S－3）＝8

課內練習：

解下列方程組。

（1）2X＋5Y＝－21

（2）3X－Y＝2

X＋3Y＝8

3X＝11－2Y

小結：

1、用代入法解二元一次方程組的關鍵是“消元”，把新問題（解二元一次方程組）轉化為舊知識（解一元一次方程）來解決。

2、用代入法解二元一次方程組，常常選用系數較簡單的方程變形，這用利于正確、簡捷的消元。

3、用代入法解二元一次方程組，實質是數學中常用的重要的“換元”，比如在求解例（1）中，把①代入②，就是把方程②中的元“X”用“1－Y”去替換，使方程②中只含有一個未知數Y。

篇5

每個人都有這樣的體驗：每當遇到一道難題，一籌莫展，山窮水盡之時，如果采用一些恰當的辦法，簡化條件或明確目標，或轉換思維角度，或改變解題手段之后，眼前便出現了一片新天地，出現了柳暗花明的新局面，使問題得以解決.這種體驗，就是在運用轉化的思想，實施轉化的策略.

分析 本題是用待寫系數法，首先還原方程，解本題的關鍵是緊扣方程的解的意義，甲沒有看錯方程 ②，故甲的解滿足方程 ②；乙沒有看錯方程 ①，故乙的解滿足方程 ①.

二、換元法

用換元法解方程組，可以使復雜的問題簡單化，但只能解一些較特殊的方程組.用換元法解方程組的基本步驟：（1） 換元（設換元未知數）；（2） 解換元未知數的二元一次方程組，求出換元未知數的值；（3） 還原；（4） 求出原方程組的解.

分析 本題有多種解法，換元法是其中的一種，換元法可以把復雜的問題簡單化，使人們的思維更清楚一些.

三、分類思想

分類討論的思想是解決問題尤其是解決復雜問題的重要手段.分類討論的過程，是同中求異與異中求同兩種思維方式的有機結合，即先抓住問題涉及的對象的不同特點，分為若干既不重復，又無遺漏的幾類，分別討論是同中求異的過程；然后將各類情形的共同特征加以綜合，得出結論，這是異中求同的過程.

分析 本題主要考查二元一次方程解的表達式及尋找正整數解的方法——簡單枚舉法.

例5 世界杯足球賽德國組委會公布的四分之一決賽門票價格是：一等席300美元，二等席200美元，三等席125美元，某公司在促銷活動中，組織獲得特等獎、一等獎的36名顧客到德國看2006年世界杯足球賽四分之一決賽，除去其他費用后計劃買兩種門票，用完5025美元.你能設計幾種購票方案供該公司選擇？并說明理由.

分析 購票要分三種情況：購一等席、二等席兩種門票；購二等席、三等席兩種門票；購一等席、三等席兩種門票.

點撥 本題設計新穎，與生活緊密相連，首先考慮幾種可能出現的情形，再依據整數性質及方程組知識討論取舍.

四、整體思想

解決一個問題，人們經常習慣于把這件事分成若干個小問題，或者分解為若干步驟逐一解決.這體現了化繁為簡，化難為易，分而治之，各個擊破的策略. 但是有些時候，這么做費工費時，或者根本行不通.倘若從整體的角度觀察思考，變換重組，常常能出奇制勝，得出絕妙的解法，體現了胸懷全局、高屋建瓴的雄才大略.在數學學習和解題中，如果能增強整體意識，培養整體思維能力，對提高我們的數學水平和解題能力是大有幫助的.

例6 有甲、乙、丙三種鉛筆，若購買甲3支、乙7支、丙1支，共需3.15元；若購買甲4支、乙10支、丙1支，共需4.20元.問：購買甲、乙、丙三種鉛筆各1支，需要多少元？

篇6

一、整體思想

當一個問題中未知數較多,一個一個地求解比較復雜,或有時不能求解時,可將其中滿足某一共同特性的固定代數式看作一個整體,這樣有時可使運算簡捷。

例1:甲騎自行車從A到B地,乙騎自行車從B地到A地,兩人均勻速前進,已知兩人在上午8時同時出發,到上午10時,兩人還相距36千米,到中午12時,兩人又相距36千米,求A、B兩地間的距離。

分析:題目中甲、乙的速度,A、B兩地的距離均不知道,可分別設x、y、z。相等關系有兩個:上午10時相距36千米(未相遇),中午12時,又相距36千米(已相遇,后又相離)。

解:設甲騎自行車的速度為x千米/時,乙騎自行車的速度為y千米/時,A、B兩地相距z千米,根據題意,得:

2(x+y)+36=z①4(x+y)-36=②

將(x+y)看作一個整體,②-①,得2(x+y)-72=0。

所以x+y=36。

將x+y=36代入①,得z=108。

答:A、B兩地相距108千米。

二、數形結合思想

數形結合思想是把圖形與蘊涵的數量關系巧妙的結合起來,使問題更直觀,更容易解決。

例2:中央電視臺2套“開心辭典”欄目中,有一期的題目如圖1所示,2個天平都平衡,則與2個球體的質量相當的正方體個數為

分析:本題有三個未知量―球體、圓柱體、正方體的質量,觀察圖形可得到兩個等量關系:2個球體的質量=5個圓柱體的質量;2個正方體的質量等于2個圓柱體的質量。

解:設一個球體、圓柱體與正方體的質量分別為x、y、z,根據題意,得:

2x=5y①2z=②

①×2-②×5,得2x=5z。

所以與2個球體相等質量的正方體的個數為5,故選A。

三、方程思想

將數量關系轉化為方程(組)的形式,通過解方程(組)使問題得以解決的思維方式就是方程思想,用方程的思想解決往往比用其它方法簡捷、方便得多。

例3:《一千零一夜》中有這樣的一段文字:有一群鴿子,其中部分在樹上歡歌,另一部分在地上覓食,樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說:“若從你們中飛上來一只,則樹下的鴿子就是整個鴿群的;若從樹上飛下去一只,則樹上、樹下的鴿子就一樣多了?！蹦阒罉渖稀湎赂饔卸嗌僦圾澴訂?

分析:此題有兩個未知量――樹上的鴿子數與樹下的鴿子數。

問題中有兩上等量關系:

(1)樹下的鴿子數-1=×(樹上的鴿子數+樹下的鴿子數);

(2)樹上的鴿子數-1=樹下的鴿子數+1。

解:設樹上的鴿子為x只,樹下的鴿子為y只,根據題意得:

y-1(x+y)x-1=y+1,解得x=7x=5。

答:樹上有7只鴿子,樹下有5只鴿子。

四、分類思想

分類討論思想就是把二元一次方程組在應用題中包含各種可能情況,按某一標準分成若干類,然后對每一類分別進行解決,從而達到解決整個問題的目的。

例4:“七星”體育彩票經銷商計劃用45000元從省體彩中心購進彩票20扎,每扎1000張。已知體彩中心有A,B,C三種不同價格的彩票,進價分別為A種彩票每張1.5元,B種彩票每張2元,C種彩票每2.5元。若經銷商同時購進兩種不同型號的彩票20扎,用去45000元,請你設計購票方案。

分析:本題從A、B、C三種彩票中選出兩種彩票購買,故有3種情況可能發生,即購進A與B彩票、A與C彩票或B與C彩票。

解:設購進A種彩票x張,B種彩票y張,則:

x+y=1000×201.5x+2y=45000,解得因x=-10000y=30000,因x

設購進A種彩票x張,C種彩票z張,則:

x+z=1000×201.5x+2z=45000,解得因x=5000z=15000。

設購進B種彩票y張,C種彩票z張,則:

y+z=1000×202y+2.5z=45000,解得因y=10000z=10000。

篇7

數學

年級/冊

七年級（

下）

教材版本

九年義務教育人教版

課題名稱

8．3

實際問題與二元一次方程組

難點名稱

列二元一次方程組解決幾何圖形問題

難點分析

從知識角度分析為什么難

列二元一次方程組解決幾何圖形問題，就是建立方程的模型，學生難點在于找不到等量關系。

從學生角度分析為什么難

1.

從文字信息中找到數學信息能力弱。關鍵是閱讀理解能力有待提高。

2.

不愿意動手嘗試，欠缺實踐意識。

難點教學方法

1.細致讀題，培養閱讀理解能力，學會把文字語言轉化為數學語言。

2.啟發學生，鼓勵學生動手去標注條件，參與到探究中去，體會數形結合數學思想。

教學環節

教學過程

導入

回憶上節課內容，利用“二元一次方程組”解決實際問題的一般步驟：

1審：認真仔細讀題目，根據關鍵的字眼，尋找等量關系式。

2設：考慮設直接未知數還是間接未知數。

3列：根據等量關系式列出方程組。

4解：用適當的方法解方程組。

5答：寫出問題的答案，記得滿足實際問題。

知識講解

（難點突破）

1、如圖，用12塊相同的小長方形瓷磚拼成一個大的長方形，設小長方形的長和寬分別為xcm和ycm，可列出方程組為：__________.

分析：

本題不光有文字敘述，配有幾何圖形，就是我們今天要研究的“幾何圖形問題”。

問：大長方形在哪里？（紅色凸顯出來）

題中主角是小長方形，拼成一個長方形，根據長方形的長相等，一條長是3個小長方形的長，一條是小長方形的2長和3寬，大長方形的寬是小長方形的長和寬之和。

問:本題的未知量是什么？可以怎樣設元？你能找到哪些和未知量有關的等量關系？

所以，不難得出兩個方程：x+y=40,x=3y組成方程組。

得出答案。

2、如圖，一個周長為34cm的大長方形，由7個大小相等的小長方形拼成，求小長方形的長和寬。

分析：觀察圖形，用字母標注圖形。（采取與第一道例題不一樣的方式，目的讓學生掌握多種方法。）

重點分析根據“大長方形的性質—--兩條對邊長相等，周長等于34厘米”找出等量關系。先設“小長方形”的邊長，用x、y表示圖中的“長”得到方程1，再表示“寬”，發現方程不成立，接著根據“周長”等量關系式得到方程2，組合成方程組。（設計“不成立的方程”意圖：為后期例題中分析做準備，可以少走彎路，節約時間。）

解:設小長方形的長為xcm,

寬為ycm,由題意得:

答：小長方形的長是5cm、寬是2cm。

3、小華在拼圖時，發現8個一樣大的小長方形，恰好可以拼成一個大長方形如圖甲。陳宇看見了說“我來試一試”，結果他七拼八湊，拼成一個如圖乙的正方形，中間留下一個洞，恰好是邊長2mm的小正方形，你能算出小長方形的長和寬嗎？

甲

乙

分析：這是一道特別經典例題。圖形甲、乙都是由小長方形拼出的，所以等量關系依然在圖形的邊上。

甲圖的重點類比之前

“大長方形的長”

，快速得出：3x=5y。乙圖在“邊長2mm的小正方形”多觀察。

其中

類似的設小長方形的長和寬，標識在圖形上，演示給學生看，讓學生會標注，會畫圖示。找到x+2=2y,聯立方程組，問題得以解決。

解：設小長方形的長為xmm，寬為ymm，依題意，得

答：小長方形的長為10mm，寬為6mm。

課堂練習

（難點鞏固）

4、用8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少?（單位cm）

60cmcm

解:設小長方形地磚的長為x

cm,

寬為y

cm,由題意,得

解此方程組得：

答:小長方形地磚的長為45cm,

寬為15cm.

設計意圖：學生當堂獨立完成，檢測知識點的掌握情況。再出示答案，讓學生自己了解學習效果。

小結

這節課我們主要探究了用二元一次方程組解決幾何圖形問題，并且體會到圖形的簡潔美。

篇8

一元二次方程這一章容量遠大于一元一次方程和二元一次方程組，學習的要求遠高于一元一次方程和二元一次方程組，既是第三學段數與代數的重點內容，更是繼續學習的重要基礎?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》規定：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程。能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等。能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。

根據課程標準的要求，我安排了授課內容，在第一環節中我選取的題目是常見的但卻容易出錯的，比如，解方程中的（1）2（x+3）2=x（x+3），學生會兩邊約去（x+3），從而導致丟根。接下來的解答題和應用題都是易錯題型，比如，（2）若關于x的一元二次方程 （m-1）x2+x+1=0有兩個實數根，求m的取值范圍。（3）某校去年對實驗器材的投資為4萬元，預計今明兩年的投資總額為9.24萬元，若該校今明兩年在實驗器材投資上的平均增長率相同，求這個增長率？學生作業都能完成，但出現的問題不少，甚至第二小題多半學生都做得不完整，第三小題也因為讀題不清做錯得較多。

在第二環節中，由學生講解復習作業中的題目，其中第一題解方程的第一個小題，請一位學生將自己的解題過程展示給大家，其余小題請一位學生與大家對答案即可。剩余的2、3、4題分別請學生展示自己的解題過程并且講述自己的解題思路，再由其他學生進行補充說明或者糾錯。對于第一題，學生普遍完成比較好。第二題較多學生在做題時只考慮了方程有兩個實數根，令根的判別式大于等于0就求解了，而實際上還應該考慮二次項的系數不能為0。第三題學生在完成時大部分做錯了，都說沒有看清題目條件，其實也反映出學生在找這道題的等量關系時出錯了，他們就按照一般情況下求第三次的量列出了方程，也提醒學生常見題型在做時也要認真審題，找準題目的等量關系是做對應用題的關鍵。第四題上黑板展示的學生講解得很好，其余學生也完成得很好。請做錯的學生自己給自己找錯，我覺得這種形式的教學可能教學效果會很顯著，因為這種強化勢必會讓這些曾經犯過一些錯誤的學生記憶非常深刻。

接下來第三環節中考鏈接中，要選擇了具有代表性的兩個題目，一個是動點問題，一個是增長率與不等式應用結合的題，這兩個題都是近年的中考題，選擇讓學生自主探究與小組探究結合的方式去完成。第一題學生在自主探究時就有大半能找到等量關系列出方程，在相互交流時就已經很多人會做了，最后由一位學生給大家講解了完整過程。第二題的第一問因為已經有了前車之鑒，大家找等量關系都沒費時，順利完成，到這時本章的基本應用學生已大致掌握，數學建模思想初步形成。在第二問的合作學習過程中，呈現出不同的思維形式，各組針對“使用新設備幾個月后，所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤”展開了討論，各種想法的提出，真正展現了學生開闊的思維，真正體現了合作學習的優勢。通過對這兩個題目的具體分析，學生再次經歷在實際問題中抽象出一元二次方程的過程，發展他們分析問題、解決問題的意識和能力，也為下一章二次函數的學習奠定一定的基礎，體現了教材螺旋式上升的設計意圖。

到此時學生已經經歷了由最初的發現本章中自己易犯的錯誤到糾正錯誤，再到細心地解決問題的過程，第四環節反思小結就很有必要了，讓學生都來說一說這一章中重點是什么，需要注意什么，然后第五環節跟上課堂小測，讓每位學生看看這節復習課到底有沒有收獲。最后環節回家的作業是回歸課本，閱讀本章內容。

一節復習課上完之后，學生的反應給了我很多提示，（1）復習課就是為了查漏補缺，學生總覺得我已經學過了而不重視，所以上課時一定要讓他們動起來，我想在梳理一元二次方程知識點時可以讓學生說，學生總想比一比自己是不是比別人說得多，這樣復習課就會活起來。（2）復習課時讓學生搜集平時的錯題，讓學生準備他認為這一章大家應該掌握的題型帶到課堂上來大家交流。平時的復習課總是老師認為這些或那些需要復習，其實學生才是學習的主人，由他自己準備他才會認真整理全章的知識。（3）復習課后是不是可以由學生出一份單元測試卷并附上標準答案呢？這樣就可以知道他自己是不是已經全部掌握了。

總之，復習課就要查缺，就要補漏，每位準備上復習課的教師都要事先想好這個，只有這樣，復習課才能起到事半而功倍的效果。

參考文獻：

篇9

1 二次函數與一元二次方程的建構的關系及其應用

1.1 二次函數與一元二次方程的建構的關系

通過構建一元二次方程解決拋物線y=ax2+bx+c相關問題,是解決二次函數的問題的常用方法之一。如構建一元二次方程ax2+bx+c=0解決拋物線y=ax2+bx+c與 x 軸交點問題;構建一元二次方程解決拋物線y=ax2+bx+c與其它函數的交點問題;構建一元二次方程解決其它與二次函數相關的的問題等等。

1.2 一元二次方程的建構在二次函數中的應用

通常解答二次函數的問題時,一元二次方程的構建及其求解是解決二次函數的問題不可缺少的工具。

例1 如圖,拋物線y=x2+bx-2交x軸的正半軸于A點,交x軸的負半軸于B點,交y軸的負半軸于C點,O為坐標原點,這條拋物線的對稱軸為x=.(1) 求A、B兩點坐標,(2) 求證ACO∽CBO

略解:(1)由x=,可求b=故由一元二次方程x2+x-2=0易求B(-4,0),A(1,0)

(2)略。

2 二次函數與一元二次方程根的判別式的關系及其應用

2.1 二次函數與一元二次方程根的判別式的關系

由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式可知,① 當Δ>0時,方程有兩個不相等的實數根;② Δ=0時,方程有兩個相等的實數根;③ 當Δ0 時,拋物線與 x 軸有兩個交點;② 當Δ=0時,拋物線與x軸只有一個交點;③ 當Δ

2.2 一元二次方程根的判別式在二次函數中的應用

2.2.1 利用一元二次方程根的判別式解決二次函數與x軸的相交問題

例2 已知拋物線y=x2-(m2+4)x-2m2-12,求證:不論m為何值時,拋物線與x軸一定有兩個交點,且其中一交點為(-2、0)

略證:=m4+16m2+64=(m2+8)2>0

拋物線與x軸一定有兩個交點

又由求根公式可求x2-(m2+4)x-2m2-12=0的兩根分別為x1=m2+6,x2=-2

因而拋物線與x軸兩個交點中的其中一交點為(-2、0)

例4 已知直線y=(m+1)x-2與拋物線y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有兩交點

求m的取值范圍

略解:由拋物線y=-(m+1)x2+(m-5)x+6可知,m≠-1

由直線y=(m+1)x-2與拋物線y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有兩交點,易列關于x的一元二次方程(m+1)x2+6x-8=0中,>0即36+32(m+1)>0,

m>-178

m>-178且m≠-1

2.2.2 利用根的判別式求二次函數的解析式

例3 已知:p、q為正整數,m≠n,關于x的一元二次方程-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有兩個不相等的實數根,拋物線y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q與y軸的交點到原點的距離為2,且m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,求拋物線的解析式

解:-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有兩個不相等的實數根

>0

p

p=1

m2-2m-1=0,n2-2n-1=0

m、n是x2-2x-1=0的兩根

mn=-1,m2+n2=6

拋物線y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q與y軸的交點到原點的距離為2, q為正整數

q=4

易求拋物線為:y=3x2-6x+2

3 二次函數與一元二次方程根與系數關系的關系及其應用

3.1 二次函數與一元二次方程根與系數關系的關系

3.1.1 由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根(設其兩根為x1、x2)與系數關系可知: x1+x2=-ca,x1x2=ca由這兩個公式可進一步探討x1、x2的大小:當x1、x2都是正數,則0、-ba0、ca0;當x1、x2兩根異號,則0、ca0;當x1、x2有一數為零,則0、ca=0;當x1、x2都是負數,則0、-ba0、ca0;…。進一步可知y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的一些情況。即① x1+x2=-ba>0且x1x2=ca>0,則y=ax2+bx+c(a≠0)交點都在x軸正半軸;② x1+x2=-ba0且x1x2=ca>0,則y=ax2+bx+c(a≠0)交點都在x軸負半軸;③ x1x2=ca0且x1x2=ca=0,則y=ax2+bx+c(a≠0)交點在原點及x軸正半軸;⑤ x1+x2=-ba

3.1.2 如果方程x2+bax+ca=0的兩根是x1、x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ca, 易知兩根為x1、x2的一元二次方程x2+bax+ca=0可化為x2-(x1+x2)x+ x1x2=0或者化為(x-x1)(x-x2)=0,也就是說一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化為a〔x2-(x1+x2)x+ x1x2〕=0或者化為a(x-x1)(x-x2)=0。根據這一點,當拋物線經過x軸上兩點(如果存在)A(x1、0)、B(x2、0)時,就不必分別將此兩點代入一般式,再與第三個條件聯立方程組去求a、b、c,只須令其解析式為:y= a(x-x1)(x-x2),再將第三個條件代入去求a。這樣求解二次函數的解析式就顯得簡潔方便.

3.2 一元二次方程根與系數關系的應用

3.2.1 求二次函數的解析式

例4 已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像經過點(6,0)、(-2,0),頂點的縱坐標為,求這個二次函數的解析式。

略解:令該二次函數的解析式為:y= a(x-6)(x+2),由頂點的縱坐標為,易求a=-,所以可求出該二次函數的解析式。

3.2.2 利用一元二次方程根與系數關系解決二次函數圖像與x軸的兩交點位置關系相關的問題

例5 函數y=ax2+bx+c,若a>0,b

A. 沒有交點;

B. 有兩個且都在x軸的正半軸;

C. 有兩個且都在x軸的負半軸;

D. 有兩個,一個在x軸的正半軸另一個在x軸的負半軸;

分析:(1)=b2-4ac>0可知該函數與x軸有兩個交點;(2)由根與系數關系x1+x2=-ba>0,x1x2=ca

篇10

例：某商店將進價為20元/盒的百合，在參考價28-38元范圍內定價為36元/盒銷售，這樣平均每天可出售40盒。經調查發現，在進貨價不變的情況下，若每盒下調1元，平均每天就多賣10盒，要使利潤達到750元，應將每盒下調多少元？

解：設應將每盒售價下調x元，由題意得：

（36-x-20）（40+10x）=750

解方程，得：x1=1，x2=11（不合題意，舍去）

答：應將每盒售價下調1元。

解決“每增每降”問題要抓住“五個量、兩個等量關系式、兩個變化過程和一個關鍵句”，找出五個量即進價、售價、單利潤、數量、總利潤和一個關鍵句“每…每…”，根據“單利潤=售價-進價、總利潤=單利潤×數量”兩個等量關系列出方程。在解出方程后一定要注意是否舍根。

變式1：某商店將進價為20元/盒的百合，在參考價28-38元范圍內定價為36元/盒銷售，這樣平均每天可出售40盒。經調查發現，在進貨價不變的情況下，若每盒下調1元，平均每天就多賣10盒，要使利潤達到750元，應將每盒定價多少元？

這里我們要注意的問題是“每盒定價多少元？”我們可設每盒定價x元，根據題意，得：（36-x-20）[40+10（36-x）]=750，那么方程復雜了，解方程增加了難度，如果我們按上面的問題設應將每盒售價下調x元就簡單了，因此我們解題時最好設變化量來解決問題。

變式2：某商店將進價為20元/盒的百合，在參考價28-38元范圍內定價為36元/盒銷售，這樣平均每天可出售40盒。經調查發現，在進貨價不變的情況下，若每盒下調0.5元，平均每天就多賣5盒，要使利潤達到750元，應將每盒下調多少元？