數學智力題及答案范文

導語：如何才能寫好一篇數學智力題及答案，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

“鴿巢原理”（一）

知識梳理

把4本書放進3個抽屜中，為什么不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進2本書？

方法一：枚舉法

把4本書放進3個抽屜中，一共有上面4種情況，每種情況總有一個抽屜里至少放進2本書。

方法二：數的分解法

把4分解成3個數，如下圖所示：

把4分解成3個數，共4種情況，每種情況分得的3個數中，至少有一個數是大于或等于2的。

方法三：假設法

把4本書放進3個抽屜中，假設先在每個抽屜中放1本書，那么3個抽屜就放了3本書，把剩下的1本書放入任何一個抽屜中，這個抽屜就有2本書了。

由此說明，把4本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進2本書。

1.

關鍵詞解析

“總有”是一定要有的意思；“至少”是指最小的限度，可能比已知情況多，也可能與已知情況相等。

2.

“鴿巢原理”（一）

（1）把4本書放進3個抽屜中，總有一個抽屜中至少有2本書。同理，把5本書放進4個抽屜中，總有一個抽屜中至少有2本書?！?/p>

得出：只要放的書本數比抽屜的數量多1，就總有一個抽屜中至少放進2本書。

（2）如果放的書本數比抽屜的數量多2，也是總有一個抽屜中至少放進2本書。如果放的書本數比抽屜的數量多3，也是總有一個抽屜中至少放進2本書?！?/p>

得出：把書放進抽屜中，只要放的書本數比抽屜的數量多，就總有一個抽屜中至少放進2本書。

總結：把個物體任意分放進n個“鴿巢”中（>，和是非0自然數），那么一定有一個“鴿巢”中至少放進了2個物體。

例題1

某小學有367名2008年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

解答過程：2008年是閏年，這年應有366天。把366天看作366個“鴿巢”，將367名小朋友看作367個物體。這樣，把367個物體任意分放進366個“鴿巢”里，總有一個“鴿巢”里至少放進2個物體。因此至少有2名小朋友的生日相同。

答：至少有2名小朋友的生日相同。

技巧點撥：制造“鴿巢”是正確運用原理解題的關鍵。

例題2

11名學生到老師家借書，老師的書房中有A、B、C、D四類書，每名學生最多可借兩本不同類型的書，最少借一本。至少有幾名學生所借的書的類型完全相同？

解答過程：列表找出借一本書和借兩本不同類型的書的所有可能情況。

借一本書

A、B、C、D

4種

借兩本不同類型的書

AB、AC、AD、BC、BD、CD

6種

合計

10種

把這10種類型看作10個“鴿巢”，把11名學生看作11個物體，所以至少有兩名學生所借的書的類型完全相同。

答：至少有兩名學生所借的書的類型完全相同。

技巧點撥：解答此題的關鍵是通過列表找到給定要求可能出現的情況總數。

例題3

在任意的四個自然數中，是否其中必有兩個數，它們的差能被3整除？

解答過程：因為任何整數除以3，其余數只可能是0，1，2三種情形。我們將余數的這三種情形看成是3個“鴿巢”。一個整數除以3的余數屬于哪種情形，就將此整數放在那個“鴿巢”里。將四個自然數放入3個“鴿巢”，至少有一個“鴿巢”里放了不止一個數，也就是說至少有兩個數除以3的余數相同。這兩個數的差必能被3整除。

技巧點撥：解答此題的關鍵是明確任意自然數除以3的余數只有3種不同的情況，即余數是0,1或2，且余數相同的兩個不同自然數的差必定是3的倍數。

同步練習

（答題時間：15分鐘）

關卡

解決問題

1.

少年宮開辦了語文、數學、英語、繪畫這四個學習班,小林、小云、明明、軍軍、小芳5

個人去參加學習，試說明至少有2

個人在同一個學習班學習。

2.

任意調查13個人，其中至少有2人的屬相是相同的。為什么？

3.

今天上午上了4節課，分別是：語文、數學、英語、美術，并且每科都留了作業。現在教室里有5名同學在做作業，試說明：至少有2名同學在做同一科作業。

4.

在任意的五個自然數中，是否其中必有三個數的和是3的倍數？

5.

用紅、藍兩種顏色將一個2×5方格圖中的小方格隨意涂色（見下圖），每個小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？

答案

關卡

解決問題

1.

將四個學習班看作4個“鴿巢”，將5個人看作5個“物體”，根據“鴿巢原理”（一）可知，必有一個“鴿巢”放入2個“物體”。

所以至少有2

個人在同一個學習班學習。

2.

把12個生肖看作12個“鴿巢”，任意調查的13個人，看作13個物體，根據“鴿巢原理”（一）可知，至少有2個人的屬相相同。所以至少有2人的屬相是相同的。

3.

把語文、數學、英語、美術這四種作業看作4個“鴿巢”，5名同學看作5個物體，根據“鴿巢原理”（一）可知，至少有2名同學在做同一科作業。

4.

任何整數除以3的余數只能是0，1，2?，F在，對于任意的五個自然數，根據“鴿巢原理”（一），至少有一個“鴿巢”里有兩個或兩個以上的數，于是可分下面兩種情形來加以討論。

第一種情形：有三個數在同一個“鴿巢”里，即這三個數除以3后具有相同的余數。因為這三個數的余數之和是其中一個余數的3倍，故能被3整除，所以這三個數之和能被3整除。

第二種情形：至多有兩個數在同一個“鴿巢”里，那么每個“鴿巢”里都有數，在每個“鴿巢”里各取一個數，這三個數被3除的余數分別為0，1，2。因此這三個數之和能被3整除。

綜上所述，在任意的五個自然數中，其中必有三個數的和是3的倍數。

5.

篇2

關鍵詞 數字系統故障診斷與綜合；開放性思維；求異思維

中圖分類號：G642.4 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2015）10-0097-03

Abstract Instructors often neglect open mind thinking cultivation of students in classroom teaching. Aimed at this situation，the issue of how to cultivate open mind thinking of students in Fault Diagnosis and Synthesis of Digital System classroom teaching is discussed in this paper.Teaching practice shows that Open mind thinking is beneficial to knowledge comprehension， knowledge utilization， inspiration of learning enthusiasm and creativity of undergraduates.

Keywords fault diagnosis and synthesis of digital system； open mind thinking； divergent thinking

1 引言

隨著計算機的普及，數字化自動測試系統的應用越來越多，它的可靠性問題也日益突出。而提高數字系統可靠性的兩個主要途徑就是故障診斷和可靠性設計，數字系統故障診斷與綜合正是考慮到這種技術發展趨勢而設置的，它是檢測技術與自動化裝置學科方向一門重要的學位專業課。學生對該課程的學習質量將直接影響到學生未來在相關領域思維素質的形成和潛能的發揮[1-2]。

本門課程的授課重點是：讓學生掌握數字系統故障診斷、可測性設計和可靠性設計的基本概念和主要方法，并力求了解掌握近年來最新的技術進展和研究成果。但是，傳統的教學方法比較注重知識的傳授，忽視對學生開放性思維的培養，因此，學生往往知其然而不知所以然，且處理實際問題的靈活性不強。

組合邏輯電路的測試是數字系統故障診斷與綜合課程的重要內容，其中布爾差分法和特征分析法是組合邏輯電路測試的兩種典型方法，但其內容抽象，學生掌握困難，容易理解不深。本文以布爾差分法和特征分析法的授課內容為例，淺談數字系統故障診斷與綜合教學中開放性思維的培養，并認為開放性思維形式至少包含求異思維、類比思維和追本溯源思維這三種，從而培養學生突破傳統思維定勢，從多視角、全方位看問題的能力。

2 求異思維的培養

求異思維又叫發散思維，是指在解決問題時從特定的目標出發，沿不同的視覺和方向多方位和多層面地思考，尋找解決問題的不同辦法。要培養學生的求異思維，就要引導學生在解題時多產生奇思妙想，鼓勵他們在掌握基本解法的同時，去尋找前人沒有想到的方法[3]。

如在講解利用布爾差分法求解測試集時，書中介紹了兩種方法來求解布爾差分，一種是根據布爾差分的定義，一種是根據定義推導后的代入法。但無論哪種方法都需要進行大量的異或運算，特別是對于求解多固定故障測試集的計算。基于此，可以引導學生思考：是否還有其他方法計算布爾差分呢？這樣一方面引導學生從多個角度思考問題，另一方面借機向學生介紹該領域較新的研究成果。這里舉一個實例來說明。

針對該問題，向學生進一步提出問題：布爾差分計算的關鍵是什么？有沒有別的方法能夠求解布爾差分？經過啟發，學生了解到計算布爾差分的關鍵是進行異或運算，因此不用公式也可以求解，如采用卡諾圖法也可以進行異或運算。

【方法二】采用卡諾圖法計算布爾差分時，只需要畫出各自的卡諾圖，然后進行化簡計算。如計算二階布爾差分時，已知：。設f1=h+x1x2+x4，，將表示f1和f2的卡諾圖重疊在一起，如圖1所示，其中淺色代表f2，黑色代表f1。

逐一檢查相同位置的最小項情況，若某個最小項同時包含于f1和f2中，或都不包含于f1和f2中的任意一個，則異或結果中該最小項為1，異或運算后的結果如圖2所示。經進一步的合并整理，可以很容易地得到結果為。該方法比方法一計算量大幅減少。

那么該問題是否就到此為止了呢？實則不然，可以繼續啟發學生更深入地思考：布爾差分計算的實質是什么？還可以采用什么辦法？通過思考，可以讓學生認識到當布爾差分值為1的實質是當一個或多個變量取反時，其相應的邏輯函數值也發生變化?；诖?，向學生介紹近年來出現的新方法，如恒等式等效法[4]。

【方法三】求解時，實際上可以轉化為求解f（X）=xi和，也即邏輯函數值隨著xi或變化而同步變化。而轉化后的兩個方程求解非常容易，只需要使方程兩邊的各項系數相同就可以。同理，求解布爾差分也可以采用同樣的思想，其計算量可大大減少。

通過探究教材上沒有的求解方法，不僅培養了學生的求異思維，更開闊了眼界，使學生了解到該領域最新的研究成果和思考方法。

3 類比思維的培養

類比思維是指在理解或解決問題遇到障礙時，聯想有共性的其他問題的解決方法，從而得到啟發，并類比地解決問題。要培養學生的類比思維，就要鼓勵學生在解決問題時多聯系生活及已有的見聞，借鑒已有問題的解決思路，從而使復雜的問題變得容易解決，使難懂的方法變得容易理解。

在數字系統的故障診斷中，跳變次數計數測試（TC）是特征分析法中一種重要方法。TC診斷序列的核心問題是如何把診斷集編排成TC診斷序列。教材中給出與非門多故障診斷序列，并給出證明。但對于這一問題，學生理解有困難，產生“為什么要這樣編排TC診斷序列”“怎樣想到的”“為什么別的方法不行”等問題。

為了便于理解，可以采用類比思考的方法來引導學生。先讓學生思考一個常見的智力題：“有100枚金硬幣，每疊10枚，壘成10疊。10疊硬幣中，9疊是真的，1疊屬偽造。每枚真金幣的重量完全一樣（每個2兩），每枚假金幣的重量也完全一樣（每個1兩）。現有一讀數秤，如何只稱一次，就能確定哪一疊金幣是假的？”該問題的答案：把這10疊硬幣按1～10編號，編號是幾就取出幾枚，稱一次，少幾兩，就說明第幾疊是假幣。

上述智力題給學生帶來啟發，類比想到TC診斷序列的生成方法實際上和這個智力題的解決方法是類似的，即可使第一種故障跳變次數改變2次，第二種故障的跳變次數改變4次，以此類推，第i種故障的跳變次數改變2i次，這樣通過跳變次數的改變值就可知道是哪種故障。同時啟發學生理解，之所以不采用與辨別金幣相同的方法，是因為有可能同時發生多種故障。

經過以上的類比思考后，學生就很容易理解了以下TC診斷序列求法：先求出與非門的診斷矢量u，e1，e2，...，en，其中u是使與非門無故障時輸出為0的測試矢量，e1，e2，...，en是使與非門無故障時輸出為1的其他故障的測試矢量，則與非門的常規診斷序列可為S=S1S2...Sn，其中Si=uei，uei，...，uei（i=1，2，...，n），其長度為2i[1]。

培養學生的類比思維，不僅可使學生分析和解決問題的思維更加敏捷，更可提高學生的學習興趣，體會學習的成就感。

4 追本溯源思維的培養

追本溯源思維是指在解決問題時尋找和抓住問題的根本，從源頭上尋找問題的癥結所在，并有針對性地提出解決問題的方法。同時，該種思維還可使學生在學習已有方法時知其所以然，理解更深刻。要培養學生的追本溯源思維，就要鼓勵學生學習已有知識和方法時，多問為什么，不僅要學習方法本身，更要知道提出該方法的學者是如何思考的，怎樣提出該方法的。久而久之，學生獨立解決問題的能力會大大加強。

如在講解布爾偏差分時，可以這樣引導學生：求解布爾差分時，高階布爾差分的計算量很大，但同時發現一階布爾差分的計算量要少很多，因此是否能夠把高階布爾差分轉化為一階布爾差分來求解呢？布爾偏差分正是基于這種目的被提出的。同時，結合類比思維，使學生聯想到數學中高階求導可用偏導數轉化為幾次一階求導，而布爾偏差分與之類似。至此學生就可水到渠成地理解布爾偏差分的由來、概念及作用。培養學生的追本溯源思維，不僅可使學生對知識的理解更深刻，更可培養學生獨立解決問題的能力。

5 結論

本文針對“數字系統故障診斷與綜合”的教學實際，討論了一些培養學生開放性思維的教學體會，并結合求異思維、類比思維和追本溯源思維的培養進行具體論述。連續幾年的教學實踐表明，該方法對課程教學有很好的促進作用，不僅可以使學生很好地掌握知識與方法，更能激發學生的學習積極性和創造力。本文提出的教學方法通用性較強，可以推廣到其他課程。

參考文獻

[1]楊士元.數字系統的故障診斷與可靠性設計[M].2版.北京：清華大學出版社，2000.

[2]Abramovici M，等.數字系統測試與可測性設計[M].華偉，等，譯.北京：機械工業出版社，2006.

[3]朱明旱，伍宗富，侯清蓮.淺談“數字信號處理”教學中的創新思維培養[J].電氣電子教學學報，2012，34（2）：

篇3

為了讓廣大即將應試或者有跳槽念頭的白領打“有準備之仗”，筆者采集了微軟等知名大企業的考題編匯成專輯，以此為“企業考試提綱”供參考。在模擬考中，先掂量掂量自己目前的現狀，如果可以的話，不妨把高中的教材拿來翻翻，溫故而知新，可以應試矣。

基礎數學題

(1)有三個不同的信箱，今有4封不同的信欲投其中，共有多少種不同的投法？

(2)連續4次拋擲一枚硬幣，求恰出現兩次是正面的概率和最后兩次出現是正面的概率。

(3)一個口袋內裝有除顏色外其他都相同的6個白球和4個紅球，從中任意摸出2個，求：A、2個都是白球的概率；B、2個都是紅球的概率；C、一個白球，一個紅球的概率。

(4)有30支籃球隊，先分3組(每組10隊)按單循環制進行比賽，然后將每組前三名集中，再按單循環制進行比賽，規定在小組賽已相遇的兩隊不再重賽，求先后比賽共有多少場？

(5)你有兩個罐子，50個紅色彈球，50個藍色彈球，隨機選出一個罐子，隨機選取出一個彈球放入罐子，怎么給紅色彈球最大的選中機會？在你的計劃中，得到紅球的準確幾率是多少？

(6)M、N是兩個平等平面，在M內取4個點，在N內取5個點，這9個點中，無其它四點共面，且其中任意三點不共線。求：A、這些點最多能決定幾條直線？幾個平面？B、以這些點為頂點，能作多少個三棱錐？四棱錐？

(7)某輪船公司每天中午有一艘輪船從哈佛開往紐約，有一艘輪船從紐約開往哈佛；輪船途中來去都是7晝夜，問今天中午從哈佛開出的輪船在途中將遇到幾艘從對面開來的輪船？

(8)正方形邊長為1，以各個頂點半徑為1做弧，在正方形中間有一個公共區域，求面積。

趣味數學和應用數學題 本文來自：中國求職簡歷網

(1)使用下列每組數字，排出加減乘除的公式，得出“24”。第一組“1、2、3、4”；第二組“5、6、7、8”；第三組“3、3、8、8”。

(2)10個人排隊戴帽子，10個黃帽子，9個藍帽子，戴好后，后面的人可以看見前面所有人的帽子，然后從后面問起，問自己頭上的帽子是什么顏色，結果一直問了9個人都說不知道，而最前面的人卻知道自己頭上的帽子的顏色。問是什么顏色，為什么？

(3)一個班有m名同學，問m為多少時，有兩人同一天生日的概率為0.6。建立數學模型并解答。同時說明該模型適用于通信中的那些情況。

(4)為了解決學生洗澡難的問題，東方學校新建一座澡堂，水龍頭數為m,每天開放k小時，如果學生人數為n,每位學生每周洗一次澡，每次須半小時，學生到達澡堂服從均勻分布，問當m為多少時，學生洗澡等待時間不超過10分鐘。建立數學模型并解答。同時請說明該模型適用于通信中的那些情況。

(5)有若干臺型號相同的聯合收割機，收割一片土地上的小麥，若同時投入工作至收割完畢需用24小時；但它們是每隔相同的時間順序投入工作的，每一臺投入工作后都一直工作到小麥收割完畢。如果第一臺收割時間是最后一臺的5倍，請問：用這種收割方法收割完這片土地上的小麥需用多長時間？

(6)有一批貨，如果本月初出售，可獲利100元，然后可將本利都存入銀行，已知銀行月息為2.4%，如果下月初出售，可獲利120元，但要付5元保管費，試問這批貨何時出售最好（本月初還是下月初）？請說明理由。

寫作能力測試

請根據下列材料分別寫3封信。(1)手機廠由于設計失誤，有可能造成電池壽命比原設計的壽命短一半(不是沖放電時間)，解決方案是免費更換電池或給50元購買廠家新手機的折換券。請給所有已購買此手機的用戶寫信，告訴解決方案。

(2)一位高層領導在參觀某博物館時，向博物館館員小王要了一塊明代的城磚作為紀念。按國家規定，任何人不得將博物館的收藏品變為私有。博物館館長需要如何寫信給這位領導，將城磚取回？

(3)營業員王小姐由于工作失誤，將2萬元的筆記本電腦以1.2萬元錯賣給李先生，王小姐的經理怎么寫信給李先生試圖將錢要回來。

綜合測試

(1)如果有了錢你首先想干什么？

(2)你最要好的朋友是什么人，你們認識多久了，你對她（他）的評價如何？

(3)一名主播，跳槽去了另一家電視臺，在原電視臺一檔主持了兩年之久的節目的最后，可以用30秒與其觀眾告別。如果你是他（她），你會怎么說？

(4)一名新聞記者，原定當天下午1：30開始采訪，2：00他必須去執行另一項采訪任務。可是前一名從1：00起采訪的媒體記者已經拖延了時間。1：35，這名記者決定要求前一位記者暫停下來，讓自己先進行采訪。如果你是他，你會怎么達到目的？

(5)電影《英雄》取得了巨大的票房效益。試分析《英雄》商業運作的方式及效果。

智力題

(1)為什么下水道的蓋子是圓的？

(2)美國有多少加油站？有多少輛汽車？

(3)你讓工人為你工作7天，給工人的回報是一根金條。金條平分成相連的7段，你必須在每天結束時給他們一段金條，如果只許你兩次把金條弄斷，你如何給你的工人付費？

(4)你有4個裝藥丸的罐子，每個藥丸都有一定的重量，被污染的藥丸是沒被污染藥丸的重量+1.只稱量一次，如何判斷哪個罐子的藥被污染了？

(5)如果你有無窮多的水，一個3夸脫的和一個5夸脫的提桶，你如何準確稱出4夸脫的水？

(6)將汽車鑰匙插入車門，向哪個方向旋轉就可以打開車鎖？

(7)如果要你去掉50個州的任何一個，那你去掉哪一個，為什么？

篇4

【關鍵詞】新課程標準；自學輔導；高中數學

本文是廣州市教育科學“十二五”規劃面上一般課題（資助類別）“促進美術類高中生高效學習文化課程的實踐研究”1201431029（課題名稱和編號）的研究成果.

21世紀的今天，“學會學習”、“終身學習”、“構建學習型社會”已成為21世紀的主題.“自主、合作、探究”的教學模式，已成為培養學生創新精神和實踐能力的公認的有效教學與學習模式.因此，如何培養學生的自主學習能力，成為新課程標準實施過程中的重要問題.中國科學院心理學研究所盧仲衡等，從1965年開始，根據我國學校教育實際，吸收了“程序教學”的思想理論，設計了自學輔導教學這一研究課題，進行實驗.其特點是在教師輔導下以學生為主體進行自學，其步驟分為“啟、讀、練、知、結”五步.從20世紀80年代開始，自學輔導教學在全國開始進行了擴大試驗，并取得較好成績.從2000年開始，隨著新課程標準（下面簡稱“新課標”）在全國的實施，20世紀80年代的自學輔導法與新課標之間存在的問題日益明顯.

一、自學教材不能完全滿足新課標的要求

現有的自學教材是根據舊有的教學大綱進行編制的，因此在教學內容和教材的編排方式上都不能完全滿足新課標的要求.首先在教學內容上，新課標增加了算法、函數與方程等新內容，而弱化了映射、反函數、冪函數等舊教學大綱的內容，將排列組合、復數、簡易邏輯等內容安排在x修課程；其次在教材的編排方式上，新課程提倡進行探究式的學習，因此在新課標的教材中編排了大量的探究活動，但原有的自學教材是探究活動較少，更多的是大量舉例，然后讓學生進行模仿練習.

二、沒有體現與現代信息技術的整合

《新課標》指出“高中數學課程應提倡實現信息技術與課程內容的有機整合，利用信息技術來呈現以往教學中難以呈現的課程內容，盡可能使用各種數學教育技術平臺，鼓勵學生運用計算機等進行探索和發現”.但在20世紀80年影儀、計算機等現代化教學設備還未能進入課堂當中，信息技術與學科的整合還處于萌芽階段，因此當時的自學輔導教學幾乎不可能與信息技術進行整合.

三、容易加劇學生學習水平的兩極分化

學生的個別差異是絕對的，不僅表現在學生先天的遺傳因素有區別，而且還表現在其身心成長與智能發展的后天條件有區別.對于同一知識，不同的學生掌握起來，有快有慢，有好有差.同一學校的同一個班級的不同學生之間存在比較明顯的差異.在使用自學輔導教學時，學生需要發揮自己的學習能動性，學生的自學效果受到閱讀能力、理解能力、個性等多方面客觀因素的影響，雖然自學輔導提倡“自定步調”，但是如果班內學生差異較大時，學生之間的學習步調差距會增大，適應這種教法的學生會迅速脫穎而出，不適應這種學法的學生會每況愈下，甚至逐漸喪失學好數學的信心，從而加劇了學生間學習水平的兩極分化，這無疑影響了數學教學質量的提高.

根據普通高中數學新課程標準的理念，及針對20世紀80年代的自學輔導法所存的問題，在教學中，筆者將探究學習、合作學習、分層學習和自學輔導教學相結合，并由單一教學方式向多元教學方式整合，此外還將信息技術與數學學科教學進行整合，探究出新課程下的高中自學輔導教學法，其主要環節為在預習、啟發、自學、議論、總結、課后鞏固.

一、預 習

本文所指的預習是指學生對所需使用的舊知識（特別是初中的知識）進行復習，即重新喚起學生可能已經遺忘的“已有發展區域”.預習應該在開展課堂學習之前進行.在高中數學教學中，有很多知識會涉及初中的內容，如兩圓的位置關系、一元二次函數、古典概型等知識是在初中學習的基礎上進行拓展或升華，根據維果斯基“最近發展區理論”，高中數學中這部分內容都處于學生的“就近發展區域”，但若學生遺忘了這部分舊知識，則會阻礙他們進行有效的學習，因此課前的預習顯得尤為重要，特別是對基礎薄弱的學生.在教學實踐中，筆者在每節課后會制作預習學案，指引學生復習下節課所需舊知，預習學案包括舊知的相關概念、定理等，并配有相對應的基礎性習題和拓展性習題，學生可以根據自己的學習需要使用.如在學習兩圓位置關系的預習學案中，指引學生回顧初中所學的兩圓的位置關系及判別依據、前章所學兩點間距離公式和點到直線的距離公式、本章所學的圓的方程，然后在每個復習內容后配上對應的基礎題和拓展題，并可將下節課要學的內容以思考題的形式呈現.

二、啟 發

啟發不是講課，而是從舊知識引入新問題，是針對本節課的教學內容而預設情境，從而激發學生的求知欲望，提高學生的學習興趣，使學生更加主動地閱讀教材，積極地進行自主探究和解決問題.那么，“啟發”又該如何進行？在高中教學當中，常見的啟發形式有：

1.復習式.是指在復習與新知識有關的舊知識同時，引入所要學習的新內容.如學習“一元二次不等式”時，先復習一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）和一元二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），然后將等號變為不等號（>，

2.發現式.是指通過某些暗示和啟迪，使學生從中發現問題的關鍵所在，并探究出問題的答案.如學習“對數運算的性質”時，可讓學生填空：

啟發學生去觀察同底的兩個對數之和（差）與真數乘積（商）的對數之間有什么關系，待學生有一定印象后再指出：今天我們學習的目的就是弄清楚對數的運算性質.要想弄清楚對數的運算性質，只有通過閱讀教材才能徹底弄明白，這樣容易激發學生的發現欲，從而提高學生的學習欲望.

啟發的方式多種多樣，除以上常見方式外，還有設問題式啟發、類比式啟發、結合實際問題啟發、課題式啟發、猜想式啟發、實驗式啟發等.興趣是最好的老師，而好的啟發恰似激發學生學習興趣的催化劑，激發學生的求知欲和學習熱情，讓學生在強烈的求知欲望氛圍中去閱讀教材，探究疑惑，真正掌握知識實質.

三、自 學

這一步驟主要讓學生自覺地閱讀教材，并利用各種資源獨立地開展探究活動，尋找解決問題的方法和途徑，與此同時教師進行必要的指導.在開展自學時，教師可制作自學提綱，引導學生開展自學活動.針對高中數學課時較緊、學生的學習能力和基礎存在差異等問題，在這一環節中，筆者做了如下教學嘗試：

（一）進行分層自學輔導，關注學生學習的差異自學

在通常情況下，班內學生的知識和能力水平總是存在著很大差異，因而在自學過程中如果用同一目標來要求全體學生，必然與相當一部分學生的學習能力不相適應，從而使這些學生或輕易達標，或難以達標，他們的學習活動不能有效展開，他們的發展就會受到影響.要改變這種狀況，因材施教顯得極為必要.對學生進行分層自學教學，是使全體學生共同進步的一個有效措施.在分層自學輔導中，要體現“”的原則，即既要重視各類學生的共同要求，又要照顧到各類學生的個體差異.

首先，將教學目標層次化，合理地確定各類學生的學習目標.如在學習“方程的根和函數的零點”時，可將學習能力較弱的學生的學習目標設定為①了解零點的概念；會求簡單函數的零點；②掌握函數零點存在性判定定理；③理解零點與方程的根的關系，特別是二次函數的零點個數問題，但對于學習能力較強的學生可進一步將學習目標③提高為：理解二次函數的零點分布及條件，以體現出對不同層次學生的不同要求.

其次，⒆匝內容層次化，使每一個學生在數學學習上都有所得.自學內容既有面向全體學生的內容，也有只面向個別學習能力強的學生的內容，這主要體現在學習內容和課堂練習題分為基礎部分、拓展部分、外延部分三個部分，基礎部分是所有學生都必須掌握和完成的，拓展部分是面向學生能力較強的學生，而外延部分則可供學有余力的學生選學.如在學習“函數的單調性與導數”時，基礎部分為研究不超過三次的多項式函數的單調區間問題，是《普通高中數學課程標準》要求學生掌握的內容；拓展部分為研究帶參數的函數的單調性和復合函數的單調性問題；外延部分為二階導數的幾何意義（函數的凹凸性）.

最后，將輔導分類化，將培優輔差落實到實處.輔導可分為集體輔導和個別輔導，集體輔導主要解決學生自學時出現的共性問題，個別輔導是指導個別學生的學習方法，解決學習中遇到的困難問題.在輔導學習能力較弱的學生時，要以鼓勵他們多練、多思考為主，對他們進行針對性的查漏補缺，幫助學生戰勝畏懼心，樹立堅強的意志和自信；對于學習能力較強的學生，要引導他們在自學中學會比較、歸納、總結，做好知識積累與解題方法積累，遇到疑難，只指出關鍵，畫龍點睛，多讓學生發表己見，培養獨創精神，鼓勵求異思維.

（二）利用信息技術，讓學生開展自主探究活動

傳統的數學教育強調了數學重視演繹推理的一面，忽視了數學作為經驗科學的一面.現代數學教育更強調進行“問題解決”，在解決問題過程中鍛煉思維、提高應用能力.現在，學生自主探究的活動可以得到信息技術的有力支持，學生可以利用計算機軟件（如Geogebra軟件、幾何畫板）和圖形計算器自主地在“問題空間”里進行探索和做“數學實驗”，使得枯燥乏味的自學課堂變得生動有趣.如幾何畫板為學生提供了積極探索問題的“做數學”的環境，學生可利用它來做“數學實驗”，從而使學生在問題解決過程中獲得真正的數學經驗，而不僅僅是一些抽象的數學結論.

四、議 論

在學生充分自學的基礎上，教師要引導和組織學生進行議論.議論是合作學習的基本形式，是指課堂教學過程中，學生在教師的引導下，師生之間、同學之間有共同的學習要求，圍繞著對知識的理解和掌握、學習方法等個體信息，相互激勵、同化、吸收，促進學習意向，培養分析問題和解決問題的能力.它不只是以對某個問題求得答案為目的，而是在議論過程中，學生可以把自學時所遇到的問題提出來，尋求其他同學的幫助，也可以分享自己自學的心得，對某些問題發表自己的見解，開展熱烈的爭辯.議論的形式有分組和全班兩種.在分組議論時，教師可按學生的學習能力將學生分成學習組，也可以讓學生自由進行分組，分組一般由4或6人組成，小組的這種排列縮短了學生與學生之間的距離，增強了學生間互相交往的機會，有利于組內成員的交流和合作.全班議論則更有利于學生對共性問題的探討和解決.

在議論時，教師既是議論的巡視者，也是引導者和參與者.首先，教師要通過巡視，確保正常的課堂秩序；其次，教師要學會“授之以漁”，教給學生交流協作的學習方法，教師不僅要指導學生進行組內的交往，還要引導學生進行組際交流，不僅重視交流學習結果，更要重視交流學習方法.最后，教師不僅要鼓勵學生大膽提出自己認為不懂的問題，還要鼓勵學生充當“小老師”，大膽講清自己的解決問題的方法，再讓其他同學進行評價，或者共同探尋更多的解題方法，從而開拓學生的思路、誘發學生的創造性思維.在民主、開放的合作學習氛圍中，議論使得優等生的才能達到發揮，中等生得到鍛煉，學困生得到幫助和提高.

五、總 結

總結，必須要做到有的放矢，概括全貌，對本節所學的知識加以系統提高.總結不一定需要由教師獨立完成，也可以學生總結、教師加以適當的補充的方式進行.總結的方式一般有：

1.按自學提綱小結、整理；

2.根據學生自學中普遍尋在的疑難問題進行；

3.就本節教材的某一個重要問題深入分析講解；

4.當學生自學本節的內容很順利的時候，可以進行引申性的總結，為學習下一節課的內容做鋪墊.

六、課后鞏固

課后鞏固包括了課后作業和課外輔導兩部分.

（一）課后作業

作業的分層包括了作業量的分層和作業難度的分層.

作業量的分層要視學生學習情況而定，讓各類學生既能得到充分練習，又能得到自由發展.學困生控制有難度知識的作業量，增加基礎知識的作業量，確保基礎知識的掌握；優等生適當減少做基礎性練習的作業量，給予自由發展的空間，擁有足夠的時間自己去做一些融綜合性、靈活性于一體的高智力題；中等生的作業量，則介之于優等生與后進生之間.

作業的設計要依據各類學生的不同學情，難易有度，分別適應各個層次學生學習的需要，讓各類學生練有所得，有所提高.學困生作業難度適當降低，確保完成基礎目標；中等生保持難度，使他們在確保達成基礎目標的基礎上，努力完成發展目標；優等生增加難度，促使他們在較高的知識平臺上發展，努力實現創造目標.

由于作業的分層可以避免“一刀切”的現象，充分調動了各類學生的學習積極性，使各類學生完成作業的質量大為提高.

（二）課外輔導

課外輔導是課內輔導的延伸.網絡技術為開展課外輔導提供了技術支持.學生可以通過專題學習網站學習課的內容，教師也可以通過視頻、語音等軟件和學生進行互動，遠程輔導學生的學習，從而將自學課堂從課內延伸到課外，使學生的自學活動更具有連續性和多樣性.