高中函數范文

導語：如何才能寫好一篇高中函數，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

[關鍵詞]變量思想　數形結合　對應說

[中圖分類號]G427　[文獻標識碼]A　[文章編號]1006-5962(2012)02(a)-0044-01

1前言

函數思想是高中數學的最基本思想，它的觸角延伸到中學數學各個部分，可以說它是中學各個部分組成有機整體的主線。函數學習有利于培養學生分析問題、解決問題的能力，以適應其他學科的學習和繼續深造及將來參加工作的需要。從近幾年高考命題我們也看到，只要涉及與“應用”有關的問題，常常需要通過建立函數關系去解決。因此，只有加強函數及相關內容的教學，才能有效提高分析問題、解決問題的能力，從而適應其他學科學習和將來工作的需要。

2高中生的認知特點

從年齡來看，我國高中生的年齡屬于其第四階段形式運算階段，這一階段兒童的思維已經超越了對具體的可感知的事物的依賴，使形式從內容中解脫出來，進入形式運算階段。本階段兒童的思維是以命題式形式進行的，并能發現命題之間的關系；進入形式運算階段的兒童能夠根據邏輯推理、歸納或演繹的方式來解決問題；能理解符號的意義、隱喻和直喻，能做一定的概括，其思維發展水平已接近成人的水平。

3高中函數的教學策略

3.1課前情景的創設

學生對新知識或者新方法的掌握都是建立在先前知識基礎上的，因此，課前情景的創設有利于激發學生的求知欲。如分段函數教學時，先提出y=1×1以及“招手即?！钡能嚻币巹t，然后提出以下實際問題：出租車計價標準：4km以內8元(包含4km)，超過4km且不超過10km的部分1.7元／km，超過10km的部分2.5元／km.然后設置問題：1.甲乘車行駛了7km，他要付多少錢?2.列出車費和行車里程的函數關系式.3.若乙付了35元，行程為多少?對于第一個問題，學生根據以往的知識很快得出了關系式：y＝8+1.7(7 4)＝13.1(4

3.2課堂中的情景創設

課堂總是在教師的引導和學生的思考下進行的，教師的引導將直接影響著學生學習效果的達成。如在反函數教學中，教師不妨用撲克牌的游戲進行：首先教師準備一副撲克牌(沒有大小王)，規定A～K分別用數字1～13代替，讓后讓學生隨意抽出一張牌，并將牌號乘以2加上3后再乘以5，再減去25后告訴老師結果，老師便知道是什么牌.經過幾次游戲，學生自然會產生疑問，其中有什么秘訣?教師此時便可引出：若牌號是自變量x，根據對應關系可得：y＝5(2x+3)25，簡算后為y=lOx 10，由題干可知定義域為{1，2，3，4，12，13}，值域為0，10，20，30，110，120，反函數為f-1(x)=11Ox+1.在游戲過程中，如果學生給出的結果為110，那么x=12，此牌為Q，以此類推.在此游戲中，學生已經由學習的狀態轉變到了游戲狀態，求知欲和興趣得到了激發，他們尋找問題的答案是主動的，教師只是一個引導和組織的角色。

3.3課后情景的創設

數學教學是一個循序漸進的過程，教學和學習數學知識(方法)不止在課堂上，它貫穿于整個學習活動中，甚至延伸至課外。

1、課后問題情景

課后的引導對學生不僅能起到鞏固舊知識的作用，還能激發學生學習新知的欲望，培養他們的創新能力和自學能力.如在學習正弦、余弦等周期函數的課程之前的課程中，《數學A版必修4》中有這樣一個例子：“今天是星期三，7k(k∈z)天之后的那一天是星期幾?”我們可以將此問題作為學生課后的思考問題，當學生在尋找答案的過程中，很自然地會根據需要去預習后面的內容，于是對周期函數的學習便起到了一定的促進作用。

2、課后實踐情景

數學知識能用于生活，但很多學生在學習中更多地注重抽象的數量分析，而忽視實際的應用，為此，根據所學知識應用于生活實踐是數學課中培養學生解決問題能力的一大要求，特別是課后.如在教學函數后，我們可以根據學校的實際情況，將學生分組后去完成以下問題：1.學校水龍頭未擰緊，每一秒將流失一滴水，而每滴水的體積為a+1a＝1升，滴水時間為x秒，流失水為y升，求y和x之間的關系式。2.假如學校有2000人，每人每天節約一滴水，將能節約多少水?關系式如何表達?如果是一個市或者是一個省呢?學生利用自己學到的知識解決了生活中的實際問題，不但培養了他們解決問題的能力，同樣提高了他們對資源的節約意識.

結語

從以上分析我們不難看出，在高中函數的教學中，情景的創設不但能激發學生學習的積極性，更有利于讓學生從具體到抽象的轉變，對學生解決問題的能力也起到了很好的促進作用。但我們也應看到，教學是一個有機的過程，情景的創設應貫穿整個教學活動中，將生活和數學練習起來，在教師指導下，引導學生進行探索和求證，最終得到問題的答案，并在過程中掌握解決問題的方法。

參考文獻

[1]章建躍.中學數學課改的十個論題[J].中學數學教學參考.2010.4.

[2]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003：11，13，99.

[3]陶維林.函數的概念教學設計[J].中小學數學，2009(78)

篇2

關鍵詞：高中數學 函數 函數作圖 方法

數形結合是高中數學知識中很重要的一種學習方法，并且很有用，能夠靈活地運用數形結合的方法，可以進一步幫助學生掌握數學知識。尤其是在函數和幾何中，數形結合能夠有效地幫助學生快速的解決問題，甚至省去相對較為復雜的計算，所以，教會學生掌握函數作圖的方法是非常重要的。

函數作圖是函數學習的重要組成部分，也是輔助學生更好的學習函數的重要方法，因為，從函數圖像中，我們可以看出函數的單調性、最大值、最小值、周期、奇偶性等重要性質。

因此，我們可以看出數形結合對于高中函數解題是非常重要的方法，所以，我們需要掌握好函數作圖的方法。

一、列表描點法

該作圖法是高中函數作圖中最基本的，也是最簡單的作圖方法。列表描點法作圖分為三個步驟：

第一步，列表：首先需要確定函數f（x）的定義域，其次在函數定義域內取若干x的值，然后對應x的取值列出相應的函數值表。

第二步，描點：在列出表格之后，再在平面直角坐標系中描出相應的點。

第三步，用光滑的曲線依次連接相應的點，得到的光滑圖形便是所求函數的圖像。

二、利用圖像特征作圖

利用圖像的特征作圖即為簡化的描點法，它主要依靠學生對于函數圖像的熟悉程度決定的。當我們知道需要作圖的函數圖像的大概形狀和特征時，我們就只需要找到圖像關鍵的點，然后依次連接關鍵點便也可以得到函數的圖像。而沒有必要嚴格的按照描點法畫圖。

但是，想要利用圖像的特征作圖，首先就得需要學生對于各種函數圖像的特征有著準確的了解和定位，看到函數的解析式便能夠明確這是什么函數，這個函數的基本圖像大概是什么樣子，然后，在此基礎上，加上具體函數的具體數字加以計算，得到關鍵點的數字，再對應坐標描點，才能夠得到函數的圖像。例如，一次函數的圖像就是一條簡單的直線，所以，只需要找到任意兩個不同的點，鏈接點便可以得到函數圖像;二次函數的圖像是一條拋物線，所以在作二次函數圖像時需要確定圖像的頂點，對稱軸，函數圖像開口方向，以及函數圖像與坐標軸的交點即可，然后鏈接這些點，就能夠畫出二次函數的圖像。

另一類的圖像和英文字母N（a>0）或倒寫的N（a<0）相似。所以對于三次函數只要根據首項系數和極值點就可以確定其草圖。

四次函數y=ax4+bx3+cx2+dx+e圖像也有兩種基本類型：一類是拋物線型;另一類的圖像和英文字母W（a>0）型或M（a<0）型相似，所以對于四次函數只要根據首項系數確定張口方向，再結合極值點草圖立馬畫出。

利用函數圖像特征作圖是數學中比較常用的圖像作圖方法，因為只需要按照熟知的函數圖像形狀，再確定幾個關鍵點便可以做出函數的草圖，節約時間，錯誤率也相對較少。所以，在教學過程中，教師和學生都多常采用此方法作圖。

三、利用基本函數的圖像，通過變換作圖

利用基本函數的圖像，通過變化作圖主要就是找到函數的基本函數，然后根據基本函數的圖像，再經過解析式所需求的變換，來畫出所求圖像。例如一次函數的基本函數就是y=x，二次函數的基本函數則是y=x2，所有的二次函數都是在此基本函數的基礎上經過平移、對稱、伸縮等變換，得到的新的圖像。

函數圖像的變換主要有：

1.平移變換（1）將y=f（x）的圖像向左平移a―個單位可得到y=f（x+a）（a>0）的圖像，將y=f（x）的圖像向右平移a個單位可得到y=f（x+a）（a0）的圖像.（2）將y=f（x）的圖像向上平移b個單位可得到y=f（x）（b>0）的圖像，將y=f（x）的圖像向下平移b個單位可得到y=f（x）+b（b0）的圖像.

2.對稱變換：（1）將y=f（x）的圖像做關于x軸的對稱圖像可以得到y=-f（x）的圖像;（2）將y=f（x）的圖像做關于y軸的對稱圖像可以得到y=f（-x）的圖像;（3）將y=f（x）的圖像做關于原點的對稱圖像可以得到y=-f（-x）的圖像。

3.翻折變換（1）將y=f（x）的圖像在x軸上方的部分保持不變，將x軸下方的部分翻折到x軸上方，可得y=f（x）的圖像。（2）將y=f（x）的圖像在y軸左側的部分去除，再做y軸右側部分的圖像關于y軸的對稱圖像，可得y=f（x）的圖像。

4.伸縮變換（1）將y=f（x）的圖像上所有點的橫坐標變為原來的 ，縱坐標不變可以得到y=f（ax）（a>0）的圖像。將y=f（x）的圖像上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的b倍可以得到y=bf（x）（b>0）的圖像。當a>0或b>0時可以先按對稱變換處理后再做伸縮變換。

一般地，利用函數的基本圖像通過變化作圖需要作圖者對于函數的基本圖像銘記于心，還需要對于函數變換的技巧熟練掌握，不然很容易在變換的過程中出現錯誤，從而影響圖像的正確度。

四、用多媒體軟件做函數圖像，高中生可以用的有幾何畫板和Excel

1、用幾何畫板做函數圖像，從菜單中選擇“文件”“新建文件”命令，再從菜單欄中選擇“繪圖”“定義坐標系”命令，再從菜單欄中選擇“繪圖”“繪制新函數”命令，彈出以下對話框。然后在對話框里編輯函數如：“f（x）=x3-2x”;或著選擇函數如：“f（x）=sinx”，最后點擊確定就可以畫出所需函數圖像。

篇3

【摘 要】在高中數學的教學中，函數是最基礎也是最重要的一項學習內容，它對于培養學生的數學思維與提高應用能力來說都有至關重要的作用，因此，函數的教學模式也在一定程度上對學生的學習興趣與掌握程度都會產生一些影響。在傳統的高中函數教學模式中，大部分教師也只是依據死板的教學方法，照本宣科地進行函數教學，這樣死板的教學模式既不利于激發學生的學習興趣，也不利于提高整體的教學效率。因此，為了迎合現如今素質教育的發展趨勢，教師必須大力進行函數教學的模式改革，摒棄傳統的教學理念，采用多樣化的教學方式來吸引學生的學習興趣，激發學生的探知欲望，進而整體提高函數教學效果。文章就如何在高中函數教學模式中創新進行了探討。

關鍵詞 高中；函數；教學模式；教學理念；創新

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2014）36-0107-02

隨著我國社會教育水平的普遍提高，對教學模式的改革創新也勢在必行。尤其是針對于高中函數的教學來說，由于它是承接了初中函數學習的更深入學習，因此對于學生的知識繼承與發展來說都有重大意義。但在一般的高中函數教學中，由于教師還未能完全實現創新意識，還是采用傳統的教學方式來進行教學，這樣死板的教學模式既不利于激發學生的學習興趣，也不能有效培養學生的思考、創新能力，阻礙學生綜合素質的全面提升。因此，進行函數教學模式的改革創新勢在必行，在進行函數的教學中，教師應該以實現學生的學習主體為根本目的，將課堂的支配權交到學生手中，引導學生進入探索函數的趣味學習中來。

一、注重初、高中函數知識的銜接

高中函數的作用是引導學生在掌握基本函數知識的基礎上，使其從具象思維轉變為抽象邏輯思維，完成對于函數的相關概念、應用的理解、掌握能力。因此，高中教師在進行函數的教學活動中，首先就應該注重將初、高中的函數知識有效連接起來，做好兩者的過渡。另外，由于函數也存在于高等教育的教學中，所以從全面來考慮，教師也應該為學生今后學習高等函數教學奠定有力的基礎，起到承上啟下的作用。

二、通過競賽活動創新函數教學

在傳統的函數教學中，高中教師往往比較注重對于學生獨立思考能力的培養，雖然說注重學生獨立思考能力可以有效激發學生的個人潛力，但也存在一定的弊端。因為高中班級作為一個集體，如果學生都只注重于自身的獨立發展，而忽略了對他們競爭意識的培養，那么學生往往會由于沒有可追求的目標或者沒有對比的對象而導致學習動力不足，容易產生松懈的學習心理，這也不利于學生進行長期學習。所以，針對這一問題來說，教師在進行高中函數教學模式創新的同時，應該注重對學生獨立發展與競爭意識的培養，對于培養學生的競爭意識來說，教師可以通過在課堂上組織一系列的競賽活動來激發學生之間的競爭意識，使學生樹立自己的追趕目標，或者通過與其他學生的對比，發現自己的優點與不足，激發自己的學習動力，使每個學生都能獲得不同程度的提升。另外，通過舉辦有趣的競賽活動這種創新型的教學模式，改變他們對于函數學習枯燥性的理解，吸引學生的學習興趣。

在進行《指數函數、冪函數、對數函數增長比較》這一節課程的時候，在傳統的教學中，教師先引入講解概念，再畫圖，最后給予公式講解這樣的順序，比較死板而且不具有靈活性。如果想要利用這節課加入對學生的競賽機制，教師就可以先向學生說明本屆課程的教學模式，利用教師提問、學生搶答的方式來學習，學生答題次數多、正確率高的學生將會獲得一定的獎勵。這樣在課程開始前，每個學生都會躍躍欲試，想要在競賽中體現自己的實力。這樣，教師就可以先就一些簡單的問題進行提問，繼而再引入到這三個函數的增長比較中去。在這個過程中，學生在進行對教師提問給予回答的時候，不僅在這種競賽的氛圍中促使自己的大腦快速運轉，而且可以有效吸引學生的學習興趣，參與到課堂的活動中來，在這種競賽活動中對這一節函數課程進行有效地掌握。

三、注重情境教學，將函數教學生活化

學生學習的最根本目的就是為了在生活中將其實踐，尤其是對于數學教學來說，數學本就是一門實踐性極強的教學課程，在傳統的高中函數教學中，教師也只是將教學局限在對于函數相關概念的分析、應用題的講解上面，既枯燥又乏味，而且無法凸顯出函數在生活中的有效應用。因此，教師對函數教學模式進行創新改革的過程中，完全可以通過使用情境教學，將函數教學在生活中的應用凸顯出來，并且適當在課堂中加入實踐性的環節。通過對函數教學實施這樣的創新改革，加深學生對于函數的理解程度，并且有效掌握其實際的運用，增加學生的學習興趣。

比如，在進行《三角函數的應用》這一節課程的時候，教師就可以將實踐性的活動引入其中，使函數貼近生活。教師可以將學生帶到學校的操場上，選取一塊半徑為10米的圓形空地，另一塊為半徑10米，圓心角為60度的扇形空地。繼而對學生提出實踐的要求，如果分別要在這兩塊空地中放置一塊矩形的草皮，使草皮的一邊在空地的半徑同時內接于此空地，那么應該如何進行設計，才能使這塊草皮的面積最大？在提問后，教師就可以引導學生展開實踐操作，采用矩形的物品來代替草地進行實地的實踐，并且在實踐的過程中利用三角函數的有關知識切實進行求解。在這個過程中，由于加入了對于生活性的應用，學生都會積極地探討多種答案。最后，教師再進行對學生正確答案的引導，實現函數實踐性的有效效果。

四、實現學生在教學中的主體地位

新課程標準的要求是在培養學生綜合素質的基礎上，實現學生作為學習的主體，將課堂還給學生，通過教師的引導作用，激發學生主觀能動性的發揮，使學生自主完成教學任務并且實現綜合能力的提高。為了在函數教學中實現學生的主體地位，教師可以通過對學生分配教學任務，在講臺上代替教師進行課程的講解，實現主觀能動性的充分發揮。在這個過程中，教師可以在講臺下作為一個觀察者，觀察學生在講臺上的表現，對其是否把握了教學主旨與教學內容進行監督，并且給予學生一定的意見，幫助其加深對于知識的理解，在這個過程中給予學生一定程度的提高。通過學生試做教師，不僅可以提升學生自身的綜合能力，同時通過學生與學生之間的交流，也會使教學模式變得吸引，講臺下的學生通過對于講臺上的“教師”進行內容的監督，及時發現問題，改進問題。

五、有針對性地使用多種教學方式

函數既是高中學習中的一個重點，也是一個難點，因此，能否正確掌握函數的相關知識也直接決定了學生數學學習能力的高低。教師在進行函數教學模式的創新改革時，不能固定采用某一種教學方式實施教學，而是應該針對于學生不同的情況實施不同教學的方法，對于一些基礎比較差的學生，應該集中起來加強對于他們函數基礎的理論學習，并且對于他們存在的困惑與難點及時進行解答，對于學習成績比較優異的學生，也應該針對其設計一些比較有難度的問題，加強其挑戰性，實現每個學生不同程度的提高。

對高中函數教學模式進行改革創新，不僅適應了社會教育發展的基本趨勢，而且也是提高學生綜合能力的需求。通過在函數教學模式中，采用多種教學方式，如將競賽活動的方式引進函數教學，增強函數教學的實踐環節等，提升學生對函數的分析問題、解決問題的能力，促使學生數學水平得到綜合提升，繼而提高整體的函數教學效率。

參考文獻：

[1]徐志強.突破難點，多媒體助力高中數學函數教學[J].中國教育技術裝備,2013,(17)．

[2]楊美.優化函數教學模式，注重高中數學基礎教學[J].語數外學習(數學教育),2013,(1)．

篇4

【關鍵字】幾何畫板；函數；整合

【中圖分類號】G40-057 【文獻標識碼】A 【論文編號】1009―8097（2008）13―0083―03

新課程標準強調注重信息技術與學科課程的整合，指出現代信息技術的廣泛應用正在對學科課程內容、學科教學、學科學習等方面產生深遠的影響?！靶畔⒓夹g與課程的整合”是我國面向21世紀基礎教育教學改革的新視點。為適應新教改和“新課標”要求，教師必須更新觀念，注重教學過程中角色的轉變，在學科教學中充分有效的運用各學科教育技術平臺，利用多媒體信息技術來輔助呈現傳統教學中不能或難以呈現的課程內容，有利于學生主動地進行培養觀察、猜測、交流、實驗、驗證、推理等自主探究的數學活動。

幾何畫板是理科教學比較成熟的軟件平臺，它為老師和學生提供了一個探索幾何圖形內在關系的環境，它能把比較抽象的幾何圖形形象化，使靜態圖形動態化、抽象的概念形象化、枯燥的內容趣味化；促進學生提高從學科的角度發現、提出、探究和解決問題的能力,加強學生的表達、交流及使用信息技術的能力，從而提高了課堂教學效率。作為信息時代的教師有必要學會使用現代化的教學工具，在適當的時候充分利用它們來輔助自己的教學過程，為學生創設豐富多彩的教學情境，增設疑問，巧設懸念，激發學生獲取知識的求知欲，充分調動學生學習的積極性，使學生由被動接受知識轉為主動學習，積極配合課堂教學，主動參與教學過程，彌補傳統教學方式在直觀感、立體感和動態感等方面的不足，為教師突出教學重點，突破教學難點，提高課堂效率奠定了堅實的基礎，從達到課堂教學最優化；幾何畫板平臺正好是能幫助老師有效地達到這一教學效果的課件制作平臺之一。

一 函數教學

函數是高中學數學中最基本、最重要的概念，函數的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分，是高中數學課程的知識主線，在學生現有的認知及傳統教學環境條件下，學生所接觸到的函數一般都是函數解析式固定、函數圖像不變的情形，怎么樣才能讓學生更好的理解和掌握含參變量函數的性質、圖像隨參數動態變化的過程，以及對函數中抽象數學符號的理解和掌握？這些都是傳統教學中難以解決的問題。

函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，即“數”與“形”結合的問題，是中學數學教學的重點內容之一。對于學生來說，函數的解析式，函數的圖像和函數的性質之間怎樣相互聯系，一直是難以理解的問題在傳統教學中，由于教學手段的限制，只能畫出特定參數下靜態的函數圖像，不但不能準確反映出解析式、圖像和性質三者之間的固有聯系，而且還占用了大量的課堂時間。正如華羅庚所說：“數缺形少直觀，形缺數難入微?！比绾握嬲龑崿F數形結合的思想，這也是傳統教學所面臨一個難題。

1 函數教學中存在的問題

在函數教學過程中，教師普遍反映：

（1） 初、高中函數知識跨度大、較抽象，分類討論的標準很難把握。

（2） 很多函數符號對學生來說是陌生的、抽象的，能否利用已有函數知識來學習新函數，怎樣建立起它們之間的聯系是一個難點。

（3） 對于連續函數的圖像，用傳統教學中的描點作圖法顯得無能為力，怎樣來呈現這個連續性是教學中的難點問題。

（4） 分段函數的概念、定義域、圖像、以及作圖過程是教學中學生難以理解和實現的問題。

（5） 函數圖像的各種變換（平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換）是傳統教學中老師難以呈現的問題。

（6） 含參數變量函數的圖像變換及其性質（由各參數變化引起的函數圖像的各種變化）也是教學過程中老師難以實現的問題。

（7） 根據函數導數的性質來研究函數單調性，極值問題屬高等數學的內容，用代數與幾何的方法(數形結合法)來研究很方便，但教師很難在傳統教學中呈現出來。

（8） 數形結合法解題是解決數學問題的一種非常有效的方法，如應用函數圖像解不等式問題，但在傳統教學中教師卻很難準確地將圖形畫出來。

（9） 在探究學習由函數圖像研究函數性質時，往往需要通過觀察一些特殊點來猜測某個性質，然后再證明猜測的結論，可是特殊點地尋找是傳統教學中的一個難點。

（10） 由圖像性質求解析式及軌跡問題是傳統教學中難以實現的問題，也是學生難以理解的內容之一。

二 解決問題

面對這一系列傳統教學方式難實現及講清楚的問題，如果利用數形結合的思想，這一個個難題就能迎刃而解。幾何畫板正是能很好實現數形結合思想的教育軟件平臺之一，這也正是幾何畫板與高中函數教學整合的切入點，在高中函數教學中，老師可以充分利用幾何畫板這一特性來整合自己的教學，真正體現了讓數學貼近生活，讓學生動手操作的新課程理念，幫助自己化解教學難點，突破教學重點，提高課堂效率，達到最佳的教學效果。

1 利用幾何畫板整合高中函數教學

案例一：二次函數 的函數圖像。

（1） 整合

通過幾何畫板與二次函數 教學的整合，利用幾何畫板中二次函數的圖像，讓二次函數頂點、對稱軸、開口方向一目了然，充分呈現二次函數解析式中的二次項系數a、一次項系數b及常數項c之間的聯系。

整合后，教師通過改變二次函數 中的參數a、b、c，讓其值作相應的變化，從而使二次函數圖像也隨之作出相應的變化。通過觀察這一系列動態演示過程和自己實際動手實驗，學生便能輕松得出二次函數 的圖像與其參數具有如下的關系：

1） 系數a與二次函數 的圖像關系：拖動點a改變a值時可得：

①開口方向。當a >0時，開口向上；當a

②對稱軸和頂點的位置會發生變化。

③與y軸的交點不變化。

2） 系數b與二次函數 的圖像關系：拖動點b改變b值時可得：

①開口大小、方向不發生變化；

②對稱軸、頂點的位置發生了變化；

③與y軸的交點不發生變化。

3） 系數c與二次函數 的圖像關系：拖動點c改變c值時可得：

①開口大小、方向不發生變化；

②對稱軸、頂點的位置不發生變化；

③與y軸的交點發生了變化。

（2） 知識點

二次函數 圖像中，a決定開口方向和大小；a、b共同決定對稱軸 ；a、b、c共同決定頂點 。

（3） 整合案例分析

1） 傳統教學中手工繪制函數圖像不但費時、費力、效益低，而且很難實現函數解析式中的系數改變時函數圖像的變化過程。通過幾何畫板，不但可以快捷精確地繪制出各種函數圖像，而且呈現出函數圖像真正“動”起來的過程，讓傳統教學中只能用語言描述的情景變成了具體的、動態的圖像；更重要的是可以讓學生自己親手做，親身體驗、觀察，真正實現了“在做中學”，“玩中學”，在動手做的過程中發現解析式系數的變化對函數圖像的影響及相互之間的聯系；在這個學習過程中，既培養了學生的探索精神，又提高了學生的動手實踐能力，為下一步繼續學習奠定堅實的基礎。

2） 通過利用幾何畫板來對函數教學進行有機整合，突破了以前黑板加粉筆所不能達到的動態圖象變化，使學生直觀感受到數形結合在學習及解題中的運用。

本文為全文原貌 未安裝PDF瀏覽器用戶請先下載安裝 原版全文

3） 通過整合，學生不但可以使用幾何畫板來進行探究和驗證性學習，而且還可能產生生成性知識。這正與布魯納的發現式教學理論不謀而合。

4） 通過整合，也可輕松完成諸如：三角函數、對數函數及指數學函數的各種性質的教學。

2 利用幾何畫板整合高中函數教學案例二

函數 到函數 的圖像變化。

（1） 整合

通過幾何畫板與函數 教學的整合，可以形象直觀得到由函數 的圖像依次經變換得到的、 、的函數圖像。

整合后，教師可以通過改變A、 、 、c的值，讓學生觀察函數圖像變化，根據函數關系式，研究函數的性質，畫出函數圖像，再由函數圖像解決求函數關系式等問題，利用這一典型的數形結合思想，學生就可以得出：

①A 改變的是圖像的振幅;

② 改變的是圖像的周期;

③ 改變的是圖像的左右平移;

④c 改變的是圖像的上下平移，以及01， 和 對應的是伸長還是縮短的關系； 對應的是左還是右，是上還是下的關系。

（2） 整合案例分析

1） 無論使用哪種方法手工繪制三角函數圖像都是費時且低效的，而利用幾何畫板，則可以比較便捷地繪制出各種三角函數圖像，并且讓三角函數圖像真正“動”起來，讓學生通過實踐觀察，發現解析式系數的變化對函數圖像的影響及相互之間的聯系。

2） 用幾何畫板來講解和研究三角函數，既突破了傳統教學不能呈現三角函數圖像的動態圖變化過程，又克服老師只能講一講，學生只能想一想的機械式教學，使學生直觀感受到數形結合在學習及解題中的運用。

3） 利用幾何畫板學生也可以親手去繪制各種三角函數的圖像，并完成其動態效果，最終實現在玩中學數學。

三 結語

通過幾何畫板與函數教學的整合，為教師的教和學生的學構建起了一個做數學的實驗平臺，利用此平臺可以便捷地構造幾何模型、繪制函數的圖像，使學生能清晰發現數學的規律，既突出了函數教學的重點，又突破了函數教學的難點，使得一些說不清、道不明的問題迎刃而解；同時還可以用它來演示、驗證學生的發現和猜測，加深學生對數學概念和內涵的理解，激起學生對數學知識和數學規律學習和探索的欲望，提高他們學習的積極性和自主性，強調了發現式學習，提高了學生的感性認識，并使之上升為理性認識，達到了新課程下研究性學習的目的，最終提高了教與學的雙重效率。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.數學課程標準[M].北京:人民教育出版社,2003,5.

[2] 劉勝利.幾何畫板課件制作教程[M].北京:科學出版社,2004.

[3] 李慶鎖,侯小華.《幾何畫板》在“做數學”中的應用[J],上海中學數學,2007,(7):28-29.

[4] 吳 華,胡 寧.多媒體與數學實驗教學整合的探索與思考[J],電化教育,2007,(12):83-85.

篇5

一、進一步深入理解函數概念

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念.二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f:AB，使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應，記為f（x）=ax+bx+c（a≠0）.這里ax+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題.

類型Ⅰ：已知f（x）=2x+x+2，求f（x+1）.

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值.

類型Ⅱ：設f（x+1）=x-4x+1，求f（x）.

這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的象是x-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則.

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式.

f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.

（2）變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用.

令t=x+1，則x=t-1，（t）=（t-1）-4（t-1）+1=t-6t+6，從而f（x）=x-6x+6.

二、二次函數的單調性、最值與圖像

在高中階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax+bx+c在區間（-∞，-］及［-，+∞）上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上.與此同時，進一步充分利用函數圖像的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖像學次函數有關的一些函數單調性.

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖像，并通過圖像研究其單調性.

（1）y=x+2|x-1|-1

（2）y=|x-1|

（3）=x+2|x|-1

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系.掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖像.

類型Ⅳ：設f（x）=x-2x-1在區間［t，t+1］上的最小值是g（t），

求g（t）并畫出y=g（t）的圖像.

解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1時取最小值-2.

當1∈［t，t+1］即0≤t≤1時，g（t）=-2；

當t＞1時，g（t）=f（t）=t-2t-1；

當t＜0時，g（t）=f（t+1）=t-2.

g（t）=t-2 （t＜0）-2 （0≤t≤1）t-2t-1 （t＞1）.

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以給學生補充一些練習.

如：y=3x-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數的值域.

三、二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維

類型Ⅴ：設二次函數f（x）=ax+bx+c（a＞0）方程f（x）-x=0的兩個根x，x滿足0＜x＜x＜.

（Ⅰ）當X∈（0，x）時，證明：X＜f（x）＜x.

（Ⅱ）設函數f（x）的圖像關于直線x=x對稱，證明：x＜.

解題思路：

本題要證明的是X＜f（x），f（x）＜x和x＜，由題中所提供的信息可以聯想到：①f（x）=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內有兩個不同的交點；②方程f（x）-x=0可變為ax+（b-1）x+1=0，它的兩根為x，x，可得到x，x與a，b，c之間的關系式，因此解題思路明顯有三條：①圖像法；②利用一元二次方程根與系數關系；③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導.現以思路②為例解決這道題.

（Ⅰ）先證明X＜f（x），令f（x）=f（x）-X，因為x，x是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax+bx+c，所以有f（x）=a（x-x）（x-x）.

因為0＜x＜x，所以，當X∈（0，x）時，X-x＜0，X-x＜0得（X-x）（X-x）＞0，又a＞0，因此f（x）＞0，即f（x）-X＞0.至此，證得X＜f（x）.

根據韋達定理，有xx=.0＜x＜x＜，c=axx＜x=f（x），又c=f（0），f（0）＜f（x），根據二次函數的性質，曲線y=f（x）是開口向上的拋物線，因此，函數y=f（x）在閉區間［0，x］上的最大值在邊界點x=0或x=x處達到，而且不可能在區間的內部達到，由于f（x）＞f（0），因此當x∈（0，x）時f（x）＜f（x）=x，即x＜f（x）＜x.

（Ⅱ）f（x）=ax+bx+c=a（x+）+（c-）（a＞0）

函數f（x）的圖像的對稱軸為直線x=-，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意得x=-，因為x，x是二次方程ax+（b-1）x+c=0的根，根據韋達定理得，x+x=-，x-＜0，x=-=（x+x-）＜，即x=.

二次函數有豐富的內涵和外延.作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力.

篇6

1.對于高中函數的認識誤區仍舊存在

高中函數是基于初中函數知識上的延伸和拓展，它主要針對的兩個變量不再是x與y之間的簡單關系了，而是演變成了在一定的變換法則f的作用下兩個集合之間的對應關系，這是對于函數知識的擴展，是囊括了除去空集之外的一種集合的對應關系.這種對應關系在特定的f法則下由兩個變量的相互對應表現出來，比如：f（x）=log2（x2-1）的形式.想要正確的認識和把握函數，并且做到能夠熟練的運用函數的知識來解決實際的問題，就必須正確的認識函數的概念，把握函數中兩個變量的相互作用的關系.但是不可否認的是，在實際的學習過程中，仍舊存在相當數量的學生無法獨立的認識和掌握到函數的概念，最簡單的例子就是，在解決函數的實際應用問題的過程中，學生的解題思路總是會忽略到兩個變量集合的限制條件，由于無法準確的把握變量本身的取值范圍，最后導致了解題答案的不準確.

2.對于高中函數的認識片面化與表面化

在高中數學函數的學習中，對于理論知識的學習和掌握是深入學習函數知識的階梯，一般情況下是在文字的敘述后會利用公式的方式表現出來的，比如說：f（-x）=-f（x）和f（-x）=f（x）就是奇函數和偶函數關系的表達方式.但是現在的學生對于概念的認知只是停留在公式的表面，無法真切的理解到其中的本質涵義.對于奇函數和偶函數來說，公式的涵義就是奇偶函數對稱性的象征.

二、正確把握高中數學中函數的解題技巧的重要性和必要性

數學不僅僅是學校設置的一門課程，它與人們的日常生活更是息息相關，甚至于在整個經濟社會中都是基于數學問題的縮影，一個簡單的社會現象就可能蘊含著無盡的、嚴謹的數學知識.比如：卡迪爾坐標理論的提出，將變量這個名詞引入到了數學領域中，創造性的完成了幾何問題與代數問題之間的轉換，為微積分的出現奠定的辯證性的理論基礎.同時，應用性強是數學的另外一個特性，而且數學與其他學科之間的密切聯系更是方便了我們的生活.卡迪爾的理論由數學領域延伸到了其他的各個學科，為它們的發展創新提供了理論的支撐.對于數學知識的學習來說，高中數學是培養學生數學思維，提高數學解題能力的關鍵階段.函數作為貫穿高中數學知識的重點和難點來說，培養函數的解題思路，提高函數的解題能力，充分的發揮學生的數形結合分析問題的水平，準確把握高中數學中函數的解題技巧，在解決相關的函數問題中具有重要的作用和意義.

1.正確把握高中數學中函數的解題思路是培養學生數學思維方法的途徑

學習和把握高中數學中函數的解題技巧并不是以得到最終的函數問題的答案為目的的，而是以達到培養學生數學思維方法，形成對于數學問題思考的一種發散性、創新性思維方式為主要引導的方式.對于函數問題的解決，注重的并不是最終的結果，而是培養在解題的過程中獨立思考的能力，把所學到的知識能夠吃透，掌握必要的解題方法至關重要，做到靈活的運用，起到舉一反三的作用，掌握一道函數題的解題思路就意味著類似的數學函數題目我們都了然于心，是我們學習函數知識的科學方法.波利亞曾經說過，加強解題能力的訓練，解題的思路和過程尤為的重要，解題的價值不是答案本身，而是在于弄清怎樣想到這個解法的；是什么促使你這樣想、這樣做的.例如：設f（x）=x/2+A，函數f（x）的反函數f-1（x）=Bx-5，那么A、B的值是多少？針對于這類問題，我們的解題思路首先需要明白的是函數和反函數之間的相互關系，這就需要我們準確的把握和理解函數和反函數的概念，就本例來說，f（x）=x/2+A的反函數就是f-1（x）=2x-2A，由此我們不難得出A與B之間的關系，最后即可得出A為5/2，B為2.這就是函數的技巧在解題過程中的實際應用.

2.正確的把握高中數學中函數的解題思路是提高數學應用能力的保證

著名數學教授嚴士健指出，培養學生的數學應用意識是應用數學知識，解決實際問題的關鍵.數學的價值就是在實際的應用中體現出來的.在高中數學函數的學習中，解題思路是提高數學應用能力的保證，在學習過程中我們要注意函數思想的轉換，方程f（x）=x2-1的涵義即為y=f（x）在運動中的所呈現出來的點的集合.

提高數學應用能力還表現在高中數學中函數的解題思路中，利用數形結合的方法提升學生自主分析問題和解決問題的能力，培養善于觀察和轉化思想的意識，把所學到的知識融會貫通.比如：函數f（x）=1-1x-1的圖象是（ ）.很明顯這是對于關于f（x）=1/x的圖象的考查，我們可以理解為將函數f（x）=1/x的圖象向右平移一個單位之后，關于x軸進行翻轉，再上移一個單位，我們在推敲之后，答案很容易就會得出.

篇7

摘 要： 抽象函數集函數的定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性、對稱性、周期性和圖像等性質于一身，題型豐富多樣，方法靈活巧妙，是高考的?？?學生在解決這類問題時，往往會感覺無從下手，思路受阻，尤其是高一新生，答題正確率很低.作者就抽象函數這類問題，根據高一學生的學習情況和學習特點，談談對抽象函數的看法.

關鍵詞： 抽象函數 高一新生 函數性質

對于剛剛步入高中的新生而言，在各科學習中，以數學學習為最難，而數學中又以函數為最難，而函數中又以抽象函數最為難.學生普遍感覺抽象函數實在是太“抽象”了，無法捕捉住它的性質和特點規律，解題是往往會感覺無從下手，障礙重重.本文將從七個方面對抽象函數進行分析，概括高一階段對?？嫉某橄蠛瘮档囊恍┗拘再|和基本題型.

一、定義域

解決抽象函數的定義域問題，一定要明確定義域的含義，通常采用等價轉換的方法予以解決.

例1：若函數f（x）的定義域為（0，1），則函數f（x+1）的定義域為？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖.

分析：因為f（x）的定義域為（0，1），所以x+1整體的范圍也為（0，1），從而x∈（-1，0），所以函數f（x++1）的定義域為（-1，0）.

例2：若函數f（x+1）的定義域為（0，1），則函數f（x）的定義域為？搖？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖.

分析：因為f（x+1）的定義域為（0，1），所以x+1整體的范圍也為（1，2），所以函數f（x）的定義域為（1，2）.

二、值域

解決抽象函數的值域問題，通常抓住函數的定義域和對應法則，進而確定值域，有時也可借助圖像的平行移動進行分析.

例3：若函數f（x）的值域為（0，1），則函數f（x+1）的值域為？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖.

分析：（法1）因為函數f（x）的x與函數f（x+1）的x+1的范圍是一樣的，且對應法則也相同，所以函數f（x+1）的值域也是（0，1）.

（法2）將f（x）的函數圖像水平向左移動1個單位，會得到函數f（x+1）的圖像，因此函數的值域相同.

三、解析式

觀察條件中變量的形式，尋找關聯性，采用賦值等形式建立方程組，從而解出解析式.

例4：若函數f（x）滿足：f（x）+2f（■）=x，則函數f（x）的解析式為？搖？搖？搖？搖？搖 ？搖？搖.

分析：在f（x）+2f（■）=x中，以■代替x，得到f（■）+2f（x）=■，建立方程組

f（x）+2f（■）=xf（■）+2f（x）=■，解得f（x）=■-■.

四、利用某些函數為背景，類比遷移

某些抽象函數可以尋找出相應的初等函數作為背景，從而起到啟發思維的作用，進而成功地解決函數的單調性、奇偶性等性質.

冪函數：f（xy）=f（x）f（y） 正比例函數：f（x+y）=f（x）+f（y）

指數函數：f（x+y）=f（x）+f（y） 對數函數：f（xy）=f（x）+f（y）

例5：若函數f（x）滿足以下條件：①當x>0時，f（x）>0；②對任意的x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，試判斷函數f（x）的單調性.

分析：（這類抽象函數，可以用正比例函數為背景，如f（x）=x，啟發思維.）

任取x■，x■∈R，且x■

因為x■-x■>0，所以f（x■-x■）>0，故-f（x■-x■）

五、對稱性、周期性

1.對稱性重要結論

（1）y=f（-x）與y=f（x）的圖像關于y軸對稱；

（2）y=-f（x）與y=f（x）的圖像關于x軸對稱；

（3）y=-f（-x）與y=f（x）的圖像關于原點對稱；

（4）若f（m+x）=f（m-x）恒成立，則y=f（x）的圖像關于直線x=m對稱；

（5）若f（a+x）=f（b-x），對任意x∈R恒成立，則y=f（x）的圖像關于x=■對稱.

2.周期性重要結論

（1）對于非零常數A，若函數y=f（x）滿足f（x+A）=-f（x），則函數y=f（x）必有一個周期為2A；

（2）對于非零常數A，函數y=f（x）滿足f（x+A）=±■，則函數y=f（x）的一個周期為2A；

（3）函數y=f（x）有兩根對稱軸x=a，x=b時，那么該函數必是周期函數，T=2|a-b|.

高一數學教材知識量比起初中明顯增加，理論性明顯增強，尤其是抽象函數內容，對理解要求很高，不動一番腦子，就難以掌握知識間的內在聯系和區別.所以，對于高一新生而言，在學習這一塊內容時，一定要多學多練多想多問，這樣，才能更好地掌握抽象函數的常見性質及基本解題思路和方法.

參考文獻：

[1]蔡親鵬.數學教育學.浙江：浙江大學出版社，2008.10.01.

篇8

一、正切函數在物體平衡問題中的應用

例1一塊長木板傾斜放置，與水平面間的傾角為θ.當一個質量為m的木塊沿著長木板勻速下滑時，試求：木塊與長木板間的動摩擦因數μ多大？

分析與解木塊沿著長木板勻速下滑時受力如圖1所示，且三力的合力為零，則有

N=mgcosθ，f=μN=mgsinθ.

因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.

點評當物體沿斜面下滑時，比較μ和tanθ的大小關系就可以判別物體運動情況.例如：假設斜面的傾角θ＝37°，當μ=tan37°=0.75時，物體就沿斜面勻速下滑；當μ=0.5tan37°=0.75時，物體就沿斜面向下勻減速下滑直至停止.另外，我們也可以利用上述現象來測定兩物體間的動摩擦因數：只要通過調節斜面的傾角θ，恰好做到使物體沿斜面勻速下滑，測出其傾角θ，即得到動摩擦因數為：μ=tanθ.我們把此時斜面的傾角θ又稱之為“摩擦角”.

二、正切函數在臨界問題中的應用

例2有一質量為m的物體靜止放在水平地面上，物體與水平地面間的動摩擦因數為μ.現用一個與豎直方向成θ角的推力F去推物體，如圖2所示.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.試討論當θ角滿足什么條件時，無論用多大的推力F都不能推動物體？

分析與解物體受力如圖3所示，要推不動物體，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.

無論推力F多大，要使此式成立，必須有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.

點評由此可見，無論推力F多大，要使物體都處在靜止狀態，即物體不會被推動，也就是發生“自鎖”現象.因此發生“自鎖”現象的條件是：推力與豎直方向的夾角滿足tanθ≤μ.

三、正切函數在動力學問題中的應用

例3如圖4，一個質量為m的小球用細線懸掛于車廂頂板上，當車廂以加速度a向右做勻加速運動時，則細線偏離豎直方向的角度θ為多大？

分析小球受力如圖5所示，由牛頓第二定律得mgtanθ=ma,則tanθ=ag.

四、正切函數在平拋運動中的應用

例4一個質量為m的小球以水平初速度v0拋出，不計空氣阻力，最后垂直撞在傾角為θ的斜面上，求小球在空中飛行的時間為多少？

分析小球做平拋運動，其軌跡如圖6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向與斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和豎直速度vy組成，則有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飛行的時間為t=v0tanθg.

點評對于平拋運動，首先想到將運動分解到水平方向和豎直方向來研究.而最后小球垂直撞在斜面上，則表明了運動的速度方向與斜面垂直，由圖可以發現其三角形中的兩個分速度與角θ的關系，利用正切函數得解.

五、正切函數在偏轉電場中的應用

例5兩塊長度為L的金屬板水平、平行相對放置，相距為d，如圖7所示，兩金屬板與一個電源相連，使兩板帶上等量異種電荷，在板間形成一個沿豎直方向的勻強電場，其電場強度大小為E.有一帶電量為q、質量為m的帶正電的粒子，以水平速度v0從左側垂直電場方向射入兩板之間，不計帶電粒子的重力，試求

（1）帶電粒子離開電場時的偏轉距離為多大？（2）帶電粒子離開電場時的偏轉角為多大？

分析與解帶電粒子在電場中只受到電場力作用，因而做類平拋運動，故將運動分解到：沿垂直于電場方向做勻速運動，速度為v0.

沿電場方向做勻加速直線運動，加速度為a=Fm=qEm.

所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.

帶電粒子離開電場時的偏轉距離為y=qEL22mv20.

帶電粒子離開電場時的偏轉角為tanθ=vyvx=qELmv20.

點評帶電粒子在電場中做類平拋運動，其分析、處理問題的方法與平拋運動的研究方法相似，都采用運動的分解方法.帶電粒子在電場中發生偏轉，對于所發生偏轉距離以及偏轉角的問題，經常涉及到正切函數.并且由上述兩個結論我們進一步發現，帶電粒子離開電場時的偏轉距離與偏轉角之間的關系有y=L2tanθ，即：帶電粒子離開電場時速度的反向延長線與初速度的交點位于板長的中點.對于一些特殊的結論，我們如果能熟練地掌握并加以適當地利用，對我們解決有關物理問題，提高解題的速度，增強解題能力會大有幫助.

六、正切函數在圖象問題中的應用

物理圖象具有形象、直觀、簡潔明了的特點，它能形象直觀地展示出物理情景以及各物理量間的函數關系.應用物理圖象來解題可以起到簡便快捷，使較為復雜的問題變得形象易懂.通過理解、分析圖像能幫助我們弄清具體的物理過程，構建物理情景，探尋物理量之間的函數關系，達到數與形相結合.物理圖象不僅是分析、計算的工具，而且對于物理概念和規律的形成以及運用物理知識來解決實際問題.同時，圖像問題也是當前高考熱點和重點.在許多情況下，由于物理量間是線性函數關系，其物理圖象往往可用一條直線來表示，解題時經常涉及到直線傾角的正切函數（即直線的斜率）.

例如，物體做勻速直線運動時我們會用到位移-時間的圖象（x-t圖象）如圖8所示，反映物體的位移隨時間的變化關系，其斜率表示物體運動的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物體做勻加速直線運動時，用到速度－時間的圖象（v-t圖象）如圖9所示，反映物體運動的速度隨時間的變化關系，則斜率表示物體運動的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.

篇9

關鍵詞：函數；抽象；思維；策略

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）13-070-1

一、高中生陷入函數學習困境的原因

1.函數知識體系的復雜。函數概念包含兩個本質屬性（變量和對應法則）及一些非本質屬性（如集合、定義域、值域等），還有函數的單調性、奇偶性、周期性等性質。中學數學的函數又包含：對數函數、指數函數、冪函數、三角函數、導函數和函數列（離散型函數）等多種類型。同時函數還涉及到很多的子概念，如映射、非空數集、變量（包括自變量、因變量）、定義域、值域、象、原象、對應、對應法則等。這些構成了函數的復雜知識體系。

2.“變量”概念的復雜性和辯證性?！白兞俊笔呛瘮蹈拍畹谋举|屬性?！白兞俊钡年P鍵在于“變”，而“變”在現實中與時、空相關聯，但在數學中對時、空是沒有界定的。另外，數學中的“變量”是變化的、不確定的，而數學中的變量則包括常量，是確定的。由于日常的變量概念對學生的干擾，使很多學生認為“Y=3中，Y的值不會隨X的變化而變化，它不是函數”。函數概念中變量的意義具有一般性，它可以是數、點、有形之物，甚至也可以是無形的。在教學實踐中，教師往往沒有把“變量概念的理解”作為教學難點，課堂上只是給出變量（自變量、因變量）這個詞，而沒有關注學生是否真正理解了變量的內涵。如果不能夠理解好變量的概念，必會影響學生對函數概念的理解。

3.函數的表征形式豐富多樣。函數主要的七種表征類型有：①解析式；②圖像式；③表格式；④集合箭圖式；⑤函數機器式；⑥序偶式；⑦通俗語言式。這七種類型還有很多變式，在解題過程中，要求學生在這幾種類型間能靈活地轉換，需要把抽象思維和形象思維結合起來，這對高中生而言，無疑是一種思維上的挑戰。

4.函數符號的抽象性。函數概念的符號化是函數學習的難點，y=f(x)表示了一種即是廣義的又是特殊的對應關系。例如，f表示任意一個函數，但又是一個確定的函數。這種含義，學生僅從字母表面是很難理解的。另外，學生也很難通過“x”或者“y”在頭腦中形成定義域，值域的概念?！癴”的抽象性和隱蔽性，對學生的思維能力提出了新的高水平的要求，這也大大增加了函數學習的難度。

5.學生的思維發展。初中生以形式邏輯思維水平為主；剛進入高中學習的學生，思維剛脫離了經驗型的邏輯思維，學會了對一些事物進行淺層次的抽象思考，但仍然無法上升到辯證思維階段。這是認知發展的階段性客觀特點，這一特點限制了學生對于抽象的函數概念的理解和把握，導致在學習函數時，對函數對應變化的相依關系無法理解，進而成為高中函數學習的軟肋。

二、促進函數學習的幾點策略

1.著眼大局，注重早期滲透。像函數這種的核心概念，它的學習需要學生對一些相關內容有初步的認知和理解，比如：數學符號、變量的認識、變量的認識、變量間的制約關系等。因此在教學中，雖然不屬于函數教學的內容，但教師應著眼于整個數學課程，有意識地逐步滲透給學生一些關于函數的視角和想法。比如：引導學生比較二元一次方程的區別。設計系列問題引導學生思考，獲得變量的認識。

2.循序漸進，注意適時適度。教學中應避免急于求成，否則不僅不能幫助學生理解函數符號，反而會干擾學生起初建立起的初步認識。應著眼于整個數學課程，逐層深入，甚至于還需要循環遞進。函數知識體系雖復雜，但是它們之間環環相扣，有很強的邏輯聯系，例如函數單調性，函數奇偶性都是有助于函數結構屬性的認識的。函數學習的早期尤其要注意循序漸進，使學生把函數的基礎知識掌握好。若妄圖“一口吃成個胖子”，就會像一座基石不穩的大廈，面臨倒塌的危險。

3.促進概念的理解。首先，好的問題解決過程，能有效地促進學生對概念的理解，數學的學習很大程度上是在做題的過程中得以完成的。在講解解題過程的時候，要注意滲透到函數概念的理解，淡化解題程序，這不僅有助于學生弄懂函數的基本概念，更有助于學生形成函數概念與問題解決策略之間的關聯。其次，是知識網絡圖的建立。通過建立數學概念的知識網絡圖，便于學生在舊的概念基礎上接受新的概念，形成新舊知識的整合，不僅有利于記憶，也利于知識的應用。

篇10

關鍵詞：高中數學函數；數形結合；思想滲透；教學；原則；方法策略

所謂數學思想就是對數學理論與數學事實的本質認識及融合，它具有高度的抽象性與整合概括性。可以說，數學概念體現數學思想，數學思想概括數學概念，二者相輔相成。有學者就認為，數學思想就是一種理性認識，它是對數學知識及方法的本質闡述，屬于基于數學規律闡述的理性認知范疇。在高中函數教學中，教師應該滲透更多數學思想，而不是單純教學數學方法，這對學生更深層次掌握并靈活運用函數知識非常重要。

一、關于“數形結合”的應用原則

數形結合擁有自己獨立的思考體系，它除遵循最基本的數學教學思想原則外，還遵循以下兩點原則：首先就是等價性原則，它表示數的代數性質應該與形之間形成幾何直觀間轉化，二者應該呈現等價關系，換言之問題中所反映的數與形必須擁有一致性。舉例來說：問在方程[x13=2sinx]中有多少個實根？在做該題目前學生需要制作函數[y=x13、y=2sinx]的函數圖，由于兩個函數都屬于奇函數，所以學生只需要做[x≥0]的函數圖部分即可。這就是數形結合思想滲透給學生的學習意識，學生必須明確函數學習中各個函數的基本性質、特征，然后根據題目所提出的條件來作出回應，節省解題時間，這也是對學生函數基礎知識的一次考察，是對等價性原則的最好詮釋。

其次是簡單性原則，它代表了學生所必須學會的數形轉換能力，即學生在轉換函數曲線與數學方程時要盡量讓幾何圖形清晰美觀，而讓代數計算更加簡單明了。再舉例來說，假如有函數[fx=ax-x-a（a>0且a≠1）]，函數中有兩個零點，求a的取值范圍。

該題目在解答時應該給出條件[gx=ax（a>0且a≠1）hx=x+a]，然后給出[a>1]和[0

[O][x][y][1][01]

圖 [01]時函數圖像（右）

由于函數方程中具有兩個零點，所以這就說明在函數[gx、hx]中就有對應的兩個不同交點。從對圖1的觀察中可以發現，當[a>1]時是符合題目要求的，所以實數[a]的取值范圍應該是[a>1]。

通過對此題的解析可以發現，自變量x應該在指數位置，如果運用一般代數方法可能無法解題，如果采用數形結合思想解題，就可以將題目簡單化，將抽象的代數形式轉化為直觀的函數曲線圖形，這就遵循了數形結合所倡導的簡單性原則，利用幾何圖形解釋了函數代數運算中的深刻規律。

二、在高中函數數學教學中滲透數形結合思想的教學策略

函數教學具有一定復雜性和系統性，利用數形結合思想滲透方法是希望將教學過程簡易化，進而加深學生對學習內容及過程的認識，體現數形結合滲透思想的有效性。為此，本文希望給出兩點教學策略，希望幫助高中生更好學習函數知識。

（一）強化高中數學函數的多種表征方式與轉換

傳統高中函數教學中，數與形的教學學習過程與理解過程都是分開的，并沒有實現有機結合，但實際上其教學過程中是存在函數文字、圖形及符號的三語言轉換過程的。因此如果僅以概念中的數形分離理解來教導學生必然會讓他們對函數性質及解題方法產生歧義，難以深刻并全面理解知識內涵?；诖司捅仨殠椭鷮W生真正掌握有關函數的基本性質，特別是培養他們實現函數中3種語言有效轉換的解題能力。舉例來說，在“函數的單調性”一課教學過程中，教師就可以首先提出定義“如果對于區間I內的任意兩個函數值[y1、y2]，當[y1

（二）重視函數模型之于教學的重要作用

如何將函數知識留在學生腦海里，教師可以采用函數模型來實現這一教學思路，這也是一種典型的數形結合方法。為學生樹立模型概念，一方面可以將函數中許多抽象的思維概念具象化，一方面也能幫助學生記住函數模型，讓他們每當解題時就將模型與題目聯系起來，形成良好的解題思路，例如從幾何直觀角度來把握函數，激發學生對函數學習的興趣，同時也鼓勵學生自己畫簡單的函數模型，將數形結合思想切實反映到函數學習當中，觀察函數的變化過程。

比如說，高中所學習的“雙勾函數”[y=x+ax]中，許多學生都不知道該函數的來歷，此時教師可以引導學生畫出[y=x+1x]函數的圖像，再配合幾何直觀角度來理解該函數，最后研究雙勾函數的相關圖像。另外，也可以根據D像觀察來讓學生明白雙勾函數的基本變化狀況與性質，再引導他們通過代數角度來驗證函數。如此方法教學可以讓學生深刻記住雙勾函數及其它的函數模型，進而逐步實現對函數本質的深層次理解，在潛移默化中培養學生數形結合的能力，也體現了滲透數學思想對于高中函數教學的重要性。

三、總結

本文簡單描述了有關高中數學函數教學中的數形結合數學思想滲透方法，并闡述了它對于提高函數教學質量的重要作用。作為教師應該明確突出“數形對應、數形轉化以及數形分工”在教學過程中的應用和銜接過程，以全局著眼來提高函數教學層次水平，為學生深層次理解函數知識提供了優良條件。

參考文獻：