函數概念范文

導語：如何才能寫好一篇函數概念，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

1、函數（function）的定義通常分為傳統定義和近代定義，函數的兩個定義本質是相同的，只是敘述概念的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，而近代定義是從集合、映射的觀點出發。函數的近代定義是給定一個數集A，假設其中的元素為x，對A中的元素x施加對應法則f，記作f（x），得到另一數集B，假設B中的元素為y，則y與x之間的等量關系可以用y=f（x）表示，函數概念含有三個要素：定義域A、值域B和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函數關系的本質特征。

2、函數，最早由中國清朝數學家李善蘭翻譯，出于其著作《代數學》。之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，也即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化，或者說一個量中包含另一個量。

（來源：文章屋網 ）

篇2

關鍵詞 函數 概念

回顧函數概念的歷史發展，函數概念是不斷被精煉，深化，豐富的。初中時函數的定義是一個變量對另一個變量的一種依賴關系。在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。高中時，是用集合與對應的語言描述了函數概念。函數是一種對應關系，是函數概念的近代定義。

設A，B是非空數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x∈A。函數近代定義與傳統定義在實質上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，近代定義的對應法則是從集合與對應的觀點出發。

函數的概念這一節課，內容比較抽象，概念性強，思維量大，為了充分調動學生的積極性和主動性，教學中通過典型實例來啟發和幫助學生分析，比較，以達到建構概念之目的。

引出函數的概念，先是舉出了生活中的三個實例。第一個實例是關于物體做斜拋運動的，和初中學習過的二次函數相聯系。第二個實例是關于臭氧空洞的問題，給出了函數的圖像，按照圖中曲線，發現了兩個集合之間的一種特殊的對應關系。第三個實例是關于恩格爾系數的經濟實例。列表給出了恩格爾系數和時間（年）的關系。三個實例共同反映了變量之間的相互依賴的關系，同時反映出兩個非空集合之間的一種特殊的對應關系。這樣，自然而然地給出了函數的概念，并且這三個實例中的函數恰好是用了三種表示方法：解析法，圖像法，列表法。

以實際問題為載體，以信息技術的作圖功能為輔助。通過三個實例的教學，師生共同發現了函數概念中的對應關系。教師在歸納出函數定義后，可以在全班進行交流。結合初中函數的定義，指出兩個定義的區別和聯系。關于“y=f(x)”這一個函數符號的理解，教師可以提問：y=f(x)一定是函數的解析式嗎？回答是不一定，可以舉出實例二和實例三。函數的解析式，圖像，表格都是函數的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函數，但f(x)不一定是解析式。當f(x)是一個解析式時，如果把x，y看作是并列的未知量或者點的坐標，那么y=f(x)也可以看做是一個方程。

函數的核心是對應法則，通常用記號f表示函數的對應法則，在不同的函數中，f的具體含義不一樣。函數記號y=f(x)表明，對于定義域A的任意一個x在“對應法則f”的作用下，即在B中可得唯一的y.當x在定義域中取一個確定的a，對應的函數值即為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有元素和它對應；值域 。教師引導學生歸納并總結，函數的三要素是定義域，值域和對應法則。

然后，教師給出同學們所熟悉的三種函數，一次函數y=ax+b(a≠0)，反比例函數 ，以及二次函數 。教師演示動畫，用幾何畫板顯示這三種函數的動態圖像，啟發學生觀察，分析，并請學生們思考之后，填寫對應關系，定義域和值域。通過三個熟悉的函數加深學生對函數近代定義的理解。教師引導學生歸納總結出：函數的三要素是定義域、值域及對應法則。在函數的三要素中，當其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如果函數的定義域，對應法則已確定，則函數的值域也就確定了。

連續的實數集合可以用集合表示，也可以用區間表示。利用多媒體課件展示怎樣用區間表示集合。區間可以分為閉區間，開區間，半開半閉區間。特別地，實數集R記作(-∞，+∞)， ∞ 讀作無窮大；-∞ 讀作負無窮大；+∞ 讀作正無窮大;“∞”不是一個數，表示無限大的變化趨勢，因此作為端點，不用方括號。

例1和例2的編排，是為了進一步地加深理解函數的三要素。函數的定義域通常由問題的實際背景確定.對于用解析式表示的函數如果沒有給出定義域，那么就認為函數的定義域是指使函數表達式有意義的自變量取值的集合。在例1中，要注意f(a)與f(x)的聯系與區別：f(a)表示當自變量x=a時函數f(x)的值，它是一個常量；而f(x)是自變量x的函數，在一般情況下，它是一個變量。f(a)是f(x)的一個特殊值。例2是來判斷兩個函數是否相等的。如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，這兩個函數就是相等的。

數學概念是構建數學理論大廈的基石；是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎；是提高解題能力的前提；是數學學科的靈魂和精髓。因此，數學概念教學是高中數學教學的一項重要任務，是“雙基”教學的核心、是數學教學的重要組成部分，應引起足夠重視。正確理解概念是學好數學的基礎，概念不清往往是導致學生數學成績差的最直接的原因。

篇3

17世紀初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數的思想，把函數一詞用作數學術語的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數符號。關于函數概念有“變量說”、“對應說”、“集合說”等。變量說的定義是：設x、y是兩個變量，如果當變量x在實數的某一范圍內變化時，變量y按一定規律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數，記作y=f(x)。初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值與之對應，那么y就是x的函數，x叫自變量，x的取值范圍叫函數的定義域，和x的值對應的y的值叫函數值，函數值的集合叫函數的值域。它的優點是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數的實質——對應缺少充分地刻畫，以致不能明確函數是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數，這與函數是反映變量間的關系相悖，究竟函數是指f，還是f(x)，還是y=f(x)?使學生不易區別三者的關系。

迪里赫萊（P.G.Dirichlet）注意到了“對應關系”，于1837年提出：對于在某一區間上的每一確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫x的一個函數。19世紀70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對應稱為映射，并把：“一切非空集合到數集的映射稱為函數”，函數是映射概念的推廣。對應說的優點有：①它抓住了函數的實質——對應，是一種對應法則。②它以集合為基礎，更具普遍性。③它將抽像的知識以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學與身高（實數）的對應；某班同學在某次測試的成績的對應；全校學生與某天早上吃的饅頭數的對應等都是函數。函數由定義域、值域、對應法則共同刻劃，它們相互獨立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數的實質。

對于集合說是考慮到集合是數學中一個最原始的概念，而函數的定義里的“對應”卻是一個外加的形式似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且滿足條件，對于每一個x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，則y1=y2，這時就稱集合f為A到B的一個函數。這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過于形式化，它舍棄了函數關系生動的直觀，既看不出對應法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學生理解，而且在推導中也不便使用，如此完全化的數學語言只能在計算機中應用。

2加強數形結合

數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。在7—12年級所研究的函數主要是冪函數、指數函數、對數函數和三角函數，對每一類函數都是利用其圖像來研究其性質的，作圖在教學中顯得無比重要。我認為這一部分的教學要做到學生心中有形，函數圖像就相當于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數性質就比較直觀，處理問題時就會得心應手。函數觀念和數形結合在數列及平面幾何中也有廣泛的應用。如函數y=log0.5|x2-x-12|單調區間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時，x=-3或x=4，知t函數的圖像是變形后的拋物線，其對稱軸為x=?與x軸的交點是x=-3或x=4并開口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉到x軸上方，再考慮對數函數性質即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的實數根的個數，該方程實根個數就是兩個函數y=3x2+6x與y=1／x圖像的交點個數，作出圖像交點個數便一目了然。

3將映射概念下放

就前面三種函數概念而言，能提示函數實質的只有“對應說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應說”的定義，可有以下優點：⑴體現數學知識的系統性，也顯示出時代信息，為學生今后的學習作準備。⑵凸顯數學內容的生活化和現實性，函數是刻畫現實世界數量變化規律的數學模型。⑶變抽像內容形像化，替換后學生會感到函數概念不再那么抽像難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數。學生就會感到函數不再那么可怕，它無非是一種映射。只需將集合論的初步知識下放一些即可，學生完全能夠接受，因為從小學第一學段就已接觸到集合的表示方法，第二學段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔心。以前有人提出將概率知識下放的觀點，當時不也有人得出反對意見嗎？可現在不也下放到了小學嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學生易于接受，學生就不會提出“到底什么是函數？”這樣的問題。

篇4

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函數是數學中最主要的概念之一，而函數概念貫穿在中學數學的始終，概念是數學的基礎，概念性強是函數理論的一個顯著特點，只有對概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應用。本課中學生對函數概念理解的程度會直接影響數學其它知識的學習，所以函數的第一課時非常的重要。

2、教學目標及確立的依據：

教學目標：

（1）教學知識目標：了解對應和映射概念、理解函數的近代定義、函數三要素，以及對函數抽象符號的理解。

（2）能力訓練目標：通過教學培養學生的抽象概括能力、邏輯思維能力。

（3）德育滲透目標：使學生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯系和相互制約的辯證唯物主義觀點。

教學目標確立的依據：

函數是數學中最主要的概念之一，而函數概念貫穿整個中學數學，如：數、式、方程、函數、排列組合、數列極限等都是以函數為中心的代數。加強函數教學可幫助學生學好其他的數學內容。而掌握好函數的概念是學好函數的基石。

3、教學重點難點及確立的依據：

教學重點：映射的概念，函數的近代概念、函數的三要素及函數符號的理解。

教學難點：映射的概念，函數近代概念，及函數符號的理解。

重點難點確立的依據：

映射的概念和函數的近代定義抽象性都比較強，要求學生的理性認識的能力也比較高，對于剛剛升入高中不久的學生來說不易理解。而且由于函數在高考中可以以低、中、高擋題出現，所以近年來高考有一種“函數熱”的趨勢，所以本節的重點難點必然落在映射的概念和函數的近代定義及函數符號的理解與運用上。

二、教材的處理：

將映射的定義及類比手法的運用作為本課突破難點的關鍵。函數的定義，是以集合、映射的觀點給出，這與初中教材變量值與對應觀點給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數概念的理解帶來更大的困難。為解決這難點，主要是從實際出發調動學生的學習熱情與參與意識，運用引導對比的手法，啟發引導學生進行有目的的反復比較幾個概念的異同，使學生真正對函數的概念有很準確的認識。

三、教學方法和學法

教學方法：講授為主，學生自主預習為輔。

依據是：因為以新的觀點認識函數概念及函數符號與運用時，更重要的是必須給學生講清楚概念及注意事項，并通過師生的共同討論來幫助學生深刻理解，這樣才能使函數的概念及符號的運用在學生的思想和知識結構中打上深刻的烙印，為學生能學好后面的知識打下堅實的基礎。

學法：四、教學程序

一、課程導入

通過舉以下一個通俗的例子引出通過某個對應法則可以將兩個非空集合聯系在一起。

例1：把高一（12）班和高一（11）全體同學分別看成是兩個集合，問，通過“找好朋友”這個對應法則是否能將這兩個集合的某些元素聯系在一起？

二.新課講授：

（1）接著再通過幻燈片給出六組學生熟悉的數集的對應關系引導學生總結歸納它們的共同性質（一對一，多對一），進而給出映射的概念，表示符號f：ab，及原像和像的定義。強調指出非空集合a到非空集合b的映射包括三部分即非空集合a、b和a到b的對應法則f。進一步引導學生總結判斷一個從a到b的對應是否為映射的關鍵是看a中的任意一個元素通過對應法則f在b中是否有唯一確定的元素與之對應。

（2）鞏固練習課本52頁第八題。

此練習能讓學生更深刻的認識到映射可以“一對多，多對一”但不能是“一對多”。

例1.給出學生初中學過的函數的傳統定義和幾個簡單的一次、二次函數，通過畫圖表示這些函數的對應關系，引導學生發現它們是特殊的映射進而給出函數的近代定義（設a、b是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f，使得a中的任何一個元素在集合b中都有唯一的元素與之對應則這樣的對應叫做集合a到集合b的映射，它包括非空集合a和b以及從a到b的對應法則f），并說明把函f：ab記為y=f（x），其中自變量x的取值范圍a叫做函數的定義域，與x的值相對應的y（或f（x））值叫做函數值，函數值的集合{f（x）：x∈a}叫做函數的值域。

并把函數的近代定義與映射定義比較使學生認識到函數與映射的區別與聯系。（函數是非空數集到非空數集的映射）。

再以讓學生判斷的方式給出以下關于函數近代定義的注意事項：

2.函數是非空數集到非空數集的映射。

3.f表示對應關系，在不同的函數中f的具體含義不一樣。

4.f（x）是一個符號，不表示f與x的乘積，而表示x經過f作用后的結果。

5.集合a中的數的任意性，集合b中數的唯一性。

6.“f：ab”表示一個函數有三要素：法則f（是核心），定義域a（要優先），值域c（上函數值的集合且c∈b）。

三.講解例題

例1.問y=1（x∈a）是不是函數？

解：y=1可以化為y=0*x+1

畫圖可以知道從x的取值范圍到y的取值范圍的對應是“多對一”是從非空數集到非空數集的映射，所以它是函數。

[注]：引導學生從集合，映射的觀點認識函數的定義。

四.課時小結：

1.映射的定義。

2.函數的近代定義。

3.函數的三要素及符號的正確理解和應用。

4.函數近代定義的五大注意點。

五.課后作業及板書設計

書本p51習題2.1的1、2寫在書上3、4、5上交。

預習函數三要素的定義域，并能求簡單函數的定義域。

函數（一）

一、映射：2.函數近代定義：例題練習

篇5

筆者主要從以下幾點作好函數概念的教學：

一、深刻認識函數在中學數學教學中經歷的三個階段

第一階段：在初中初步討論函數概念、函數的表示方法以及函數圖像的繪制等等，并具體地討論正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等最簡單的函數。研究這些函數的概念、性質，用描點法作相應圖像。

第二階段：新教材第二章“函數”和第四章“三角函數”的內容的教學。也就是函數概念的再認識階段即用集合、映射的思想理解函數的一般定義，加深對函數概念的理解，并進一步研究函數的性質。在此基礎上研究指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的概念、圖像、性質，從而使學生獲得較系統的函數知識，同時進一步加強培養學生對函數的應用意識。

第三階段：高中三年級數學選修Ⅰ中的極限、導數或選修Ⅱ中的極限、導數、積分，這些內容是函數及其應用研究的深化和提高，為大學學習做好預備。

二、采用適當的方法激發學生的學習興趣

教學中，筆者首先從學生熟悉的函數入手，引出函數傳統定義，然后引導學生利用映射給出函數現代定義。盡量不讓學生由于陌生而產生對新概念的恐懼。接著在進行兩個概念的比較的時候又依托具體例子，化抽象為具體，較好地解決了這一問題。

教學過程是教師和學生共同參與的過程，啟發學生自主性學習,充分調動學生的積極性、主動性；有效地滲透數學思想方法，提高學生素質。根據這樣的原則和所要完成的教學目標，并為激發學生的學習興趣，筆者采用如下的教學方法：

（1）比較法：通過初中的函數的概念和高中階段的函數的概念進行比較，初中的概念是強調了兩個變量之間的對應關系，而高中的概念強調了函數的三要素構成了函數這個整體，深入地理解函數概念的本質；其次是比較映射的概念和函數的概念，其中的區別：函數強調“變量的值”。映射中的A與B在集合中被強調是數集，其中的聯系：“對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應”與“對于x的每一個值，y都有唯一的一個值與它對應”具有類似的結構。比較f(x)與f(a)之間的區別，f(x)是變量，而f(a)是常量。

（2）列舉法：對函數內容的學習是初中函數內容的深化和延伸．深化首先體現在函數的定義更具一般性。故教學中可以讓學生舉出自己熟悉的函數例子，并用變量觀點加以解釋，如給出： 是不是函數的問題，用變量定義解釋顯得很勉強，而如果從集合與映射的觀點來解釋就十分自然，所以有重新認識函數的必要。

三、把握好函數的教學要求避免難偏怪

學習是一個不斷深化的過程，作為高一上期學習的內容，函數的概念要理解透徹并非一朝一夕的事，要充分考慮到學生從初中進入高中不久的事實，設計函數課的教學過程必須由淺入深，學生在不斷地學習中加深對函數概念的理解，跨度不能太大，應著力于打好基礎，并進行逐步的綜合訓練，在后繼學習中，通過對函數的應用來獲得鞏固和提高，逐步提高數學能力。知識可以一步到位，能力是逐步到位。

例如：在引進集合和映射等概念后，我們就可明確給學生定義什么是函數了。并由此定義函數的定義域、值域等概念，其中定義域、對應關系、值域是函數三大要素。如何求函數定義域（重點）？如何求函數值域（難點、非重點）？如何判定兩個函數是相同函數（重點）？等大量問題對學生是一新的問題。如果這里多講、重講如何求函數值域，就是偏難。這就需要我們在實際教學中把握一個“度”。

函數通常用符號y=f(x)表示，由于這個符號較為抽象，在初中講函數時未出現這個符號，在講函數的符號表示時，應說明幾點：

y=f(x)是表示y是x的函數，不是表示y等于f與x的乘積；

f(x)不一定是一個解析式；

f(x)與f(a)是不同的。

篇6

函數y等于tanx，x屬于負二分之π到二分之一π之間，其反函數記作y等于arctanx，叫做反正切函數。

1、反正切函數是反三角函數的一種。

2、由于正切函數y=tanx在定義域上不具有一一對應的關系，所以不存在反函數。

（來源：文章屋網 ）

篇7

【關鍵詞】變量 函數概念 概念內涵 對應法則

【中圖分類號】 G 【文獻標識碼】 A

【文章編號】0450-9889（2015）03B-0109-02

要提高數學教學質量，必須加強基礎知識、基本方法和基本技能的教學，而概念教學是這“三基”教學的核心。函數是中學數學的主干內容，與中學數學的大部分內容都有密切的聯系。鑒于此，函數概念最早出現在初二下學期的課本，而且在此之前的幼兒園、小學階段都已經滲透了有關函數概念的集合和對應的方法。到了高中，進一步深化函數概念，成為貫穿中學數學知識的一條主線。因此，歷屆數學教育家想方設法編出了循序漸進、螺旋上升、科學合理的函數內容教材，努力提高學生的數學文化知識?？墒?，教學效果仍然不盡人意，特別是在普通中學，許多學生讀到了高三，還說不清楚什么是函數。在此，筆者想與同行們共同探討如何進行初、高中數學函數概念的教學。

一、如何進行初中函數概念的教學

學生理解數學概念，一般是從感性開始的。采取從感性到理性，又從理性到實踐的過程進行教學，是符合學生認識規律的。課本準備了一些感性材料，讓學生經歷從典型、豐富的具體事例中概括概念本質的活動。初中課本準備了4個不同類型的實際問題：（1）畫出了表示某地某天內的氣溫隨時間變化而變化的圖形曲線。（2）繪出了2006年8月中國人民銀行公布的“整存整取”年利率表，表中顯示了年利率 y 隨著存期 x 的增長而增高。（3）給出了收音機刻度盤上的波長 λ（m）和頻率 f（kHZ） 的對應值表。（4）讓學生根據圓面積公式 S=πr2，填圓半徑 r 與面積 S 的對應值表。在上面的每一個問題中，先后出現了兩個相互依賴、相互制約、相互影響大小的變量，不妨分別用字母 x 和 y 來表示，引導學生發現：先出現的變量 x ，在允許的范圍內每取一個值，都會得出另一個變量 y 的一個值，或者說另一個變量 y 隨之就會只有一個值和它對應。由此概括抽象出初中函數定義：如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如 x 和 y ，對于 x 的每一個值， y都有唯一的值與之對應，我們就說 x 是自變量， y 是因變量，此時也稱 y 是 x 的函數?？梢?，函數 y 是一個變量，但它不是獨立變化的變量，而是由自變量自變引起因變量因變的這樣一個變量，于是，把因變量 y 稱作是自變量 x 的函數。學生學習了定義之后，還要讓學生回到實踐，知道在客觀世界中，廣泛存在著函數的事例。比如，正方形的面積 S 是邊長 a 的函數；物體作勻速直線運動的路程 S 是時間 t 的函數等事例。當學生知道函數自變量 x 可以表示時間、長度、路程、電流等變量，知道因變量 y 可以表示溫度、利率、頻率、面積、電壓等變量。知道函數研究的對象是兩個有著主從依賴、互相制約的確定關系的變量，這兩個變量的值存在著一種特殊的對應關系時，學生就理解了初中的函數概念。至于兩個變量之間的主導與從屬關系，在一定條件下可以互相轉化，只能放在高中學習反函數時再去研究。

二、如何進行高中函數概念的教學

高中階段函數的教學是初中階段函數教學的延續，要求學生在集合與對應等思想的基礎上深刻理解函數概念?，F行的高中教材類似于初中教材的設計，從函數具有豐富的實際背景出發，準備了三個不同類型的實際問題。問題（1）給出了炮彈距地面的高度 h（m） 隨時間 t （S）變化的規律 h=130t―5t2。問題（2）中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞面積從1979～2001年的變化情況。問題（3）給出了“八五”計劃以來我國城鎮居民恩格爾系數變化情況表。每個問題都給出了兩個變量各自的變化范圍，教材的意圖是要讓學生知道或發現這兩個變量之間對應關系的共同點，于是讓學生先回答課本 P16 的思考題：分析、歸納以上三個實例，變量之間的關系有什么共同點？

共同點：（1）兩個變量都有各自所屬于的非空數集；（2）這兩個非空數集之間的元素都有一種確定的對應關系 f ，使對于集合 A 中的任意一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數 y 和它對應。

不同點：兩個變量的對應關系表現形式不相同，實例（1）是解析式，實例（2）是一條曲線，實例（3）是數據表格。

于是，每個實例中的兩個變量之間的關系都可以描述為：對于數集 A 中的每一個 x ，按照某種對應關系 f ，在數集 B中都有唯一確定的 y 和它對應，并且把這種對應關系記作 f：AB，從而得到了突出“對應關系”的高中函數定義：

設 A ， B 是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系 f ，使對于集合 A 中的任意一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數 y 和它對應，那么就稱 f：AB為從集合 A 到集合 B 的一個函數，記作 y=f（x）， x∈A。其中， x 叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與 x 的值相對應的 y 值叫做函數值，函數值的集合{f（x）│x∈A} 叫做函數的值域。這樣引入函數概念雖然自然，但是，學生知其然而不知其所以然。過去學習了“因變量 y叫做自變量 x 的函數”，現在為什么要把“數集 A 與 B 之間元素的這種對應關系 f：AB叫做從集合 A 到集合 B 的一個函數呢？”過去講的函數是一個變量，現在講的函數是一種對應關系，學生誤以為有兩個完全不同的函數定義。

任何一個概念都反映事物的一定范圍（即事物的集合）和這個范圍內的事物的共同本質。概念所反映事物的范圍（或集合）叫做這個概念的外延，這些事物的本質屬性的總和（或集合）叫做這個概念的內涵。概念的外延和內涵分別描述了事物集合的量和質。定義概念就是準確地揭示它的內涵和外延。在中學進行新概念教學時，既要從學生接觸過的具體內容引入，也要從數學內部問題提出，這是比較好的一種教學方法。

既然學生過去學習了“ y 是 x 的函數”定義，就要從學生的認識水平出發，只要把初中函數定義進一步抽象一點點，把不是最基本的本質屬性“變化過程”和“變量”棄掉，只保留最基本的本質屬性，就會得出高中的函數定義。

現行高中教材準備的三個實際問題，仍然可以作為引入函數概念的具體事例。不過，先要根據這些具體事例，引導學生回憶、回答出初中的函數定義“y是 x 的函數”之后，提問：

一個函數的自變量 x 總有取值范圍嗎？因變量即函數 y 總有變化范圍嗎？

答：都有。

把自變量 x 的取值范圍記作 A ，因變量 y 的變化范圍記作 B 。再提問：

初中函數的最基本的特征是什么？

答：v1w自變量 x 有一個取值范圍 A ，因變量 y 有一個變化范圍 B 。

（2）對于數集 A 中的每一個數 x ，按照某個確定的對應法則 f ，都對應著數集 B 中唯一確定的數 y （把這個 y 記作 f（x））。我們把這種對應關系，稱之為從數集 A 到數集 B 的單值對應，記作f：AB。

我們把從數集 A 到數集 B 的單值對應 f：AB，叫做從集合 A 到集合 B 的一個函數，記作 y= f（x），x∈A。其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數的定義域，與 x 的值相對應的 y 值（f（x））叫做函數值，函數值的集合{f（x）│x∈A}叫做函數的值域。

這樣，只保留初中函數最基本的兩個特征，就輕松地得出了高中函數定義。

三、初、高中函數定義的實質是一樣的

通過保留初中函數最基本的兩個特征，得出高中函數定義，學生容易知道初、高中函數定義的實質一樣：都是指兩個數集之間的元素單值對應，只不過初中函數定義側重于表達變量變化的結果，而高中函數定義側重于整體表達變量之間的全部對應和變化。初、高中函數定義的這種相同本質，可以用如下的簡易圖形示意：

四、解決初中函數不能解決的一些問題

通過減少初中函數概念的內涵，得到的高中函數概念的外延就會擴大，所以初中函數定義中的每一個函數，即初中講的“ y 是 x 的函數”，都是高中函數定義中的函數，都可以寫成“從集合 A 到集合 B 的一個函數”，但是，反之不成立。這樣，高中函數研究的范圍已經擴大，就能解決初中函數不能解決的一些問題，這就是發展概念的動機和原因。例如：

（1）y=sin2x+cos2x=1（x∈R）是函數嗎？

（2）y=與 y=x 是同一個函數嗎？等等，這些問題如果用初中函數定義就無法回答，但是，用高中函數定義就很容易解決。

五、反思高中函數定義

講授完高中函數定義之后，可讓學生反思：（1）定義中的“……，稱 f：AB為從集合 A 到集合 B 的一個函數”。難道從集合 A 到集合 B 還會有另一個函數？比如，已知y=sin x，x∈[0，]是從集合[0，]到集合[0，1]的一個函數，讓學生找一找從集合[0，]到集合[0，1]的另一個函數，有y=cos x，x∈[0，]，等等。（2）除了高中學的函數之外，還會有別的函數嗎？

例如，設立方體長、寬、高、體積分別為x，y，z，V，則V=xyz，其中x，y，z都是自變量，這是一個有三個自變量的多元函數，不是中學的一元函數。

再如，y=±是函數嗎？

因為它不符合中學函數定義的“單值對應”，所以不是中學的函數，而是中學函數之外的多值函數。

通過反思高中函數定義，就不會書云亦云，師云亦云了。

六、鞏固、發展函數概念

函數概念的形成，不是一二節課就能完成的，學生學習了概念之后，還需要采取一些鞏固、發展概念的措施，羅列一些似是而非、容易產生錯誤的對象讓學生辨析，來促進學生認識概念的本質，確定概念外延的有效手段。例如（選自2011年湖北黃石必修1檢測題）：

在下列從集合 A 到集合 B 的對應關系中，不能確定 y 是 x 的函數是（ ）

（1）A={x│x∈Z}，B={y│y∈Z}，對應法則 f：xy=；

（2）A={x│x>0，x∈R}，B={y│y∈R}，對應法則 f：xy2=3x；

（3）A={x│x∈R}，B={y│y∈R}，對應法則 f：xy：x2+y2=25；

（4）A=R，B=R，對應法則 f：xy=x2；

（5）A={（x，y）│x∈R，y∈R}，B=R，對應法則f：（x，y）S=x+y；

（6）A={x│-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，對應法則 f：xy=0。

解析：在對應法則 f 下，（1）A 中不能被 3 整除的數在 B 中沒有象。（2）A 中的數在 B 中有兩個數與之對應。（3）A 中的數（除去±5）在 B 中有兩個數與之對應。（5） A 不是數集。所以（1）（2）（3）（5）都不能確定 y 是 x 的函數。（4）（6）顯然滿足函數的特征， y 是 x 的函數。

一個概念即是對前面知識的總結，又是新知識的出發點，函數研究的是變量間的依賴關系，對應關系，因而討論函數的性質時，還是要突出一個“變”字，圍繞自變量，因變量的變化特征來界定。比如，當自變量 x 在定義域 A 中由小變大時，根據 y=f（x） 的變化特點，提出了函數的“增減性”“奇偶性”和“周期性”等概念。用這樣的思路來進行函數概念和性質的教學，能把概念教活，使學生獲取的知識成為一個有機的整體。

【參考文獻】

[1]陳森林.中學代數教學法[M].武漢：湖北人民出版社，1981.8

[2]蘇天輔.形式邏輯學[M].成都：四川人民出版社，1981

篇8

    ,性質

    首先是初等函數相關問題分析:

    1.絕對值函數的概念及性質

    絕對值函數是個很廣的概念,可分為兩大部分,一部分是絕對值施加在X上的,另一部分是絕對值號施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就記住絕對值號在誰上頭就把原圖像根據哪一個軸做軸對稱變換,記住這一點,不管多復雜的解析式都可以照此辦理.絕對值函數可以看作初等函數。

    1.1絕對值函數的定義域,值域,單調性

    例如f(x)=a|x|+b是

    定義域:即x的取值集合,為全體實數;

    值域: 不小于b的全體實數

    單調性:當x<0,a>0時,單調減函數;

    > > 增 ;

    < < 增 ;

    < < 減 ;

    1.2絕對值函數圖象規律:

    |f(x)|將f(x)在y軸負半軸的圖像關于x軸翻折一下即可,在y軸正半軸的圖像不變。

    f(|x|)將f(x)在x軸負半軸的圖像關于y軸翻折一下即可,在x軸正半軸的圖像不變。。

    1.3帶絕對值的函數求導,即將函數分段。

    2.取整函數的概念與性質

    2.1取整函數是:設x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數,并用"{x}"表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為取整函數,也叫高斯函數。任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)稱為小數部分函數。

    2.2取整函數的性質:a 對任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b對任意x∈R,函數y={x}的值域為[0,1).c 取整函數(高斯函數)是一個不減函數,即對任意x1,x2∈R,若x1≤x2,則[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,則有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一個以1為周期的函數.e若x,y∈R,則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,則[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,則在區間[1,x]內,恰好有[x/n]個整數是n的倍數.h 設p為質數,n∈N+,則p在n!的質因數分解式中的冪次為p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

    3.導數的概念與性質

    3.1導數,是微積分中的重要基礎概念。當自變量的增量趨于零時,因變量的增量與自變量的增量之商的極限。。在一個函數存在導數時,稱這個函數可導或者可微分?？蓪У暮瘮狄欢ㄟB續。。不連續的函數一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程,導數的四則運算法則來源于極限的四則運算法則。導數另一個定義:當x=x0時,f‘(x0)是一個確定的數。這樣,當x變化時,f'(x)便是x的一個函數,我們稱他為f(x)的導函數(簡稱導數)。

    3.2求導數的方法

    (1)求函數y=f(x)在x0處導數的步驟:① 求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均變化率;③ 取極限,得導數.

    (2)幾種常見函數的導數公式: ① C'=0(C為常數函數);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln為自然對數);⑦ (Inx)' = 1/x(ln為自然對數;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

    補充:上面的公式是不可以代常數進去的,只能代函數,新學導數的人往往忽略這一點,造成歧義,要多加注意。

    (3)導數的四則運算法則: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

    (4)復合函數的導數

    復合函數對自變量的導數,等于已知函數對中間變量的導數,乘以中間變量對自變量的導數--稱為鏈式法則。

    4.高等函數的概念以及含義問題

    4.1一元微分

    1)一元微分是設函數y = f(x)在x.的鄰域內有定義,x0及x0 + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依賴于Δx的常數),而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小,那么稱函數f(x)在點x0是可微的,且AΔx稱作函數在點x0相應于自變量增量Δx的微分,記作dy,即dy = AΔx。

    通常把自變量x的增量 Δ

    x稱為自變量的微分,記作dx,即dx = x。于是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此,導數也叫做微商。 當自變量X改變為X+X時,相應地函數值由f(X)改變為f(X+X),如果存在一個與X無關的常數A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0關于X

    的高階無窮小量,則稱A·X是f(X)在X的微分,記為dy,并稱f(X)在X可微。一元微積分中,可微可導等價。記A·X=dy,則dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。

    2)其幾何意義為:設Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標上的增量,Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量,dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量。當|Δx|很小時,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小),因此在點M附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。

    4.2多元微分

    1)多元微分的概念:與一元微分同理,當自變量為多個時,可得出多元微分的定義。

    2)多元微分的運算法則

    dy=f'(x)dx

    d(u+v)=du+dv

    d(u-v)=du-dv

    d(uv)=du·v+dv·u

    d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

    3)微分表

    d(x^3/3)=x^2dx

    d(-1/x)=1/x^2dx

    d(lnx)=1/xdx

    d(-cosx)=sinxdx

    d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

    高等函數中還有值定理與導數應用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定積分、定積分、平面曲線的弧長、、可降階的高階微分方程、二階常系數非齊次線性微分方程、向量代數與空間解析幾何、重積分及曲線積分以及無窮級數等,本文就簡單的函數問題做一總結。

    【參考資料】

    1.復變函數論.高等教育出版社,2004,01.

    2.實變函數簡明教程.高等教育出版社 2005,5,.

篇9

關鍵詞： 反函數 概念 教學設計

學生普遍對反函數一節的理解和靈活運用上存在一定困難，根據學生反映出的情況，我對反函數一節中的教學內容提出一些建議.

我認為教學重點應該放在：反函數概念、求法、圖像關系，并基于圖像來理解.教學難點主要有：①f（a）=b?圳f（b）=a的應用；②復合函數的有關問題.

一、定義的內涵

1.定義講完后，提出問題“任何函數都存在反函數嗎？”進而啟發、誘導學生得出反函數存在的條件：確定函數的映射f:AB是從定義域A到值域B的一一映射，則函數f（x）存在反函數.

逆映射：f:AB所確定的函數y=f（x），x∈B，y∈A，叫y=f（x）的反函數，f（a）=b?圳f（b）=a.

2.進一步提供了反函數存在性的判斷方法：

①代數法：x≠x?圯y≠y即≠0（x≠x）.

②幾何法：圖像上任兩點連線不平行于x軸，也不與x軸重合.

例如：y=，y=，y=x+，y=+x等.

（反函數的常規解法及步驟，重要條件在此不述了.）

二、互為反函數的兩個函數y=f（x）與y=f（x）的關系

在這里要讓學生搞清x=f（x），y=f（x），y=f（x）三者之間函數圖像關系.

三、特例

反函數圖像自身關于直線y=x對稱，函數自身定義域等于值域，在解一些有關此類函數題時，可以應用.（如下表）

例1.若函數y=（a≠）的圖像關于直線y=x對稱，則a=?搖?搖?搖?搖.

解：依題意，y=（a≠）的反函數是其本身，則定義域A與值域C相同.

A={x|x≠-}，C={y|y≠}且A=C,

-=,得a=-5.

四、復合函數的反函數

y=f（ax+b）的反函數y=；

y=f（ax+b）的反函數y=.

例3.設函數f（x）=，函數g（x）的圖像與y=f（x+1）的圖像關于直線y=x對稱，則g（1）=?搖?搖?搖?搖.

五、常用結論

1.一個函數y=f（x）在定義域A上存在反函數是這個函數在A上單調的必要非充分條件.

2.若函數y=f（x）在定義域A上單調，則y=f（x）一定存在反函數y=f（x），且y=f（x）在其定義域B上具有相同單調性.（A、B不一定相同）

3.f［f（x）］=x（x∈C）； f［f（x）］=x（x∈A）.

4.若一個奇函數存在反函數，則反函數也是奇函數.（若補充了“奇偶性”，可講此點.）

5.若函數y=f（x）與其反函數y=f（x）的公共點不一定都在y=x直線上.

六、補充練習

1.函數y=f（x）的反函數y=f（x）的圖像與y軸交點于P（0,2），則方程f（x）=0在［1，4］上的根是x=?搖?搖?搖?搖.

2．函數f（x）=log（x+b）（a＞1,a≠1）的圖像過點（2,1），其反函數的圖像過點（2,8），則a+b等于?搖?搖?搖?搖.

3.函數f（x）=x-2ax-3在區間［1，2］上存在反函數的充分必要條件是（）

A.a∈（-∞，1］B.a∈（2,+∞）

C.a∈［1，2］ D.a∈（-∞,1］∪［2,+∞）

4.已知函數y=f（x）是奇函數，當x≥0，f（x）=3-1，設f（x）的反函數是y=g（x），則g（-8）=?搖?搖?搖?搖.

5.f（x）是函數f（x）=（a-a）（a＞1）的反函數，則使f（x）＞1成立的x的取值范圍是（）

A.,+∞ B.-∞,C.,aD.［a,+∞）

補充練習答案：

1.x=2

2.a+b=4

3.D

4.x=-2

5.A

參考文獻：

［1］喬治.波利亞.數學的發現.科學出版社，2006.7，第一版.

［2］張雄等.數學方法論與解題學研究.高等教育出版社，2003.8，第一版.

［3］余元希等.初等代數研究.高等教育出版社,1988年版1999年12次印刷.

篇10

關鍵詞：初中數學；函數概念；三種關系

初中階段的函數教學具有承上啟下的作用，是高中函數學習的基礎，如果教學失敗，直接對學生今后在高中階段的函數學習產生負頁影響，甚至影響到今后的進一步學習。所以，初中階段的函數教學不可松懈，一定要慎重對待。就實際教學而言，初中階段的函數教學一定要處理好幾個概念關系，具體如下。

一、具體與抽象的關系

人認識事物都是從感性認知開始的，然后逐步升華到理性認知，理性的認知過程才是把握事物本質的過程。數學概念就是人們長期以來對事物現象形成的高度抽象認知的結果，函數更是如此。所以，函數的學習需要高度抽象的理性邏輯思維，這對理性思維尚不很發達的初中生來說，的確是有一些難度的。但一般而言，初中階段的函數是基礎性的，并不太難，并且考慮了與小學數學知識的銜接，所以，只要教師稍加引導，就會使問題迎刃而解的。

根據初中教材的一般編排規律，在引入函數知識前，已經作了許多函數知識鋪墊，比如關于量與量之間的依存關系，學習函數前學生應當已有所認知并且可能很熟悉。初中數學教師完全可以在學生已有的有關量的知識基礎之上，引導學生建構關于函數的知識結構，使學生在已有的數量關系知識基礎上理解新的函數知識。

一般而言，在具體教學中，教師不宜直接向學生拋出抽象的函數定義，而要從具體的函數實例說起，引導學生從函數實例中抽象離析出變量、常量等，進而尋找各變量常量之間存在的數學關系，再根據關系建立數學表達式，進而使學生理解相關概念。最終學生會理解，對于一個變量X，含有X的代數式，如3X就是關于X的函數。

一切抽象的知識都是從具體的直觀的感性經驗開始的，因此，初中數學教師在教學抽象的函數概念時，也要盡可能引導學生從感性經驗入手，從具體的實例如下，引導其一步步深入理解，最終完全掌握抽象的函數概念。

二、準確性與通俗性的關系

函數本來是高度抽象的概念，其定義應當時具有嚴密邏輯性的表達。但考慮到初中學生本身的認知水平，一般初中教材都采取描述法來界定，也主張教師用描述性的表達來界定函數之類的抽象概念。描述法界定的好處是通俗易懂，但也容易失去準確性。這就要求初中數學教師在界定概念時，必須力圖做到通俗性的同時確保準確性?，F行九年義務教育初中階段某數學教材中這樣定義函數：“設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，Y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數?！痹摱x突出了“對應”二字，體現了準確性；不把對應關系看作函數，而把變量y看成一個函數，這恰好是為了便于學生理解而所作的處理，因為變是y是具體的，而對應關系是抽象的，前者易理解，后者難消化。

有的老師在教學函數概念時，過于強調函數三要素，即“定義域、對應法則、值域”三要素。不過事實上，這三要素雖然是函數確實該具備的，但并不能揭示函數的本質。要想使學生準確理解，還必須揭示其本質屬性。這需要從定義中析取?！霸谝粋€變化過程中”，強調函數的動態存在性；“有兩個變量”強調函數體現的是兩個變量之間的依存關系；“對于x的每一個值，Y都有唯一的值與它對應”強調兩個變量之間的對應關系。從這三個方面的分析來看，函數本質上不是什么具體的變量，而是變量之間存在的一種對應關系。這樣的抽象性的概念，要想理解準確，還真得從通俗性入手。

三、歷史性與邏輯性的關系

一般而言，概念教學都有必要講清概念的來龍去脈，這是歷史性的體現。函數概念教學也如此，應當讓學生了解函數概念的產生和發展的大致過程，使知識具有歷史感，并有助于學生深化理解。邏輯性主要指共時平面上對函數概念的抽象界定，這樣的邏輯性界定很直接地拋出概念定義，很省事兒，但不省力。因為直接面對抽象的函數概念，學生一時半會兒并不能理解。如果從此前的代數知識講起，引導學生步步深入，體驗函數關系如何從代數中生成并發展起來，體驗完畢后，對函數就會有一個較為深刻的認知體會。這樣以舊知識促進新知識的理解消化，也很符合建構主義理論。建構主義認為，人的大腦是建構性的，而不是直接的接收器或刺激反應器。人在接受信息過程中，會有主觀能動性的參與，即人會對所接收到的信息進行加工，進而創造出新的信息體系。這個加工過程是復雜的，往往是新信息和舊信息均有涉及的一種建構性處理，經過這種加工，大腦中會建構起新的認知體系來。所以，人的學習應當是建構的，而不是接受的。函數概念教學中，教師也不能忽略大腦認知上的這種特點，所以也要根據建構的特性來組織教學。因此，邏輯性的函數定義固然省事兒，可以直截了當地告訴學生所學的內容，但由于缺乏既有知識作為基礎，大腦中很難真正建構。只有從代數開始，以代數的知識作為基礎，逐步引入函數，學生才可能在代數知識基礎之上建構函數知識，實現對函數概念的準確理解。

綜上，初中函數概念教學要處理好三種關系，一是抽象與具體的關系，即要從具體實例出發而理解抽象概念；二是準確性與通俗性的關系，即要以通俗的語言引導學生準確理解高度抽象的概念；三是歷史性與邏輯性的關系，即要盡可能以歷史的方法，講明函數的來龍去脈，使學生建構性地理解邏輯層面的函數概念。處理好了這三種關系，初中函數教學就能化難為易，化繁為簡，使學生學得有味，教師教得有勁。函數問題概念如能迎刃而解，其他數學問題的解決也就不再是什么難題。因此，初中數學教師一定要在函數概念教學上多下功夫，多結合實際認真探索，積極大膽地創新，在處理好以上三個關系的前提下，尋找最適切的教學方法，推動教學的良性發展。

參考文獻：

[1]任子朝.數學思維結構的成分、建構與發展（續）.數學通訊，1993，8

[2]嚴成志.理科教學中培養學生形象思維能力的研究.中學教研，1993.7