多邊形的內角和教學教案

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教學任務分析

教學目標

知識與技能

掌握多邊形內角和公式及外角和定理,并能應用.

過程與方法

1.經歷把多邊形內角和問題轉化為三角形內角和問題的過程,體會轉化思想在幾何中的應用,同時體會從特殊到一般的認識問題的方法;

2.經歷探索多邊形內角和公式的過程,嘗試從不同角度尋求解決問題的方法.訓練學生的發散性思維,培養學生的創新精神.

情感態度價值觀

通過猜想、推理等數學活動,感受數學充滿著探索以及數學結論的確定性,提高學生學習數學的熱情.

重點

多種方法探索多邊形內角和公式

難點

多邊形內角和公式的推導

教學流程安排

活動流程

活動內容和目的

活動1學生自主探索四邊形內角和

活動2教師引導學生探索總結把四邊形轉化為三角形添加輔助線的基本方法

活動3探索n邊形內角和公式

活動4師生共同研究遞推法確定n邊形內角和公式

活動5多邊形內角和公式的應用

活動6小結

作業

從對三角形及特殊四邊形(正方形、長方形)內角和的認識出發,使學生積極參加到探索四邊形內角和的活動中.

加深對轉化思想方法的理解,訓練發散思維、培養創新能力.

通過把多邊形轉化為三角形體會轉化思想,感受從特殊到一般的數學思考方法.

學生提高動手實操能力、突破“添”的思維局限

綜合運用新舊知識解決問題.

回顧本節內容,培養學生的歸納概括能力.

反思總結,鞏固提高.

課前準備

教具

學具

補充材料

教師用三角尺

課件

剪刀

復印材料

三角形紙片

教學過程設計

問題與情景

師生行為

設計意圖

[活動1、2]

問題1.三角形的內角和是多少?

與形狀有關嗎?

問題2.正方形、長方形的內角和是多少?

由此你能猜想任意凸四邊形內角和嗎?

動腦筋、想辦法,說明你的猜想是正確的.

問題3添加輔助線的目的是什么,方法有沒有什么規律呢?

學生回答:

三角形內角和是180°,與形狀無關;正方形、長方形內角和是360°(4×90°),由此猜想任意凸四邊形內角和是360°.

學生先獨立探究,再小組交流討論.

教師深入小組指導,傾聽學生交流.對于通過測量、拼圖說明的,可以引導學生利用添加輔助線的方法把四邊形轉化為三角形.

學生匯報結果.

①過一個頂點畫對角線1條,得到2個三角

形,內角和為2×180°;

②畫2條對角線,在四邊形內部交于一點,得到4個三角形,內角和為4×180°-360°;

③若在四邊形內部任取一點,如圖,也可以得到相應的結論;

④這個點還可以取在邊上(若與頂點重合,轉化為第一種情況——連接對角線;否則如圖4)

內角和為3×180°-180°;

⑤點還可以取在外部,如圖5、6.由圖5,內角和為3×180°-180°;由圖6,內角和為2×180°;

教師重點關注:①學生能否借助輔助線把四邊形分割成幾個三角形;②能否借助輔助線找到不同的分割方法.

教師總結:利用輔助線把四邊形的內角和轉化為三角形的內角和,體現了化未知為已知的轉化思想..以上這些方法同樣適用于探究任意凸多邊形的內角和.為方便起見,下面我們可以選用最簡單的方法——過一點畫多邊形的對角線,來探究五邊形、六邊形,甚至任意n邊形的內角和.

通過回憶三角形的內角和,有助于后續問題的解決.

從四邊形入手,有利于學生探求它與三角形的關系,從而有利于發現轉化的思想方法.

通過動手操作尋找結論,讓他們積極參加數學活動、主動思考、合作交流,體驗解決問題策略的多樣性.

通過尋求多種方法解決問題,訓練學生發散思維能力、培養創新意識.

[活動3]

問題4怎樣求n邊形的內角和?(n是大于等于3的整數)

學生歸納得出結論:從n邊形的一個頂點出發可以引(n-3)條對角線,它們將n邊形分割成(n-2)個三角形,(凸)n邊形的內角和等于(n-2)×180°.

特點:內角和都是180°的整數倍.

通過歸納概括得出任意凸多邊形的內角和與邊數關系的表達式,體會數形之間的聯系,感受從特殊到一般的數學推理過程和數學思想方法.

[活動4]

每名同學發一張三角形紙片

問題5一張三角形紙片只剪一刀,能不能得到一個四邊形,在這一過程中內角發

《多邊形的內角和》公開課

生了怎樣的變化

問題6由四邊形得到五邊形呢?

依此類推能否猜想n邊形內角和公式

將三角形去掉一個角可以得到四邊形,如圖7,四邊形內角和為

180°+2×180°-180°=2×180°.

每個圖形都是前一個圖形剪去一個三角形,每次操作內角和增加180°,n邊形是三角形經過(n-3)次操作得到的,所以n邊形內角和公式為(n-2)×180°

(嚴謹的證明應在學習數學歸納法后)

學生突破常規,學會逆向思維,變以往的“把多邊形轉化成三角形”為“把三角形轉化成多邊形”同樣使問題得到解決

[活動5]

知道了凸多邊形的內角和,它可以解決哪些問題呢?

問題6:六邊形的外角和等于多少?

n邊形外角和是多少?

學生自己畫圖、思考.敘述理由:六邊形的六個外角與六個內角構成6個平角,結合內角和公式,因此得到

6×180°-(6-2)×180°=360°

學生思考,回答.

n邊形中,每個頂點處的內角與一個外角組成一個平角,它們的和,即n邊形內角和與外角和的和為n×180°,而內角和為(n-2)×180°,因此外角和為360°.

利用內角和求外角和,鞏固了內角和公式.

如時間允許,此時還可補充利用“轉角”求多邊形外角和的方法,這樣就變成了可以利用外角和來推導內角和,這又是一種逆向思維

練習

一個多邊形各內角都相等,都等于150°,它的邊數是,內角和是.

練習.解:(n-2)180=150n,n=12;

或360÷(180-150)=12(利用外角和)

150°×12=1800°.

鞏固內角和公式,外角和定理.

[活動5]

小結

下面請同學們總結一下這節課你有哪些收獲.

學生自己小結,老師再總結.

1.多邊形內角和公式(n-2)180°,外角和是360°;

2.由特殊到一般的數學方法、轉化思想.

學會總結,培養歸納概括能力.

作業:

課后思考題.

一同學在進行多邊形的內角和計算時,求得內角和為1125°,可能嗎?

當他發現錯了之后,重新檢查,發現少算了一個內角,你能求出這個內角是多少度?他求的是幾邊形的內角和嗎?

多邊形內角和與不等式的綜合應用題,一題多解,提高學生的綜合應用能力.

作業:

解法1.設這是n邊形,這個內角為x°,依題意:(n-2)180=1125+x

x=(n-2)180-1125

∵0<x<180

∴0<(n-2)180-1125<180

解得:<n<

∵n是整數,

∴n=9.

x=(9-2)180-1125=135

注:方程(n-2)180=1125+x中有兩個未知數,解法1用n表示x,根據x的取值范圍解不等式組求出了n;如果用x表示n,你能解出來嗎?

解法2.設這是n邊形,這個內角為x°,依題意:(n-2)180=1125+x

∵n是整數,

∴45+x是180的倍數.

又∵0<x<180

∴45+x=180,x=135,n=9

還可以根據內角和的特點,先求出內角和.

解法3.設此多邊形的內角和為x°,依題意:1125<x<1125+180

即:180×6+45<x<180×7+45

∵x是多邊形內角和的度數

∴x是180的倍數

∴x=180×7=1260邊數=7+2=9,

這個內角=1260°-1125°=135°

解法4(極值法).設這是n邊形,這個內角為x°,則0<x<180,依題意:(n-2)180=1125+x

令x=0,得:n=,令x=180,得:n=

∴<n<其余同解法1.