數學對法律文化影響試析論文

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「內容提要」數學的特性和認識功能決定了數學不可避免地會對法律文化產生影響。數學對法律文化的影響分為三個歷史時期。數學方法、數學觀念、數學精神都對法律文化產生過重要影響。數學為法律科學提供了一套科學的知識體系，開辟了新的研究領域，促進了法律知識的增長和法律文化的進步。

「英文摘要」Thecharacteristicandthecognitivefunctionofmathematicsdecideitsunavoidableinfluenceonlegalculture.Mathematicalinfluenceonlegalculturecanbedividedintothreehistoricalperiods.Itsmethod，ideologyandspiritallhavehadanimportantinfluenceonlegalculture.Mathematicshasprovidedforlawscienceasetofscientificknowledgesystem，openedanewresearcharea，andpromotedtheincreaseoflegalknowledgeandthedevelopmentoflegalculture.

「關鍵詞」數學/公理化方法/法律文化

[keywords]MathematicsAxiomaticMethodLegalCulture

作為文化之一種，法律文化的發展必然會受到其他文化的影響。數學歷來是人類文化的極其重要的組成部分，曾對許多文化產生過深刻的影響。考察法律文化，不難發現，數學對它的影響也是非常巨大的。無論是歷史上的法律還是現實中的法律，都可發現數學留下的烙印。深入探討數學對法律文化的影響，對法律文化的進一步發展無疑有著重大的促進作用。

在研究數學對法律文化的影響時，我們必須搞清一個前提問題，即數學何以會對法律文化產生影響。這是本文探討的第一個問題。

一、數學何以會對法律文化產生影響

數學和法律分屬自然科學和社會科學（注：雖然不少人認為數學是獨立于自然科學的一門學科，但本文仍認為數學包括在自然科學內。），看似風馬牛不相及，相差十萬八千里，二者之間不會產生多大影響，但事實上，數學卻對法律文化產生了極大的影響。那么，數學何以會對法律文化產生影響呢？要回答這一問題，必須對數學的特性和認識功能有一個了解。

數學是一門自然科學，但數學這門科學與別的自然科學卻有著顯著的不同。它具有以下的特點：

（一）抽象性。英國哲學家懷特海說過：“數學是人類頭腦所能達到的最完善的抽象境界。”[1]（P34）為了對客觀世界中的數學對象進行深入的研究，就必須把對象的某些性質排除在外，抽取對象的主要性質，予以觀察，達到認識對象的目的。數學完全可以擺脫特殊的事例，處在絕對抽象的領域里。數學的抽象化是數學成為一門科學的起點。數學越是向前發展，其抽象化程度便越高；數學的抽象化程度越高，其應用范圍便越廣泛?！白罡叩某橄笏季S是控制我們對具體事物的思想的真正武器?！盵1]（P32）由于數學是所有學科中最抽象的一門學科，所以，它與別的學科之間的共性便最多，這樣，它對別的學科便具有更多的指導作用。

（二）確定性。數學離不開演繹推理。自從歐幾里得從自明性的公理出發，通過演繹推理，推導出幾何定理以后，確定性便成了數學的一大特點。兩千多年來，許許多多的學者為了追求確定性的知識，都把目光投向了數學，投向了歐幾里得創立的幾何學公理化方法，企圖借鑒數學方法，從別的學科領域里也獲得確定性的知識。美國的《獨立宣言》和法國的《人權宣言》都滲透著公理化思想。

（三）精確性。數學運用的是演繹推理，是概念性的東西，必然是精確的。而經驗性的東西是不完善的，談不上精確。所有理論都要求精確的概念，而在實踐中，精確性便消失了。[2]（P2）另外，數學采用的是符號語言，符號語言具有無比的精確性，不像日常語言那樣會產生歧義。

（四）嚴密性。數學定理往往是通過嚴密的邏輯推理得出來的，所以，嚴密性也是數學的一個特點。

（五）應用的廣泛性。數學是描述世界圖式的強有力工具。數學被譽為自然科學的皇后。馬克思說：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了?！盵3]（P8）數學規律不但自然界遵循，而且人類社會也遵循。數學不但在自然界中有著廣泛的應用，而且在人類社會中也有著廣泛的應用。無論是自然科學里的各個學科還是社會科學里的各個學科，都可尋覓到數學的蹤影。

數學的這些特點，決定了數學具有了以下別的科學所不具有的認識功能：

（一）數學是一種重要的思維工具?，F在許多學者都認為，把數學放在自然科學內不大妥當?？茖W本質上是物理學，而數學跟思維的關系更密切一些。所以，數學應是一門獨立于自然科學的學科。我國科學家錢學森就極力主張數學應該與自然科學和社會科學并列，應具有同等地位。的確，數學思維所具有的邏輯嚴密性、高度的抽象性和概括性、豐富的直覺、想象及幻想等特征，是自然科學中別的學科所不具備的，是數學獨有的。在歷史上，雖然沒有把數學視為一門獨立于自然科學的學科（個別人有此觀點，但未取得共識），但人們對數學思維的認識卻有著悠久的歷史，并且有著深入的研究。數學思維中包含邏輯思維，但數學思維又不限于邏輯思維，它還包含其他要素，如直覺、想象、幻想、潛意識等。研究一下偉大的數學家的著作就可發現，一些人在數學研究中專注于邏輯，而另一些人則受直覺指引，[4]（P123）由于對邏輯和直覺的各自強調，便在數學史上形成兩個派別：邏輯主義和直覺主義。邏輯主義者認為所有的數學都可由邏輯推導出，而直覺主義者則認為所有的數學都可由直覺獲得，邏輯遠不如直覺概念可靠。[5]（P216-247）其實，對數學家來說，在進行數學研究時，邏輯和直覺只是各有偏重，并不截然分開，它們都是數學思維不可缺少的組成部分。可以說，數學思維幾乎可以表征人類思維的普遍特征。自然科學的數學思維特征自不用說，社會科學也具有數學思維特征。邏輯思維和形象思維都是社會科學和數學共同運用的。即使在遠離數學思維的藝術領域，對美的追求也構成了數學和藝術的共同追求。著名哲學家、數學家羅素就曾說過：“數學，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的完備，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學里得到。”[6]（P40）總之，數學美是一種結構美，一種“簡單”的美。

數學概念雖以極度抽象的形式出現，但它們總會在現實世界的現象中找到應用。數學的應用問題實際上就是建立數學模型的問題。要使實際問題轉化為一個數學問題，就要找出所要研究問題與某種數學結構的對應關系。這樣，對實際問題的認識、判斷與預測，就變成了在數學模型上展開數學的推導和計算。所以，數學是人們分析問題和解決問題的思想工具。許多學科就通過建立數學模型而與數學建立了聯系。數學模型在自然科學中運用的較早，也較廣泛。自19世紀開始，數學模型在社會科學中也運用起來。20世紀，隨著數學的飛躍發展，許多新分支學科的出現，數學模型在社會科學中的運用更加廣泛，法律也不例外。

數學還是理論知識系統化、邏輯化的重要手段。數學邏輯的嚴密性和結論的可靠性是其他學科無法比擬的。數學運用公理化方法，對經驗知識進行綜合、整理，找出最基本的概念、命題（即公理），作為邏輯的出發點，運用演繹推理論證各種派生的命題。運用這種公理化的推理方法，就會使理論知識系統化、邏輯化。自然科學和社會科學中的許多學科就吸收了這種公理化方法，使本學科得到了長足的發展。法學也曾借鑒過這種方法，尤其是自然法學。

當然，數學思維也是一種辯證思維，具有自己特殊的表現形式。數學中有一系列辯證關系，對黑格爾辯證法的形成具有直接的影響，而黑格爾的辯證法又被馬克思的理論吸收（當然是合理內核）。黑格爾、馬克思都對法律文化有著重要影響，而辯證法又是他們理論的極其重要的組成部分，所以數學的辯證思維也間接地影響了法律文化。

由于數學是一種極為重要的思維工具，所以，在高度發達的現代社會里，數學成了許多行業必備的知識。人類為了更好地生存，就必須進行數學式的思維?？梢灶A見，人類文化越發展，信息化程度越高，數學思維就越重要，對其他學科的影響也越大。

（二）數學是一種重要的科學語言。人類創造了許多語言，有神話語言、占卜語言、宗教語言、哲學語言、文學語言、音樂語言、繪畫語言、舞蹈語言等等，在諸多的語言中，堪與數學語言相媲美的世界性語言只有音樂語言和繪畫語言。數學語言是最科學的語言（至少是最科學的語言之一）。數學文化的這一特點，能使數學超越各種文化的局限性，達到廣泛和直接傳播的效果。數學語言中有概念、公式、定理、模型、圖像、方程等，數學運用這些語言要素，對科學現象和規律進行精確而簡潔的表述，從而使數學語言成為一種對人類文化貢獻甚大的語言。

數學語言是一種符號語言。數學用符號表示數量關系和空間形式。數學語言可以擺脫自然用語的多義性。日常語言是習俗的產物，也是社會和政治運動的產物，往往是在不經意中產生的，具有多義性，易產生歧義。而數學語言則是慎重地、有意地而且經常是精心設計的。憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，數學家們就可以表達和研究數學思想，這些思想如果用普通語言表達出來，就會顯得冗長不堪。所以，數學語言的簡潔性有助于思維的效率。[6]（P42）另外，數學語言也便于量的比較，便于數量分析。由于數學語言具有無可比擬的優點，所以，在人類的早期，各大文明古國的思想家都不約而同地采用數學語言進行世界體系的建構。近代德國哲學家兼數學家萊布尼茨更希望世界上有一種像數學一樣的通用語言。他說：“有了這種東西，我們對形而上學和道德問題就能夠幾乎像在幾何學和數學分析中一樣進行推論?！薄叭f一發生爭論，正好像兩個會計員之間無須乎有辯論；兩個哲學家也不需要辯論。因為他們只要拿起石筆，在石板前坐下來，彼此說一聲（假如愿意，有朋友作證）：我們來算算，也就行了?！盵7]（P119）這種看似浪漫的想法，卻構成了數理邏輯的思想基礎。

運用數學語言還可以探討自然法則的更深層面，而這又是其他方法不可能做到的。人類對空間的認識就是如此。早期人類認為，空間充滿了魔術般的神秘的力量，以致在他們關于空間的理論中用的是神話式的語言。后來，人們才認識到，所有“關于空間和各種空間關系的知識都可以翻譯成一種新的語言，即各種數的語言”。[8]（P63）尤其是笛卡爾發現了解析幾何后，人類對空間的認識就更深刻了，以往被神話和魔術所占據的空間終于讓位于幾何學了；而幾何學的點、線、面又可以轉換成數。“事物不僅僅是與數相聯系，可以用數來表示，而且它們就是數?！瓟凳侨祟愔R的基本功能之一，是偉大的客觀化過程中的一個必要步驟。這種過程開始于語言，但是在科學中它表現出一種全新的形態。因為數的符號體系是一種與言語的符號體系完全不同的邏輯類型。在語言中我們可以看到最初的分類活動，但是它們還是不協調的。它們不可能做到真正的系統化。因為語言符號本身沒有任何確定的系統秩序……當我們進到數的領域，這種事態就完全變了……我們在這里發現的是由于一種內在的邏輯原則而形成的限制……對一切科學的目的來說，這種符號體系比言語的符號體系具有無比的優越性。因為我們在這里所發現的不再是孤立的語詞，而是按照完全相同的基本程序排列起來的項，因此，它向我們展示了一種清晰而明確的結構法則?！盵9]（P199）

由于數學的高度發展，數學的應用越來越廣泛，社會的數學化程度越來越高，數學語言便自然成為人類社會中交流和貯存信息的重要手段。高等數學的一些概念、語言正在越來越多地滲透到現代社會生活的各個方面，成為現代極其重要的科學語言?？梢哉f，如果缺少數學語言，人類文明不知要倒退多少個世紀。數學語言對人類文明的貢獻是非常巨大的，它不但對自然科學有著重大影響，而且對社會科學，包括對法律科學都有著重大影響。在當代，法律科學中已充滿了數學語言，尤其是在運用系統科學等新興學科研究法制的工程中，數學語言比比皆是。

（三）數學是一種重要的思想方法。在人類文化發展史上，數學思考方式曾對文化的發展起過得要作用。而且，誠如懷特海所顏：“如果文明繼續進步，在今后兩千年內，在人類思想領域里具有壓倒性的新的情況，將是數學地理解問題占統治地位?！盵10]（P209-210）所謂數學地理解問題，就是指數學的思考方式，包括建立數學模型，提供推理工具，進行數量分析，應用計算機進行數學實驗等等。

推理可以說是數學中最重要、影響最大的思想方法。美國學者M.克萊因甚至認為推理是人類所作出的最偉大的發現。這一發現的功勞應記在古希臘人頭上。早期數學屬于經驗數學，是古希臘人把它發展為演繹數學。演繹數學從簡明的公理出發，可推出無可辯駁的結論。這就吸引無數的思想家，把數學這種推理方法運用到其他領域，推動了人類文明的發展。

數學也是研究模型的科學。所謂數學模型，簡單地說，就是一種數學化。不管什么領域，只要能從數學的角度提出問題，數學就能給出與所提問題的精確性相符的結果。如何將數學的知識與方法轉化為科學研究的實際力量，一個重要的途徑就是將實際問題提煉成數學模型。通過建立數學模型，不僅可以做到其他方法不易做到的事情，而且可以實現低投入、高收益的目標。[9]（P161）

數學是研究量的科學。對客觀對象進行量化，在量化基礎上進行數量的分析、測量和計算，這是一種常用的數學思想方式。要把握事物的質，就必須對事物的量有所了解。不了解事物的量，就無法把握事物的質。質和量往往是相互作用、相互影響的。在法律中也涉及到量的關系，對一系列法律行為都要作量的分析。通過對數量的分析，數學把它的觸角深入到法律領域。

由于數學是一種重要的思維工具、科學語言、思維方式，所以，數學便具有極廣泛的應用性，能對各種科學產生影響?？梢哉f，無論是自然科學還是社會科學，沒有任何一種學科不受數學影響，法律自不例外。

二、數學對法律文化影響內容考察

數學對法律文化影響較大的時期有三個時期，即古希臘時期、文藝復興至19世紀初和20世紀。

眾所周知，古希臘文化與古代其他文化最大的不同是崇尚理性精神。可以說，理性精神貫穿到古希臘文化的各個領域，數學領域自不例外。理性精神在數學領域的體現主要就是推理的運用。數學盡管在古希臘之前已出現了數千年（若把原始人的計數也算在內，那時間就更長了），但此前的數學屬于經驗數學，到了古希臘，數學才發展為演繹數學。這一轉變無疑在數學史上具有里程碑的意義。

在古希臘之前，人們認為自然是無序的、神秘的，自然現象是由神主宰的，人們只有用祈禱、祭祀等宗教方式來求得神的賜福。古希臘的智者們則對自然采取了一種全新的態度，摒棄了宗教、迷信等超自然力的思想束縛，認為自然是有序的，是按理性設計的，這種設計，雖然不為人的行為所影響，卻能被人的思維所理解。

荷馬是古希臘文明的第一個有名的產兒。在荷馬詩歌中，描寫了大量的神祗。但是，荷馬詩歌中的宗教并不很具有宗教氣味，連眾神之王宙斯也要服從“運命”、“必然”與“定數”這些冥冥的存在。運命對于整個希臘的思想起了極大的影響，而且這也許就是科學之所以能得出對于自然律的信仰的淵源之一。[11]（P33-34）荷馬之后，古希臘文明的發展趨勢是越來越遠離宗教，理性色彩越來越濃。終于，在公元前6世紀，古希臘誕生了哲學、科學，也包括數學（演繹數學）。如果說哲學始于泰勒斯，那么，數學則應始于畢達哥拉斯。證明式的演繹推論式的數學是從畢達哥拉斯開始的。羅素稱畢達歌拉斯是“自有生民以來在思想方面最重要的人物之一”。正是從畢達哥拉斯之后，數學才開始對哲學和其他學科產生重大影響。畢達哥拉斯之前的智者們認為自然是按理性設計的，而畢達哥拉斯則進一步具體化，提出自然（或宇宙）是以數學方式設計的，人們借助于數學，就可以充分地認識自然。畢達哥拉斯及其學派認為：“‘數’乃萬物之原。在自然諸原理中第一是‘數’理，他們見到許多事物的生成與存在，與其歸之于火，或土或水，毋寧歸之于數。數值之變可以成‘道義’，可以成‘魂魄’，可以成‘理性’，可以成‘機會’——相似地，萬物皆可以數來說明?！盵12]（P12）“數是一切事物的本質，整個有規定的宇宙的組織，就是數以及數的關系的和諧系統?！盵13]（P218）畢達哥拉斯不但把有形事物歸于數，把音樂、靈魂歸于數，而且他把道德也還原為數，認為正義是一種數的規定：一個偶數，它自乘之后永遠還是偶數（相等）。這種正義當然是自身同一的東西，——這乃是一個可以適合許多東西的完全抽象的規定。[12]（P247）

畢達哥拉斯學派的一位成員名叫阿爾基塔，是位城邦政治家，他說過一段話，從中可看出數對法律文化的影響情況：“一旦發現了正的計數標準，就能控制公民的沖突并促進協調。因為如果那里達到這一點，就不會有過分的權益，平等就占居統治地位。正是這個（正確的計數標準）給我們帶來了契約，窮人從有財產的人那里得到東西，富人給貧民東西，彼此公平對待，相互信任。作為一種標準和對作壞事的人的威懾，它制止住那些在做壞事一切能計算結果的人，使他們相信當他們企圖反抗它時就不免敗露；而當他們不能（計算這種結果）時，也可以向他們表明他們是因此而做錯了，從而防止他們犯罪?！盵14]（P171-172）

除了對數的研究之外，畢達哥拉斯還對幾何學有精深的研究，發現了著名的畢達哥拉斯定理（中國稱勾股定理）。畢達哥拉斯及其學派把空間和幾何學聯系起來，認為幾何學空間的性質具有同質性（均質性）和質點性。空間中的要素，在城邦中是公民，在宇宙天體中是星，作為“質點”，星與星、公民與公民之間的關系是同質的，即均等的。這種性質被看作是空間的基本原則，于是，作為空間度量的幾何學成為政治學（城邦學）中最精深的核心部分。[14]（P171）

柏拉圖是古希臘的又一位大思想家，他不僅希望用數學來理解自然界，而且要用數學來取代自然界本身。柏拉圖認為，幾何學所要求的知識是永恒的，永恒的知識只能從純粹理想的形式中獲得。他相信，對物質世界僅用少量決定性的幾何推理，即能得到基本的真理。由于柏拉圖認為永恒的知識只能從純粹理想的形式中獲得，所以，他便成了烏托邦的鼻祖。柏拉圖關于烏托邦的構想對后世具有巨大的影響，許多法學理論都與此有關。追根溯源，烏托邦的構想直接受數學的影響。從某種意義上說，自然法就帶有烏托邦的影子，它是一種理想法。

繼畢達哥拉斯和柏拉圖之后，古希臘又出了一位大數學家——歐幾里德。歐幾里德是著名的《幾何原本》的作者。據說在西方，兩千多年來，《幾何原本》流傳的廣泛僅次于《圣經》。歐幾里德把他之前的幾何知識進行歸納、整理，提煉出一些簡單自明的公理，由此按照邏輯規則推導出許多幾何定理。在歐幾里得之前，有人就開始運用邏輯規則進行推理了，但在數學史上，第一個系統地應用公理方法的人當屬歐幾里得。公理方法對自然法學產生過巨大的影響。在古希臘，斯多葛派哲學是受公理化方法影響較大的一個哲學流派。斯多葛派認為某些原則是自明的，是大家都承認的，這些原則可作為演繹的基礎，是公理。人的先天的觀念如同自明的公理，可以作為定義的出發點。斯多葛派的這種觀點通過中世紀的流傳，到近代被笛卡爾等人所接受。

數學觀念對古希臘法律制度最重要的影響表現在對民主制度的影響上。古希臘人崇尚理性，擅長抽象思維，以哲學思辯著稱。這一切都符合數學思維的特征。所以，數學精神就成了古希臘人的靈魂。數學成了古希臘人哲學思辯的主要對象。由于“萬物皆數”，所以，數學的普遍性、確定性就成了自然和人類社會的特性。由此可推導出自然運行具有必然性和規律性的結論。把這種“自然之法”引入人類社會，就產生了自然法。由于民主制度是符合自然法的，所以，崇尚理性的古希臘人（主要是雅典等城邦）自然就要選擇民主制度了。另外，古希臘人很早就產生了一種和諧和均衡的觀念，亦即“公道”的觀念。求得國家全體成員共同生活的協調是古希臘人國家觀念的基本思想。梭倫自稱他的立法是要在富人和窮人之間導致一種協調或均衡，雙方在其中都能得到公平的對待。和諧、均衡觀念是在古希臘哲學萌芽的早期出現的，而畢達哥拉斯學派正是古希臘早期著名的哲學流派，對和諧、均衡觀念的形成和發展無疑有著重大的影響。畢達哥拉斯學派認為，數是一切事物的本質，整個有規定的宇宙的組織，就是數以及數的關系的和諧系統。數的關系構成絕對和諧的各種不同的和音，所以，自然而然，畢達哥拉斯學派把協調和均衡看作是萬物包括音樂、醫學、物理學和政治學中的一個根本原則。在英語中至今還保留著一個象征性的說法，把公道說成是一個“平方”數，就與西方文化傳統中的數文化有關。古希臘人在政治生活中秉持和諧、均衡原則對它們的社會制度和社會生活產生了巨大的影響。人們必須平等地參與管理，不因為地位的高低和財富的多寡而受歧視。這樣，社會就會走向民主。古希臘民主制度的形成不能不說與這種和諧、均衡的思想有關?！斑@種和諧的共同生活應使每個公民以參與其中為最大的樂事，這個現象雖然不穩定地實現過，卻始終是希臘政治學說中的主導思想?！盵15]（P37）不可否認，古希臘人選擇民主制還有其他原因，但我們絕不能否認、也不能低估數學觀念對古希臘人選擇民主制的影響。我們須記住一點：古希臘人的數學觀念和政治法律觀念在深層次上是相通的。

畢達哥拉斯學派有關和諧、均衡的觀念，對后世的憲政有深遠的影響。

畢達哥拉斯學派認為從1到10各個數字包含著不同的哲學含義。奇數3包含著1與2以宇宙和諧為形式的協調一致，三元成為一切穩定而完美的結構的模式。孟德斯鳩創立的三權分立理論與畢達哥拉斯學派的此種觀點不無關系。三權分立理論的淵源可追溯于此。另外，畢達哥拉斯學派認為數字5代表著公正。在1至9中，數字5居中，是唯一把從1到9分為均等兩半的數，從而成為公正的象征。此學說對美國政治生活產生了深刻的影響。美國國旗之所以用五角星代表各州，國防部辦公大樓之所以建成“五角大樓”，皆與畢達哥拉斯學派的學說有關。[16]（P123-127）

在古代，除了古希臘外，在其他文明古國的法律文化中，或多或少都受過數學的影響。在早期社會，人們大多給數學披上神秘的外衣，把數字看作神奇的符號，具有某種深不可測的象征意蘊。數學文化這種神秘特性又往往與占卜、占星等結合起來，以影響法律文化。以中國為例，老子就有數生萬物的思想：“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！薄痘茨献?。墜形訓》有一段有關數字的記載：“天一、地二、人三，三三而九，九九八十一；一主日，日數十，日主人，人故十月而生；三九二十七，七主星，星主虎，虎故七月而生。”當然，最典型的是《易經》，利用數學及其符號的變化來對事物的變化發展規律予以規范和預測。中國古代留傳下來的還有“河圖”、“洛書”，用以解釋宇宙生成和人類社會起源。以上這些理論就涉及到法律的起源問題。而且把數學運用到巫術中，也會對法律文化產生影響，因為早期社會的法律無不受巫術的影響。

古希臘是被古羅馬滅亡的。古羅馬人以務實著稱，對抽象的理論不大感興趣。這對古希臘文化的傳播極為不利?；浇涛幕呐d起對古希臘文化的傳播更是雪上加霜?；酵降娜颗d趣都在《圣經》上，他們生活中的關鍵詞是膜拜。基督徒公開嘲弄數學，迫害數學家。教會把數學宣判為“魔鬼的藝術”，禁止人們研習。盡管如此，在古羅馬，在中世紀，數學還是引起了一些學者的重視。與古希臘所不同的是，古羅馬后期以及中世紀的學者運用數學是為了證明“神圣真理”，作宗教論證。波伊修斯是五六世紀間的羅馬政治家和哲學家，曾說過這么一句話：“沒有數學知識，要獲得關于神圣事物的知識是不可能的?！盵17]（P21-22）波伊修斯和他之前的奧古斯丁都認為：“數是創造一切事物之造物主心中的基本范型?！盵17]（P22）庫薩的尼古拉（1401-1464）曾當過紅衣主教，他說：“由于除了借助于符號以外我們沒有別的法子探索有關神圣事物的知識，我們最好還是由于它的不可毀滅之確定性而使用數學記號。”[17]（P22）他不但是這么說的，也是這么做的。在他撰寫的《論有學識的無知》一書中，就運用數學來論證“三位一體”。當然，庫薩的尼古拉已屬文藝復興時期的人物了，他的思想是中世紀思想和近代思想的混合物，受德國神秘主義、新柏拉圖主義和畢達哥拉斯數論的影響。[18]（P256）

在中世紀，基督徒都認為自然界是按上帝的意志創造的，所有自然界行為都遵循上帝制定的規則。然而，1453年，拜占廷帝國被土耳其人滅亡后，大批學者攜帶古希臘著作向西歐逃去。那些渴望新知識的文藝復興領袖們讀到這些希臘書后，如獲至寶，知道了自然是按照數學設計的，而不是按照上帝的意志設計的。當時，因懾于教會的淫威，人們是不敢反對基督教義的，而一些虔誠的基督徒也是不會反對基督教義的。于是，他們就增加了一條新教義，宣稱上帝依照數學設計了宇宙。這樣希臘人的思想就與基督教的思想融匯在一起了，人們就可在上帝的旗幟下，去發現自然現象中的數學規律了。于是，數學對法律文化的影響就進入了第二個重要時期。這個時期大致從文藝復興時期開始，到19世紀初結束。17、18世紀是這一時期數學影響法律文化的高峰時段。

16-18世紀的科學家大多都認為自然界是上帝依照數學設計的，著名科學家哥白尼、開普勒、伽利略、牛頓都持此觀點。開普勒在發現行星運動三大定律后，高興地對上帝大唱贊歌，確信上帝是依據數學原理來設計世界的。伽利略則公開聲明：“宇宙這本大書是無法理解的，除非我們能夠讀懂它所用的語言——數學的語言?！盵19]（P5）不唯科學家，哲學家也大多持此觀點，著名哲學家如笛卡爾、帕斯卡、萊布尼茨、霍布斯等皆持此觀點。由于大多數自然科學家和社會科學家都確信上帝是依照數學原理來設計世界的，所以，數學便成了這一時期的顯學。數學觀念、數學方法不但滲透到自然科學的諸學科中，而且也滲透到社會科學的諸學科中。在這一時期，社會科學中受數學影響最深的學科要數哲學。許多哲學家都鉆研數學，成為頗有影響的數學家，如笛卡爾發明了解析幾何，萊布尼茨發明了微積分。這些哲學家把數學觀念、數學方法引入哲學，對哲學產生了巨大影響。由于哲學是社會科學諸學科的理論基礎，所以，經過數學改造了的哲學又對其他社會科學產生了極大影響，其中包括法學。誠如著名的比較法學家勒內。達維德所說：“法學常常只是把先在哲學或政治等其他方面表現出來的觀點或趨向，在法的方面反映出來……各國都依靠法學家們在法律上反映新的哲學和政治思想與制訂法的新門類……”[20]（P80）

笛卡爾是近代哲學的奠基者，認為理性科學就是數學，從此信念出發，著手改造哲學。他希望他的哲學成為一種普遍的數學。他認為：“要使渴求真理的欲望得到滿足既不能在形而上學理論中去尋找也不能在經驗學科的博學中去尋找，只能在數學中去尋找?！盵21]（P533-534）斯賓諾莎則宣稱：“我將要考察人類的行為和欲望，如同我考察線、面和體積一樣。”[22]（P97）斯賓諾莎在其最著名的著作《倫理學》中就是用幾何學來構建他的哲學體系的，因為在他看來，“數學不研究目的，僅研究形相的本質和特質，可提供我們以另一種真理的典型”。[22]（P39）萊布尼茨被羅素稱為“千古絕倫的大智者”，畢生想發現一種普遍化的數學，用以來計算代替思考，以計算來解決法律糾紛。作為一名很有影響的哲學家和法學家，霍布斯也極為推崇數學，他把數學方法應用于對政治法律現象的研究中。[23]（出版說明）他還曾要求用幾何學方法來處理倫理學，但未實現。[24]（P211）康德是一位哲學大家，他認為：“在特定的理論中，只有其中包含數學的部分才是真正的科學?！盵5]（P42）可以說，在16-18世紀，西方的一流哲學家只有極少數人不太注重數學，絕大多數人都對數學極為重視，并把數學方法引入哲學。正因為這樣，當時的人才說：“凡是想在學識方面超群絕倫的人都一致認為：在研究和傳授學問時，數學方法，即從界說、公設和公理推出結論的方法，乃是發現和傳授真理最好的和最可靠的方法?！盵25]（P35）

考察16-18世紀的哲學理論，可以發現，最為哲學家看重的是數學的演繹方法，即從不證自明的公理出發，經過嚴格的邏輯推理，得出必然性的結論。我們在前面已提到，數學公理化方法是古希臘人歐幾里得創立的。早期，公理化方法僅在數學領域里應用，阿基米德首先把它用在理論力學的研究中，牛頓則把它用在古典力學的研究中。由于公理化方法研究數學問題和物理問題都卓有成效，所以，它便開始向眾多領域挺進，不但自然科學諸學科，而且社會科學諸學科皆廣泛采用。

運用公理化方法首要的是確立公理。公理必須簡單、直觀、不證自明。自然法學派受此影響，借鑒公理化方法，以確立人類社會不證自明的公理。

為了加深對問題的理解，有必要對當時人們所理解的自然法中“自然”的含義加一解釋。17世紀的人們，并未像現代人那樣，把自然科學和抽象學科區分開來，更談不上認為兩者的性質與有效性是對立的?！白匀弧边@一術語在當時并非專指區別于心靈和靈魂的存在的物質存在，當時的人們并未把“物質”和“精神”對立起來?！白匀弧痹诋敃r并不是指事物的存在，而是指真理的起源和基礎。無論其內容如何，凡屬自身確定、自明的、無需求助于啟示的真理，都是屬于自然的。人們不僅在物質世界，而且還在精神世界和道德世界中尋求這樣的真理。17世紀，乃至18世紀的人們，將物質世界和精神世界合在一起，以構成一個真實的世界和一個自足的宇宙。當時的人們受牛頓發現物質世界的規律的啟發，也在努力尋求精神世界的規律或公理。法學家們把那些五花八門的法律追溯到幾條確定的原則，作為自然法的公理。[26]（P235）自然法學家以牛頓的成就作后盾，“信心百倍地開始系統闡述社會和政治關系固有的正義規則和合理規則。整個體系的精心建構旨在從幾個公認的前提出發，以歐幾里得般的精確性，推演出人類全部的道德義務和法律義務”。[27]（P60-61）當然，當時的人們之所以尋求精神世界的公理，還有一個重要的原因：人們確信一個完善的世界不能容忍浪費，自然的作用應該是花費最少即能達到目的。[5]（P58）而普遍原理或者公理就是花費最少即能達到目的的東西。于是，人們尋找自然公理（包括物質世界的公理和精神世界的公理）的工作開始了。法學家也不例外，也在尋找自然法的公理。格老秀斯之后的17世紀的人們普遍接受了自然法同幾何學中的公理類似的看法。[28]（P594）美國最高法院法官詹姆士。威爾遜也曾說：“這自然法是以一種簡單的、永恒的、不言自明的原則反映給人類普通良心的。”[29]（P58）不同的自然法學家所確立的公理是不相同的。格老秀斯所認為的公理有：不侵犯他人的財產；歸還屬于他人的東西并償還由它得到的利益；遵守合同，履行諾言；賠償因自己的過錯給他人造成的損失；給應受懲罰的人以懲罰。[29]（P39-40）普芬道夫所認為的公理有兩個：一是告訴人們要盡力保護生命和肢體，保全自身及其財產；二是要求人們不可擾亂人類社會。[29]（P41）霍布斯的公理是尋求和平，使自己的生命和肢體免遭他人侵害。洛克的公理是人的生命、健康、自由和財產不受侵犯。杰佛遜則用“追求幸福的權利”代替財產權，并把這些內容寫進由他所起草的《獨立宣言》中，斷言人人生而平等，都具有生命權、自由權和追求幸福的權利；這些權利是不證自明的（注：參見：外國法制史資料選編（下），北京大學出版社1982年版，第440頁。國內一些譯者把美國《獨立宣言》中的一句話——“我們認為這些真理是不證自明的”譯為“我們認為這些真理是不言而喻的”，這種譯法不確切，沒有反映出西方文化的蘊含。）。由于自然法學家所確定的公理內容差不多都是人權的基本內容，這就有力地提升了人的地位，敲響了神權和政權長久奴役人的喪鐘，推動了社會的前進。從此，人權便成為人的一項重要權利，是否有效保障人權便成為區分良法還是惡法的一項重要標準?？梢哉f，自然法學家通過確立公理，為人權理論奠定了基礎。這是對法學理論的一個重大貢獻。所謂“不證自明”，說明人權是人生來就有、不可剝奪的權利。

公理簡單、明晰的特征，不但對自然法的“公理”有影響，而且對制定法典也有影響。曾對法國民法典的制定有過重大影響的拿破侖就認為：“將法律化成簡單的幾何公式是完全可能的，因此，任何一個能識字的并能將兩個思想聯結在一起的人，就能作出法律上的裁決?！盵30]（P329）拿破侖的這一思想無疑對由他主持制定的一系列法典產生了不可估量的影響，而這些法典作為大陸法系的代表又對世界許多國家的法典產生了巨大的影響。

在17、18世紀，許多法律問題都采用數學的方法進行論證。萊布尼茨曾寫過一篇題為《選立波蘭王的政治證明典范》論文，利用幾何學方法以60個命題和論證證明了諾依堡君主一定要被選為波蘭王。[21]（P545）維柯“用一種嚴格的數學方法”，即幾何學方法，寫成了一部名為《普遍法律的唯一原則》的著作。[31]（P656-657）普芬道夫則從社會需要這單一原則出發，利用幾何學方法推導出天賦人權。[21]（P545）霍布斯認為法哲學是一門完善的可以證明的科學，在很大程度上適宜于應用幾何學方法。[21]（P545）斯賓諾莎的《倫理學》一書中涉及大量法學問題（如自然權利和社會契約論），全部用幾何學方法進行論證。著名的三權分立理論也曾受到幾何學的支持。[32]（P236）孔多塞則對概率情有獨鐘，認為作為合理社會的一個必要條件，社會政治研究必須引用數理方法，使之成為一門新學科，而概率論則是通向這門新學科的橋梁。他的目的是要創立一門社會數學，從而使知識擺脫人們感情的蒙蔽而步入純理性的王國。他的一篇論文的題目就叫《概率演算教程及其對賭博和審判的應用》。[33]（譯序）總之，在那個時代，法學問題采用數學方法進行論證是很普遍的。

除了數學的公理化方法外，數學的精確性、嚴密性等特性對近代法律也具有極大影響。近代學者之所以看重數學，一個重要的原因在于數學具有精確性和嚴密性。笛卡爾深感傳統的哲學缺乏精確性，所以，才引入數學方法，對傳統哲學加以改造。笛卡爾在敘述學生時代的情況時說：“我在數學的研究中獲得了極大的樂趣，因為數學的道理精確而又明白?！盵34]（P153）“物理學、天文學、醫學，以及研究各種復合事物的其他一切科學都是可疑的、靠不住的；而算學、幾何學，以及類似這樣性質的其他科學，由于他們所對待的都不過是一些非常簡單、非常一般的東西，不大考慮這些東西是否存在于自然界中，因而卻都含有某種確定無疑的東西?！盵35]（P17-18）笛卡爾雖然獲得過法學碩士學位，但他一生在法學上毫無建樹，從未進行過法學研究。然而，笛卡爾卻是個對近代法學有著重大影響的人物。由于近代法學家大多接受了笛卡爾的哲學，所以，信奉笛卡爾哲學的法學家便將近代法律帶上了一條追求精確性、嚴密性的道路。近代的法典編纂便與這種以笛卡爾為代表的追求普遍、必然、精確的理性主義有關?！笆紫?，在一種形式的層面上，這些法典全部表現出系統性，有一種內在的秩序，在我們看來，這種特點使這些法典具有一種‘合理的’風貌，從而與先前的法典的任意性形成對照。其次，在條文方面，這些法典表現出一種法條的整體性，這種整體性不受時代的偶然性左右，因此，使這些法典傾向于永恒不變的性質。”[34]（P164）《法國民法典》素以條理分明、邏輯嚴密、概念精確而著稱于世，從中不難看出數學方法之影響。另外，近代法典都設有總則，使法典更加嚴謹，便于進行三段論演繹推理，這也與幾何學的影響不無關系。大陸法系國家由于受幾何學演繹方法的影響，所以，它的司法程序成為道地的三段論演繹的過程。近代的立法者和司法者從某種角度講，與其說是進行法律活動，不如說是進行數學運算。近代法律的內在精神是與數學聯系在一起的。數學對推動近代法律的進步起到了不可估量的作用。近代法律最重要的原則都是在接受了數學方法后才確立起來的。懷特海曾說：“由于17世紀時數學家極盛一時，18世紀的思想便也是數學性的，尤其是法國的影響占優勢的地方更是如此?！盵1]（P32）總之，數學曾在思想史上扮演過極其重要的角色。研究法律思想史，絕不能忽視作為思想史要素之一的數學。

19世紀初期，許多國家都進行了法典編纂，其中尤以法國制訂的民法曲最為著名。這些法典的指導思想是理性主義的，是以自然法理論為基礎的，從這個角度來說，19世紀，至少是19世紀初期，數學對法律仍有著極大的影響。但是，作為一種思想要素，數學在19世紀的影響顯著縮小，重要的哲學流派都很少受數學的影響。在19世紀出現的最重要的哲學流派——馬克思主義哲學，是建立在能量守恒和轉化理論、細胞學說和達爾文生物進化論這三大自然科學的發現上，而不是建立在什么數學理論上。即使在自然科學中，地質學、動物學和生物學的發展都受數學影響甚微。在19世紀，達爾文的進化論對人們思想的影響遠比數學要大。進化論對法學的影響遠大于數學的影響。但是，數學影響的減少并不等于數學停滯不前。事實上，在整個19世紀，數學所取得的成就幾乎等于從畢達哥拉斯以來所有各世紀的總和。那么，數學為什么在19世紀的影響會縮小呢？這與非歐幾何的出現有關。歐氏幾何的不證自明的公理是唯理主義的重要理論依據，但19世紀非歐幾何的出現，表明歐氏幾何的公理并非兩千年來一直為人們稱譽的嚴格證明的典范——歐氏幾何竟然是建立在有著嚴重缺陷的邏輯基礎上的。這對唯理主義是一個沉重地打擊，動搖了唯理主義的理論基礎。數學確定性的喪失，導致了唯理主義的衰落，而唯理主義的衰落，又加速了人們對數學的冷落。于是，研究數學便成為數學家的事情了，其他領域，尤其是社會科學領域的學者便很少問津數學了。但是，誠如懷特海所言，“從盧梭以來，數學思維的暫時沉寂狀態似乎已近尾聲了。我們已經進入一個宗教、科學與政治思想的改造時代。這樣的時代如果不愿單純懵懵懂懂地在兩極端之間搖擺的話，就必須在事物的終極深處尋求真理。但除非有充分說明這種終極的抽象思維的哲學，并以數學來說明各思維之間的關系，否則這種深奧的真理是無法洞察的”。[1]（P34）就在懷特海逝世后不久，一門對20世紀自然科學和社會科學都產生過巨大影響的新學科——系統科學誕生了。

系統科學是對20世紀中葉出現的所謂邊緣科學、交叉科學、跨學科科學、復雜性科學等新興學科的統稱。系統科學研究的是各種各樣的關系的屬性，而傳統的科學，如物理學、化學、經濟學、社會學等等，研究的是實體的屬性。系統科學的研究方法，特別是實驗方法與傳統科學也不相同。傳統科學研究的是實體，研究人員可以對它進行觀察，或者把它放進實驗室做實驗。而系統科學所研究的關系是抽象的模型，不是具體的實物，因而無法在實驗室里實驗，只能模擬到電子計算機里去實驗。系統科學下面有一大批理論發展較成熟的學科，如系統論、信息論、控制論、耗散結構理論、突變理論、混沌理論、協同學、超循環論、灰色系統理論、等級控制理論、系統動力學、大系統理論等。這些學科的發展，有力地促進了數學的發展?，F代數學中線性規劃及其向非線性問題的推廣、組合最優化、動態規劃、網絡流理論、圖論、博弈論、排隊論、庫存論、模擬、微分動力體系、分形幾何學、分維數學等等，都是順應系統科學研究的需要發展起來的。而數學的深入發展，又反過來有力地促進了系統科學的發展。系統科學體系的底部是實際應用的系統技術、系統分析和系統方法，向上第二個層次是解決復雜大系統課題的系統工程，第三個層次是系統理論的分論，如控制論、信息論、大系統理論等，第四個層次是一般系統論，頂端第五個層次是系統哲學。

系統科學的興起，表明科學的發展發生了根本性的轉向：由分析為主轉向以綜合為主；由原子論－還原論轉向整體論；由研究線性因果關系轉向研究非線性關系和關系總和；由劃學科研究轉向跨學科研究；由研究具體的客體和過程轉向研究過程的結構和組織性的不變性。系統科學興起的首要意義在于它代表了一種新型的科學方法論的誕生。這種新型科學方法論對自然科學和社會科學都具有重大的影響。但從某種意義上說，它對社會科學的影響更大。因為社會科學的研究對象是社會和人，它們都是復雜大系統，一直缺乏非常有效的研究方法，大部分還沒有充分應用數學工具，難以進行數學描述。但是，隨著系統科學的興起誕生了十幾個數學分支，成功地解決了復雜大系統問題，[36]（P88-90）這就使社會科學的數學化成為可能。事實上，在20世紀，社會科學的數學化已成為一種趨勢。社會科學的數學化要求在研究方法和手段上，能夠成功地應用數學理論和數學方法；在認識與思維方式上，更多地采用數學的觀點和數學的態度去審視各種社會現象，考察社會問題；社會科學研究應從數學及其相關研究，特別是從數學哲學、數學文化中吸取有益的養料，使社會科學思想數學化。[9]（P256）可以說，經過19世紀的沉寂，在20世紀，數學又重新對社會科學產生重大影響。

法學是社會科學中的一門重要學科，系統科學在運用新的數學方法對社會科學產生影響時也波及到法學。在中外學術界，曾有不少專著、論文運用新的數學方法進行法學研究。

在國外，尤其是在美國，運用博弈理論來分析特定法律問題的法學家是非常多，杰克遜將囚徒困境應用到破產法的研究中去，庫特、馬克斯和蒙金利用明確的博弈理論模型來考察審判前所發生的情況，貝伯丘克利用博弈理論來考察民事訴訟程序規則，卡茨利用博弈理論分析合同法律中的出價與接受問題，約翰斯頓利用博弈理論闡述合同違約規則，戈頓和利布朗利用博弈理論考察公司法，梅納爾吸收網絡外部性的成就來分析計算機軟件的版權保護，布里爾梅爾利用博弈理論來分析法律沖突問題，埃里克森利用博弈理論來說明習慣如何能與法律規則一樣發揮作用。[37]（導論）當然，運用博弈論對法律行為進行分析的集大成者是道格拉斯G.拜爾、羅伯特H.格特納、蘭德爾C.皮克，他們的合著《法律的博弈分析》已成為這方面影響較大的著作。

運用模擬等數學方法進行法律推理的人工智能研究也是20世紀下半葉中外法學家非常熱衷的領域。1970年Buchanan&Headrick發表了《關于人工智能和法律推理若干問題的考察》論文，標志著對推律推理進行人工智能研究的開始。對法律推理的人工智能研究主要循著兩條途徑前進：一是模擬歸納推理，一是模擬法律分析。法律專家系統是法律推理的人工智能研究的主要課題。國外一些法學家曾開發了律師推理專家系統、法律判決輔助系統、應用于復雜的實體法領域的潛在損害系統等法律專家系統。我國的法律專家系統研制工作起步于20世紀80年代，較著名的研究成果有由朱華榮、肖開權主持的《量刑綜合平衡與電腦輔助量刑專家系統研究》項目，由胡釗、周宗毅、汪宏杰等人研制的《LOA律師辦公自動化系統》，由趙廷光等人開發的《實用刑法心家系統》。目前，在一些國家，法律專家系統已在法律活動中正式投入使用。

運用系統論、信息論、控制論對法制工程進行研究的學者也是非常多的，在我國有吳世宦、熊繼寧、常遠等人。另外，混沌理論、模糊理論、隨機理論、概率論和數理統計等數學理論也常被用來進行法學研究。

總之，伴隨著系統科學興起所產生的新的數學方法，法學的數學化程度更加提高，從而使法學更加科學化。

縱觀數學對法律文化的影響，不難發現，影響法律文化的不僅有數學方法，更重要的有數學觀念、數學精神。數學的抽象性、確定性、精神性、嚴密性等特點決定數學永遠和時代的精神——哲學聯系在一起，而哲學又是包括法學在內的社會科學的理論基礎，所以，數學對法律文化的影響將是長期的，而且會更加巨大。當然，數學要對法律文化產生影響，它自身就必須得到發展，產生新的數學方法，產生新的數學觀念，否則，數學就會衰微，就難以對法律文化產生影響。20世紀新的數學方法的出現，它對法律文化的影響才是開頭。許多復雜的法律現象，正期待著掌握著新的數學方法的人們去研究。法學研究的深入，有賴于數學研究的深入。我們呼喚著一批既懂數學，又懂法律的研究人才的出現。

從以上論述，不難得出如下結論：其一，數學為法律文化的變革提供著不斷更新的理論和方法，促進了法律知識的增長和法律文化的進步。其二，數學為法律科學開辟了許多新的研究領域，產生了一批邊緣學科和交叉學科。其三，數學為法律科學提供了一套科學的知識體系，有力地推動了法律的科學化進程，使許多法律問題的研究建立在更加可靠的基礎上。

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