談音樂與數學的關系

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摘要：本文對數學思維在音樂中音程、音符、和聲、節奏和結構等方面的運用進行了初步分析，發現音樂與數學不僅有許多結合點，而且音樂與數學思維的結合所揭示的自然和諧統一規律，既是音樂理論所追求的美學價值，也是數學理論追求的美學價值。

關鍵詞：音程；音符；和聲；節奏；結構

音樂與數學的淵源可追溯到古希臘時期。數學鼻祖畢達哥拉斯發現了音樂與數學的微妙關系，以數學來解釋音樂，用弦來計算音程的度數，將音程分為協和與不協和兩種，他認為數的原則是一切事物的原則。他的觀點至今對我們解釋音樂都有極大的影響。音樂中，音的排列、命名、時值、和聲、結構等無不包含著“數”，而且這種“數”是在形象的變化中構筑、延伸、流動的某種線條，也就是說，音樂的根基是數與形的交融。

1音樂與數學在音的排列、命名、時值中的結合

在五線譜中，當我們按上行、下行排列將所有的音（也就是音列）放入數學中的坐標內，并將所有的音符看作點連起來，會發現他們組成了一條直線。并且隨著這條直線的向右、向左延伸，樂譜中的音的音高也隨之遞增、遞減。有興趣的讀者可以做個實驗，把熟悉的音樂作品的音符按音高與坐標的對應畫出其音樂曲線，你會驚奇地發現，美妙的音樂其音樂曲線的圖形也是那樣的優美。而在記錄聲音長短的音的時值中，音符的命名與音符的時值成反比。隨著音符命名的增大，音符時值逐漸縮小，并且音符的命名與音符的時值都各自形成了等比數列：音符的命名：全（一）音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符、三十二分音符音符的時值：4、2、1、1/2、1/4、1/8音樂正是將這些相互聯系、長短不同的音符組合在一起，形成了我們所熟悉的節奏。

2音樂與數學在和聲中的結合

在表現音樂聲響的和聲中，更強烈地表現出了音樂與數學的微妙關系，也正式基于此，音樂理論作曲家姆尼茲•豪普德曼稱音樂是流動的建筑。幾何中，點組成線，線組成面，再由多個相交的面構成許許多多的立體圖形。音樂同樣是由音符組成音線，由音線組成不同的音面，從而形成立體的結構。在這個立體結構中，最重要的是和聲。它是由幾個音甚至更多個音組成的和音，并且這種多個和音連續進行。如果我們把開始的和音中的每一個音看作每條音線開始的點，并把相繼而出的不同和音中的每個音看作構成不同音線中的不同的音點，這樣就形成多條音線。音線與音線交錯，音面與音面相交，就構成了立體的音樂。不同的作品形成不同的立體圖形，這就使不同的作曲家具有了各自獨特的風格，并且同一作家在同一時期的作品所構成的立體圖形也大致相同，就形成了作曲家特有的音樂語言。曾有一位音樂家嘗試將莫扎特的第39、第40、第41交響曲輸入計算機，讓電腦對其進行人工智能分析后，使電腦按分析出的特征進行創作，并將電腦創作出的仿莫扎特交響曲稱為“第42交響曲”，引起了極大的反響，許多人甚至音樂學專家都信以為真。這是一個有趣的例子，但它足以說明不同的音樂風格是可以科學區分的，音樂的構成與數學有著密切的聯系。

3音樂與數學在節奏中的結合

在構成音樂的三大要素之一的節奏中，也明顯包含了數學的思維。在現代音樂中，作曲家更多地汲取了數學的思維方式。他們發展和演變了傳統節奏記譜體系，提升了音樂的表現力。法國序列音樂大師梅西安的節奏理論，為作曲家開拓了新的思維方式。他依據人體、樹葉、蝴蝶等天然存在的對稱現象建立了“非逆行節奏”。這一節奏不僅體現在節奏片段中，而且也體現在整個作品的宏觀節奏變化中。在這里僅舉一個節奏片段：（對稱軸）：可以看出，這一節奏不僅體現出數學中量的變化（增減），而且體現出數學中形的對稱，使現代音樂在變化節奏增強音樂表現力的同時仍然遵循整體平衡的美學原則。正如數學家G.馬諾拉得出的結論：音樂的平衡對稱現象也包含了明顯的數學思想。

4音樂與數學在結構中的結合

音樂的結構明顯具有數學的邏輯和推理思想，特別是伴隨著菲波那契數列結構和0.618黃金分割點的產生，音樂的美就與之聯系在一起了。菲波那契數列結構是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89其規律是每一項（從第三項起）都是前兩項之和。而“黃金分割”在數學中的比例關系為較大部分與整體之比等于較小部分與較大部分之比，其比值為0.618。它們都與音樂的結構有著密切的聯系。菲波那契數列在音樂作品中所表現出來的暫時的不平衡與局部的不對稱，使音樂更具有的某種感召力和表現力。比如，匈牙利作曲家巴托克作品《弦樂、打擊樂與鋼片琴音樂》的第一樂章，全曲共89小節，從高潮點劃分為兩個部分，分別為55和34小節，按照作曲家對音色和強度的布局，我們將開始到高潮的部分（55小節）劃分為34+21小節，將高潮到結尾的部分（34小節）劃分為13+21小節。我們會發現這些小節數與菲波那契數字驚人的一致，并且小節的劃分正是遵循了菲波那契數列結構的規律。而“黃金分割”在音樂結構中的運用更為廣泛。比如，匈牙利作曲家巴托克作品《第一鋼琴協奏曲》的第二樂章，總長為214小節，高潮點正好落在214×0.618＝132小節處。

通過上述對音樂中所體現的數學思維的簡單分析，我們發現音樂中處處體現了數學的數的語言、形的語言，體現了數學作為抽象藝術的嚴密的邏輯體系，體現了數學的美，即它的形式美、抽象美、邏輯美、對稱美、和諧美。愛因斯坦形象地稱這個世界可以由樂譜組成，也可以由數學公式組成。的確，音樂與數學思維相結合，所揭示的自然和諧的統一規律，是音樂理論所追求的美學價值，也是數學理論所追求的美學價值。

作者:常沁怡 單位:上海大學

參考文獻：

［1］蘭德衛.巴托克的曲式與和聲［J］.音樂譯叢，1979.

［2］鐘子林.西方現代音樂概述［M］.北京：人民音樂出版社，1996.