數學與文化比較研究論文

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數學一直是形成文化的主要力量，同時又是這種文化極其重要的因素，這種觀點在許多人看來是難以置信的，或者充其量來說也只是一種夸張的說法。這種懷疑態度完全可以理解，它是一種普遍存在的對數學實質的錯誤概念所帶來的結果。

由于受學校的，一般人認為數學僅僅是對家、工程師，或許還有家才有用的一系列技巧。這樣的教育導致了對這門學科的厭惡和對它的忽視。當有人對這種狀況提出異議時，某些飽學之士可以得到權威們的支持。圣?奧古斯丁(St．Augustine)不是說過嗎：“好的基督徒應該提防數學家和那些空頭許諾的人。這樣的危險已經存在，數學家們已經與魔鬼簽定了協約，要使精神進入黑暗，把人投入地獄”。古羅馬法官則裁決“對于作惡者、數學家諸如此類的人”應禁止他們“幾何技藝和參加當眾運算像數學這樣可惡的學問?！笔灞救A(Schopenhauer)，一位在現代史上占有重要地位的哲學家，也把算術說成是最低級的精神活動，他之所以持這種態度，是基于算術能通過機器來運算這一事實。

由于學校數學教學的影響，這些權威性的論斷和流行的看法，竟被認為是正確的!但是一般人忽視數學的觀點仍然是錯誤的。數學學科并不是一系列的技巧。這些技巧只不過是它微不足道的方標題是本文譯者加的，副標題為原標題面：它們遠不能代表數學，就如同調配顏色遠不能當作繪畫一樣。

技巧是將數學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落后的產物。如果我們對數學的本質有一定的了解，就會認識到數學在形成現代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。

因此，讓我們看一看20世紀人們對這門學科的態度。首先，數學主要是一種尋求眾所周知的公理法思想的。這種方法包括明確地表述出將要討論的概念的定義，以及準確地表述出作為推理基礎的公設。具有極其嚴密的邏輯思維能力的人從這些定義和公設出發，推導出結論。數學的這一特征由17世紀一位著名的作家在論及數學和科學時，以某種不同的方式表述過：“數學家們像戀人?！姓J一位數學家的最初的原理，那么他由此將會推導出你也必須承認的另一結論，從這一結論又推導出其他的結論?！?/p>

僅僅把數學看作一種探求的方法，就如同把達?芬奇“最后的晚餐”看作是畫布上顏料的組合一樣。數學也是一門需要創造性的學科。在預測能被證明的時，和構思證明的方法時一樣，數學家們利用高度的直覺和想象。例如，牛頓和開普勒就是極富于想象力的人，這使得他們不僅打破了長期以來僵化的傳統，而且建立了新的、革命性的概念。在數學中，人的創造能力運用的范圍，只有通過檢驗這些創造本身才能決定。有些創造性成果將在后面討論，但這里只需說一下現在這門學科已有八十多個廣泛的分支就夠了。

如果數學的確是一種創造性活動，那么驅使人們去追求它的動力是什么呢?數學最明顯的、盡管不一定是最重要的動力是為了解決因需要而直接提出的。商業和金融事務、航海、歷法的、橋梁、水壩、教堂和宮殿的建造、作戰武器和工事的設計，以及許多其他的人類需要，數學能對這些問題給出最完滿的解決。在我們這個工程，數學被當作普遍工具這一事實更是毋庸置疑。數學的另外一個基本作用(的確，這一點在現代特別突出)，那就是提供現象的合理結構。數學的概念、方法和結論是物的基礎。這些學科的成就大小取決于它們與數學結合的程度。數學已經給互不關聯的事實的干枯骨架注入了生命，使其成了有聯系的有機體，并且還將一系列彼此脫節的觀察研究納入科學的實體之中。

智力方面的好奇心和對純思維的強烈興趣，激勵許多數學家研究數的性質和幾何圖形，并且取得了富有創造性的成果。今天很受重視的概率論，就開始于牌賭中的一個問題——一場賭博在結束之前就被迫中止了，那么賭注如何分配才合理?另外一個與社會需要或科學沒有什么聯系的最突出的成就，就是由古代希臘人創造出來的，他們把數學轉變成了抽象的、演繹的和公理化的思想系統。事實上，數學學科中一些最偉大的成就——射影幾何、數論、超窮數和非歐幾何，這里我只提到我們將要討論的內容——都是為了解決純智力的挑戰。

進行數學創造的最主要的趨策力是對美的追求。羅素，這位抽象數學思想的大師曾直言不諱地說：數學，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學里得到。

除了完善的結構美以外，在證明和得出結論的過程中，運用必不可少的想象和直覺也給創造者提供了高度的美學上的滿足。如果美的組成和藝術作品的特征包括洞察力和想象力，對稱性和比例、簡潔，以及精確地適應達到目的的手段，那么數學就是一門具有其特有完美性的藝術。

盡管已清楚地表明，上述所有因素推動了數學的產生和，但是依然存在許多錯誤的觀點。有這樣的指責(經常是用來為對這門學科的忽視作辯解的)，認為數學家們喜歡沉湎于毫無意義的臆測;或者認為數學家們是笨拙和毫無用處的夢想家。對這種指責，我們可以立刻作出使其無言以對的駁斥。事實證明，即使是純粹抽象的，更不用說由于和工程的需要而進行的研究了，也是有極大用處的。圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)自被發現二干多年來，曾被認為不過是“富于思辨頭腦中的無利可圖的娛樂”，可是最終它卻在天文學、仿射運動和萬有引力定律中發揮了作用。

另一方面，一些“具有頭腦”的作家斷言：數學完全或者主要是由于實際需要，如需要建筑橋梁、制造雷達和飛機而產生或發展的。這種斷言也是錯誤的。數學已經使這些對人類方便有用的東西成為可能，但是偉大的數學家在進行思考和研究時卻很少把這些放在心上。有些人對實際漠不關心，這可能是因為他們成果的應用在幾百年后才實現。畢達哥拉斯和柏拉圖的唯心主義數學玄想，比起貨棧職員采用“+”號和“一”號的實際行動來(這曾使某一作家深信“數學史上的一個轉折點乃是由日常的社會活動所致”)，所作的貢獻要大得多。確實，幾乎每一個偉大的人物所考慮的都是他那個的，流行的觀點會制約和限制他的思想。如果牛頓早生二百年，他很有可能會成為一位出色的神學家。偉大的思想家追求時代智力風尚，就如同婦女在服飾上趕時髦一樣。即使是把數學作為純粹業余愛好的富有創造性的天才，也會去研究令專業數學家和科學家感到十分激動的問題。但是，那些“業余愛好者”和數學家們一般并不十分關心他們工作的實用價值。

實用的、科學的、美學的和的因素，共同促進了數學的形成。把這些做出貢獻、產生的因素中的任何一個除去，或者抬高一個而去貶低另外一個都是不可能的，甚至不能斷定這些因素中誰具有相對的重要性。一方面，對美學和哲學因素作出反應的純粹思維，決定性地塑造了數學的特征，并且作出了像歐氏幾何和非歐幾何這樣不可超越的貢獻。另一方面，數學家們登上純思維的頂峰不是靠他們自己一步步攀登，而是借助于社會力量的推動。如果這些力量不能為數學家們注入活力，那么他們就立刻會身疲力竭;然后他們就僅僅只能維持這門學科處于孤立的境地。雖然在短時期內還有可能光芒四射，但所有這些成就會是曇花一現。

數學的另一個重要特征是它的符號語言。如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數學也用符號表示數量關系和空間形式。與日常講話用的語言不同，日常語言是習俗的產物，也是社會和運動的產物，而數學語言則是慎重地、有意地而且經常是精心設計的、憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，數學家們就可以表達和研究數學思想，這些思想如果用普通語言表達出來，就會顯得冗長不堪。這種簡潔性有助于思維的效率。J．K．杰羅姆(J．K．Jerome)，為了需要求諸于代數符號，在下面一段描寫中，盡管與數學無關，卻清楚地表現了數學的實用性和明了性：

當一個12世紀的青年墮入情網時，他不會后退三步，看著他心愛的姑娘的眼睛，對他說她是世界上最漂亮的人兒。他說他要冷靜下來，仔細考慮這件事。如果他在外面碰上一個人，并且打破了他的腦袋——我指另外一個人的腦袋——于是那就證明了他的——前面那個小伙子——姑娘是個漂亮姑娘。如果是另外一個小伙子打破了他的腦袋——不是他自己的，你知道，而是另外那個人的——對第二個小伙子來說的另外一個。因為另外一個小伙子只是對他來說是另外一個，而不是對前面那個小伙子——那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘——不是另外一個小伙子，而是那個小伙子，他……。瞧：如果A打破了月B腦袋，那么A的姑娘是一個漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個漂亮的姑娘，而B的姑娘是一個漂亮的姑娘。

簡潔的符號能夠使數學家們進行復雜的思考時應付自如，但也會使門外漢聽數學討論如墜五里云霧。

數學語言中使用的符號十分重要，它們能區別日常語言中經常引起混亂的意義。例如，中使用“is”一詞時，就有多種不同的意義。在“他在這兒”(Heishere)這個句子中，“is”就表示一種物理位置。在“天使是白色的”(Anangeliswhite)這個句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無關的屬性。在“那個人正在跑”(manisrunning)這個句子中，這個詞"is”表示的是動詞時態。在“二加二等于四"(TwoandTwoarefour)這個句子中，is的形式被用于表示數字上的相等。在“人是兩足的能思維的哺乳動物”(Menarethetwo—leggedthinkingmammals)這個句子中，is的形式被用來斷言兩組之間的等同。當然，在一般日常會話中引用各種各樣不同的詞來解釋is的所有這些意義，不過是畫蛇添足，因為盡管有這些意義上的混亂，人們也不會因此產生什么誤會。但是，數學的精確性——它與和的精確性一樣，要求數學領域的者們更加謹慎。

數學語言是精確的，它是如此精確，以致常常使那些不習慣于它特有形式的人覺得莫名其妙。如果一個數學家說：“今天我沒看見一個人”(Ididnotseeonepersontoday)，那么他的意思可能是他要么一個人也沒看見，要么他看見了許多人。一般人則可能簡單地認為他一個人也沒看見。數學的這種精確性，在一個還沒有認識到它對于精密思維的重要性的人看來，似乎顯得過于呆板，過于拘泥于形式。然而任何精密的思維和精確的語言都是不可分割的數學風格以簡潔和形式的完美作為其目標，但有時由于過分地拘泥于形式上的完美和簡潔，以致喪失了精確竭力要達到的清晰。假定我們想用一般術語表述圖1所示的，我們很有可能說：“有一個直角三角形，畫兩個以該三角形的直角邊作為其邊的正方形，然后再畫一個以該三角形斜邊作為其邊的正方形，那么第二個正方形的面積就等于前面兩個正方形面積之和?！钡菦]有一個數學家會用這樣的方式來表達自己的想法。他會這樣說：“直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這種簡潔的用詞使表述更為精煉，而且這種數學表達式具有重要的意義，因為它的確是言簡意賅。還有，由于這種惜墨如金的做法，任何數學的讀者有時會發現自己的耐心受到了極大的考驗。

數學不僅是一種、一門或一種語言。數學更主要的是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對科學家、科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時著家和神學家的學說;滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙的冥想;甚至可能有時以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著的進程。

數學是一門知識體系，但是它卻不包含任何真理。與之相反的觀點卻認為數學是無可辯駁的真理的匯集，認為數學就像是信仰《圣經》的教徒們從上帝那兒獲得最后的啟示錄一樣，這是一個難以消除的、流傳甚廣的謬論。直到1850年為止，甚至數學家們也贊同這種謬論。幸運的是，19世紀發生的一些數學事件(這些我們隨后將進行討論)向這些數學家表明，這種看法是錯誤的。在這門學科中沒有真理，而且在它的一些分支中的定理與另外一些分支中的定理是矛盾的。例如，上個世紀創立的幾何中所確定的一些定理，與歐幾里得在他的幾何學中所證明的定理就是矛盾的。盡管沒有真理，數學卻一直給予了人類征服自然的神奇的力量。解決人類思想史上這個最大的悖論將是我們所關注的課題之一。

由于20世紀必須將數學知識與真理區分開，因此也必須將數學與區分開，因為科學確在尋求關于物質世界的真理。然而數學卻無疑地是科學的燈塔，而且還繼續幫助科學獲得在文明中所占的位置。我們甚至可以正確地宣稱，正是由于有了數學，現代科學才取得了輝煌的成就。但是我們將會看到，這兩個領域有著明顯的區別。

在最廣泛的意義上說，數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地人類的物質、道德和生活;試圖回答有關人類自身存在提出的;努力去理解和控制;盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。在本書中，我們最為關心的將是這種精神的作用。

數學還有一個更加典型的特征與我們的論述密切相關。數學是一棵富有生命力的樹，她隨著文明的興衰而榮枯。它從史前誕生之時起，就為自己的生存而斗爭，這場斗爭經歷了史前的幾個世紀和隨后有文字記載的幾個世紀，最后終于在肥沃的希臘土壤中扎穩了生存的根基，并且在一個較短的時期里茁壯成長起來了。在這個時期，它綻出了一朵美麗的花——歐氏幾何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔細觀察，還可以看到三角和代數學的雛形;但是這些花朵隨著希臘文明的衰亡而枯萎了，這棵樹也沉睡了一千年之久。

這就是數學那時的狀況。后來這棵樹被移植到了歐洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又獲得了在古希臘頂峰時期曾有過的旺盛的生命力，而且準備開創史無前例的光輝燦爛的前景。如果我們將17世紀以前所了解的數學稱為初等數學，那么我們能說，初等數學與從那以后創造出的數學相比是徽不足道的。事實上，一個人擁有牛頓處于頂峰時期所掌握的知識，在今天不會被認為是一位數學家。因為與普通的觀點相反，現在應該說數學是從微積分開始，而不是以之為結束。在我們這個世紀，這門學科已具有非常廣泛的，以致沒有任何數學家能夠宣稱他已精通全部數學。

數學的這幅素描，盡管簡略，但卻表明數學的生命力正是根植于養育她的文明的社會生活之中。事實上，數學一直是文明和文化的重要組成部分，因此許多歷史學家通過數學這面鏡子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典時期的古希臘文化為例，它大約從公元前600年延續到公元前300年。由于古希臘數學家強調嚴密的推理以及由此得出的結論，因此他們所關心的并不是這些成果的實用性，而是人們去進行抽象的推理，和激發人們對理想與美的追求。因此，看到這個具有很難為后世超越的優美文學，極端理性化的，以及理想化的建筑與雕刻，也就不足為奇了。

數學創造力的缺乏也表現在一個時代文明的文化里，這一點也是真實的?？纯戳_馬的情況吧。在數學史上，羅馬人在一定時期內曾作出過貢獻，但從那以后他們就開始停滯不前了。阿基米德，最偉大的古希臘數學家和科學家，在公元前221年被突然闖入的羅馬士兵殺害了，當時他正在畫在沙盤中的幾何圖形。對此，A．N．懷特海(AlfredNorthWhitehead)說過：阿基米德死于一個羅馬士兵之手，是一個世界發生頭等重要變化的標志;愛好抽象科學、善長推理的古希臘在歐洲的霸主地位，被重實用的羅馬取代了。洛德?比肯斯菲爾德(LordBeaconsfield)，在他的一部小說中，曾把重實用的人稱為是重復其先輩錯誤的人。羅馬是一個偉大的民族，但是他們卻由于只重實用而導致了創造性的缺乏。他們沒有發展其祖先的知識，他們所有的進步都局限于工程技術的細枝末葉。他們并不是那種能夠提出新觀點的夢想家，這些新觀點能給人以更好地主宰自然界的力量。沒有一個羅馬人因為沉湎于數學圖形而喪命。

事實上，西塞羅(Cicero)夸耀自己的同胞——感謝上帝——不是像希臘人一樣的夢想家，而是把他們的數學研究派上實際用場的人。

注重實用的羅馬帝國，將其精力用于權術和征服外邦。為迎接軍隊勝利歸來的拱形的凱旋門，也許是羅馬帝國的最好象征，但它們不是顯得得體優雅，而是顯得毫無生氣。羅馬最突出的特征也許是麻木不仁，羅馬人幾乎沒有真正的獨創精神。簡言之，羅馬文化是外來的，羅馬時期的大多數成就主要淵源于小亞細亞的希臘，此時小亞細亞的希臘正處于羅馬政權統治之下。

這幾個例子告訴我們，一個的總的特征在很大程度上與這個時代的數學活動密切相關。這種關系在我們這個時代尤為明顯。在不抹煞學家、學家、家、作家、詩人、畫家和家功績的前提下，我們可以這樣說：其他文明已經產生了在能力和成就方面同等的效果。另一方面，盡管歐幾里得和阿基米德無疑地是極其卓越的思想家，盡管我們的數學家得以達到最高的水平，這僅僅是因為像牛頓所說的那樣，他們是站在巨人的肩膀上。然而，正是在我們這個時代，數學才達到了它應該達到的范圍，而且有著不同尋常的用途。這樣，由于數學已經廣泛地著生活和思想，今天的西方文明與以往任何歷史上的文明都有著明顯的區別。也許，在這本書中，我們會看到現在這個時代是如何受惠于數學的。