唯物主義思想分析論文

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【摘要】本文宗旨在于使“四色問題”的證明更公理化、系統化、嚴密化和科學化。并把證明上升到辯論唯物主義即馬克思主義的辯證法哲學的高度，因為唯物辯證法是辯證法思想發展的高級形態。(我們在證明時用到了，對立統一即矛盾規律，量變到質變的規律和否定之否定規律)同時為了說明問題也深入到現象與本質的關系，因果關系，必然與偶然的關系以及時空觀等一系列的基本范疇。

我們更要指出在研究“四色問題”的界的探討時的一個逼近序列就是以我們中華民族的漢字“田”字為基本單位而加倍展開的沒有哪個國家或民族的文字中有“田”字。這就說明中華民族的文明中早就蘊藏著“四色問題”的基本原理，只不過也吸收了別個國家的文明發揚而光大之。

【關健詞】“四色問題”“五色問題”，貫穿曲線，歐拉(Euler)公式

Four-colorsolvetheproblem-thetextofdialecticalthinking

HuHanlin

【Abstract】Thisarticleaimstomake“four-colorproblem”provedtobemoreaxiomatic,systematic,rigorousandscientific.AndrosetothedebateprovedthattheMarxistmaterialistdialecticsofphilosophyandthehigh,becausethedevelopmentofdialecticalmaterialismisadialecticsofseniorformofthinking.(Weusecertificates,andtheunityofoppositesorcontradictionsinthelawofquantitativechangetoqualitativechangeinthelawandthelawofnegationofnegation)Toillustratetheproblematthesametimeintotherelationshipbetweenthephenomenonandessence,acausalrelationship,therelationshipbetweentheinevitableandaccidental,aswellasSpaceandTimeaseriesofbasicareassuchas.

Wealsowanttopointoutthatin“four-colorproblem”ofthecommunityanapproximationsequenceatthetimeoftheChinesenationisthecharacters“Tian”andthewordforthebasicunitofthevotetoredoubleWhichcountryornationintheText“field”word.ThisshowsthatthecivilizationoftheChinesenationhaslongbeenhiddenina“four-colorproblem”ofthebasicprinciples,butalsoabsorbedinothercivilizedcountrieshavemadeYangoftheChinaEverbright.

【Keywords】“four-colorproblem”;“coloredproblem”;throughoutthecurve;Euler(Euler)equation多元一次不定方程，多元一次齊次不定方程，非負整數解，容斥原理、匹配原理，藕合問題、錯位問題。

我們這里研究的“四色問題”是屬于數學科學，和其它自然科學一樣，從問題的提出到問題的解決恰恰是一個在人類認識論中的一個飛躍，使人類的智慧又上一新臺階，解決一個世界性難題(或猜測)當然更是如此。談到人類的智慧，笛卡爾認為哲學一詞就是關于人類智慧的研究。而辯證法是關于普遍聯系和發展的哲學學說(源出希臘語dialego意為談話，論戰的技巧)，后指和形而上學相對立的世界觀和方法論。為了使我們對“四色問題”的研究更公理化、系統化、嚴密化和科學化。我們再引進一個馬克思主義基礎理論中的什么是“客觀真理”，客觀真理是人的認識所正確反映的不依賴人們意志為轉移的客觀內容。再我們講：唯物辯證法即“馬克思主義辯證法”是以自然界，人類社會和思維發展最一般規律的研究對象。是辯證法思想發展的高級形態。

有了以上馬克思主義的基本常識才開始研究“四色問題”。

我們研究“四色問題”是從引進“貫穿曲線”后的“基本思想”開始的，而開頭引出三個客觀真理：Ⅰ．Ⅱ．Ⅲ．(即公理Ⅰ．Ⅱ．Ⅲ)

客觀真理是人的認識所正確反映的不依賴人們意志為轉移的客觀內容：正如恩格斯說：“拿破侖死于1821年5月5日”就是客觀真理。

則預備知識1、只需要對在任一頂點相交的國家都不多余三個的地圖作證明。因為若在某一個點相交的國家超過三個如下圖1、那么我們就可以別作一新地圖除了圍繞頂點的小國家外和原圖一樣，這點對于任何地圖都可以這樣處理，(所以是正確反映不依賴于人們意志為轉移的客觀內容。)那這個新地圖比原圖多一個國家的若干個頂點。但在頂點只有三個國家，相交的多余三個國家相交的點都被除掉了。如果對于每一個相交的多余三個國家的頂點都這樣做，那么最后就有一張沒有任何這種點新圖。現在，如果我們注明了四色對于這種圖就是足夠了。(以后我們把國家改稱為某區域)這就是我們的客觀真理I(公理Ⅰ)（圖1）

圖1再在“四色”的地圖(這里可染色的意思，是指沒有2個有共同邊界的國家是同一種顏色，但是只在角頂點相交的國家可以有同一種顏色，而且作為國家，我們是指連成一片的陸地，而不是由幾個分離部分組成的政治單位。

貫穿曲線的定義：一次(或二次)性通過區域的兩個邊界的封閉曲線“貫穿曲線”可色含于一個或多個區域的子域內構成一個環(貫穿曲線用虛線表示)直到目前為此還沒有人能舉出一反例這種曲線作不出。所以是能正確反映不依賴于人的意志的轉發轉移的客觀內容。這就是我們的客觀真理Ⅱ（公理Ⅱ)。

我們再來談一下“四色問題”證明的“基本思想”，首先談“思想”?！耙环N思想”在馬克思看來“即使是黑暗地獄中囚徒的思想比天堂的奇跡還更崇高。”這里講到的囚徒不外乎是奴隸和無產階級即是一無所有的勞動者吧，又…在馬克思看來科學是一種在歷史上起推動作用的革命力量。任何一門理論科學中的每一個新的發現(即新的思想)——它的實際應用圖2也許還根本無法預見，都使馬克思感到衷心喜悅。(怡然心悅)

(摘自：“恩格斯在馬克思墓前演說”)而我創立的“貫穿曲線”的概念和方法就是在“拓撲學”“圖論”和“組合數學”等中的新思想和新發現的方法，現在就談談“四色問題徹底解決”的新思想和新方法，理論的基本思想：我們先假定a、b、c、d、e為五種不同的顏色。如圖2、一“貫穿曲線”它穿過的一串與周邊相鄰的是封閉環狀區域，這些區域圍繞著一個或多個區域為中心，環繞著它們的區域的顏色為底色，中心區域中總有一個子區域的顏色與底色b同色。因為用五色可以作有分辨能力的地圖見(4)，若假定底色是b，則“貫穿曲線”穿過的封閉環狀區域的每個相鄰的區域不同色(否則難以作出五色圖，我們在這里所說難以作出有五色圖是指我們作出了五色圖之后因上面若假設中心區域不含底色b的五色圖，我們只要將底色b置換中心區域中的e色的子區域很快地得到四色圖。因為該地圖中沒有e色)故在被上述的封閉環狀區域間開。而這些區域只須a、c兩色，至多用a、c或d三色染色。＊1這里邊有一個說明，(作“貫穿曲線”后)的封閉環狀區域的的子域個數為N，則1、N三0(mod2)才可能用a、c兩色，這時因為只用a、c兩色，故a、c兩色在封閉環狀區域中出現概率密度太大。我對許多地圖進行了這樣的染色很難作出四色圖！2、N三1(mod2)則一是要用a、c、d三色染色，3、N三0(mod6)也應該用a、c、d三色染色，參見五色作圖的證明中最關鍵的一個圖(e)。

圖3(e)圖4它有二層封閉環狀子域，外層的五個子域5三1(mod2)是用a、c、d三色染色而在內一層封閉環狀子域的也是五個子域，5三1(mod2)是用b、c、d三色染色故我們在讀書時在這點問題上要仔細和慎之又慎啊!我們再分三種情況加以說明(討論)一、中心區域中至少有一色為b，而不含e，這樣就把五色問題改為了四色(見圖2)。二、如果中心部分包含e、而不含b(見上＊1的一個說明)則中心區域的第五色e改為b(見圖4)則完成四色作圖。三、如果中心部分色含b又包含e，則若e不與b相鄰改b，若e與b相鄰e改為a或c或d(圖3)，一、二兩種情況顯然可證明，“四色問題”的結論。下面三(情況)為什么可經過上面的置換可得“四色問題”徹底(證明)解決呢?這也是問題的癥結所在。即矛盾所在。根據馬克思主義的

唯物辯證法事物的內在矛盾是事物發展的動力?，F在來看我們創立的“貫穿曲線”的理論是怎樣解決這一矛盾的。

首先我們應該指出證明用的是形式邏輯學中的簡接證法(簡接證法分兩種方法:①是反證法;②是同一法)。我們的證明是用反證法。何為反證法，是證明命題的等效命題是正確的(即逆否命題是正確的)指戰略上的方法：因為證明“四色問題”與證明“五色定理”不但方法相似，而且要用到“五色定理”所以用現有的基本定理和公理先證明一下“五色定理”。與之對應的，在戰術上有五種具體的方法：由否定結論ABC而C不合理，或與本科公理抵觸；或與前此定理不相容；或與本題己知條件沖突；或與臨時性假設違背；或自相矛盾。我們選擇即與前此定理不相容(即與五色定理矛盾)

再看在引進“貫穿曲線”后在復原圖形的過程中后來的圖形與原來的圖形在四色的性質保持不變，因為(i)將“貫穿曲線”向四方擴張，直到圖形邊界為止，其實這就是拓撲學中的同胚變換（homeomorphism)即拓撲變換。(ii)經過區域的顏色與“貫穿曲線”每段的內側顏色相同。故這樣一來貫穿曲線的內側的顏色，①使相鄰的兩子域不同色，②又是構成一個封閉的環狀圖這樣一來復原圖形后和原圖形一樣，不但沒有增加任何顏色，而且保持仍是四色(即只要四種顏色就可以作出可分辨的地圖就與以上圖(e)一樣)迄今為止還沒有一個人，對圖(e)作出“貫穿曲線”后再用上法復原圖形會得不出原地圖和四色圖來。所以是不能正確反映不依賴于人們意志為轉移的客觀(內容)即方法!這就是我們的客觀真理III(公理III)有了上面所述的內容我們羅列一下公理和引進“貫穿曲線”后的“基本思想”和有關定理。

三個客觀真理Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，即公理(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)。

定理1，歐拉(Euler)公式[4]V+F-E=2(1)且注意V、F、E均為非負整數。

定理2，[2]關于多元一次，不定方程

a1x1+a2x2+……+anxn=N(2)

其中a1，a2，……，an，N均都是整數，n≥2并且不失一般性我們可以假定a1，a2，……，an均不為零，則(2)式有整數解的充分與必要條件是(a1，a2，……，an)=d｜N，即(a1，a2，……，an)｜N系1、若在(2)中含a1=n，a2=n-1，……，an=1N≥0(且n≥2)

則(2)1nx1+(n-1)x2+……2xn-1+xn=N

因d=(n、n-1……1)=1符合有解充要條件

所以d｜N故(2)是有非負整數解

系2、若N=0(2)’變為一次齊次不定方程n≥2

nx1+(n-1)x2+……2xn-1xn=0故只有零解，x1=0，x2=0，x3=0……xn=0

回顧一下“五色”和“四色”的證明(這里a1>0，a2>0，……ai>0，i=4，N=12>0)

“五色”證明：由3V=2e和2e=2f2+3f3+4f4+5f5+6f6+……

很容易得出4f2+3f3+2f4+f5=12+f7+2f8+…(3)

參見[4]M且4f2+3f3+4f4+f5=12(3)’

若f6≠0f2=3,f3=0,f4=0,f5=0

f2=0,f3=4,f4=0,f5=0

f2=0,f3=0,f4=6,f5=0

f2=3,f3=0,f4=0,f5=12

四個數組均不為，多元一次不定方程(3)’的非負整數解且12>0但據定理2的系1d=(4、3、2、1)=1所以，d｜12，則(1)’一定有解、矛盾!這是第一次否定，至少肯定得出有一個地圖的邊界的頂點數少于6。

“四色”證明由3V+4V＝2（e+3V）=2E

和2e=2f2+3f3+4f4+5f5+6f6+……

及F=f2+f3+(f4+V)+f5+f6+……

很容易得出

4V+4f2+3f3+2f4+f5=12+f7+2f8+……(4)

且4V+4f2+3f3+2f4+f5=12(4)

則(4）”是多元一次不定方程1<V≤3

若令V＝3（4）”變成了4f2+3f3+2f4+f5=0即變成了多元一次齊次不定方程

根據定理2的系2則d=(4、3、2、1）＝1所以d｜0一定有解（非負整數解)且N＝0只有零解則f2=0,f3=0,f4=0,f5=0

作貫穿曲線后仍是一個地圖f5≠0但若故0＋0＋0＋f5≠0矛盾！

這是第二次否定！至少得到肯定得出有一個地圖的邊界上的頂點數少于5。

這第二次否定：①我們否定f6≠0,所以解f6=0；②我們又否定f≠0,這二次否定即辯證唯物主義的第三個規律：否定之否定定律，是不是終而復始呢！恰恰相反是螺旋上升，由只要5色，減少到只要四色，觀點更高了，達到肯定四色結論的正確，便能使客觀自然的地圖染色規律與我們主觀認識由基本(近似)符合到完全符合。簡言之我們人類的認識由必然王國到自由王國至少是在地圖染色問題上是這樣。

因為一，我不是想吹捧自己，盡跟一些著名的科學家匹美二，我也不是穿鑿附會，恩格斯在“馬克思墓前演說”中說過……馬克思還發現了現代資本主義生產方式和它所產生的資產階級社會的特殊的運動規律。由于剩余價值的發現，使之就豁然開朗了起來，而先前無論資產階級的資產經濟學家或者社會主義批評家所做的一切研究都只是在黑暗中摸索。

我在研究“四色問題”中引進地圖的“貫穿曲線”的概念，也使之“四色問題”的研究豁然開朗起來。用與證明“五色問題”極其相似的方法徹底證明了“四色問題”。在這之前的理論數學家和計算數學家都是在黑暗中摸索而已。在1976年和1977年美國的兩位計算數學家阿佩爾和哈肯，用電子計算機對“四色問題”進行了證明，但受到世界上一些數學家這樣或那樣的非議，暫且不談，有一點是可以肯定的，是人類開始用電子計算機證明世界難題獲得了一定成就。但還有一點，早在中世紀的歐洲常將邏輯稱為辯證法，經院哲學將辯法變成環瑣的論證和詭辯。所以我們可以這樣說(從哲學的角度)環瑣的論證，就可稱為環瑣哲學或經院哲學，這意味著人類智慧的倒退。

牛頓說過：“如果我所見的比笛卡爾遠一點，那是因為我站在巨人們的肩上的緣故?！迸ｎD的這句話蘊藏著很深刻的必然和偶然的關系，原因與結果的關系，再就是時間和空間(時空觀)等一系列基本范疇。因為牛頓處在英國(伊麗紗白女皇)正是資本主義的上升時代，而英國當時是最發達的資本主義國家。他站在那些巨人的肩上，無外乎指笛卡爾(descartes1596－1650)德國，費爾馬(Fermat1601—1665)法國，萊布尼茲(Leibniz1646－1716)德國，歐拉(Euler1707－1783)瑞士等數學家，物理學家和天文學家等科學家的基礎上。牛頓這樣偉大的科學家當然有他獨特的發現，但有些發現卻都是在他前面所說的科學家的巨人的基礎上，看起來是偶然的結果但都有他必然性的原因。

同樣我為什么比牟比烏斯看得遠一些，也是因為我站在一些數學家(巨匠)的基礎上，如歐拉(Eulerl1701－1783)瑞士，牟比烏斯（Mobius1790－1868)德國，希伍德(Sherwood)德國，西爾維斯特（Syevester1814－1897)英國，蒙特莫特(Montmorh)的基礎上，而西爾維斯特在組合數合中創立了“容斥原理”，這是計數法中一個重要原理，有了這個原理，和蒙特莫特，在1708年首先提出并解決了藕合問題。才把組合數學中的“匹配”概念，藕合(或相親)(problemeclesrencontres)重排(derangement)亦稱“(或錯位”。等“藕合”A知“錯位”B有關系：

S＝A∪B且A∩B中＝Φ所就有｜S｜=｜A｜+｜B｜。得

｜S｜－｜A｜=｜B｜＝n!-n!(1-11!+12!-……+(-1)n-11n！

故｜B｜=n!(12!-13!+……＋（－1）n1n!)=n1∑ni=0（-1）1i?。ê椭C地寫為)

要知上面的公式怎樣得來的怎樣用在四色問題上，下面作以下敘述：

問題的提出?！八纳珕栴}的徹底解決”一文，以后稱文章[1]中得出的定理，在任意地圖都只須用四種顏色作圖的前提下，子區域為n(即任意區域的子區域的個數)的地圖必有一種四色的染圖1(1)色方法。

以我國2003年高考試題為例(理工醫農類(15)為例1，某城市在中心廣場建造一個花園，花園分為6個部分(如圖1)，現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種且相鄰的部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有圖2120種(以數字作答)。

略解：P14P15P33=120即當n=6時的條件下，有120種四色的染色方法。

例2，如圖2，下述的圖的染色方法有288種方法。

略解：P14P16P33P12=288

即n=7時的條件下有288種四色的染色方法等等。

也即是說在子域個數為6或7…等等。有120種方法

、288種方法，…等等。也即有一百多種染包或二百多種染色的方法，…等等，而且都是有比較大數目的染色方法。

所以用四種顏色染色只須一種方法是一個必要條件，仿佛自然界有特大的浪費，有幾百種，幾千種…甚至于更多的方法。都只要其中的一種就夠了。也就是說，四色問題是一個顯然可以也解決的問題，而且須要方法對頭的話。

這里有一個聲明，即打招呼，也就是象計算機聯網那樣，在圖論中我們往往把具有相同順序的排列視為一種排列(一種圖)，如作貫穿曲線形的環狀封閉區域尤其是這樣。但在四色問題中，因為是地圖，涉及到地翟的方位。故屬不同排列。如圖3

圖3不按環狀區域算，則有P44=24種，即在四色問題中是這樣算的。

如果按環狀區域算，P44／4＝6種，而在圖論中是這樣算的。而我們以(3)，的方法為例，在解放前設a為紅色表解放區，b為綠色為國民黨統圖3（2）治下的白區，c為黃色(日寇占領區)即淪陷區，d為白色東三省日偽區。

就只有這種地理位置的方位，任何一種環狀排列改變了它們的政治地理的位置而視為同一種圖實屬荒謬。

現在為了進一步研究，在一個有n個子域的地圖，可用四種顏色染色的基礎上，到底有幾種染色的方法的界的問題。我們引進子域標準圖。為若干正方形方格。又設Cn＝B［4·2n-22］,如上6個區域和7個區域為4<6或7≤16，則B0（4）≤c′1或c′2≤B(16)c′1和c′2分別為6和7個子區域的用四色的染色方法數)。即6個出區域和7全子區域時染色方法數的上、下界，當然是4種顏色都出現的上下界問題。引進標準趨近圖是一群若干個正方形方格。以“田”字為單位加倍展開。

圖4……等等。C1=B0(4),C2=B(16),C3=B(64),C4=B(256),……,Ck=B[4·2k-2)2],…….

有了這些預備知識，我們轉而來研究：

（i)“容斥原理”(principleofinclusionandexclusion).

引理1容斥原理：把集合A分為子集A1，A2，…An即

A=A1∪A2∪…∪An,則：

｜A｜=｜A1∪A2∪…∪An｜=∑1≤i≤n｜Ai｜-∑1≤i≤j≤n｜Ai∩Aj｜+∑1≤i≤j≤k≤n｜A1∩Aj∩Ak｜+……+(-1)n｜A1∩A2∩……An(1)

證明見[2]

(ii)“耦合問題”和“錯位問題”，也即“相遇問題”（problemedesrencontres)和“更列”或“重排”問題(derangement).

引理2和引理3，即耦合問題和錯位問題。

有甲乙兩副紙牌，各有n張編號，自1至n的牌，把牌洗過，然后配成n對，每對甲乙牌各1張，如果同一對的兩張同號，就說有1個相合。

（1）至少有一個相配的配牌方法有多少種？

（2）沒有相合的配牌方法有多少種？

設所有配牌方法的全體記為S，滿足(1)，（2）的配牌方法全體，依次為A,B。則有S=A∪B,A∩B=Φ。則

引理2（即耦合問題）problemedesrencontres

｜A｜=c1n(n-1)!-c2n(n-2)!+c3n(n-3)!+…+(-1)n-1cnn!0

=(n!)(11!-12!+13!-14!+…+(-1)-11n!(2)

引理3（即錯位問題）derangement

｜B｜=(n!)(12?。?3?。?4?。?5！＋…＋（－1）n1n!)

（和諧地寫為)＝n!∑ni=0（-1）i1i?。?）

證明見［3］和［4］

例3在8×8格的國際象棋盤中，用8種顏色染色，要使具有公共鄰邊的格子染上不同的顏色，并且使水平順序的每一格八種顏色都出現。問有多少種染色方法？

見圖(4)3略解與提示：

分任意染色的方法為八步：第一層橫格染上各種顏色，第二層橫格染上各種顏色，……，第八層染上各種顏色。在第一步顯有8！種可能性，而后下列每步里可能性的種數用前面引理3即錯位原理中的公式：

B（n)=(n!)(12!-13!+14!-15!+…+(-1)n1n!)

B（8)=(8!)(12!-13!+14!-15!+…+(-1)818!)=14833

故答案方法有C8=8!×148337種。

看來染色問題中每一格代表一個區域，有多少子區域，類同。而8種顏色的錯位，即射映著4種顏色的相鄰的兩個子區域的不同色。即文章［1］中的附注*即有分辦能力的圖，指相鄰邊界的圖象，或區域染不同的顏色。這樣才構思出Cn=B[(4×2n-2)2]（4）

情況1：用a,b,c,d四種顏色染色的問題（對“田”字正方格的染色。

見圖(4)1n=1時，C1＝B0（4）＝B［(4×20)2］＝B(16）的計算為

B（42）＝4！B30（4）＝4！（4！∑4i=0(-1)ii!=4!×93=17496

情況3：在8×8正方格紙上用四種顏色，使每格與相鄰的格圖5不同色，用上面情況2，如下圖5,這是第一步，在位于右上角的4×4的一個正方形的子域上。

第二步將4個4×4的正方形格子，同步旋轉4下得到的圖形仍為每格與相鄰格不同色的四色圖

C3＝B［（4×2）2］＝B(64)=4B(16)=424!B30（4）

C4＝B［（4×2）2］＝B(256)=4B(64)=434!B30（4）

Cn＝B［（4×22n）2］＝B(22n)=4n-14!B30（4）

∵B0(4)=4!(4!∑4i=0×(-1)ii!)3=4!×93=17496

∴CN=∑nk=1Ck=4!B30(4)(1+4+42+……+4n-1)=17496∑k-1i=04i

（順便檢查一下后得到）定理在有N個子區域的地圖上N即在(4×2k-2)2<N<(4×2k-1)2。它的四色染色的方法數的上、下界可能是17496∑ki=04i≤CN≤17496∑k+1i=04i。

然而“四色問題”的徹底證明就此畫上了一個圓滿的句號！正像在物理、化學……等自然科學中的定律或公式除了在理論上證明是正確的之外還要用實驗來檢驗和核對是正確的。從正面我的在理論上是正確的外，還要從計算中計算出“四色問題”是正確的如B(42)===B(16)=4！1B30(4)=4！(4！∑4i=0（－1）i1i!)3=4！×93=17496(種)即16塊子域可能有17496種四色的染色的方法，數學上的計算便是實踐上的檢驗。正如周興龍教授與我合寫的“超越數的哲學史話”一文也是從兩方面證明超越數的存在的：一方面是柳威爾(Liouville)1844年代數無理與超越無理數存在著區別的基礎上發現了一種超越數a110+a2102!+a3103!+……，其中ai是0到9之間的任意整數。另一方面康托(cantor1845-1918)從集論中發現代數無理數是一個可列集，故給了超越無理數在數軸上占一個相關大的空間，才證明了超越數的存在?！瓟祵W中這些。“四色問題”，π，e是超越這些真理，有什么意義呢?我們用中世紀阿拉伯的醫學家、哲學家、自然科學家的伊本·西拿(ibnsina，980-1037)拉丁名阿維森納(Avicenna)曾這樣說過(大意是)“……那些帝王將相和救世主們，隨著時間的推移化作歷史的塵埃吹得無影無蹤。而只有那永恒的真理和勞動人民創造的績卻永受烈日的曝曬和疾風的狂飚?！?/p>

詩歌二首

(一)贈中科院科技情報中心《中國數學文摘》編輯部主任馮玉明同志

詩一首(七律)

悲痛欲絕送母歸，百感俱淡萬念灰。

不忍目睹妻兒淚，就此作罷調頭回。

黨的召喚似春雷，中華兒女哪能退。

“四色問題”徹底解，神州大地盡朝暉。

(二)《攻破“四色難題”有感》(七律)

華人學子好風采，太平盛世樹英才。

錦濤書記來關懷，艱難險阻只等閑。

“四色問題”徹底解，人類智慧上臺階。

歷盡磨艱論文在，千古絕唱中華來。參考文獻

［1］胡含琳《四色問題的徹底解決》文中內容的進一步充實中國科學院國家科學圖書館，中國數學文摘［J］，2007年12月5日

[2]胡含琳《關于多元一次不定方程的行列式解決》中國科學院科技情報中心的中國數學文摘[J].1993年7卷5期19～20頁

[3]胡含琳《四色問題界的探討》——“四色問題徹底解決”一文續中國科學院文獻情報中心的《中國數學文獻數據庫》光盤(2004版)上[J].

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