彭加勒科學方法論研究論文

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朱爾•昂利•彭加勒(JulesHenriPoincaré，1854~1912)是法國著名的科學家。他不僅在數學、物理學、天文學的眾多分支有開創性的貢獻，而且在科學哲學上也有重要建樹。在本世紀初，彭加勒先后出版了幾本科學哲學著作：《科學與假設》(1902年)、《科學的價值》(1905年)、《科學與方法》(1908年)和《最后的沉思》(1912年)，廣泛地探討了有關科學哲學問題，其中也大量涉及到科學方法論問題。本文擬評介一下彭加勒科學方法論中幾個有特色的方面——假設、直覺、科學美和事實的選擇。

一、沒有假設，科學家將永遠寸步難行

關于假設，在彭加勒之前，許多科學家在科學實踐中都自覺或不自覺地運用過，一些哲學家也對此作了不同程度的論述。特別是恩格斯在《自然辯證法》中明確指出：“只要自然科學在思維著，它的發展形式就是假說。一個新的事實被觀察到了，它使得過去用來說明和它同類的事實的方式不中用了。從這一瞬間起，就需要新的說明方式了——它最初僅僅以有限數量的事實和觀察為基礎。進一步的觀察材料會使這些假說純化，取消一些，修正一些，直到最后純粹地構成定律。如果要等待構成定律的材料純粹化起來，那么這就是在此以前要把運用思維的研究停下來，而定律也就永遠不會出現?！保砑永胀ㄟ^自己科學活動的實踐，也達到了類似的認識。他不僅明確地肯定了假設在科學中的地位和作用，而且比較深入地探討了假設問題，他甚至把他的第一部科學哲學著作取名為《科學與假設》。

彭加勒認為，假設并不是荒誕無稽的東西，人們略加思索就會發覺，假設在科學中所占的重要地位，數學家不可能沒有它，實驗家也少不了它，因為它能夠使我們想像比我們感覺所能向我們表明的大得多或小得多的對象。顧忌假設的科學家無法去發現某些真理。因此，彭加勒指出：“我們應當仔細審查假設的作用，不要對假設簡單地加以責難，這樣我們才能認識到，它不僅是必需的，而且往往是合理的?！碧岢觥敖ㄖ诩僭O之上的科學是否牢固，是否吹一口氣就會使之傾倒”的懷疑是“膚淺的見解”([1]，pp.27~28)。彭加勒斷言：“沒有假設，科學家將永遠寸步難行?！?[1]，p.6)

值得注意的是，彭加勒對假設進行了分類研究([1]，pp.135~136、28)。在他看來，假設共有三種：第一種是“極其自然的假設”。這是一種很普遍的假設，人們幾乎不可能回避它們，我們用它來做相關判斷(judgementofrelevance)。例如，我們不得不假定遙遠物體的影響完全可以忽略，小位移遵守線性定律，結果是原因的連續函數等等。這類假設只是表面看來是假設，其實只不過是一種隱蔽的約定或定義而已，這類假設在數學及與數學相關的學科中常常遇到。第二種是“中性的假設”。在大多數問題中，解析家在計算之初，或者假定物質是連續的，或者相反，假定物質是由原子構成的。無論他做那一種假定，其結果是一樣的，只是求得結果的難易程度不同。當假設是可選擇的，而它又不能用實驗區分時，它們就是這類假設。這類假設只要它們的特征未被誤解，就不會使我們誤入歧途。它們對于計算或通過具體圖像幫助我們理解是有用的，即有助于整理和堅定我們的思想，從而不存在排除它們的機會。第三類假設是“真正的推廣”。它們是實驗必須證實或推翻的假設。它們是觀察和實驗的直接推廣，無限期地敞開著通向進一步檢驗的大門。不管實驗宣布其合理或不適用，就它們的啟發作用而言，它們總是有價值的?，旣?#8226;妮厄(MaryJoNye)在彭加勒論述的啟示下，根據假設在科學知識體系中所起的作用，把假設分為“說明性假設”(保留在物理理論中，是一種協調手段，有益于提示不同現象之間的相互關系)，“啟發性假設”(不具有存在的意義，僅有建議作進一步實驗、觀察或探索綱領的聯接方式中的信息的啟發意義)、“實在論假設”(具有實在論的或存在的意義)并能由實驗直接地或間接地加以驗證)。這兩種分類方法在形式上盡管不同，但卻具有大致相同的內容。

彭加勒重視假設，但是并未把它強調到不適當的程度。他明確指出：“不憑實驗，基于某些不成熟的假設來說明宇宙，長期以來只是幻想。”([1]，p.280)“假設應當盡可能迅速、盡可能經常地受到檢驗。當然，它如果經不起這種檢驗，就應當毫無保留地拋棄它?！?[1]，p.133)在彭加勒看來，科學家在拋棄他的假設時，不僅不要有病態情緒，而且應當感到高興，因為他從中正好找到了未曾料想到的發現機會。由于科學家的假設并不是在毫無考慮的情況下做出的，他顧及到了可能參與該現象的所有已知因素。如果經驗不支持它，那肯定是遇到了未曾料到的、非同尋常的東西，正是在這里，存在著有待發現的新奇事物。這樣看來，被拋棄的假設遠不是無用的，可以說它比真實的假設貢獻更大。它不僅為判決實驗提供了機會，而且若不作此假設，只是偶爾作了這個實驗，則人們將會一無所獲，至多不過是把一件事實編入目錄中，不能從中得出應有的結果。由此可見，彭加勒不僅看到了假設的正面助發現作用，而且也看到它的反面助發現作用。

彭加勒還要求人們注意：“不可濫用假設，并且只能依次而用，這是很重要的?！?[1]，p.135)他認為最好引入少數基本假設，而不要引入多數特殊假設。例如，在1900年召開的巴黎國際物理學會議上，他在談到洛倫茲的電子論時說，該理論是現存理論中最使人滿意的，但是也有修正的必要。為了解釋邁克耳孫-莫雷實驗，需要引入新的假設，那么每當出現新的實驗事實時，同樣也發生這種需要。無疑地，對于每一個新的實驗結果提出一種特殊假設的作法是不自然的。假使能夠利用某些基本假設，并且不用忽略這種數量級或那種數量級的量，來證明許多電磁作用都完全與系統的運動無關，那就更好了。這實際上是要求在作假設時貫徹簡單性原則，而簡單性原則也是彭加勒所堅持的一個方法論原則。

在本世紀初，揚言要把一切“形而上學”的東西從科學中排除出去的實證主義思潮依然根深蒂固，彭加勒一反其道，強調假設在科學中的意義，顯然有積極意義。

二、直覺是發明的工具

彭加勒主要是一個數學家，他在函數論、代數幾何學、數論，代數學，微分方程、代數拓撲學等分支都作出了杰出的貢獻。他也是數學直覺主義的創始人(也具有經驗主義的傳統和邏輯主義的成分)。通過親身實踐，他充分肯定了直覺在數學和其他學科中的作用，在《科學與方法》中，他專用一章論述了這個涉及到發明心理學的問題。

彭加勒認為，對于純粹數學家而言，直覺的本領是必要的。他說：“邏輯是證明的工具，直覺是發明的工具。”我們面前有無數條可供選擇的道路，“邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇見任何障礙，但是它不能告訴我們那一條道路能引導我們到達目的地。為此，必須從遠處了望目標，教導我們了望的本領是直覺。沒有直覺，數學家便會像這樣一個作家：他只是按語法寫詩，但是卻毫無思想?！?[1]，p.438)

在彭加勒看來，數學創造不是一項機械工作，它并不在于用已知的數學實在造成新的組合。任何一個人都會做出組合，但是組合的數目是無限的，它們中的大多數完全無意義。創造恰恰在于不作無用的組合，而作有用的，為數極少的組合，而且最富有成果的常常是從相距很遠的領域引出的元素所形成的組合。發明就是在這些組合中進行辨認、選擇。但是，純粹的邏輯不能完全作到這一點，為此必須求助于直覺。只有直覺，才能發現各元素隱微的關系及和諧。

為了把問題引向深入，彭加勒進而提出了“潛在的自我”(thesubliminalself)和“自覺的自我”(theconsciousself)的概念。在這里，前者是指無意識(或下意識)工作的自我，后者則指有意識工作的自我。潛在的自我能夠產生靈感的直覺認識，有可能一下子洞察到事物的本質和規律。彭加勒認為：“潛在的自我無論如何也不比自覺的自我低下，它不是純粹自動的，它能夠辨認，它機智，敏銳，它知道如何選擇、如何憑直覺推測?！谧杂X自我失敗的地方取得了成功。一言以蔽之，潛在的自我難道不比自覺的自我優越嗎?”([1]，p.390)

彭加勒以自己如何發明富克斯函數(Fuchsianfunction)的親身經歷說明了這個問題。他說他曾有兩星期之久欲證明此種函數是否存在，每天坐在桌前用一兩小時作各種組合，仍一無所獲。某天晚上偶飲黑咖啡，興奮得不能入睡，此時各種想法紛至沓來，相互沖突、排斥，終于得到二元素相締合而結成牢固的聯系。第二天早晨即證明有一類富克斯函數存在，可由超幾何級數推出，待寫出結果，只費數小時而已。類似的情況還有幾次。一次是作地質考察旅行登公共汽車時，突然想到定義富克斯函數的變換式與非歐幾何的變換式等價。一次是在悠閑散步時，忽然想到不定三元二次式的算術變換式與非歐幾何的變換式等價。一次是在接受軍事訓練行經大街時，頓悟到解決構造一切富克斯函數的障礙。

彭加勒因此得出結論說：“關于這種無意識的工作條件，尚可說明如下：如果一方面有意識的工作在它之前，另一方面又被有意識的工作尾隨其后，那么這就是可能的，而且肯定是富有成果的。”([1]，p.389)彭加勒關于直覺在發明中的作用以及潛在的自我與自覺的自我的作用的論述是頗有意思的。它告訴我們，產生直覺的條件是：對所要解決的問題進行過一段時間的認真研究，十分渴望找到解決方法；然后在作無關的事情時，或處于輕松的思想狀態中，突然頓悟到解決問題的方法，從而使問題迎刃而解。它也告訴我們，直覺產生于大腦的下意識活動，這時大腦也許不再自覺地關注問題了，而還在通過下意識的活動(潛在的自我)思考它。它還告訴我們，直覺出現在意識的邊緣，而不是出現在意識的中心，要不失時機地捕捉它。

三、作為理性美的科學美

彭加勒對科學美(或數學美)具有濃厚的興趣，他說：“一個名副其實的科學家，尤其是數學家，他在他的，工作中體驗到和藝術家一樣的印象，他的樂趣和藝術家的樂趣具有相同的性質，是同樣偉大的東西。”這種“偉大的東西”就是與藝術美可以相提并論的科學美。在彭加勒看來，數學的目的有三個，除了實用的目的和哲學的目的而外，它還具有美的目的。這就是，“數學家能由此獲得類似于繪畫和音樂所給予的歡樂。他們贊美數與形的微妙的和諧；當一個新發現向他們打開了未曾料到的視野時，他們驚奇不已；他們感到美的特征，盡管感覺沒有參與其中，他們難道能不高興嗎?”([1]，p.280)

在彭加勒看來，科學美根源于自然美。正因為如此，“數學家把重大的意義與他們的方法和結果的美聯系起來”的作法才“不是純粹的淺薄涉獵”([1]，p.372)。正因為如此，我們才“毋需擔心，這種本能的和未公開承認的偏見將使科學家偏離對真理的追求?！迸砑永照J為，科學家研究自然，并非因為它有用處；他研究它，是因為他喜歡它，他之所以喜歡它，是因為它是美的。如果自然不美，它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫無意義?？墒?，什么是“自然美”呢?彭加勒斷言，自然美不是“感性美”，即不是“給我們感官以印象的美，也不是質地美和表觀美”；自然美在于其“深奧的美”(profounderbeauty)，即“潛藏在感性美（sensuousbeauty）之后的理性美(intellectualbeauty)”。彭加勒說他完全不是小看感性美，只是“這種美與科學無關”。而深奧的美“在于各部分的和諧，并且純粹的理智能夠把握它。正是這種美使物體，也可以說使結構具有讓我們感官滿意的彩虹般的外表。沒有這種支持，那些倏忽即逝的夢幻之美其結果就是不完美的，因為它是模糊的、總是短暫的。相反，理性美可以充分達到其自身，科學家之所以投身于長期而艱巨的勞動，也許為此緣故甚于為人類未來的福利?！?[1]，pp.366~368)

科學美在于自然的理性美，而這種理性美必須由人的理智來把握，因此科學美必然帶有濃厚的主觀色彩。彭加勒看到了這一點，他說：“美的事物是其本身最適合于我們理智的事物，因此它們同時是這種理智最了解如何使用的工具?！?[1]，p.367)“一言以蔽之，數學的美感只不過是由于解與我們思想需要的任意一致的滿足，正因為這種真正的一致，這個解在我們看來才能夠成為工具?！?[1]，pp.372~373)而且，科學美像藝術美一樣，并非每一個人都能領略和體會到的，“只有少數有特殊能力的人才能充分地享受它”([1]，p.280)。

與科學有關的理性美，即科學美的含義和內容是什么呢?彭加勒對此雖未做出十分肯定的回答，但是他卻把“雅致”(elegance)、“和諧”(harmony)、“對稱”(symmetry)、“平衡”(balance)、“秩序”(order)、“統—”(unity)、“方法的簡單性”(simplicityofthemeans)、“思維經濟”(economyofthought)等賦予科學美。彭加勒說：“在解中、在證明中，給我們以美感的東西是什么呢?是各部分的和諧，是它們的對稱、它們的巧妙平衡。總而言之，就是引入秩序，給出統一，容許我們清楚地觀察和理解整體與細節的東西?！边@種科學美也表現為“方法的簡單性和問題集合的復雜性的對立”，而且“與思維經濟密切相關”([1]，p.373)他還說：“被我們賦予優美和雅致特征的、能夠在我們身上激起美的情感的數學實體是什么呢?它們是這樣的實體：其元素和諧地配置，以致當思想認識到細節時，能夠毫不費力地包容整體。這種和諧立即滿足了我們的審美需要，有助于它所證實和指導的思想。與此同時，一個秩序井然的整體處于我們的雙目之下，使得我們能預見數學定律?！?[1]，pp.391~392)但是，在這形形色色的含義中，彭加勒最為強調的是“和諧”，他甚至把其它含義也包容于“和諧”的概念之中，有時干脆認為，“普遍和諧是眾美之源”([1]，p.209)，“內部和諧是唯一的美”([1]，p.285)。

彭加勒把科學美作為選擇理論的一個標準和科學發現的奇妙工具。他說，在由潛在的自我盲目形成的組合之中，幾乎所有的都毫無興趣，毫無用處；正由于這樣，它們對美感毫無影響，意識將永遠不了解它們。只有某些組合是和諧的，因而同時也是有用的和美的。它們將激起數學家的特殊感覺，特殊感覺一旦被喚起，就能把我們的注意力引向它們，從而為它們變為有意識的提供機會([1]，p.392)。彭加勒詳細說明了這種審美判斷能從類似、新奇，對立中做出新發現。他說，我們愈清楚地一瞥即見這種集合體，我們就愈能更好地覺察它與其他鄰近現象的類似性，因而也就有更多的機會預言可能的推廣。在意外地遇到我們不習慣于匯集的對象的情況下，美可以產生未遇見到的東西的感覺；它再次是富有成果的，由于它向我們揭示出未被認識到的親緣關系。即使當它僅僅起因于方法的簡單性和問題集合的復雜性的對立，它也是富有成效的。于是，它能促使我們思考這種對立的原因，并且每每促使我們認識到，機遇并不是其原因，該原因能在某一未曾料到的規律中發現([1]，pp.372~373)。彭加勒斷言：“正是這種特殊的審美感，起著微妙的篩選作用”，“這就充分地說明，缺少它的人永遠不能成為真正的創造者?！?[1]，p.392)彭加勒指出，追求科學美是激勵科學家的巨大精神力量。作為一個理想主義者，他在這方面甚至講得有些過分。他說：“我們所作的工作，與其說像庸人認為的那樣，我們埋頭于此是為了得到物質的結果，倒不如說我們為了感受這種審美的情感，并把這種情感傳給能體驗這種情感的人。”([5]，p.140)他甚至認為，真理是美與真的統一，追求科學美也即是追求真理。他說：“唯有真理才是美的”([1]，p.205)，“為真理本身的美而忘我追求真理也是合情合理的，這種追求能使人變得更好”，“理性美能使理性變得可靠、有力”([1]，P.368)。

馬克思在《1844年經濟學哲學手稿》中指出：“動物只是按照它所屬的那個種的尺度和需要來建造，而人卻懂得按照任何一個種的尺度來進行生產，并且懂得怎樣處處把內在的尺度運用到對象上去；因此，人也按照美的規律來創造?！迸砑永贞P于科學美的論述不期而遇地涉及到“人也按照美的規律來創造”的問題。科學創造中的審美判斷說明，人們在提出新理論時，主觀的和心理的狀態起著重要的作用。誠如愛因斯坦所說：“科學作為一種現存的和完成的東西，是人們所知道的最客觀的，同人無關的東西。但是，科學作為一種尚在制定中的東西，作為一種被追求的目的，卻同人類其他一切事業一樣，是主觀的，受心理狀態制約的。”彭加勒關于科學美的觀點是比較深刻的、有見地的，值得進一步探討與發掘。

四、事實與事實的選擇

彭加勒關于事實和事實的選擇有不少比較重要的論述，其中有些具有啟發性，現分述如下：

1.未加工的事實和科學的事實

彭加勒對“事實”這一概念并未下一個明確的定義，不過他把事實區分為“未加工的事實”(thecrudefact)和“科學的事實”(thescientificfact)。他舉例說，借助于可動的反射鏡觀察電流計的偏轉，反射鏡把明亮的光點投射到刻度尺上。在這種情況下，來加工的事實是光點移到刻度尺上，而科學的事實則是電流通過回路。又如做實驗時得到某些原始數據，然后通過取平均值校正偶然誤差，并通過弄清其產生的原因校正系統誤差而得到最終數據，那么前者是未加工的事實，后者則是科學的事實。

彭加勒認為，未加工的事實和科學事實之間的界限既不能嚴格地，也不能精確地劃定。他以日蝕為例說明這個問題：

1)不學無術的人說：天變暗了。

2)天文學家說：日食發生在九時。

3)天文學家又說：日食發生在根據牛頓定律制定的表格中所推算的時間內。

4)伽利略最后說：日食是地球繞太陽旋轉的結果。

可是，未加工的事實和科學事實之間的界限在那里呢?人們也許會說，它在第1)和第2)之間。可是，2)和3)之間存在著較大的間隔，而3)和4)之間的間隔更大。

況且，2)還可以再細分為：

2)我說：日食發生在九時。

2a)當我的鐘表指向九時，日食發生了。

2b)我的鐘表慢十分鐘。日食發生在九時十分。

彭加勒認為，這還不是全部。2)的兩個分段也還不是最小的間隔，1)也可以細分。一個目睹日食的人感覺到昏暗的印象，這種印象又促使他做出天空變暗了的結論，必須把印象和結論區別開來。在某種意義上，頭一個事實才是未加工的事實，而第二個事實已經是一種科學的事實了。甚至在天空色彩的濃淡方面，也能想象出許多細微的差別，以代替實際顯示出來的差別。

但是，兩種事實之間畢竟還有相對的差別。彭加勒認為，兩種事實陳述的差別正如同一個未加工的事實用法語陳述和用德語陳述二者的差別一樣，科學的事實無非是把來加工的事實翻譯成另一種語言。每一個科學事實都是由許多未加工的事實形成的。科學家不能憑空創造科學的事實，他用未加工的事實制作科學的事實，因而他不能自由而隨意地制作科學的事實。彭加勒得出結論說：“總而言之，事實就是事實，如果它們以證實了某一種預言而出現，這并非是我們自由活動的結果。在未加工的事實和科學的事實之間不存在精確的界限；我們只能說，事實的這樣一種陳述比另外一種陳述更為粗糙，或者相反地，更為科學而已?！?[1]，p.333)彭加勒關于未加工的事實和科學的事實之間的分類澄清了在“事實”這一概念上的某些混亂。當今有人建議：把作為在空間和時間中客觀存在的事件、現象或事物的事實標記為“事實Ⅰ”，而把用某種語言對事實的描述標記為“事實Ⅱ”。這與彭加勒的分類有相似之處。

2．必須在事實中做出選擇

彭加勒認為，自然界的事實是無窮無盡的、形形色色的。不僅如此，針對同一個未加工的事實，科學家原則上可以制作出無數的科學的事實。而且，不管我們能動性如何，事實跑得比我們快，我們不能夠捉住它們。當科學家發現一種事實時，在他身體一立方毫米內已發生了數以億計的事實。另一方面，科學家的頭腦只能顧及宇宙的一隅，而不能包容整個宇宙。因此，在自然界提供的無限的事實中；科學家必須拋棄一些，保留一些。

事實是有等級的，有秩序可尋的，于是科學家才有可能從中做出明智的選擇。一些事實沒有影響，除了它本身而外，它們不能告訴我們任何東西，弄清它們的科學家除這一事實外學不到任何東西，并且科學家也不能預言新事實，這樣的事實一旦出現，肯定不會復現。另一方面，也有產生許多成果的事實，它們中的每一個都能告訴我們新定律。由于必須做出選擇，科學家就可以把注意力放在這些事實上。

3．選擇事實的標準

彭加勒說，如果對于事實的選擇僅僅取決于任性或直接的實用，那么就不會有為科學而科學，其結果甚至無科學可言。在他看來，人們應以下列幾點作為選擇事實的標準。

第一，要選擇那些有觀察和了解價值的事實，這些事實有助于做出預言、發現定律。彭加勒指出，一個孤立的事實獨自并沒有什么重要性。如果人們有理由設想，它能使某些未完成的和諧完滿起來，有助于預言其他事實，或者更好些，如果在做出預言時，它的檢驗是一個規律的證實，那么它就變得使人感興趣了。

彭加勒認為，這種能使人做出預言、發現定律的事實，它們與許多其他在我們看來并非孤立的，而是和另外的緊密結合在一起的事實是類似的。孤立的事實吸引著大家的眼睛——外行人的眼睛和科學家的眼睛，這些事實的類似是深奧而隱蔽的。唯有真正的物理學家才知道如何去觀察連結許多事實的結合物，分辨出隱藏在未加工的事實中的精髓。彭加勒以數學為例。他說，我們從各種元素能得到億萬個不同的組合。但是，這些組合之一若是孤立的，則其毫無價值可言。當這一組合在一類相似的組合中找到位置，當我們注意到這一相似時，它就完全是另外一個樣子了。我們就不再是描述一個事實，而是一個規律。

第二，要選擇那些多次運用的事實，即具有一再復現機會的事實。在彭加勒看來，假定不是六十種元素(當時已知的元素數目)，而是六百億種，它們沒有什么共同之處，另一些很稀有且均勻分布。那么每當我們撿起一塊石子時，它都十分可能由某種未知的元素組成，我們所知道的其他石子的情況對它毫無用處。在每一個對象面前，我們會像新出生的嬰兒一樣，照此辦理，我們便只能服從我們的任性或實用了。假定事實不能復現，科學家便會茫然無措。這樣便不會有科學，也許連思想，甚至連生活也不可能，因為進化在這里不能發展保持的本能。幸好人們沒有出生在這樣的世界上。

可是，哪一些事實是很可能復現的事實呢?彭加勒指出：“它們首先是簡單的事實”([1]，p.364)。有簡單的事實嗎?人們只能二者擇一：或者這種簡單性是真實的，或者元素密切混合起來，以致于無法區分。在第一種情況下，存在著重新遇到同一簡單事實的機遇，無論它在整體上是純粹的，還是它本身作為元素進入復雜的復合體中。在第二種情況下，這種密切的混合同樣比異質的混合復現的機遇更多。機遇只知道如何混合，而不知道如何分解，不知道如何用許多元素建造秩序井然的大廈。而復雜的事實是很少有成果的，各種情況對它們都有敏感的影響，情況為數極多且變化多端，以致我們無法辨認它們。因此，彭加勒得出結論說：“似乎是簡單的事實——即使它們并非如此一－將更容易被機遇恢復。這證實了科學家本能采取的方法，進一步確證它的也許是，經常復現的事實對我們來說似乎是簡單的，恰恰因為我們經常用到它們。”([1]，p.364)

但是，簡單的事實在那里呢?彭加勒回答說：“科學家在兩種極端情形下尋求它，其一是無限大，其二是無限小。”([1]，P.364)天文學家找到了它，因為星球之間的距離極為遙遠，以致于每個星球都可視為質點，它們之間質的差別完全可以忽略不計，質點總比有形狀和質地的物體簡單。物理學家也找到了基元現象，他們想象把物體分割為無限小的立方體，問題的條件在從物體的一點到另一點緩慢而連續地變化著，因此在每一個小立方體內，條件可以視為恒定。以同樣的方式，生物學家本能地認為細胞比整個動物更有趣，結果證明它是明智的，由于對于能夠認出細胞相似性的人來說，屬于各種有機體的細胞比有機體本身更相象。

第三，彭加勒認為：“對于美的渴望也導致我們作相同的選擇”。在他看來，美的事實就是“簡單”的事實和“壯觀”的事實。人們樂于追尋星球的壯觀路線；人們樂于用顯微鏡觀察極其微小的東西，這也是一種壯觀；人們樂于尋找過去地質時代的遺跡，它之所以吸引人，是因為它年代久遠。彭加勒指出，正是對于美的追求，即對于宇宙和諧的追求，促使科學家選擇那些最適合于這種和諧(眾美之源)起一份作用的事實。這正如藝術家在他的模特兒的特征中使圖畫完美并賦予它以個性和生氣的事實。

綜上所述，不難看出，彭加勒選擇事實的幾個標準并非毫不相干，而是彼此關聯、互相滲透的。而且，像復雜的事實和簡單的事實的區分也是相對的。關于事實的選擇，彭加勒還進而議論道：“以規則的事實開始是合適的。但是，當規則牢固建立起來之后，當它變得毫無疑問之后，與它完全一致的事實此后就沒有意義了，因為它們不能再告訴我們任何新東西。于是，正是例外變得重要起來。我們不去尋求相似，我們尤其要全力找出差別，在差別中我們首先應選擇最受強調的東西，這不僅因為它們最為引人注目，而且因為它們最富有指導作用。”([1]，p.365)彭加勒的這些論述也具有方法論的意義。

參考文獻

這三本書的英譯本是H.Poincare，TheFoundationsofScience，AuthorizedTranslationbyG.B.Halsted，TheSciencePress，NewYorkandGarrison，N.Y.,1913.

該書是彭加勒逝世后由其他人集其遺著編輯而成的，英譯本是H.Poincare，MathematicsandScience：LastEssays，TranslatedbyJohnW.Bolduc，DoverPublications，Inc.,NewYork，1963.

恩格斯：《自然辯證法》，北京：人民出版社，第216頁。

M.J.妮厄：《十九世紀關于原子的爭論與一種“中性假設”的二難推論》，北京：《自然科學哲學問題叢刊》，1980年第4期。

ポアンカレ(H.Poineare)著：《科學者と詩人》，平林初之輔訳，巖波書店，1927年，p.139．

《馬克思恩格斯全集》第42卷，北京：人民出版社，第97頁。

《愛因斯坦文集》第1卷，許良英等編譯，北京：商務印書館1976年版，第298頁。