經濟管理對偶問題運用思索

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對偶問題原理是線性規劃的重要內容，其思想方法是利用線性代數的方法及結論，找出線性規劃模型中利用目標函數與約束條件求解的另一種途徑，同時可獲得可行解和最優解與模型條件的一些規律，對解的特性判斷起關鍵作用。在計算工具不斷發展、計算范圍不斷擴大的今天，用對偶問題原理處理生產、經營上的問題已越來越廣泛，深受企業單位管理者的高度重視。企業管理者可以根據市場及企業本身的具體情況，建立相應的數學模型，然后用線性規劃中的對偶問題原理加以分析，對企業的生產計劃，成本估算，生產過程管理以及市場預算等科學決策提供理論支持。

1對偶問題及其結論

設某企業的某個生產流程可建立如下的數學模型：模型（1）可作如下的經濟解析：變量xi，可理解為各種經濟活動的水平（如產量），系數ci，可表示各種經濟活動的單位利潤，目標函數f可理解為該經濟活動的總利潤，常數bi，可解析為各種資源的可供量，系數aij可解析為各種資源的單位消耗，對這個線性規劃求解就是在有限資源下確定各種經濟活動的最優分配方案及最大利潤，而它相應地對應對偶問題為：這時問題（2）的最優解為各種資源的影子價格，說明該資源變動時對最大利潤產生的影響。另外對偶是相對的，（1）（2）反向描述也可以。由（1）（2）有下列結論。結論2：如果（1）（2）都有可行解，則必都有最優解，且目標函數的最優值相等。反之，如果其中之一不存在最優解（或可行解），則另一個不存在可行解（或最優解）。結論3：x＊，y＊分別是（1）（2）的可行解，則有cx＊≤y＊b，且等號成立時為各自的最優解。結論4：如果（1）存在最優解，則其在最終單純表中，松弛變量對應檢驗數的相反數為（2）中變量的最優解。相反也有此結論。此結論也稱為對偶單純形法。例如用單純形法迭代（可用電腦中專門軟件進行計算）得到（3）的最終單純形表，如表2所示。

2實例分析

某化工廠可生產三種產品A1、A2、A3，需原料B1、B2是有限的，分別是7噸和11噸，按測算，每生產1噸A1、A2、A3需要這兩種原料分別是2噸和1噸、1噸和3噸、2噸和2噸，每噸A1、A2、A3分別能創造利潤分別是2、3、1萬元。問如何安排生產才能使總獲利最多？解決此類問題，須先建立數學模型，可設A1、A2、A3的產量分別是x1、x2、x3，總利潤為f，則maxf＝2x1＋3x2＋x3s．t．2x1＋x2＋2x3≤7x1＋3x2＋2x3≤11x1，x2，x3≥烅烄烆0（5）列單純形表并計算得到該模型的最終單純表，如表3所示。分析方法1：用對偶單純形法進行靜態分析。表3說明安排生產A12噸，A23噸，不生產A3，使該廠可獲得最大利潤數為13萬元。分析方法2：用影子價格進行動態分析。由于松弛變量的檢驗數為－35、－45，則（5）對偶問題的最優解為y1＝35，y2＝45，g＝13，說明這兩種原料的影子價格為35，45。這時如果市場上這兩種原料的單價分別小于35和45，則適當購進這兩種原料可增加工廠的總利潤。相反，如果市場價格高出它們的影子價格，則沒有必要安排生產而把原料賣出可獲得更大的收益。對于這兩種原料的數量范圍，我們可以用靈敏度分析確定，以B1為例，我們可假設其限量為b1＋7，則當0≤b1≤15時，可得x1＝2＋35b1，x2＝3－15b1，f＝13＋b1，為最優解，同樣我們也可對其他參數進行靈敏度分析。分析方法3：降低原料用量能創造的效益測算。企業通過加強內部管理、減少浪費，可能在不影響產量的條件下，如降低1噸的原料B1，可節約35萬元（影子價格）。同樣方法可測算B2。

3結束語

隨著經濟全球化、信息化的不斷推進。世界的各種變化都會使市場價格波動。全面考慮影響企業生產的各種因素，用科學方法進行預測，及時調整、科學決策，可使企業決策更加合理。另外，由于計算工具、互聯網的飛速發展，信息和數據快捷可靠，用計算機處理以前人工無法完成的幾百個以上變量的對偶問題也較為簡便。應用對偶問題原理的不足之處是多數線性規劃問題較難找到使得其所有檢驗數都小于零的初始解。