高中數學中幾何概型論文

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幾何概型是高中概率部分的一個難點，高考中選擇、填空題會有所涉及。要理解并靈活應用幾何概型解決相關問題，需要從以下幾個方面把握：

1概念延拓

如果一類隨機試驗具有如下兩個特征：

（1）進行一次隨機試驗相當于向一個幾何體G中取一點；

（2）對G內任意子集事件“點取自g”的概率與g的測度（長度、面積、體積）成正比，而與g在G中的位置、形狀無關。

我們把這類隨機試驗的數學模型稱為幾何概型。如果事件A可用中的一個區域G表示（組成事件A的所有可能結果與g中所有點一一對應），那么

P(A)=g的測度G的測度

2概念辨析

與古典概型相比較：

（1）不同點：在一次試驗中，幾何概型中所有可能的結果有無限個；

（2）相同點：每一種結果發生的可能性相等。

3題型分析

3.1測度為長度的幾何概型:[例1]某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，并且出發前在車站?？?分鐘。乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于10分鐘的概率？

分析：設上輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T0到達，T2時刻出發。線段T1T2的長度為15，設T是T1T2上的點，且T0T2=3，TT0=10，如圖所示,記候車時間大于10分鐘為事件A，則當乘客到達車站的時刻落在線段T1T上時，事件A發生，所以

P(A)=d的測度D的測度=215

答：侯車時間大于10分鐘的概率是2/15。

3.2測度為面積的幾何概型

[例2]甲、乙兩人相約12：00~13：00在某地會面，假定每人在會面這段時間內的每個時刻到達會面地點的可能性相同，先到者等20分鐘后便離去，試求兩人能會面的概率。

解析：在平面上建立如圖直角坐標系，直線x=60,y=60,x軸，y軸圍成一個正方形區域G。設甲12時間x分到達會面地占，乙12時y分到達會面地點，這個結果與平面上的點（x,y）對應。由題意知，每一個試驗結果出現的可能性相同的因此試驗屬于幾何概型。甲乙兩人能會面當且僅當他們到達會面地點時間相差不超過20分鐘，

即｜y-x｜≤20，x-20≤y≤x+20，

因此圖中陰影部分g就表示甲乙能會面。容易求得g的面積為2000，的面積為3600，所以

P(甲乙能會面)=g的面積G的面積＝59

3.3測度為體積的幾何概型

[例3]在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點E，則點E落在四棱錐O-ABCD(O是正方體對角線的交點）內的概率是

解:P(E落在四棱錐O-ABCD內)

=VABDC-A1B1C1D1VO-ABCD=16

4易錯題辨析

[例4]已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，

（1）在BC上取點M，求使SΔABM<SΔAMC的概率;

（2）在∠BAC內作射線AM交BC于M，求使SΔABM<SΔAMC的概率;

辨析]要注意抓住題目中關鍵字眼：

問題:（1）在BC上取點M，即是在BC上取一點M，求M在線段BD上的概率；

問題:（2）在∠BAC內作射線AM交BC于M，即是在∠BAC內任作一射線AM使∠BAM＜∠BAD的概率。

解:(1)P(SΔABM<SΔAMC)=P(BM<BD)=BMBD=12;

(2)P(SΔABM<SΔAMC)=P(∠BAM＜∠BAD)=60°90°=23。

錯誤解法：混淆兩題區別把第（2）題錯當第一題解。

5小結

解決幾何概型的關鍵是根據題意，弄清題目中的測度是長度、面積還是體積，有時甚至是角度。