常微分方程課程改革探索

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［摘要］多數高校在常微分方程的課程設置和教學方式上都存在著一些的問題:教學內容過于注重理論，輕視實際應用;授課形式單一，學生的主體地位難以體現;課程考核方式簡單，難以衡量學生實際能力。在創新創業背景下，高?？梢詮囊韵路矫娓母锍Ｎ⒎址匠陶n程，提高學生學習積極性、主觀能動性以及創新意識和能力:改進傳統教學方法，提高學生逆向思維能力;優化教材體系，注重應用性教學;注重能力評價，科學考核學生學習。

［關鍵詞］常微分方程;教學改革;創新創業能力

數學是在生產實踐中逐漸發展起來的科學。隨著學科的細化，數學也演變出各個科目。常微分方程作為高等數學中的一門學科，它的形成與發展是與力學、天文學、物理學以及其他科學技術的發展密切相關的。這也決定了這門學科的實用性。尤其是近年來國家大力推進培養大學生的“創新創業”能力，督促著高校轉型發展。學校對于培養目標與培養計劃的改變，也必然帶動各門課程教育的改革。因此，課題組在以“培養具有創新創業意識和創新創業能力的高素質人才”為目標的前提下，從“要為學生提供怎樣的教育經驗”“如何有效組織這些教育經驗”“如何確定這個目標正在得以實現”［1］等問題著手，不斷加大改革力度，加強師資隊伍建設，提高教學、科研水平，開展一系列的理論研究和實踐。

一、課程改革的必要性

“常微分方程”是一門數學基礎課程，內容涉及數學分析、高等代數課程中的知識點。天文學、生物學、控制論、物理學、流體力學等許多近代學科中的大量問題都可以利用常微分方程來分析和處理。作為一門應用性很強的基礎課程，“常微分方程”的教學應該突出應用特色，重點培養學生利用所學知識發現、分析和解決實際問題的能力。然而，經項目組了解，大部分高校在常微分方程的課程設置和教學方式上存在嚴重的問題，具體主要體現在以下幾個方面［2，3］:(一)教學內容過于注重理論，輕視實際應用。在教學中，大多數教師把時間花在提高學生求解常微分方程運算能力與技巧方面，而在定性分析理論以及實踐應用上提及不多，較少使用教學案例，沒有充分將數學建模思想以及學科的前沿知識滲透到教學中。這樣的授課內容難以培養學生獨立思考、動手解決問題的能力，無法滿足現今社會的發展需求。事實上，常微分方程在很多學科領域內有重要的應用。比如，在現代控制理論中，機器人、倒立擺、飛行器等實際系統在建模的時候都可以歸結成帶有控制輸入的微分系統，通過設計合理的控制器，保證閉環系統穩定運行，還有對自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究，對化學反應過程穩定性的研究等，這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。理論與實際的結合，有助于常微分方程課程的學習，提升學生的學習積極性，加強學生的創新意識和創新能力。(二)授課形式單一，學生的主體地位難以體現。教師尤其是數學類課程的教師，在課堂授課中仍然以黑板加粉筆的形式為主，雖然也有教師采用計算機、多媒體等輔助教學手段，但是使用方法單一，多半是將板書內容轉移到PPT上播放，并沒有改變“教師在上面講，學生在下面聽”的灌輸式教學模式，沒能讓學生積極主動地參與到課堂教學中，缺少教與學的雙邊互動。這樣的課堂教學現狀顯然沒有貫徹以學生為中心的教育理念。對于像常微分方程這種應用性較強的課程，如果學生缺乏積極主動的參與、配合，是很難掌握課程中的應用思想的。單純的理論學習效果并不理想，無法達到創新創業人才的目標，同時，培養計劃中課時的壓縮也是影響授課效果的一個重要原因。因此，如何在現有課時下讓學生既能打下扎實的理論基礎，又能動手實踐、應用所學理論解決實際問題是課題組需要解決的首要問題。(三)課程考核方式簡單，難以衡量學生實際能力?，F在高校加強了教學過程的管理，不再將期末考試的卷面成績作為最終成績，而是將期末的卷面成績和平時成績按照8∶2或者7∶3的比例計算總成績，避免了由一次考試、一張卷子來評定整個學期學習情況的不合理現象，提高了教學過程考核的合理性。但是，學生的主觀能動性不夠，對理論學習有排斥情緒，使得大部分學生卷面成績偏低。學生的平時成績往往是由學生的出勤率和作業完成情況決定的，然而，實際上，來上課的學生未必聽懂了、學會了，作業也無法確定是不是學生自己獨立完成的，其結果難免形式化，導致平時成績在實際操作過程中變為了調節及格率的工具，無法對學生的實踐和創新能力加以評價，而這卻是衡量學生能力的一個很重要的標準。

二、課程改革實踐

針對上述教學弊端，課題組從改變教學方法、優化教材體系和改革考核模式這三個方面入手，有針對性地改變學生的學習現狀，提高學生的學習能力，激發學生的創新創業思維，為后續的培養做好充足的準備。(一)改進傳統教學方法，提高學生逆向思維能力?，F階段的授課方式以大班授課為主，教師在講臺上講解，學生在下面聽，這種模式中，教師和學生的互動必然不多，教師無法很好地把握學生的數學基礎學習狀態，無法根據學生具體情況開展有針對性的教學，如此，學生更難以建立起各門課程之間的聯系。為解決這一問題，課題組將大班改為小班授課，對學生開展啟發式教學，加強課堂提問，提高教學內容的針對性、靈活性和后繼性;鼓勵學生獨立思考，將所學的定理運用到實際中，并能有所創新。比如，在常微分方程課程中，給定微分方程，要求學生求其通解或特解。在授課之初，教師一般都會講解常數變異法和積分因子法，這些都是古典而有效的方法，能夠運用到一階線性微分方程、全微分方程、高階線性微分方程和線性方程組中。引導學生在已有的知識基礎上探索新的方法是啟發式教學的一個非常好的切入點。在授課過程中，教師要盡可能多地反映常微分方程在其他學科中的滲透與應用，以實際問題作為出發點和著眼點，盡可能減少枯燥、煩瑣、不必要的理論推導，提高學生的學習興趣。授課教師應加強課堂互動，針對已學知識(不局限于本門課程，可以是其他課程中的相關知識)進行提問，以溫故知新;鼓勵學生積極思考，提出問題，在內化知識的同時提高自身思維能力。教師要引導學生跳出舊有的框架模式，加強思維深度的同時拓展思維廣度。比如，我們在學習常微分方程求解部分，基本就是固定的幾大類方程，有相應的解法，而實際生活中，我們所用的大部分方程是無法求解的。在課堂上，教師可以讓學生列舉一些不能求解的方程反例等，以這樣的方式深化學生對概念的理解，讓學生能夠活學活用，以促進創新型人才的培養。(二)優化教材體系，注重應用性教學。一直以來，我國的大部分大學課堂上使用的常微分教材都是偏重理論的。經典的知識框架在理論教學方面優勢明顯，但是缺點也顯而易見，即理論聯系實際不足。國外的一些教材中，理論知識聯系實際的例子較多。通過大量的實例教學，學生應用能力能夠得到提高。課題組成員根據我校培養應用型復合人才的教學目標，重建教材框架，編寫了一本偏重應用的教科書。這本教材在基礎實用的原則上，淡化理論性過強的證明，其知識體系系統化、簡單化，使學生宜學易懂，這樣，也縮短了教師講授理論知識的時間，為在課堂上引入數學建模相關知識提供了基礎。眾所周知，數學建模在培養學生學習欲望、自學能力、從事科研工作的初步能力以及團結協作的精神等方面都有非常大的促進作用。因此，新教材在最后一章介紹了數學建模的一些相關知識，并且給出了很多與常微分方程有關的例題和習題，讓學生可以了解如何將一個個實際問題轉化成熟悉的數學問題過程，并且可以在教師的引導下自己動手解決問題，這可以讓學生獲得學習的樂趣，增強數學素質，提高他們分析問題和解決問題的創新能力。考慮到每個班級的學生學習能力與興趣都各不相同，教師在培養學生實際應用能力的同時，也考慮到有一部分學生在科研方面的興趣與潛力。這一部分的學生一般學習成績優異，對數學興趣濃厚，有較強的考研欲望，希望能夠接觸到一些更深層次的東西。因此，在掌握本門課程基本內容的基礎上，授課教師應適時、適當地介紹一些本學科的前沿知識，也可以以少量課時或者學術講座對偏微分方程進行簡單介紹，［4］讓學生了解未來的學習方向，讓這門課程的結束成為其深入研究的開始，引領他們在這一方向繼續前行，為他們未來考試或學術研究打好基礎。(三)注重能力評價，科學考核學生學習。傳統考試無法體現學生的時間能力和創新意識，因此，課題組對本門課程的期末考試評價方法也進行了改革。雖然以往也有能力評價部分，但是考查的項目與方式并不明確，授課教師在實踐過程中難以操作。為了更好地體現素質教育，讓學生在實踐與創新中發揮自己的潛力，課題組制定了詳細的能力考查方案。具體方案如下:總成績=期末考試卷面成績×50%+平時成績×50%，其中平時成績由五部分組成:(1)課后作業10分;(2)出勤率5分;(3)平時小測驗15分;(4)課后提高10分;(5)課堂互動5分。平時小測驗和課后提高兩部分所占比重較大，也是考試改革最重要的部分。平時小測驗部分分別就一階常微分方程的初等解法、高階常微分方程的求解以及常微分方程的一般理論與定性分析進行測驗，根據學生對這部分知識點的掌握程度來評定成績。在相關章節內容講授完之后，教師帶領學生復習一遍基礎知識，然后進行測驗。由于主要是考查學生的學習能力和掌握程度，我們對于記憶類的東西不作要求，因此采用開卷的形式，學生可以查閱自己的學習資料然后答題。這樣既能避免頻繁的測驗給學生帶來的過大壓力，又能起到督促學生學習的作用。課后提高部分主要采取小論文的形式。在常微分方程課程每一章的學習過程中，授課教師將一些具有拓展性和創新性的問題留給學生，鼓勵學生積極思考，引導學生自學Matlab或Mathematica等數學軟件來驗證一些推導結果和方程的數值解。這樣提高了學生的實踐能力、查閱文獻資料的能力，培養了學生開展科研、積極創新的精神，同時，最終形成的小論文也鍛煉了學生的總結和論文撰寫能力，對學生的綜合能力提升也有明顯的帶動作用。

總之，課題組實施教學改革的目的是希望能夠找到一個全新的常微分方程教學模式和課程體系，將更貼近當下學生實際的教學理念、教學方法和考核方式有機結合在一起，形成一個培養學生創新能力的教學體系。新時代下，我國的高等教育領域課程與教學改革仍然處在深化調整之中，很多教學改革的想法與設計都非常不錯，可是仍然會出現“教改十年，基本失敗”的可悲論調。究其緣由，關鍵是沒有將課程設計的“美好藍圖”、計劃、框架和方案更好地運用到課堂之中，并通過課堂情境中的教師與學生共同“演繹”來發揮其真正的功能。課題組為了避免出現“課改雖好，課堂依舊”“穿新鞋走老路”［5］等現象，對教學過程和考核過程做了詳細的實施方案，群策群力，邊實踐邊完善。經過幾輪的授課實踐證明，我們的教學改革在培養學生創新能力，提高學生的學習興趣與能動性方面確實產生了相當不錯的效果，課堂狀態良好，教師也很滿意并能積極推進。相信通過本門課程的教學體系改革的探索，對本學科的其他課程改革也能起到一定的推動作用。

作者:洪麗莉 何希勤 單位:遼寧科技大學理學院

參考文獻:

［1］張紹軍．概念廓清及其互動機理———當前教學改革中課程與課堂關系的新認識［J］．湖南師范大學教育科學學報，2016(15):52－59．

［2］楊晨．常微分方程教學改革探討［J］．長春師范大學學報(自然科學版)，2014(6):167－169．

［3］劉雙．應用型本科院校常微分方程課程教學改革的實踐［J］．鞍山師范學院學報，2015(4):13－15．

［4］李文娟．常微分方程課程建設與教學改革［J］．赤峰學院學報(自然科學版)，2015(6):4－5．

［5］郭華．新課改與“穿新鞋走老路”［J］．課程•教材•教法，2010(1):3－11．