水電站廠房研究管理論文

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動力學問題在國民經濟和科學技術的發展中有著廣泛的應用領域。最經常遇到的是結構動力學問題，它有兩類研究對象。一類是在運動狀態下工作的結構，另一類是承受動力荷載作用的工程結構。結構受載荷處于平衡狀態時，是靜止不動的；結構有變形，而位移是不隨時間而改變的，載荷和內部應力也不隨時間而變化，這是靜力問題。結構受載荷沒達到平衡狀態，或由于結構的彈性和慣性而圍繞平衡位置振動時，其位移、應力等都是時間的函數，各點有位移還有速度和加速度，這是一種動力問題。有限元方法可以用來分析連續結構的動力問題[70]。

2.4.1結構動力學方程[71]

對于動態結構而言，所受的外力（包括體力、面力、集中力、慣性力和阻尼力）和產生的位移都是時間的函數。應用達倫貝爾原理，把結構的慣性力加入平衡方程中，就可以將彈性的結構的動力問題轉化為靜力平衡問題來處理。

用有限元法求解彈性結構的動力問題，也是把結構離散成有限個單元的集合體，并取出任意單元，此時單元上任意點的位移都是時間的函數，以表示單元上的節點位移向量，再利用單元的位移插值公式，寫出單元的上任意點的位移函數：

(2-11)

其中，為形函數，是位移的插值函數，與時間無關。

則速度和加速度函數為：

(2-12)

(2-13)

其中，、為單元節點的速度和加速度列陣。

將單元內慣性力與阻力作為體積分布載荷分配到單元各節點上，分別記為、，有

將式（2-11）、（2-13）代入上式，有

令(2-14)

稱為單元質量矩陣；

令(2-15)

稱為單元阻尼矩陣。

按達倫貝爾原理，將慣性力、阻力作為載荷，單元疊加得到彈性結構的動力平衡方程：

(2-16)

令、

則方程（2-16）改寫為：

(2-17)

彈性結構的振動本身是連續體的振動，位移是連續的，具有無限多個自由度。經有限元離散化后，單元內的位移按假定的位移形式來變動，可用節點位移插值表示。這樣，連續系統的運動就離散化為有限個自由度系統的運動。盡管如此，結構動力有限元計算量比靜力的大得多。為保證計算的方便、快捷并滿足一定計算精度的要求，可以采用合理的計算方法和計算程序；宜可從力學角度簡化動力方程，如通過集中質量矩陣、靜力縮聚、主副自由度、模態綜合等方法已達到降階和簡化方程的目的。

2.4.2動力方程的求解方法[58,59,60,61]

一般的連續結構都可以用有限元方法化為有限自由度系統問題，并列出相應的動力方程。在給定的節點載荷作用下，求解動力方程，可歸納為兩種方法。一是通過求解大型的矩陣特征值問題確定結構的動力特性，經模態矩陣變換，化為互不耦合的N個單自由度問題，逐個求解并迭加，稱振型迭加法。這需要算出系統的各階振型，而且也僅適用于線性系統和簡單的阻尼情況。二是用數值計算直接積分多自由度系統的微分方程，寫成矩陣形式用計算機逐步求解，這可用于一般阻尼的情況，并且可按增量法，用逐段線性化的方法求解非線性系統問題。

（1）振型迭加法

對于多個自由度系統，結構的動力反應可以用各個振型動力反應的線性組合來表示，即

(2-18)

式中，為位移向量；為廣義的坐標向量；矩陣為振型矩陣，振型矩陣中第列向量即為系統的第個振型向量。將（2-18）式代入系統的動力方程式（2-17），并左乘振型向量后，可得

(2-19)

利用振型關于質量和剛度矩陣的正交性，并假定阻尼矩陣也滿足正交性條件，可以得到：

(2-20)

式中、分別為振型質量和振型剛度，為振型阻尼，根據假定也滿足正交性條件，即，當采用瑞利阻尼時，很明顯，，這個條件是自然滿足的；稱為振型節點荷載。

逐個求解（2-20）式，即可得到個廣義坐標，代入式（2-11），即將得到了結構系統的反應。用振型分解法求得的節點位移是時間的函數，由它插值的單元內部位移、應力、應變的計算與靜力計算一樣，不同的是這些量都是時間的函數。

用振型分解法求解結構系統的動力反應時有兩個明顯的優點：一是個相互耦連的方程利用振型正交性解耦后相互獨立，變成了個自由度方程，使計算過程大大簡化。二是只需按要求求解少數幾個振型的方程，就可以得到滿意的解答，因為在大多數情況下，結構的動力反應主要是前面幾個低階振型起控制作用。

（2）直接積分法

在結構動力計算中，常用的直接積分法有中心差分法、線性加速度法、法和法等等。

1）、中心差分法

中心差分法的基本思路是將動力方程式中的速度向量用位移的某種組合來表示，將微分方程組的求解問題轉化為代數方程組的求解問題，并在時間歷程內求出每個微小時段的遞推公式，進而逐步求的整個時程的反應。

對于動力方程（2-17）各階微分可以用中心差分表示為

(2-21)

(2-22)

式中為均勻的時間步長，、和分別為時刻及其前、后時刻的節點位移向量。將式b、c代入a式后可得到一個遞推公式如下：

(2-23)

上式即為中心差分法的計算公式，在求得結構的和后，就可以根據t時刻及t-Δt時刻的結點位移，按（2-23）式推算出t+Δt時刻的結點位移；并可逐步推出t+2Δt，t+3Δt，…，tend各時刻的結點位移。式（2-23）對于t=0的時刻并不適用，因為一般運動的初始條件給出的是初始位移和初始速度，而難以給出前一個Δt時刻的位移，無法直接按式（2-23）進行第一步的計算，因此，這時就要利用其他條件建立中心差分的計算公式，

=(2-24)

(2-25)

再利用t=0時刻的動力方程：

(2-26)

由（2-24）、（2-25）、（2-26）三式，可以求得、和。求解的方程式如下：

(2-27)

這個方程式中的、和都是已知的，因此可以解出。而后就可以按式（2-24）解出和，…。這是一種將時間段劃分為若干個相同的時段后的逐步求解方法，求解出的量均是每個時刻結點的位移，因此，很適合于像有限元方法這樣以結點位移來計算單元內部位移、應力和應變的各種數值求解問題。

2）線性加速度法

這個方法的基本思路是把整個振動時程分成很多個時間間隔，并假定在范圍內加速度按直線規律變化，在此基礎上計算出時刻內的增量位移、增量速度和增量加速度，一步一步地求得整個時程的反應。

將動力方程式寫成增量形式的方程：

(2-28)

用時刻的和表示和，代入（2-28）并整理后得

在求出后，及可按下式求出：

(2-30)

這樣，t時刻的位移、速度和加速度可按下式求出：

(2-31)

重復上述步驟，可根據體系的初始條件，一步一步地求得各時刻（1,2,…,n）時系統的動力位移、速度和加速度反應。

3）Wilson-θ法

數值計算方法的一個基本要求是算法的收斂性好，上一節介紹的線性加速度法當體系自振周期較短而計算步長較大時，有可能出現計算過程發散的情況，即計算的反應數值越來越大，直至溢出（overflow），對于多自由度系統，其最小的自振周期可能很小，此時，計算步長Δt必須取得很小才能保證計算不發散。對于結構抗震分析來說，Δt需要選得比地面運動中高頻分量的周期以及結構的自振周期小很多（例如10倍以上），才能保證必要的精確度。因此，線性加速度法是一種條件收斂的算法。

Wilson-θ法是在線性加速度法基礎上改進得到的一種無條件收斂的數值方法，它的基本假定仍然是加速度按線性變化但其范圍延伸到時間步長為θΔt的區段，只要參數θ取得合適（θ≥1.37），就可以取得收斂的計算結果。當然，Δt取得較大時，計算誤差也將較大。

在時刻t+θΔt，多自由度系統的運動方程式為

[M]{(t+Δt)}+[C]{(t+Δt)}+[K]{(t+Δt)}={P(t+Δt)}

(2-32)

根據Wilson-θ法的基本假定，加速度反應在[t,t+θΔt]上線性變化，即在此區段上運用線性加速度法得到的公式，并將時間步長改為θΔt，即可求得時刻t+θΔt時的加速度反應為

{(t+Δt)}=

(2-33)

在[t,t+θΔt]時段內采用內插法，可以求得t+Δt時刻的加速度為

{(t+Δt)}={(t)}+

={(t+Δt)}+

=(2-34)

根據線性加速度法的基本關系式，利用{(t+Δt)}可得

(2-35)

{}(2-36)

式（2-35）、（2-36）即為用Wilson-θ法計算結構動力反應的公式。

4）Newmark-β法

Newmark-β法的基本假定是：

{δ(t+Δt)}={δ(t)}+(2-37)

其中，γ和β是按積分的精度和穩定性要求而調整的參數。研究表明，當γ>=0.5,β>=0.25(0.5+γ)2時，Newmark-β法是無條件穩定的。

由式（2-37），可利用{：

{(t+t)}=

(2-38)

{}

(2-39)

考慮到t+Δt時刻的動力方程，有：

[M]{（t+Δt）}＋[C]{(t+Δt)}+[K]{}={P(t+t)}(2-40)

將式（2-39）代入上式，可得：

（2-41）

式中

求解方程（2-41），可得{δ（t+Δt）},然后由式（2-39）可解出{}和{}。以此類推，可求出各時刻的位移、速度和加速度。

2.4.3結構體系自振周期、振型計算

結構的自由振動問題可以歸納為求解廣義特征值問題[66,76]，廣義特征值為1/ω2，廣義特征向量為結構的固有振型。

忽略結構的阻尼影響，結構的自由振動方程為：

(2-42)

假設位移向量，由上式得：

(2-43)

式中：[K]、[M]分別為結構的整體剛度矩陣、質量矩陣；

、分別為結構各質點的位移、加速度；

ω為結構自由振動的圓頻率。

一般地振型向量≠0，由齊次線性方程組解的理論得：

（2-44）

由式（2-44）得到n個不同的圓頻率ω1、ω2、ω3、…、ωn，將圓頻率代入方程（2-43）可得到固有振型{A}1、{A}2、…、{A}n。

由于非對稱框架結構隔震系統的質量矩陣、剛度矩陣為非對角矩陣，程序中求解自振頻率及振型采用廣義雅可比法。