數學焦慮研究論文

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【內容提要】數學焦慮一直是心理學界研究和討論的熱點問題。本文主要從認知的角度對教學焦慮進行解釋，并以此揭示數學焦慮的心理機制和思維規律。

【摘要題】理論研究

【關鍵詞】數學焦慮/認知取向

近30年來，數學焦慮一直是心理學研究中的一個熱點問題。Richardson和Suinn(1972)對數學焦慮進行了開創性的研究。隨后，心理學研究者對數學焦慮進行了廣泛的研究，并取得了一些有意義的研究成果，如數學焦慮會使個體對數學刺激產生負面的生理反應、對自己解決數學問題的能力懷有錯誤的信念和消極的態度，最終的結果是數學焦慮者會回避需要應用數學技能的環境和職業，因而高數學焦慮者數學學業成績一般都較低。但在相當長的一段時間內，數學焦慮和數學認知是被作為兩個分離的課題進行研究的，研究者主要從個體社會性的角度研究數學焦慮，很少涉及認知因素。近年來研究者開始在理論上，實踐上探討數學焦慮對數學認知過程的影響[1]。

1數學焦慮的定義和測量

1.1數學焦慮的定義

焦慮是個體由于不能達到目標或不能克服障礙的威脅，致使自尊心與自信心受挫，或使失敗感和內疚感增加，而形成的一種緊張不安且帶有恐懼色彩的情緒狀態。數學焦慮是個體在處理數字、使用數學概念、學習數學知識或參加數學考試時所產生的不安、緊張、畏懼等焦慮狀態。

1.2數學焦慮的測量

Richardan&Martray(1972)[2]為了解個體面對數學問題時產生的特殊身心反應及其對數學學習的影響，根據學生的自我報告、客觀實驗以及對一系列相關測量方法的分析整理，設計出了一個后來被廣泛應用的數學焦慮的測量方法——數學焦慮等級量表(MathematicsAnxietyRatingScale,Richardon&Martray,1989)MARS包含98個題目，這些題目描述各種不同的數學情景，如準備數學考試、有人看著你做兩位數除五位數運算、在餐館結帳時確認消費數額等，要求被試用5點量表確認他們在這些情景下的焦慮程度（從“根本不”到“非常”）。數學焦慮程度以MARS的得分來代表，得分愈高，表示其數學焦慮程度愈高。MARS的分數范圍從98到490，平均分數是215，標準差為65。MARS具有良好的信度和效度，在7個星期之后的再測信度為r=.85。由于MARS包含的題目數量很多，導致在具體施測的時候比較費時，因此許多測量數學焦慮的簡化量表應運而生。包括Fennema-Sherman數學焦慮量表（簡稱MAS，包含12項題目，Fennema&Sherman,1976）、Sandman數學焦慮量表（簡稱ATMS，包含6項題目，Sandman,1979）。修訂數學焦慮等級量表（簡稱MARS-R，包含12項題目，Plake&Parker,1982）。以及25項簡化數學焦慮等級量表（簡稱sMARS;Alexander&Marray,1989）。這些量表與MARS的相關都很高，且具有良好的信度和效度。

Hembree(1990)[3]通過元分析，探討了數學焦慮量表與其它焦慮量表之間的關系，指出數學焦慮與其它焦慮形式既相關又有區別。數學焦慮是真實的焦慮反應，它與考試焦慮極為相關(r=.52)，與其它焦慮形式的相關范圍從.35到.4；數學焦慮量表的內部相關從.50到.70，因此，現存的數學焦量表可以對數學焦慮進行可信、有效的測量。

2數學焦慮對個體的事實性知識和程序性知識的影響

數學認知是個體解決數學問題時潛在的心理加工過程以及有關數學知識的心理表征。研究者普遍認為，在數學認知過程中，會用到兩種知識類型，即事實性知識和程序性知識。事實性知識是由包含數字間聯系的記憶信息組成（如2+2=4或3×9=27）。個體在解決數學問題時能用恢復策略直接從長時記憶中提取事實性知識；程序性知識是指包括進位、借位以及在多步問題解決或規則運用過程中需要對數值進行追蹤加工的程序。因此，當研究者把數學焦慮和數學認知相結合進行研究時，首先探討了數學焦慮對數學的事實性知識和程序性知識的影響。

Ashcraft和Faust(1994)[4]在一項研究中，用MARS測查了大學生的數學焦慮水平，據此把被試分為三組：高焦慮水平組、低焦慮水平組、中等焦慮水平組。隨后，為兒童提供四種形式的運算：算單加法、簡單乘法、復雜加法、混合運算，以反應時和正確率作為測查指標。對于前兩類問題，焦慮對問題解決沒有顯著影響，即使是高焦慮被試也能從長時記憶中快速提取這些簡單問題的答案(如4+5=9或6×7=21)；但對于后兩類問題，不同焦慮水平被試的反應差異顯著。從解題正確率來看，高焦慮組的解題正確率最低；從解題速度來看，低焦慮被試比中等強度焦慮的被試解題速度快，高焦慮被試的解題速度有時會與低焦慮被試的解題速度一樣快，但會以大幅度降低解題正確率為代價。Achcraft進一步解釋說，高數學焦慮被試在解決復雜數學問題時會在解題正確率和反應時之間權衡，要么以犧牲反應時為代價求得高正確率，要么以犧牲正確率為代價求得快速的解題時間。這種傾向在高數學焦慮被試中很普遍，稱之為“地方性回避”(localavoidance)。

Faust、Ashcraft和Flect(1996)[5]擴展了Ashcraft和Faust(1994)的研究，采用運算時需要進位和不需要進位的數學問題（如18+36或17+22）研究數學焦慮。通過比較需要進位和不需要進位運算的題目發現，數學焦慮對數學能力具有顯著的影響，如果不考慮解題的正確率，低數學焦慮被試僅用253毫秒解決進位加法問題，而高數學焦慮被試卻要用753毫秒。低數學焦慮組的解題速度幾乎比高數學焦慮組被試快2倍。除此以外，Ashcraft和Kirk(2000)在復雜除法和復雜減法的研究中也得出了類似的結論，即高數學焦慮會影響個體的數學學習成績。

以上研究表明，當主體應用事實性知識解決簡單問題時，數學焦慮的影響不顯著；而當主體應用程序性知識解決復雜問題時，數學焦慮的影響卻非常顯著。不同焦慮水平的被試都能從長時記憶中自動化地提取事實性知識，而應用程序性知識則需要更多地依賴于有意識過程，且很少達到自動化，需耗費更多的工作記憶資源。因此，為了探討數學焦慮對兩種知識影響的內部機制，有必要深入探討數學焦慮對工作記憶的影響。

3數學焦慮對工作記憶的影響

Eysenck和Calvo[6]于1992提出一般的焦慮效能理論——過程效能理論(processingefficiencytheory)，從而奠定了研究數學焦慮對數學認知過程影響的理論基礎。這一理論的提出是建立在工作記憶系統存在的假設基礎上的。Baddeley&Hith于1974年提出了工作記憶模式，指出工作記憶為復雜的任務提供臨時的儲存空間和加工所必需的信息。該模型分為三個子成分：中央執行系統、發音環路、視覺空間模塊。其中，中央執行系統是工作記憶的核心，它可以控制程序的執行、做出決定、從長時記憶中恢復信息，還可以在語音環路和視覺空間模板兩個子系統中存儲信息。隨后Baddeley開創了數學認知領域里工作記憶的研究。他的研究表明，多位數運算中進位給工作記憶增加了額外的負擔。工作記憶的可用空間被三種活動消耗：存儲當前大量信息、在相當長時間內存儲信息、在工作記憶中運行許多步驟和操作。由于Baddeley等人的工作記憶模型沒有分析組成多位數加法的特殊數學事實（如，324+253包括基本的數學事實3+2,2+5,4+3），Ashcraft(1995)[7]進一步完善了Baddeley等人的工作記憶模型，他認為所有的數學事實的恢復，都會對中央執行系統產生影響。數學知識的恢復包括基本數學事實的恢復（如，6+7=13）、更廣泛的知識的恢復（如：加法和乘法的轉換性）以及程序性或策略性信息的恢復。因此，中央執行系統還負責跟蹤當時的程序執行步驟、存儲暫時的計算數值激發借位和進位運算等等。

“過程效能理論”假設操作依賴工作記憶的認知任務會揭示焦慮對認知過程的影響，解釋這一推論的理由很簡單，即焦慮被試會過多關注自己的強制思想、擔憂和負面認知等焦慮反應。這種與當前任務無關的反應會分散個體的注意力，從而消耗有限的工作記憶資源，導致要么降低正確率，要么增加反應時間——低認知效率。Ashcraft(1995)[7]擴展了Eysenck和Calvo的理論模型，把它用于數學焦慮的研究中，他指出當數學任務要求工作記憶大量參與時，高數學焦慮者的數學成績會很低，從這個意義上講，導致低成績的原因是，對于數學焦慮個體來說，任何一個數學任務都是一個雙重程序，即數學是基本任務，對極端思想的關注和焦慮是消耗工作記憶資源的第二任務。

隨后，研究者進行一些實證研究對Ashcraft(1995)提出的假設進行驗證，Ashcraft和Kirk[1]（1998，實驗1），用語言和計算廣度任務測查被試的工作記憶容量。研究結果表明，隨著數學焦慮程序的增加，被試的工作記憶容量減小。Ashcraft和kirk（1998，實驗5），采用對工作記憶要求較高的加工任務，要求被試同時看2到4個自由選擇的字母，對每一個字母進行兩到四步字母轉換運算，為了最后說出所有轉換的數值，工作記憶不得不完成存儲和加工的任務。對于包含兩個字母的兩步轉換題，焦慮的作用不顯著，但對于四個字母的四步轉換題，高數學焦慮組表現出反應時長、正確率低。

Ashcraft和Kirk）(2001)[8]在最近的一項研究中，用“雙重任務”模式，測查被試計算一位或兩位數的加法題的加工過程（其中有一半題目需要進位計算）。研究者要求被試做數學題——基本任務，與此同時要求被試完成第二個任務以增加工作記憶的負荷。隨著第二個任務難度的增加，基礎任務的成績也隨之降低。在此過程中，被試計算加法題時，需要同時在頭腦中記憶2到6個自由排列的字母。在他們回答出正確的答案之后，還要求他們按順序回憶字母。當加法題包括進位運算時，高數學焦慮組比低數學焦慮組的錯誤率低。當第二任務變得非常難時（如有6個字母的記憶負擔），焦慮組被試在重負荷下，解決需要進位運算的加法題時，錯誤率為40%，而低焦慮被試組僅有20%的錯誤率。在控制組，兩種任務分別實施，錯誤率分別是16%和8%。

焦慮水平與數學成績產生交互作用的原因是，當高數學焦慮的個體的數學焦慮被激起時，他便經歷“雙重任務”模式，數學運算和焦慮體驗。焦慮體驗作為任務之一引起個體注意并增加工作記憶負荷，從而減少本來應該用于數學運算的工作記憶容量。除此以外，數學焦慮還可能對長時記憶成分產生影響，數學焦慮多出現于初中早期個體學習較難的數學題時。類似于干擾正在進行的認知任務一樣，數學焦慮會在數學課上對個體產生影響，減少用于學習和掌握知識的工作記憶容量。Ashcraft(2001)用下圖來解釋焦慮對認知過程的影響。他認為數學焦慮作為一種特質性焦慮，不是一種附帶現象，也不是一種與心理加工過程無關的信息，而是對認知過程產生重要影響的變量。

附圖

4小結

以上的研究表明，即時的數學焦慮反應分散了工作記憶活動，由此會降低依賴于工作記憶的數學任務成績。但我們還不了解數學焦慮具體通過什么機制增加工作記憶負荷，強制的思想和擔憂也許并不重要，關鍵是數學焦慮個體不能控制注意力分散[9l。目前，越來越多的研究者還傾向于用認知神經科學的方法，探討數學焦慮在腦部活動的特征，這也許能為我們進一步研究數學焦慮提供依據。其次，關于一般焦慮的研究發現，對于不同年級的學生，焦慮對學習的影響程度有明顯不同。小學一、二年級學生受焦慮影響較小，三年級后開始增加；到了中學，高度焦慮對學習的影響更加顯著。對于數學焦慮，現有的研究還沒有涉及六年級以前的學生，已有的數學焦慮量表，絕大多數只適用于青年人或成人。因此我們還不了解數學焦慮是從什么年齡階段開始的，它的總體變化曲線是怎樣的。再次，對于一般焦慮而言，高度焦慮會妨礙學生的學習，低度焦慮會使學生缺乏學習動力，而適度的焦慮水平有助于學生學習效率達到最佳。有的研究者認為，數學焦慮只有高度焦慮和低度焦慮，不必考慮適度型焦慮。Hopko(1998)[9]等認為，相對于高度焦慮和低度焦慮而言，中等強度焦慮與具體的研究計劃很相關，較難預測。那么，數學焦慮是否對個體只產生負面影響？通過進一步研究中等強度焦慮的作用將會對這一問題找到一些解釋。

總之，數學焦慮不僅影響個體情緒情感、社會性的健康發展，而且還影響數學認知的發展。對數學焦慮進行研究，了解其表現特點，探討其內部運行機制，具有非常重要的理論意義和現實意義。在理論上，可以為進一步探明兒童數學思維過程及發展規律提供一些實證依據。在實踐上，可以為優化我國數學基礎教育教學改革、建立建全高校選課制度和制定相應的干預計劃提供實證材料。當前，我國有關數學焦慮的研究相對較少，僅有少數研究從數學態度、數學興趣等方面做了一些探索，幾乎沒有從認知角度探討數學焦慮的研究；另外，已有的研究表明，數學能力存在不同國家，不同民族和不同文化背景之間的明顯差異。在我國開展有關數學焦慮的研究，將為進一步從跨國度、跨民族和跨文化的角度深入探討學科焦慮及學習提供有利的實驗依據。

【參考文獻】

1Ashcarft,M.H.Kirk.E.P.,&Hopko,D.Onthecognitiveconsequencesofmathematicsanxiety.InC.Donlan(Ed.),Thedevelopmentofmathematialskill,EastSussex,GreatBritain:PsychologyPress.1998:175-196

2Richardson,F.C.,&Suinn,R.M.TheMathematicsAnxietyRatingScale.JournalofcounselingPsychology,1972;19:551-554

3Hembree,R.Thenature,effects,andreliefofmathematicsanxiety.JournalforResearchinMathematicseducation.1990;21:33-46

4Ashcraft,M.H.,&Faust,M.W.Mathematicsanxietyandmentalarithmeticperformance:Anexploratoryinvestigation.CognitionandEmotion,1994;8:97-125

5Faust,M.W..Ashcraft,M.H.&Fleck,D.E.Mathematicsanxietyeffectsinsimpleandcomplexaddition.MathematicalCognition,1996;2(1):25-62

6Eysenck,M.W.,&Calvo,M.G.Anxietyandperformance:Theprocessingefficiencytheory.Cognitionandemotion.1992;6:409-434

7Ashcraft,M.H.Cognitivepsychologyandsimplearithmetic:Areviewandsummeryofnewdirections.MathematicalCogniton,1995:3-34

8Ashcraft,M.H.&Kirk,E.P.Therelationshipsamongworkingmemory,mathanxiety,andperformance,Journalofexperimentalpsychology:General,2001;130:224-237

9Hopko,D.R.,Ashcraft,M.H.,Gute,J.,Ruggiero,K.J.,&Lewis.C.Mathematicsanxietyandworkingmemory:Supportfortheexistenceofadeficientinhibitionmechanism.JournalofAnxietyDisorders,1998;12:343-355