高中數學閱讀與思考欄目教學探討

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摘要：高中數學教材中設有“閱讀與思考”欄目，它是教材主體內容的延續和拓廣，根植于學生知識的最近發展區，對開闊學生的思路，培養學生的閱讀能力、創新能力都有很大的幫助。本文就“閱讀與思考”欄目的教學目標、教學方式、教學手段進行探索。

關鍵詞：閱讀與思考；統計應用；教學設計

1引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“高中數學教學以發展學生數學學科素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展。……不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值?！保?］為了應對考試，一線數學常態課教學往往偏重于講和練，這就導致大部分學生的主動閱讀、自主學習和獨立思考能力逐年下降。人民教育出版社依據課程標準編寫的A版教材中增加了“閱讀思考”“探究發現”“數學寫作”“信息技術”等欄目，旨在改善這一教學現象。2006年版數學教材和2019年版數學教材（《數學》（必修第二冊）、《數學》（選擇性必修第三冊））均設置了24個“閱讀與思考”欄目，但后者在內容上做了較大調整，這24個學習材料大致可分為四類：豐富知識，開闊視野型，如《向量及向量符號的由來》；激發興趣，提升思維型，如《對數的發明h愛國主義教育型，如《海倫與秦九韶》；拓寬知識，提升能力型，如《如何得到敏感性問題的誠實反應》?！伴喿x與思考”欄目作為教材正文內容的補充，為學生提供了選學素材。它篇幅短、內容新、閱讀性強，集知識性、科學性、趣味性、教育性于一體，且根植于學生知識與能力的最近發展區，能很好地激發學生學習數學的興趣，增強其應用數學的能力，進而提高學生的修養。

2教學設計

下面筆者以2019版《數學》（必修第二冊）第208頁“閱讀與思考”欄目中《統計學在軍事中的應用——二戰時德國坦克總量的估計問題》為例，設計“閱讀與思考”欄目的教學。材料1：俗話說，知己知彼方能百戰百勝。在第二次世界大戰期間，德國制造坦克的技術非常先進，坦克的大量使用使納粹德國占據了戰場主動權。因此，了解德軍坦克的生產能力對盟軍具有重要的戰略意義。為此，除了通過常規情報收集信息外，盟軍請來了統計學家參與情報的收集和分析工作。根據德國戰后公布的生產記錄顯示，運用統計方法估計的結果與真實值非常接近，而通過常規情報進行的估計則與真實值相去甚遠。表1是二戰期間的三個月中，德國記錄的生產坦克的數目和情報估計統計估計的坦克數量。統計估計有如此高的精確度，統計學家是怎樣做到的？原來，盟軍在繳獲的德軍坦克上發現了一個重要的線索——每輛坦克上都有一個獨一無二的發動機序列號。據分析，序列號前面6位表示生產的年月，最后4位是按生產順序從1開始的連續編號。統計學家主要是將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法進行推斷的。假設德軍某月生產的坦克總數為JV，繳獲的該月生產的n輛坦克的編號從小到大為X，，x2，…，，即最大編號為且繳獲的坦克是從所生產的坦克中隨機獲取的。因為生產的坦克是連續編號的，所以繳獲坦克的編號為工I，＾2，…，A相當于從［1，N］中隨機抽取了》個整數。這n個數將區間［0，N］分成《＋1個小區間（如圖1）。由于JV是未知的，除了最右邊的區間外，其他《個區間都是已知的。由于這〃個數是隨機抽取的，所以可以用前H個區間的平均長度＆估計所有n＋1個區間的平均長度71｜，進而得到N的估計值。例如，繳獲坦克的編號71十1A，解得N＝15。當年，統計學家就是利用上述奇妙的方法估計出德軍每月生產的坦克數。教師可設計如下問題引導學生思考。問題1：這種估計方法的統計學原理是什么？用樣本估計總體。在攪拌均勻的總體中，每個個體被抽到的概率相等，隨機抽取的樣本近似地滿足均勻分布。由于戰爭的需要，德國兵工廠每月生產的所有坦克都會按編號分成不同的批次，然后再輸送到各地的戰場投入戰斗，相當于把樣本總體進行分層。而各戰場繳獲的坦克編號類似于分層抽樣的樣本，因此，可以用樣本的平均間隔來估計總體各層的平均間隔，從而估計出總體的個數。問題2：如果用樣本編號的平均數作為每月生產坦克編號的平均數，與前面的方法相比，哪種方法更合理？用樣本編號的平均數f＝5．75作為每月生產坦克編號的平均數，顯然是不合理的。因為，雖然平均數涵蓋了所有數據的信息，是這組數據的“中心”，但極端值對平均數的影響很大，即樣本中的最大數A和總體中的最大數對各自的平均數影響較大。問題3：這種估計方法有什么現實應用？常用于搜集商業或軍事中的數據情報。如：參考活動方案：先從魚塘中捕撈50條這種魚作記號，然后放回池塘。經過一段時間，等帶記號的魚完全混于魚群中之后，再第二次捕撈這種魚200條（捕撈魚的數量盡量多些，越多預測結果越準確），找出其中作記號的魚的條數《，則魚塘中這種魚的數目約為50＋。如果教學活動就此戛然而止，則師生都會感到意猶未盡，而且學生的興趣和能力很難得到充分的發展，因此，教學時可以做如下拓展。材料2：2019版《數學》（必修第二冊）第258頁習題10．3第3題。在英語中不同字母出現的頻率彼此不同且相差很大，但同一個字母的使用頻率相當穩定。有人統計了40多萬個單詞中5個元音字母的使用頻率，結果如表2所示：問題4：在每天都在增加的浩瀚文字中，某個元音字母出現的頻率真是確定的嗎？請你參與下面的實踐活動：自主活動2：請三位學生統計髙中英語課文《霧都孤兒》（原著節選）中元音字母“e”出現的頻率。某學習小組的統計結果：總字母數2685個，其中有309個e，出現頻率為11．51％，接近于正常頻率，但偏少，這也恰好反映了狄更斯獨特的寫作習慣。結論：當統計的字數不斷增加，統計的次數越來越多時，就會發現這些字母的出現頻率相當穩定。因為每一個樣本（一篇文章）都由具有相似的元音字母構成，匯成龐大的文字總體后，元音字母就具有動態和穩定二象性，所以可以用樣本去估計總體。問題S：你想了解自己的書面寫作習慣嗎？可以嘗試下面的實踐活動。自主活動3：請兩位學生將自己考試作文中的“的”“了”出現的頻率統計出來。學生1：總字數為794＋834＝1628，有16＋13＝29個“的”，0＋1＝1個“了”?！暗摹弊殖霈F的頻率為1．8％，“了”字出現的頻率為0．06％。學生2：總字數573＋826＝1399，有31＋30＝61個“的”，2＋7＝9個“了”?！暗摹弊殖霈F的頻率為4．36％，“了”字出現的頻率為0．64％。結論：上述結果說明對某個特定的人而言，他在寫作時使用助詞有固定的習慣。材料3：在實際生活中隨機找一個數，這個數是1開頭（說明：0．1也算是1開頭）的概率是多少？某銀行1〇〇〇名儲戶的存款金額的首位數字是1的概率是多少？一般，人們的回答是但實際上概率是lg2，約30．1％，如圖2。這很令人費解，數學是不是在故弄玄虛？但它確實是這樣，這就是首位數定理，也叫作本福特定律。它的數學表述為：在6進位制的數中，以數n（l＜W＜6l）起頭的數出現的概率為l〇g6（／z＋l）l〇g6？。它的適用范圍非常廣泛，幾乎所有日常生活中非人為規則的統計數據都滿足這個定律。比如，世界各國人口數量、各國國土面積、賬本上的數據、物理、化學中的常數等都符合本福特定律。審計學家依據這一定律發現了2004年美國總統選舉中佛羅里達州的投票欺詐行為、2001年著名的“美國最大的能源交易商安然公司做假賬案”等。審計人員發現，安然公司在2000年到2001年所公布的每股盈利數字不符合本福特定律，這證明了安然公司的高層領導可能改動過這些數據。自主活動4：請同學們閱讀嘉言先生的網絡文章《怎樣通過概率，快速看出財務造假》和美國作家威廉？龐德斯通的《如何成為超級預測者》，并回答下面的問題：問題6：（1）小組合作，列舉身邊的一些數據，驗證本福特定律；（2）你能否將本福特定律的內容及成因簡明扼要地分享給你的同學、朋友和父母？（3）舉例說明本福特定律在什么情況下不成立；你們班級某次考試的數學成績符合本福特定律嗎？為什么？問題7：通過本次“閱讀與思考”的學習，你有什么收獲？

3教學反思

如何開展“閱讀與思考”欄目的教學工作，是新教材實施過程中的一個新課題，值得教師做深入的探索和嘗試。通過上面的教學案例可以總結出“閱讀與思考”欄目的基本教學策略。（1）因生施教?！伴喿x與思考”欄目是教材的內容，理應開展相應的教學活動。但怎樣教，教學的深度如何把控呢？首先，“閱讀與思考”的“教”，非以往的“教”，其核心是通過學生自主閱讀喚醒學生臨淵羨魚之意，激發學生退而結網之志；其次，可以根據學生的基礎和興趣做出不同層次的目標要求，重在探究過程，不過度關注最終思考成果的層次。（2）因材施教。根據“閱讀與思考”欄目內容的不同采用靈活的教學方式。如，自學交流式——學生先自學后集中討論交流；學生講座式——由某個學習小組準備材料，再從中選出一人主講；自主探究式——以個人或小組的形式對材料內容進行證明和拓展；實驗式——通過實際操作增強感性認識；等等。（3）擇時而學。這部分內容的學習主要放在數學課堂之外，鼓勵有興趣的學生利用研究性學習課、自習課、課外活動自主探究，但也要有具體的學習計劃安排，并在每個時間節點進行檢查落實；同時，作為一個專題活動，時間也不要限制在一兩次活動課內完成，可以給學生設定一個時間相對寬裕的環境，在切磋、探索、交流中完成。（4）貴在得法?！伴喿x與思考”欄目的學習可分為兩個階段：先是讀，目的是培養學生的自學能力，個別不懂之處可以請教教師；后是思考，“學而不思則罔”，讀懂了不是目的，應用、思考、探索，開闊視野，拓寬思維，用材料作為“酵母”讓學習“發酵”，才是欄目設置的初衷和教學的出發點。教學形式也要打破教師講學生聽的模式，教師可以提供素材和思路，讓學生去查數據、做實驗，自主學習、分組討論，以活動為學習的主線，重在激發學生學習的主動性和熱情，讓學生體會發現、創造的快樂，在潛移默化中提升素養?！伴喿x與思考”欄目對教師的知識結構提出了新要求，如果教師只是簡單地布置學生去閱讀，那么學生很難有深層次的思考。因此，教師要認真研究“閱讀與思考”欄目的內容，準確定位“閱讀與思考”的目標主體和方式，廣泛搜集與內容匹配的各種素材，挖掘它們之間的內在聯系和思維共性，做出髙屋建瓴的指導，促進學生創新意識和思維的養成。教師還要不斷地更新知識儲備，以應對學生提出的各種問題。這種備課模式是新課標對教師提出的新要求、新挑戰。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］．北京：人民教育出版社，2020．

作者：李兵 單位：山東淄博實驗中學