淺析函數的奇偶性在解題中的應用

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函數的奇偶性在數學中有著廣泛的應用，一些較難，而又特殊類型的數學題求解，不但能達到另辟途徑，巧解妙證的目的，而且也能培養學生創造思維能力。下面就筆者的一些實踐體會,舉例加以說明。

一、利用奇偶性求函數的解析式

例1已知x∈(-1,1),且f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,若f(x)+g(x)=2lg(1+x),求f(x)與g(x)的解析式.

解:由f(x)+g(x)=2lg(1+x),

得f(x)=2lg(1+x)-g(x)(1)

∵f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,

∴f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)。

故f(-x)=2lg(1-x)-g(-x),

即f(x)=2lg(1-x)+g(x)(2)

由(1)+(2)得2f(x)=2lg(1+x)+2lg(1-x),

∴f(x)=lg(1-x2).

同理可求g(x)=lg（1+x）／（1-x）

二、利用奇偶性求函數值

例2已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于()(1990年全國高考題)

解:設g(x)x5+ax3+bx，則f(x)=g(x)-8，g(x)=f(x)+8.

∴g(-2)=f(-2)+8=18。

又g(x)為奇函數，

∴g(-2)=-g(2)，

∴f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26，

故選(A).

例3已知關于x的方程x2-2arcsin(cosx)+a2=0有唯一解,求a的所有值.a

解:考察函數f(x)=x2-2arcsin(cosx)+a2,則其定義域為R,且為偶函數.由題設知f(x)=0有唯一解,而由于偶函數的圖像關于y軸對稱,故此解必為0.

∴f(0)=-2arcsin1+a2=0,即a=π或a=-π。

這里我們挖掘f(x)隱含條件，構造奇函數g(x)，從整體著手，利用奇函數的性質解決問題.

三、利用奇偶性求函數的周期

例4設f(x)為偶函數,g(x)為奇函數,且f(x)=-g(x+c)(c>0),則f(x)是以（）為周期的函數.

解：∵f(x)=f(-x)=-g(-x+c)=g(x-c)=-f(x-2c),

∴f(x+4c)=-f(x+4c-2c)=-f(x+2c)=f(x+2c-2c)=f(x),

∴f(x)是以4c為周期的周期函數.

四、利用奇偶性求函數的值域

例5已知x,y∈R,且f(x+y)=f(x)+f(y)

當x>0時,f(x)>0,f(1)=2,求f(x)在[-5,5]上的值域.

解:令y=x=0,則有f(0)=0,令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x)=0.

∴f(x)為奇函數,

f(5)=f(4+1)=f(4)+f(1)=f(3+1)+f(1)=5f(1)=10,f(-5)=-f(5)=-10,

故f(x)在[-5,5]上的值域為[-10,10]。

五、利用奇偶性求函數的單調區間

例6求函數g(x)=x2+1／x2的單調區間.

解:設x1>x2>0,則g(x2)-g(x1)=［（x22-x12）／（x12?x22）］(x1x2+1)(x1x2-1)。當x2>x1≥1時,g(x2)>g(x1)；當1≥x2>x1>0時,g(x2)<g(x1)。由g(x)是偶函數知,g(x)在[-∞,-1]上遞減,在[-1,0]上遞增。

六、利用奇偶性證明命題

例7已知f(x)是定義在R上的奇函數,若f(x)=0有n個實根,證明n必為奇數.

證明:∵f(x)是R上的奇函數,∴f(-x)=-f(x),則f(0)=-f(0),即f(0)=0,即0是f(x)的一個實根.若f(x)=0除了x=0這個實根外,還有實根x1,x2,x3,…,xk(k∈N).而f(x)是奇函數,可知-x1,-x2,-x3,…,-xk也必為f(x)=0的實根,即f(x)=0的非零實根必成對出現,故f(x)=0的實根個數n必為奇數.

七、利用奇偶性求函數的最值

例8如果奇函數f(x)在區間〔3，7〕上是增函數且有最小值為5，那么f(x)在區間［-7，-3］上是()(1991年全國高考題)

(A)增函數且最小值為-5.

(B)增函數且最大值為-5.

(C)減函數且最小值為-5.

(D)減函數且最大值為-5.

解:設-7≤x1≤x2≤-3，則3≤-x2≤-xl≤7，

又f(x)在［3，7］上是增函數且最小值為5，

∴f(3)≤f(-x2)≤f(一x1)≤f(7)

∴-f(7)≤-f(xl)≤-f(x2)≤-f(3)=-5

又f(x)為奇函數，

∴f(-7)≤f(x1)≤f(x2)≤f(-3)=-5.

∴f(x)在〔-7，-3〕上是增函數且最大值為-5，故選(B)。

八、利用函數奇偶性證明不等式

例9設a是正數，而是XOY平面內的點集，則的一個充分必要條件是（1986年上海中學生競賽題）.

證明：考查，以–x替換x，–y替換y,A、B不變.從而知A、B關于x軸，y軸對稱.故只研究第一象限中A、B關系即可.

即：.

本解法依據函數圖象的對稱性，簡捷得出證明