結合數學史實解析數學課內容實踐

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作為以授課為主要任務的教師，學習和研究數學史的首要目的，自然應該是把數學的有關史實融匯到整個數學課程的內容中去。因為在數學課教學過程中，學生對有些內容的理解或者比較困難，或者比較淺浮，為解決此類問題，教師除了在論證推理或舉例說明等方面下功夫改善之外，講述與之相關的數學史，對所授課程內容進行解釋和說明，也是一種重要途徑。下面列述我們在講授微積分和概率統計課程時的一些嘗試。

一、極限理論和實數理論的發展簡史

關于數列或函數的極限定義，課本上首先是用“無限趨近”的語言和表達式“lim”給出的，學生已經能夠理解。緊接著又給出極限的第二個定義即“εN”、“εδ”定義，學生反而難以理解，甚至認為這后一定義是多余的。由于此時還未講到無窮小的概念和導數的定義，我們暫時還只能用適當的數據（例如對1lim(1)1nn→∞+=，當ε依次取0.1、0.01、…，時，N相應取為10、100、…）和在數軸上描點等方式進行解釋，以使學生對"εδ"定義先有一個初步的了解。后來講到導數的定義，例如學生對此推導尚能接受，但在此時，教師就要講述有關歷史：首先是18世紀初貝克萊提出的悖論：他質疑x究竟是不是0？若是0就不能做分母，若不是0就不能消去。當時數學界無法回答這個問題，引起了所謂“第二次數學危機”。這說明初創時期的微積分雖然在應用上就已經獲得了巨大成功，但在理論上是不嚴密的，貝克萊悖論切中了這一要害，刺激了數學家們努力建立微積分的嚴格基礎。首先是柯西初創了極限理論，提出極限是變量“無限趨近”的確定目標；以0為極限的變量稱為無窮小量，它不一定是真正的0，而是在其變化過程中具有無限接近于0，“想要多小就多小”的特點。但這種說法（即課本上的第一個定義）只是直覺的定性描述，雖然對澄清貝克萊悖論具有重大作用，卻沒有從根本上解決問題，例如未能區分函數的連續性和可微性，而當時已發現了很多連續但不可微的函數。直到19世紀中葉，維爾斯特拉斯明確提出了"εδ"方法，給極限概念以定量化的定義，用以重建嚴密的微積分理論體系，才從根本上解脫了“第二次數學危機”。所以"εδ"方法不是多余的，而是完善微積分理論和方法所不可缺少的。既然已介紹了“第二次數學危機”，于是學生自然會問什么是“第一次數學危機”？我們就索性進行解答：古希臘學者信奉“萬物皆數”，而這些數只是整數及其比。但當時發現單位邊長正方形的對角線長不是整數比，引起了恐慌，這就是“第一次數學危機”。所以從那時起，人們把整數及其比統稱為“有理數”，而把非有理數稱為“無理數”，有理數和無理數統稱為實數。這次危機的解脫不在當時，而在兩千多年后的19世紀，并且是在解脫第二次危機的同時，康德等人在極限理論基礎上建立了嚴密的實數理論，才徹底認識了無理數。通過對這些數學史的簡扼介紹，學生不僅對本課程的內容有了更深的了解，而且還對以前已熟知的有理數和實數概念有了進一步認識。

二、從古典概率論到近現代概率論的發展簡史

從15世紀起數學家就開始研究以賭博問題為主要內容的概率問題，到19世紀已經提出了大數定律、中心極限定理等重要內容，但概率論在理論上仍然很不完善，以致產生了一些悖論。例如，貝特朗悖論：求園內弦長超過圓內接正三角形邊長的概率。依據“隨機選擇”的不同方式選取弦可以得到不同的答案；選擇一組平行弦時，所求概率為1/2；選擇從圓上某點引出的一組弦，則所求概率為1/2,等等。這種多值性揭示出“概率”這個基本概念本身就較模糊。同時，科學家們們把概率論應用于統計物理時，也感到需要先對概率論自身的基本概念和原理重新進行嚴密、準確的定義和論證。古典概率論的缺陷，緣由其概念和命題都是以實驗為前提的，這種實驗有時由問題本身明確規定，有時卻不然，亦即概念和命題的建立都具有很大的隨意性，缺乏足夠的邏輯性、必然性和確定性。

直到20世紀初，柯爾莫果洛夫集前人之大成，運用剛問世不久的測度理論對古典概率進行公理化重建，開創了現代概率論。僅僅一個世紀以來，現代概率論無論在理論或應用方面，或在與其它數學分支的交融匯含方面，其發展的廣度和深度，其所取得的成就，都是古典概率進所望塵莫及的。我們在講授完第一章《概率論的基本概念》之后，向學生講述概率論與數理統計發展的上述歷史，是為了給學生如下啟示：這門科學的基礎是需要大量的重復的實驗和觀察（在其中存在著許多不確定因素），但為了能從實驗數據中總結出正確的結論，并且要以較少的實驗代價獲得對一般規律的了解和掌握，即所謂“由局部推斷整體”，就必須建立系統的嚴密的理論，從理論上進行推演。

也就是說，學習這門課程時，既要重視實際數據，又要重視理論推導，兩者緊密結合不可偏廢。關于這種基本研究方式和學習方式，在以后各章的教學中，仍需經常提醒學生。