高中生數學建模能力培養策略

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摘要：針對一類優化問題，建立了完整的數學模型，并通過整數規劃的耦合求解，得到了這類問題的最優解。通過討論該類問題在目標函數的選取和維度的推廣，進一步提升了探究該類問題的深度和廣度。提出高中生數學建模能力提升需要數學老師與信息技術老師共同參與的觀點，這為能力的培養提供了一種可操作的新思路。

關鍵詞：數學建模；案例研究；整數規劃；能力培養

隨著《普通高中數學課程標準（2017年版）》的頒布，數學核心素養，尤其是數學建模素養的研究進入了新階段。以中國知網為例，筆者嘗試以“數學建?！迸c“核心素養”為關鍵詞進行主題搜索，發現發文量在2019年出現井噴式增長，達到113篇。同時，2020年，發文量也達到了105篇。這對比于2017年（26篇）、2018（22篇）年有了顯著的增長。在這些文章中，既有對針對教師的教材教法研究，也有對學生的認知與學習研究。譬如，黃健[1]等人系統地回顧了20世紀以來中國數學課程標準中數學建模內涵的發展。其工作指出，數學模型一詞自1996年首次提出后得到了長足的發展，逐步從不完備的“四階段循環”發展成較為成熟的“七階段循環模型”。但是自21世紀以來，數學建模的發展也存在著高中階段與義務教育階段的不平衡性和缺乏情感態度描述等問題。鄭葉群[2]在總結了數學建模含義、作用和過程的基礎上，從引導建模設計、建模融入教學、開展建?；顒?、注重學科聯系四方面宏觀地討論了高中數學核心素養滲透于課堂教學的措施。彭乃霞[3]等人以人教版教材中“貨艙進出港時間問題”的三角模型為例，詳細討論了數學建模過程的教學設計并且提出建模教學的關鍵在于科學選取素材的觀點。王志俊[4]等人通過宜居城市評價、標槍尺寸問題和景區游覽路線設計問題等的案例分析，提出了數學建模素材可以從大學生數學建模競賽中獲取的觀點。盧建玲[5]結合核心素養的目標建構和學生數學學習認知特點，詳細地提出了數學核心素養的建構路徑。其工作具體指出強化數學建模教學和培養數學應用能力是擎起核心素養之柱。大多數研究者對數學模型的推導是以自然語言形式表達卻并沒有給出明確的數學表達形式。這與課程標準中“對現實情景中從數學視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題”[6]的描述有著本質區別。本文以一類優化問題為例，具體給出數學模型建構與求解的詳細過程，并對該類問題進行深入探究，旨在將新課標中數學建模的能力培養落地生根。

一、問題的提出及分析

本文研究的問題如下：某水管有兩種型號，分為A型水管和B型水管。每種管的原料管長有4米和6米兩種，其中4米A型水管5000根，6米A型水管9000根，4米B型水管2000根，6米B型水管2000根。根據實際需求，需要截取1.5m的A型水管6500根，1.8m的A管12000根，1.2m的A型水管8000根，1.4m的B型水管6000根，1.7m的B型水管4200根，1m的B型水管2800根。設每種原料水管的價格和長度成正比，請根據上述的實際情況建立數學模型，尋找經濟效果最優的下料方案。眾所周知，數學模型通?？梢苑譃槲⒎址匠棠Ｐ?、優化模型、初等概率模型、圖論模型、評價模型等[7]。區別于其他模型種類，優化模型可以通過“最優”“最佳”等字眼分辨出來，因而該問題就屬于優化模型。同時，優化模型又可以繼續細分為線性規劃、非線性規劃、整數規劃等。線性規劃是高中生最為熟悉的形式，其要求是目標函數與約束條件均是線性形式。二維線性規劃是高中教學的重難點，其可以通過圖解法(梯度下降法)進行求解，具體方法是通過尋找目標函數的幾何意義繼而求得最優解。非線性規劃較于線性規劃，求解的難度更大。但是高中生對于一類具有特殊幾何意義的目標函數是會求解的，譬如，幾何意義為兩點確定的直線的斜率和兩點間的距離等。整數規劃相較于線性規劃與非線性規劃，要求變量取值為整數或更為嚴格的正整數。通常高中教學中，整數規劃是先在忽略整數約束的基礎上，即在不一定滿足整數條件的全局最優解附近尋找最優的整數解。顯然，這樣一個過程看似在算理上正確，然而在算法上卻缺少理論支撐。該問題是針對水管優化下料提出，是一個典型的優化類問題，它涉及到單水管的切割過程和水管間的組合過程。解決方案涉及到上述兩個過程的耦合，這便是該問題的困難所在。如果考慮任一過程，則顯然都是整數規劃，具體表現為單水管的切割問題涉及到一個不等式組的整數求解問題和水管間的組合下料過程?；谔岢鰡栴}的順序性，應先解決單水管的切割問題，再基于求解結果進行水管間的組合下料問題。下面對于該問題給出詳細的推導過程，以便于讀者更好地理解。

二、數學模型的建立與求解

（一）單水管切割模型

單水管切割模型的目標就是對于一個長度的水管按照的要求進行劃分割，所以不難得到分割后的長度應該小于或者等于分割前的長度，需要注意的是兩者之差就是分割廢料。該約束條件如下式所示：            （1）這里的是第種水管的個數，并且有。但是如僅有（1）限制，則可能出現一根水管未充分利用的情況。最為極端的就是，即一根水管未切割就是一種切割方案，這顯然是不合理的。為此，需要增加限制條件來避免類似的情況發生。不難想到，最佳的切割方式是任意一種水管再多切割一段都不行，即結合（1）和（2），得到一個不等式組，需要注意的是該不等式組關注的是非負整數解。通?？梢酝ㄟ^遍歷搜索來求解，即檢驗每一個可能的值。就本題而言，對于的約束條件如下：                   這里的表示取整。該算法是一種經典循環算法，這符合高中生的知識認知水平，也有利于提高其程序設計能力。筆者通過Matlab編程求解，得到米的型水管切割方式如表 1 所示。通過修改參數，可以得到其他情況的切割方式。

（二）水管間組合下料模型

在上文中，我們已經順利地求解出了水管的切割方式。下面就是對于切割方式進行組合，使得各長度的水管總數達到要求。不妨設有種方式，對應的數量為。需要注意的是，這里的為型水管的需求量。同時，注意到對于一種長度的水管總數是有限制的，即所用根數必須小于或等于總數量這樣，基于各種數量限制的水管安排就完成了數學模型的建立。但是分量形式的表達過于繁瑣，這里基于矩陣理論將其進行整合。不妨令為切割方式矩陣，以表1為例這里的表示矩陣的轉置。同樣的，數量、需求也可以用矩陣表示，即下面我們尋找目標函數，正如題中所言：尋找經濟效果最佳的下料方式，“經濟效果最佳”就是本題的目標函數。但是“經濟效果最佳”卻出現了分歧，譬如，可以理解為使用的總米數最少，也可以理解為總浪費最少。這兩種理解方式均具有其合理性，這里采用第一種理解方式，即目標函數為由于本題僅涉及兩種規格的水管，就采用以示區別。結合（5）（8）和（9），我們就得到了完整的優化模型，下面就將關注求解。對于整數規劃而言，最為普遍的方法就是分支定界法。其基本思想是對有約束條件的最優化問題的所有可行解空間進行搜索。該算法在具體執行時，把全部可行的解空間不斷分割為越來越小的子集（稱為分支），并為每個子集內的解的值計算一個下界或上界（稱為限界）。在每次分支后，對凡是界限超出已知可行解值的子集不再做進一步分支。這樣，解的許多子集（即搜索樹上的許多結點）就可以不予考慮，從而縮小了搜索范圍。這一過程一直進行到找出可行解為止，該可行解的值不大于任何子集的界限。這種算法一般可以求得最優解[7]。相較于之前的循環算法，分支定界法對于高中生而言更具有啟發意義。為了解決該類問題，需要介紹LINGO軟件。LINGO是由美國LINDO系統公司(Lindo System Inc.)推出的求解優化模型的軟件，其具有簡單的模型表示、方便的數據輸入和輸出選擇、強大的求解器等優勢。筆者通過LINGO編程求解得了如表2和表3所示的最終結果。

三、討論與總結

在上文中，我們詳細地介紹了數學模型的建立與求解過程。這樣一個解題過程能帶給學生、老師怎樣的收獲是一個值得思考的問題。這種收獲不單單是解題能力解題技巧的提升，更為重要的是解題思想的總結。譬如，如何將一個復雜的問題分解為若干個簡單問題的組合；在該問題的基礎上能否繼續延拓；如何將題目與其他題目甚至其他學科建立聯系等。這也是本節要討論的主要問題。正如上文所述，對于題干中“經濟最優”的理解產生了歧義，這種歧義勢必將對解題產生巨大的影響。但是這兩種理解都具有其合理性，如果單純考慮一個最優而忽略另一個最優，那么對問題的分析和解決就不夠透徹。因此，在實際問題中，往往優化目標通常都是由多個目標組成而不是單目標組成的。多目標優化的概念就應運而生了，同時也伴隨著一個新的問題，多目標優化問題如何處理。處理方式中最為常見的就是歸一化以后進行加權，進而將多目標優化轉化為單目標優化處理。同時需要注意的是，多目標優化往往不再關注全局最優解，通常只需要關注局部最優解。同樣的，維度方向的拓展也是一個值得思考的問題。本題可數學抽象為線段進行處理，這是一維的情況。這里提出一個新的問題，這樣的處理方式能否在平面（二維）和空間（三維）中仍然適用？以二維空間為例，不難將問題抽象為在一個幾何圖形內放置多個幾何圖形的問題。其中，一種特殊情況就是在一個矩形內放置多個矩形。進一步分析，不難得到這樣的約束條件，各矩形的面積之和小于等于大矩形的面積之和。這里就產生了一個新的問題，矩形有著其固定的形狀，即使是面積之和滿足條件，也可能存在平面內無法擺放的問題。矩形在空間中的放置方式也存在這不確定性，這也為這類問題增添了不少難度?？偟膩碚f，一維的情形在二維、三維下的推廣，往往需要添加某些合理的條件繼而結論成立?？紤]到實際問題的復雜性，模型的求解是問題解決的重點和難點。該過程往往需要計算機輔助， 這種輔助不僅僅是簡單的套用現成的算法，更重要的是針對模型設計并實踐一種算法。它將使模型求解簡單化，達到從大量煩瑣的計算中解放出來的目的。為了促進高中數學建模能力的培養，筆者認為該過程需要數學教師與信息技術教師的共同參與。數學教師對高中數學建模能力的培養應在介紹傳統算法的基礎上，而信息技術老師應著重培養學生求解模型的算法設計能力。需要注意的是，應結合學生的認知水平，引導學生把握現實世界中研究對象的結構特征，借助系統思維在橫向或縱向上將問題的整體分解成層次分明的若干個部分，并根據它們之間的制約關系進行耦合。這也說明了數學建模能力的培養不單單是一種數學化思考問題的培養，更是一種自動化處理問題能力的培養。信息技術教師不僅自身具有更強的編程能力，也對于算法設計和程序實現的教學方法、教學過程也更具經驗。同時，基于信息技術課程教學，同學也可以通過實踐加深對算法的理解。這對于學生數學建模能力，尤其是模型求解能力的提升有很大的幫助。因此，信息技術老師的參與也尤為重要。綜上所述，本文基于水管優化切割問題，建立了一類整數優化模型。通過切割方案和水管安排兩個優化模型的耦合，解決了一類經典的一維優化問題。這一過程，既含有高中的方程理論、矩陣理論等相關知識，也涉及到了大學的具體求解方法和數學軟件應用。這對于從算理分析到算法分析的轉變提供了一個很好的案例。通過對目標函數的分析，引出了多目標優化的概念，繼而提出全局最優與局部最優的觀念。此外，通過維度推廣的分析，得到了該工作需要考慮和處理一些新的問題。最為重要的是，本文提出高中數學建模能力培養需要信息技術老師的參與，這對于高中生數學建模能力的培養和拓展提供了一種可操作的新思路。

參考文獻

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[7]姜啟源,等.數學模型(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2011.

作者：金龔逸 陸經緯 朱鵬