高等數學課程教學三維延伸分析

導語：高等數學課程教學三維延伸分析一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：文章提出在高等數學課程教學中應對教材內容、文化內涵和課堂時空方面進行三維延伸，以克服傳統教學的局限，利于學科融合和學生知識提升、人文精神培養及實踐與創新能力的發展。

關鍵詞：高等數學課程；教學；三維延伸

一、概述

高等數學課程是高等院校理工類、經貿管理類和其它相關專業的一門重要的基礎課程，它在后續的專業課程學習中起著至關重要的作用，它為后續課程的學習既提供了必要的理論基礎，也提供了一個重要的工具。因此，各個專業都非常重視高等數學課程的教學。但這種重視大都體現在對高等數學知識的掌握上，定理的證明、公式的運算和解題方法成為很多高等數學教師的教學重點，而對教學材料背后的社會意義、德育涵義卻極少認真思考，或者說只認識到了知識與技能，更少考慮過程與方法，幾乎沒有認識到高等數學中的情感態度與價值觀目標。這與我國義務教育課程標準中提出的“三維目標”有較大距離，所謂的“三維目標”，即知識與技能目標、過程與方法目標、情感態度與價值觀目標，它們構成目前我國義務教育新課程改革的核心理念，也逐漸被基礎教育界所認可及應用實踐，這是因為，該目標不僅關注了學生知識與技能的掌握，又關注了學生學習過程和學習方法的形成，還更深遠、更本質的關注了學生情感、態度與價值觀的發展[1]，這里不多陳述。但“三維目標”的理念在高等數學教學中鮮有提及。本文無意討論“三維目標”，但提出了高等數學教學應進行三維延伸。高等數學課程一般在大學一年級開設，這時的學生剛開始進入大學還未能適應大學數學的特點，仍然沉浸于高中大雜燴式+解題式數學學習中無法自拔，還拘泥于教材內容、圍繞著課堂知識，處于課后完成作業就不知道干什么的狀態，甚至還希望像中學一樣有機械重復的、拘泥于書本的靜態練習，因而作為重要基礎課之一的高等數學教學就顯得尤為重要，但高等數學課程所包含的內容廣而雜，又是后續課程學習的基礎，對大一新生而言，這是非常困難的事情。傳統的高等數學教學模式中，教師作為課堂的主角無論在教學內容的計劃還是在課堂教育活動中，都占據著絕對的主動優勢，而學生則被動地聽講，死記硬背一些定義、定理和公式，使高等數學脫離生活實際，這樣圍著教材轉的教學，也會使學生感到枯燥，無興趣可言，學生領會不到高等數學的真正含義，會扼殺學生思維的火花，個性不能得以張揚。由于課堂教學為主是高等數學教學的主要特點，以考試為主是高等數學的主要評價手段，因此學生會感覺無法通過實際生活發現數學問題，學生的動手能力、實踐能力也會較差，甚至許多學生即使學完高等數學也覺得學數學沒有什么用，這種教學和評價使學生的創新意識和創新精神培養更無法得到充分的重視[2]。因此，在高等數學教學中，進行教材內容、文化內涵和課堂時空的延伸是必要的。本文試圖對高等數學教學中教師如何進行上述三維延伸進行分析，以克服傳統教學的局限，利于學科融合和學生知識提升、人文精神培養及實踐與創新能力的發展。

二、延伸教材內容，以利學科融合、知識提升

高等數學教材內容是教學中最重要的知識和文化信息載體，也是教師教學、學生學習的中介，但目前現行大部分高等數學教材內容以介紹知識為主，教師課堂教學也遵循教材內容以學生掌握知識為目的，把教學重點放在定理的證明、公式的運算和解題方法方面，學生學習則是死記一些定義、公式定理，學習結果也以教材內容的卷面考試成績為主。這種單純的數學知識教學和學習使許多教師和學生誤以為成績好就是學好了高等數學，這其中注重理論、邏輯完美的教材內容在一定程度上起了誤導作用。作者認為，在目前教材不可能進行大幅度修訂的情況下，教師教學過程中除了我們通常的對具體內容進行延伸，如對概念的正反兩個方面、對特例進行補充外，還可以從以下兩個方面進行一定的內容延伸，以利于目前大多數學校應用型人才培養，提高不同學科的融合度，拓寬學生的知識水平。首先，教學內容在滿足基礎知識需求的同時，又要滿足專業上應用的需要，加強與其他學科的融合，為學生進一步的專業學習提供輔助，傳播數學思想。一方面可以刪除較為繁瑣的定理證明和理論推導，可以采用幾何圖示說明或用語言進行描述，還可以嘗試用計算機處理問題或演示，只要能突出數學的思想方法或者突出數學知識在專業上的應用；另一方面要主動的建立高等數學內容和專業課內容之間的聯系，盡力去分析和解決專業課中可能遇到的問題。比如，引入概念時，盡可能選取與專業背景有關的案例，布置習題時，也要盡可能配備一些與本專業有關的問題和習題。特別是應用型大學高等數學的教學要更注重應用性，更多的剖析實際問題的解決過程，重視工程知識背景的介紹及方法應用，要從學生的專業需要出發，針對不同專業的自身特點和研究對象的差異及需求，合理制定不同專業高等數學課的教學內容的深度和廣度。另外，由于科技進步、生產力的發展，教師在講課時要對許多數學公式、方法和理解進行相適應的修正和完善，這樣，不僅可以改進傳統的照本宣科的教學模式，還可以提高學生的學習熱情，這也必須對教學內容向學生的專業合理延伸。例如，對材料類專業，講完定積分內容后，可以結合材料力學簡單介紹分數階微積分及其簡單歷史；對生物專業，講完微分方程以后，可以介紹生物種群動力模型等一系列模型，還可用微分方程模型分析狀病毒感染人數的變化規律等等，從而如何探尋控制手段和方法等；對經管類專業，可以講連續復利問題，依次講年復利、月復利、周復利、日復利、小時復利直到連續復利，講完導數的最值，可以講費用存儲優化、森林救火等有關極值的數學模型等。其次，教學內容應講清數學理論的歷史及方法的來源，喚起學生的數學應用的意識。事實上，大部分數學理論的出現都是為了解決實際問題，講課中，就應當適當還原該理論形成的歷史，從而將學生帶入到實際的問題中，學生通過經歷實際問題的解決過程和數學思考模式就會真切感受到數學的魅力，也才能真正的理解數學方法。托普利茨（O.Toeplitz）提出的發生教學法就是把歷史的發展作為教學指南，從而在教學中根據重構歷史，這種重構既不遵循嚴格的歷史順序，也不過分追求概念的精確性或夸大嚴格的演繹方式，而是深入到數學概念的背景解釋和應用中去，使數學概念對學生真正有意義[3]，進而培養學生會用所學的數學知識去分析問題和解決問題的能力，形成用數學的意識。托普利茲的微積分教材就遵循了微積分歷史發生的順序，將定積分放在微分學前面講，因為歷史上定積分的研究就早于微分學，積分來源于應用，而且積分相對于微分學比較容易理解，該教材在講微積分在運動中的應用時也以物理學中人們對于運動規律的研究歷史為主線。[3]當然，進行教材內容的延伸要講究方法策略，只能適當延伸，要充分考慮學生的接受程度和課時允許范圍內，要以教材為參考重新組織內容，多用一些參考書和資料，對教學內容進行合理布局。這種延伸無疑對教師提出了更高的要求，要求教師有充足的知識和能力儲備，對數學史有充分的理解，對不同學科、不同專業有足夠的了解，能構造足夠多的教學案例，而且這些案例還要符合這些學科、專業的需求，是理論聯系實際的。特別是在教學過程中引入的工程實際問題應該是恰當的，不能牽強附會，還應能對引入的問題結合教學內容進行分析，這實際上是對教學內容進行重構，要架起高等數學和專業的溝通橋梁，同時也需要教師站在一定的高度對數學史進行凝練[4]，這些都對教師提出了較高的要求。

三、延伸文化內涵，以利科學、人文精神培養

由于大家普遍認為高等數學僅僅是其他學科、專業的工具，再加上傳統高等數學教學又以課堂教學為主，因此，許多學生甚至教師認為高等數學與人文精神毫無關系，從而認為高等數學知識無國界，沒有人文價值取向，也不存在意識形態問題，這種認識使得高等數學教學對提高大學生整體素質教育的功能進一步削弱，因此，如何培養學生的科學人文精神成為數學教育德育功能中的一個嶄新課題，近些年來，我們才逐步認識到高等數學教育中培養科學精神和人文精神是十分必要的。挖掘高等數學課程中蘊含的豐富的人文精神和科學精神已有許多探討[5-9]，作者不準備過多討論。本文僅就目前學時壓縮的背景下，高等數學教學如何進行文化內涵延伸，教師在教學中如何自覺的將人文精神和科學精神的培養貫穿于高等數學課堂教學始終，做到數學教學與人文教學相通相融，進行一定的探討。作者認為，在高等數學教學中進行文化內涵延伸，應從講課內容、教師自身和引導學生三個方面入手。高等數學教材作為一門基礎課程教材，為了體系和結構完整，它以數學的學術形態呈現出來，這沒有任何問題。但教師不應只把教材當作唯一的課程資源，而應該從大學生已有經驗、認知水平和情感需求出發，多維度建構文化內容以吸引不同背景學生，更深體悟數學本質與文化，教師可以去重構那些可以滲透數學文化的“教學點”（或者稱為“數學文化點”）[10]，比如可以從數學學科自身的起源點、數學學科自身的膠著點、數學學科自身的發展點、數學學科自身的審美點及與其它學科的共通點、交融點等六個文化點去重構數學文化[11]。當然，這僅僅是從充實教學內容角度來看數學文化的內涵，還可以從更新教學理念以形成正確的數學教育觀、倡導師生互動而開展研究型教學活動及改革評價方式來促進數學文化的滲透等方面進行探討[12]。這些從教學內容及教學形式上延伸教學內容已經非常豐富了。但應當注意當前有很多教師或教科書在隱喻一種個人英雄主義的觀念，把科學發展描繪為科學家個人通過決定性的努力產生的結果，比如，許多教師講課時或教材中經常說“牛頓和萊布尼茨分別獨立的發明了微積分”等等，而這隱去了科學發展史中的人文性，它把開放多元的科學變得單一了[13]，事實上，除了要講上面的內容，還要講豐富多彩的科學，還應該介紹更多關于科學界和科學研究過程，以及科學家們如何就何為可靠的科學知識達成一致意見，這其中包括要融入科學家積極解釋的聲音。此外，應有意識增加教科書中科學資料、科學史等人文方面信息，在當前，這類知識通常不被重視，在教材和考試層面，科學課程仍呈現出學科內容占主導地位、“伴隨含義”被嚴重邊緣化的特點[14]。而且這種現象許多人根本沒有意識到，它體現在許多方面，典型的像一些在中小學幾十年的應用題：這個月產量多少，下個月多產多少，請問增長比例是多少？這種數學應用題背后的意識形態反映的是解放初期物質匾乏的現實基礎，人們會希望在應用題中讓大家感覺生產的東西越來越多，而在當前現實中，已經出現了很多的生產過剩的情況[15]。而這也正是在我們的高等數學教學中如何體現的文化內涵或者是意識形態問題。近些年來，高等數學課中許多教師已經注意加入數學史內容，但大多是點綴式或附加式的，如孤立的數學家圖片或文字材料，與數學有關的歷史故事照片、歷史起源和背景，缺乏對數學史的全面運用，在運用數學史的水平上需要提高，比如，對數學史上的數學問題進行改變或用數學史上重要的思想方法編制適應當今社會情景的課堂教學問題幾乎沒有，特別是如何將數學史或數學文化的內容內化到課堂教學內容中去，而不是外在的或用數學文化來掩飾數學問題，將數學文化深度在高等數學知識中去深入探討。從教師自身方面看，除了對上述對教學內容的文化延伸外，還要豐富自己的人格魅力，給教學內容賦予感情，融進數學教師對人生和教學的體驗、情感、理解、思考、志趣等。教師要通過師生交往過程中語言、活動以及其他各種形式所帶來的“隱性”文化教育功能，從而使大學生在潛移默化的感染和熏陶中認知、認同和內化人文科學精神，達到“潤物細無聲”的境界。教學過程中，教師應該經常保持平和、樂觀、愉悅的心境，給予學生適時、積極的心理暗示，善于運用各種激勵性、鼓勵性的語言或方式，多激勵，少批評，培養學生的自信心。事實上，語言除表達之外，也具有諸多其他功能，它不僅可以表達講話者身份、地位、態度、動機，還可以有他對事物的推斷、判斷與評價等功能，教師應以一種更互動、更適合培養學生積極性和參與性的語言進行教學[16]。比如，盡量不用祈使句，多用疑問句或者表達心理過程的語言，注意語言的平和性，“可以試試看”“估計一下這個值”，縮短師生間的心理距離，產生一種與教師交談的欲望，注意語言的勉勵性，對學生要及時贊賞，注意語言的包容性，采取寬容態度，例如“你的回答，令老師很受啟發”“相信你一定能做對”“不要緊張，從頭再來”等等，還要允許學生說錯，允許質疑，允許保留，靈活性地運用認同、疑問、異議、討論、爭辯等語言形式，以友好合作的態度講課。高等數學的教學通常非常注重推理和分析，再加上有層次和有停頓的板書，這些會使得學生有時間思考且印象深刻。還要充分利用現代技術手段，比如，對有些多維復雜空間圖形講解費力且難以具體化，可以利用動感而漂亮的課件讓學生有直觀的認識和理解。教師條理清楚、一絲不茍的板書，體現了教師嚴謹的治學態度，有利于學生養成良好地學習習慣；制作精良、動感十足的課件，可以反映教師與時俱進的職業精神，有利于與學生拉近距離[17]。對于學生的作業，可以運用比直接打勾打叉批改作業的效果更好的方法，應該對學生的答案進行分步解析，對于解題正確的作業，可以加以肯定后再進一步提示是否有更好的解答，對一些不同的解答可以對分析過程和結果進行批注，對出現錯誤的解答，要告訴學生是錯在哪里，原因在哪里，是知識掌握不好、是粗心還是方法錯誤[17]。在具體教學實施中，高等數學教材內容延伸和文化延伸只是基本文化載體的延伸，教師還要引導學生自主發掘其中的文化因素，使蘊涵的文化得到深化。比如學生完成作業之后，可以引導學生進行自我評價和反思，可以是數學概念的建構、解題規律、思維規律的總結，也可以要求學生對尋找解題的探究過程、運用前提形成假設的過程、交流與合作的過程、推理和計算的過程、使用技巧和手段的過程進行反思和自我評價，幫助學生形成積極地情感和態度。

四、延伸課堂時空，以利實踐與創新發展

課堂時空的延伸是多方位的，除包括傳統的課外預習、作業、輔導和課外活動外等，還應包括社會實踐、上機、解決一個實際問題等，以利于培養學生實踐和創新意識。由于高等數學一般是一年級開設的課程，目前，大部分學生的預習或老師的輔導基本局限于對高等數學教材或課堂所講內容，教材中的課后作業基本上是套用定義、定理和公式解決問題，現有教材中所謂的應用題實際也是套固定的方法解題，課外活動也幾乎和數學無關，這對培養學生的數學應用意識與創新能力非常不利。為此，教師可以提出讓學生查找下次教材所講內容有關的材料并預習，特別是可以要求學生提前看該部分要講的內容及其在所學專業應用的內容，當然這不能全部依靠高等數學教師，還需要熟悉數學在各個專業學科中的實際應用情況的教師進行配合，例如，講梯度概念前，可以讓學生查找等高線、等值面等資料；講曲線積分和曲面積分前，可讓學生先了解水汽通量、風通量、電通量、熱通量、電磁波通量等的含義。課后的作業、輔導及課外活動則更應多種多樣，不拘一格。在一部分內容講完后，在課堂教學的基礎上，針對有些教材內容比較簡單，不少內容未能說清楚道明白，有些內容潛在著一定的理論難題或牽涉到其他問題，教師除可以對教學內容做一些補充外，還可以給學生提供適當的參考文獻，鼓勵學生閱讀討論，也可以對作業的條件、結論或題型適當延伸，提出更高層次的問題，甚至可以給出一個猜測或錯誤的結論，留給學生課后深入研討，鼓勵學生撰寫延伸性或總結性的小論文。這樣可以有效地引導學生向課外延伸，使學生的知識面得到擴展，進一步激發學生的自學能力，以達到理想的教學效果。更進一步，還可以補充一些與教學內容相匹配的數學建模素材作為課后練習題，比如選取一些與其它學科相聯系或從實際生活中采集來的開放性應用題，采用全國大學生數學建模競賽的形式讓學生獨立或分組去解決問題，可以利用解析方法或者編程計算共同完成問題，然后，把用到的數學方法與手段、體會與見解寫出來，與同學們分享讓學生獨立或組成小組利用解析方法或計算機數值計算共同完成，寫出解決問題所用到的數學方法與手段，體會與見解[18]。還可以舉辦積極組織各種各樣的科研活動或數學學科競賽，教師應鼓勵學生參與到教師的科研項目，做一些力所能及的工作，或者針對有一定應用背景的虛擬問題，甚至就是社會上的實際工程任務，讓學生建立數學模型、提出解決方法、寫出分析報告及改進報告，并提交有一定新意的研究論文，讓學生通過實際來體驗數學，感受到數學的應用，從而培養學生的好奇心、探索精神，培養學生探究與解決問題的能力[18]。隨著教學方法改革的不斷深入，課堂時空的延伸還可以向計算機房、向網絡空間延伸。事實上，目前，計算機輔助教學、慕課、翻轉課堂等已成為數學教學改革的重要組成部分，許多學校也都設立了數學實驗課程、開發慕課、線上線下課程等，這都是傳統課堂的延伸。但高等數學日常教學中，這種延伸要恰當地引入，特別是可以利用教學軟件輔助教學難點的理解，這些有利于加強工程數學的實踐環節，比如，讓學生課后運用數學軟件比較數列的收斂速度、計算速度、計算面積等等，以便教學在應用型人才培養中取得更理想的效果[19]。此外，教師要提倡學生通過網絡資源學習高等數學，網絡教學資源的多樣性、多元化、以及其不同側面、不同形式和不同內容的教學，為高等數學教學的開展提供了豐富的內容，學生不僅可以通過網絡學習知識，還可以一定程度上學習掌握網絡技術，但教師也應注意防止學生網絡學習造成知識的碎片化。

五、結束語

傳統的教學延伸僅僅停留在問題難度的階梯式遞進，這已經不符合當前的社會現實要求，真正的延伸應當跳出這一思維，克服傳統課堂教育的局限性不僅要求教師在教材、文化及課堂方面進行延伸，而且需要學校文化等方面予以配合。進行高等數學教學延伸要比傳統的教學難度要大，需要教師“博學多才”，教師要具備豐厚的各種知識和科學的研究方法，還需要教師耗費更多的時間和精力，有更高的駕馭知識和課堂的能力。延伸也是多種多樣的，教學中應把多種延伸作為教學策略的出發點，應不斷挖掘更新穎、更有效的延伸策略。但也應注意切莫把延伸弄成空洞的新花樣，否則會適得其反。

作者:張宏偉 李棟浩 呼青英 單位:河南工業大學理學院數學系