高一新教材數學文化滲透特點

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摘要：數學教材是數學課程實施的重要載體。研究新版教材關于數學文化滲透的特點，分析其對培養學生的數學思維、提高學生的數學學科核心素養以及解決問題能力等方面的作用和影響，并針對滲透特點提出了教師使用新教材進行教學的建議。

關鍵詞：新版高中數學教材；數學文化；數學思維

《普通高中數學課程標準》（2017年版）指出：數學是人類文化的重要組成部分，數學是人類社會進步的產物，也是推動社會發展的動力，并明確說明數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點以及它們的形成和發展，還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動[1]。最新人教版A版（2019版）普通高中數學教材必修第一冊（下文簡稱新教材）除了教學內容進行了調整和整合外，在數學文化的滲透內容及特點方面也進行了完善與優化，但在課堂設計與教學實施中數學文化的滲透常常被忽略。鑒于此，亟待挖掘新教材在數學文化滲透方面的特點，探索如何更好地發揮數學的文化價值，培養學生良好的數學思維。

一、高一新教材中數學文化的滲透特點

雖然新教材對“數學文化”沒有設置專門的模塊，但將數學文化融入到了教材內容的各個環節，例如章首語、背景性材料、問題設計、例題、習題、章末小結等；閱讀與思考、信息技術應用、文獻閱讀與數學寫作、探索與發現等模塊設計中也很好地滲透了數學文化。對比新舊教材數學文化方面的內容及特點，發現新教材中數學文化更突出了以下幾方面的滲透特點。1.注重數學思想方法的滲透使學生感悟數學的基本思想是重要的課程目標。數學思想是對數學知識的本質認識，是建立數學體系和運用數學解決問題的指導思想。新教材著重強調了類比思想、數形結合思想和建模思想等。（1）類比思想類比是最基本的思想方法之一，是數學發現的重要源泉。新教材基于學生的認知特點，運用類比思想將已有知識遷移到新問題研究中，進而構建數學知識體系，增強對新知識的理解與掌握。類比實數之間的相等關系、大小關系研究了集合之間的相等關系、包含關系；類比實數的基本運算，研究了集合間的基本運算并、交、補；類比等式的內容和研究方法獲得不等式的內容和研究方法；類比用一次函數的觀點看一元一次方程、一元一次不等式，研究了以一元二次函數為紐帶，把一元二次方程與不等式聯系起來；類比研究指數函數、對數函數的方法，進一步學習如何繪制三角函數圖象，并通過觀察圖象特征獲得函數性質等等。新教材利用圓的對稱性研究三角函數對稱性，分析了角α與π+α的三角函數值之間的關系得到公式二；相應位置明確指出“請你類比公式二，證明公式三和四”；而舊教材則是簡單陳述為“請同學們自己完成公式三、四的推導”。運用類比思想不僅可以啟發引導學生自主探究，增強學生自信心，而且有助于學生把握合情推理的思考路徑和方法。（2）數形結合思想由數到形、以形助數的數形結合思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于學生把握問題的本質。新教材第一章主要運用Venn圖表示集合及集合基本運算；運用數軸直觀表示并集。第二章運用數軸探究不等式的幾何解釋及性質3證明；運用幾何圖形、三角形相似探究基本不等式的幾何解釋；運用一元二次函數圖象與x軸的相關位置確定二次不等式的解集。第三、四、五章通過給出的空氣質量指數變化圖形象化理解函數的概念；運用圖象的上升下降趨勢研究函數的單調性、最值，運用圖象的對稱特點研究函數的奇偶性、周期性等；運用數學軟件GeoGebra繪制函數圖象，探究二次函數解析式系數與對應圖象間的聯系；運用圖象理解函數的零點，方程的實數解；運用單位圓上點的坐標定義三角函數概念；運用勾股定理證明了同角三角函數等式；運用單位圓上點的對稱性理解公式二-六；運用圖象探究不同的冪函數通過加、減、乘、除等運算構成新函數的性質及與原來兩個函數性質間的聯系等等。由此可見數形結合思想貫穿于新教材的各個章節。一方面以形助數，另一方面以數助形，即新教材更為注重代數問題幾何化、幾何問題代數化的思維引導。（3）數學建模思想在學科核心素養與課程目標中指出：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題的素養。新教材注重數學建模思想，多次從實際問題中建立模型，在物理情境中發現問題，有意識地讓學生用數學語言表達現實世界[2]。當然教材在建立模型時，考慮學生知識建構及能力水平，將一些變量因素設為理想狀態。函數本身是刻畫變量之間對應關系的數學模型。“函數的應用（一）”初步了解建立函數模型解決實際問題的過程，例1是關于應繳納綜合所得個稅的問題，例2是關于汽車在行駛中汽車里程表數與時間的關系問題。“函數的應用（二）”中例3借用馬爾薩斯人口增長模型建立具體人口增長模型；例4為考古學家通過對古城建筑材料中草莖遺存的碳14的殘留量，建立指數衰減模型，計算推斷大壩年代；例5通過建立三種投資方案對應的模型，比較增長情況進而做出選擇。這些具體問題的解決過程能夠使讀者深入理解用函數構建數學模型的基本過程，學習運用模型思想發現和提出問題、分析和解決問題的方法。新教材專門設立了“數學建?！⒑瘮的Ｐ徒鉀Q實際問題”部分，通過具體實例概括了數學建?；顒拥牧鶄€過程、四項要求，并給出研究報告的參考形式（表格形式）。建立模型過程非常完善，使學生在對數學建模深入了解的基礎上，積極參與其中，真正體驗數學理論與現實的完美結合。為引入重難點知識的學習，新教材增加了我國古明的筒車灌溉農田的實例，介紹了筒車是一種以水流作動力，取水灌田的工具，并呈現了兩幅圖，一幅是使用筒車灌溉圖，另一幅是科學家徐光啟用圖畫描繪的工作原理。首先，提出問題“能否用一個合適的函數模型刻畫盛水筒距離水面的相對高度與時間的關系”；其次，由于盛水筒運動具有周期性，啟發引導學生運用三角函數模型刻畫運動規律；最后，具體地分析量與量的相互關系，進而建立了盛水筒運動的數學模型。通過問題情境創設，激發了學生的求知欲，學生會積極主動地去查詢資料，了解筒車的歷史沿革及工作原理。在解決問題的整個過程都會帶著那份熱愛、那份執著。2.注重數學與社會發展的關系新課標強調：“學生用數學的眼光從生活中捕捉數學問題，主動地運用數學知識分析生活現象，自主地解決生活中的實際問題?！毙陆滩脑谥R的導入、講解及鞏固各環節都注重了數學的應用。特別在習題拓廣探索中增加一些應用型的題目，真正實現了在應用中發展思維，將思維應用于生活。（1）注重了數學在現實生活中的應用新教材中的生活實例有“酸奶的質量檢查”“汽車剎車距離與車速的關系”“公共汽車票價規定”“煙花最佳爆裂時刻及高度”“生活用水階梯水價”等等。在函數導入部分的四個案例中，三個是新增加的，分別是“復興號”高速列車行程路程與時間關系，電氣維修公司工人工資和工作天數的關系，根據北京市空氣質量指數變化圖分析AQI的值與時刻的關系，可以說數學與日常生活息息相關。新教材第238頁新增了例2，摩天輪是一種大型轉輪狀游樂設施（配圖），題面所給出的參數及參數值完全是符合實際的，比如設置48個座艙，最高點離地面高度120米等。這樣的教材編寫顯然能夠充分調動學生學習的激情，既能考查學生對知識的掌握程度，更能培養其發現問題、分析問題、解決問題的能力。學生在學習教材內容的過程中能真正體驗到數學就在我們的身邊，很好地激發學生愛數學、學數學、用數學的情感，培養學生認真觀察并自覺地把數學知識應用于實際生活的能動性。（2）注重了數學在其他學科中的應用在信息技術高度發達的今天，數學方法和科學技術形影不離。教材中涉及物理學、力學方面的案例比較多，比如研究了玻意耳定律的單調性；在固定壓力查下，氣體通過圓形管道時流量速率與半徑的四次方成正比；彈簧伸長長度隨拉力變化情況及簡諧振動等等。當學習指數函數時，衰減模型大多選用生物學中根據C14含量判斷死亡年限的事例；而增長模型則選用我國到某地景區游客人數逐年變化方式為背景等。與此同時教材案例還涉及到了氣象學、地理、化學、經濟、金融等方面，充分體現了數學的科學價值。3.注重數學語言的呈現數學語言作為數學知識和思維的載體，可分為文字語言、符號語言與圖形圖表語言。一方面，新教材更加注重了語言的準確性、科學性、簡約性、明晰性。如引入任意角時，新教材例題采用“前空翻轉體540度”“后空翻轉體720度”這樣的描述；而舊教材則表述為“轉體720（即轉體2周）”“轉體1080（即轉體3周）”，可見新教材注重了語言的專業性和規范性。新教材將“為第一象限角滿足條件，反之也成立”，修訂為“充要條件”。另一方面，新教材函數圖象語言更為形象化、直觀化。線條的色彩、虛實、粗細都進行了精心修訂。新教材避免了運用正弦線、余弦線、正切線繪制三角函數圖象這個難點，而采用容易理解掌握的描點法，把軸上從這一段分成12等份，找自變量對應的12個點，借助信息技術可使自變量在區間上取到足夠多的值而畫出足夠多的點，將這些點用光滑的曲線連接起來，可得到精確的函數圖象?？傊陆滩闹腥N語言間巧妙的互譯，給讀者一種柳暗花明又一村的感覺。通過閱讀、掌握、理解、運用數學語言，能夠提高學生思維的邏輯性、靈活性，從而提升學生數學綜合素養。

二、高一數學新教材的教學建議

1.挖掘教材中的思想方法數學思想方法貫穿于數學整個知識體系。“授人以魚，更要受人以漁”。一方面，用好“章首語”和“章小結”。章首語在聯系已有的知識問題基礎上，提出本章相關的所要解決的問題，即學習本章核心內容，強調學習這部分內容的必要性和重要性，從中概括性地滲透一些數學的觀點、思想及方法。章小結中的“回顧與思考”，詳實地敘述了本章依次涉及的重點內容，并將研究過程、研究方法再次強調說明，注重知識間的聯系、知識形成的過程及思維的引導。另一方面，用好“例題”與“習題”?？梢詮碾y易程度歸類因材施教，也可以根據使用的數學方法進行歸類，突破思維定勢，更好地進行教學。2.開發教材中的應用實例新課標明確指出通過數學課程的學習，認識數學的應用價值。教材中對知識點的應用與鞏固練習比較多，要做到精講精練。有些應用實例可以直接采用，有些可以間接使用。將教材實例轉化為數學實驗，然后讓學生實施操作，操作中得到豐富的情感體驗和認識體驗，增強自信心，變被動接受知識為主動探究知識，即將教材中的實例用“活”。新教材是面向全國使用的，教師可以將實例與地域文化經濟等相聯系，讓學生真正地感知數學來源于生活又服務于生活。3.運用教材中的數學語言學好數學學科的前提是理解和掌握數學語言。只有認識和讀懂數學語言，才能更好地理解題意，更好地解決問題。函數是高一教材核心內容，函數的性質研究離不開圖象的性質，學習函數不僅要具有很好的讀圖能力，而且要具有很好的互譯能力。即將數學文字語言和符號語言轉化為圖形圖表語言，反過來也需將圖形圖表語言轉化為文字語言和符號語言。教師在向學生傳授數學知識的同時，要幫助學生了解數學的發展，體會數學的價值，領悟數學的應用。新的課程理念要求教師“用教材教，而不是教教材”。為使學生受到良好的數學教育，教師要學會創造性地運用教材，巧妙地滲透數學文化，不斷提升學生的數學素養。

參考文獻

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[2]董榮森，章建鋒.以“三動”引領教學，發展學生數學建模素養———以“三角函數的應用”課堂教學為例[J].中國數學教育：高中版，2020（05），51-54.

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[5]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心，普通高中課程標準實驗教科書（A版），必修，數學④[M].第2版.北京：人民教育出版社，2007：1-69，123-145.

作者：周芳 楊慧 米芳 單位：太原師范學院數學系