馬克思擴大再生產理論論文

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【摘要】本文嘗試用數學方法來描述馬克思擴大再生產規律。從擴大再生產理論的一些假定出發，研究發現預付資本的增長率與利潤率、積累率成正比，兩大部類擴大再生產應滿足增長速度相等的條件。考慮到利潤率趨于下降的規律，建立資本增長存在著上限的logistic模型。最后證明了資本周轉與利潤率的關系。

【關鍵詞】擴大再生產資本增長兩大部類

馬克思在《資本論》第一卷第七篇以及第二卷第三篇等篇章中，對剩余價值轉化為資本進行擴大再生產進行了分析；在第三卷中對利潤率趨于下降的規律作出了分析。在此基礎上，本文試圖建立一個分析預付資本的增長方式的模型。

一、數學表述

馬克思在《資本論》中談到：“要積累，就必須要有一部分剩余產品轉化為資本?！奔僭O初始的情況是資本家先投入預付資本K，轉化為不變資本C和可變資本V，并得到剩余價值M。

設θ為資本家將一部分剩余價值M轉化為追加預付資本ΔK的積累率（剩余價值分為資本和收入的比例），即：

△K=θM（1）

又設資本價值構成為λ=C/V，剩余價值率為m’，則：

K=C+V=（1+λ）V（2）

二、靜態分析

假設積累率?茲、資本構成比率λ和剩余價值率m’是不變的，因而利潤率r也不變。則由（6）式，預付資本的增長率是不變的。

在離散變量的情況下，上述差分方程可以寫成：

Kn=（1+?茲r）Kn-1

它是一個等比數列，從而：Kn=K0（1+θr）n（7）

此處，n表示年份，取值為正整數。

則預付資本將以指數函數的形式增長：

K（t）=K0eθrt（8）

由以上公式，可以得到可變資本V、不變資本C及商品價值W的表達式：

Vn=V0（1+?茲r）n

Cn=C0（1+?茲r）n

Wn=W0（1+?茲r）n

或者

V（t）=V0eθrt

C（t）=C0eθrt

W（t）=W0eθrt

因此，預付資本K、可變資本V、不變資本C和產出W的增長率都等于?茲r。

《資本論》關于擴大再生產分析給出了一個例子，其中第一部類有：

Ⅰ4000C+1000V+1000M=6000

有機構成λ1=4，m’=100%，θ1=50%，可得r1=1/5，增長率為0.1。

三、兩大部類的積累和交換

在分析擴大再生產時，馬克思提出了再生產的平衡條件和平衡公式：

I（V+M）=IIC+IΔC+IIΔC（9）

設第二部類的不變資本C2有如下函數：

C2=C02（1+θ2r2）n或C（t）=C02eθ2r2t（10）

根據（6）式和連續變量假設，條件（9）可改寫為：

（1+m1’-θ1r1λ1）V01eθ1r1t=C2+ΔC2（11）

因此，兩個部類的資本增長速度應該是相等的，即：

θ1r1=θ2r2（12）

并且兩個部類的不變資本C、可變資本V和商品價值W等將保持固定比例：

四、動態分析

由（6）式可知，影響資本增長速度的因素主要是積累率和利潤率，而利潤率又是由剩余價值率和資本構成決定的。在靜態分析中，假設資本構成是不變的，從而資本的增長率固定。在動態分析中，資本構成是變化的，因而利潤率以及資本增長率也是變化的。

“一旦資本主義制度的一般基礎奠定下來，在積累過程中就一定會出現一個時刻，那時社會勞動生產率的發展成為積累的最強有力的杠桿”?！吧鐣趧由a率的水平就表現在一個工人在一定時間內，以同樣的勞動力強度使之轉化為產品的生產資料的相對量。工人用來進行勞動的生產資料的量，隨著工人的勞動生產率的增長而增長”，即資本技術構成的增加。

從上述分析中可知，隨著資本增長和資本構成增加，根據第（5）式，利潤率將下降。

為此，假設利潤率與資本的數量負相關，用一階線性方程表示如下：

r=α-βK（13）

式中，α和β為常數，K為預付資本數量。

連續變量的情況下，根據第（6）式，并帶入第（13）式，可得資本增長率的方程：

五、周轉與利潤率

連續變量的情況下，預付資本將以指數函數的形式增長，如（8）式所示。其中，r為年利潤率，t為資本積累（或周轉）年數（t=0，1，2，…）。如果一年周轉一次的話（t=1），則一年之后預付資本為：K1=K0eθr。

如果預付資本在一年之中周轉n次（t=n），其利潤率為r’，則一年之后：K1=K0eθr’n。

因此，年利潤率r應為利潤率r’的n倍，即：r=nr’。

六、結論

本文用數學方法來分析馬克思再生產理論，并建立了一個模型，該模型表明預付資本的增長率取決于積累率與利潤率之積。

在靜態條件下求解模型，得到資本增長的方式，并指出兩大部類在擴大再生產過程中必須保持相同的增長率。因此利潤率高的部類其積累率應低，而利潤率低的部類其積累率應高。

考慮到利潤率隨資本數量增加而趨于下降的規律，通過負的線性方程的簡化假設，得出資本增長的Logistic模型。該模型表明，從長遠來看，資本增長存在著某種極限。

最后，本文對資本周轉與利潤率的關系做了數學論證，一年周轉n次的資本，其年利潤率應為利潤率的n倍。

（注：本文入選2007首屆中國政治經濟學年會教師征文。）

【參考文獻】

[1]馬克思：資本論[M].北京：人民出版社，1976.

[2]胡代光、魏塤、宋承先等：評當代西方學者對馬克思《資本論》的研究[M].北京：中國經濟出版社，1990.

[3]洪遠朋：《資本論》教程簡編[M].上海：復旦大學出版社，2002.