投資組合貝葉斯分析法運用

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1952年馬克威茲發表了一篇題為《投資組合選擇》的論文，成為現資組合理論的開山之作。該理論框架主要思想是將方差用于量化風險，并以此為基礎建立風險—收益分析框架。根據問題的特殊性，我們試圖找到一種解決途徑——貝葉斯分析方法。在該方法下，收益率的均值和方差等參數設置為隨機變量而非某個固定取值。投資者在做出投資決策時所使用的收益率的預測分布，也相應地做出調整。因此，均值—方差模型的高敏感性，可以通過貝葉斯分析方法解決。在貝葉斯方法下，收益率的預測分布只依賴于歷史樣本數據，這使得模型的穩健性得到提高。

一、傳統均值—方差模型及其局限性

(一)馬克威茲模型理論假設

首先，投資者依據某一持倉時間內的證券收益的概率分布考慮投資選擇；其次，投資者根據證券的期望收益率估計組合的收益風險；再次，投資決定僅依據證券的風險和收益；最后，投資者是理性經濟人，追逐利益最大風險最小化。根據以上假設，馬克威茲確立了證券組合預期收益、風險的計算方法和有效邊界理論，建立了資產優化配置的均值—方差模型。

(二)目標函數分析

其中為組合收益，為第只股票的收益，為證券的投資比例，為組合總風險，為兩個證券之間的協方差。上式表明，在限制條件下求解證券收益率使組合風險最小，可通過Lagrange目標函數求得。其經濟意義是：投資者預先給定期望收益，通過上式確定總風險最小情況下，每個項目的投資比例。不同期望收益對應不同最小方差組合，最終構成最小方差集合。

(三)結論

通過上面模型，我們可以清楚地找出組合資產風險的影響因素。更重要的是，馬克威茲得出了“資產的期望收益由其自身風險的大小來決定”這一結論。在馬克威茲創建的“均值—方差”或“均值—標準差”二維投資機會集的有效邊界上將該結論闡述得很清楚，圖形如下：圖1均值—標準差二維投資機會集的有效邊界上面的有效邊界圖形揭示出：單個資產或組合資產的期望收益率由風險測度指標標準差來決定：收益率與風險成正比；風險對收益的決定是非線性(二次)的雙曲線(或拋物線)形式，這一結論是基于投資者為風險規避型這一假定而得出的。具體的風險定價模型為：且為常量；表示個證券收益率的均值(期望)列向量，為資產組合的協方差矩陣，1表示分量為1的維列向量，上標表示向量(矩陣)轉置。

(四)理論局限

馬克威茲組合理論是一個投資主體多元化的理論，也是一個能夠分析如何有效地分散投資的分析框架。但在實際使用中，馬克威茲模型有一定的局限性和困難：

1.馬克威茲模型所需要的基本輸入包括證券的期望收益率、方差和兩兩證券之間的協方差；2.數據誤差帶來的解的不可靠性。3.解的不穩定性。

二、貝葉斯分析方法簡介及其運用

(一)貝葉斯分析方法簡介

貝葉斯分析方法是基于貝葉斯定理而發展起來用于系統地闡述和解決統計問題的方法。貝葉斯分析的基本方法是將關于未知參數的先驗信息與樣本信息綜合，再根據貝葉斯定理，得出后驗信息，然后根據后驗信息去推斷未知參數。由Bayesian公式得：對兩個隨機變量,條件概率密度:故，在主觀概率論中其中：是的先驗概率密度函數。是出現時，的條件概率密度,又稱似然函數。是的邊緣密度，或稱預測密度。是觀察值為的后驗概率密度。

(二)編程改進

針對馬克威茲模型的局限性，我們利用R軟件進行編程，讓計算機代替人工手算。這可以大大減少工作量，且能降低錯誤率。

1.極大似然估計程序圖2極大似然估計算法程序展示

2.改進后的貝葉斯方法程序圖4貝葉斯算法程序展示在極大似然估計下所得出的結果要承擔估計風險所引起的解的不可靠及不確定性。估計風險來源于投資者在不知道確切的參數值時，為做出投資決策對非確切參數進行了估計，而估計誤差將會對投資組合帶來估計風險。而在貝葉斯方法下，參數的取值并不是某一固定值，而是被看作隨機變量。收益率的預測分布只依賴于歷史樣本數據，大大降低了進行參數估計所帶來的估計誤差及風險。當投資者關于風險和收益具有先驗分布時，在觀察到歷史股票收益率之后，可以通過貝葉斯公式得到風險和收益的后驗分布，然后計算出下一時刻股票收益率的權重。

三、數據統計及優勢分析

(一)數據統計

為證明將貝葉斯分析方法與馬克威茲模型相結合后，所得結果將改善傳統模型解的不穩定性，我們將用同一組數據分別用傳統算法程序、貝葉斯算法程序運行。

1.極大似然法程序分析結果圖5極大似然估計算法結果展示

2.貝葉斯方法程序分析結果圖6貝葉斯算法結果展示

(二)優勢分析

1.計算機編程很好地解決了基本輸入量過大問題無論普通算法程序還是貝葉斯算法程序，都為我們節省了大量的運算時間，并提高了計算結果的準確性。兩個程序適合大量數據的運算。例如將上證十支股票2007-2010四年約10000個數據的收益率導入傳統均值—方差模型程序，運行時間為10小時，平均一分鐘運行循環語句三次。如果采用人工計算這10000個數據，再對所得的20000個結果進行加工，時間成本難以計算，且容易產生計算錯誤。由此可見，計算機程序確實有效地解決了基本輸入量過大的問題。

2.貝葉斯方法很好地改進了解的不可靠性馬克威茲模型解的不可靠性來源于投資者將未知的證券期望收益率、標準差及期望相關系數利用最大似然估計進行統計估計后作為已知數據代入模型，卻忽略由此所產生的估計誤差風險。而貝葉斯方法并不依賴于以上數據，僅與歷史數據相關，且歷史數據恒定，故降低了估計誤差風險，使得模型的解的可靠性得以提高。

3.貝葉斯方法有效地解決了解的不穩定性在圖5、圖6兩組數據中，第1行數據表示10支股票的權重，其他行表示運用滑動平均計算所得結果。比較圖5與圖6的數據，我們不難發現，圖6的數據變化幅度小，基本處于恒定狀態，而圖5的數據經常有跳躍性變化。例如用V9的第一行與第二行數據進行對比，圖6中，二者之差為0.3，圖5中，二者之差僅為0.05。這樣，我們可以得到結論：傳統均值—方差模型在實際應用中對于資產收益率的期望和方差取值十分敏感，并且直接使用參數的估計值作為真實取值會產生估計風險，使得投資決策處于非最優狀態。我們提出的基于貝葉斯分析方法的均值—方差投資組合選擇方式，在進行投資決策時使用資產收益率的預測分布取代參數固定取值的概率分布，從而構建了可以綜合考慮參數不確定性和估計風險的分析框架。

我國股票市場的投資者(包括機構投資者)在投資決策中主要應用技術分析面和基本面進行分析，而這兩種分析方法都是注重單只證券，基本上忽略了證券收益的相關性。通過以上分析論述，貝葉斯方法有效地改善了馬克威茲模型的解的不可靠性及解的穩定性，借助計算機軟件，我們找到了克服歷史樣本數據輸入量過大的解決方法。改進了以上三點馬克威茲模型的缺陷，使得該模型能夠順利地應用于金融領域，切實有效地為投資者處理金融投資問題。