卷積運算的數字信號論文

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1線性卷積的計算方法

1．1圖解法圖解法主要是在坐標系上，嚴格按照計算（1）式的四個步驟：翻轉、移位、相乘和求和，得到線性卷積結果。采用圖解法比較直觀講解線性卷積的計算過程，在數字信號處理教材中常采用圖解法為例講解線性卷積的計算［1，2］。

1．2多項式法多項式法是根據序列x（n）和h（n）構造多項式，序列x（n）和h（n）的元素作為多項式的系數，例如：根據序列x（n）＝｛1，3，2｝構造多項式x2＋3x＋2，根據序列h（n）＝｛10，20｝構造多項式10x＋20，把兩個多項式相乘（x2＋3x＋2）＊（10x＋20）＝10x3＋50x2＋80x＋40，相乘所得的多項式的系數構成的序列｛10，50，80，40｝即為線性卷積的結果。

1．3豎式法豎式法是把序列x（n）和h（n）按照最后一位對齊，進行豎式乘法運算［4］，但各個元素相乘后不進位，例如序列x（n）＝｛1，3，2｝和h（n）＝｛10，20｝按照豎式法計算線性卷積如圖1所示，則線性卷積結果為｛10，50，80，40｝。

1．4FFT快速算法當循環卷積的長度L大于或等于線性卷積的長度N＋M－1時，循環卷積的結果和線性卷積的結果相等，所以只要FFT快速算法的計算點數大于線性卷積的長度，就可以采用FFT快速算法計算出線性卷積，在MATLAB軟件中提供了FFT快速算法的函數，通過調用fft函數和ifft函數完成線性卷積計算［5］。上述計算線性卷積的方法中，圖解法適于講解線性卷積的運算規律，多項式法和豎式法適合于快速計算出線性卷積的結果，FFT快速算法適合采用MATLAB軟件編程實現。

2循環卷積的計算方法

2．1圖解法圖解法主要是在坐標系上，嚴格按照計算（4）式的六個步驟：補零、周期延拓、翻轉、移位、相乘和求和，得到循環卷積結果［6］，采用圖解法比較直觀理解循環卷積的計算過程。

2．2矩陣相乘法由于循環卷積在對序列x（m）經過補零、周期延拓、翻轉得到的序列x［（（－m））L］＝x（L－m）為循環倒相序列，循環右移序列x［（（n－m））L］為對循環倒相序列進行循環右移n位后得到的循環移位序列，然后把得到的循環移位序列與h（m）相乘并求和得到yc（n），由于相乘求和運算可由矩陣相乘代替，即由循環移位序列構成L點循環卷積矩陣，與由h（m）構成的L維列向量相乘，得到yc（n）。采用矩陣相乘法計算循環卷積簡單明了，在數字信號處理教材中大多采用此方法為例講解循環卷積的計算［1］。

2．3線性卷積法由于循環卷積和線性卷積滿足的關系如（5）式所示［1］。當循環卷積的長度L大于或等于線性卷積的長度N＋M－1時，線性卷積yl（n）做周期延拓無重疊，此時循環卷積和線性卷積相等，此時線性卷積的結果為循環卷積的前N＋M－1項，循環卷積的后L－N－M＋1項為零。當循環卷積的長度L小于線性卷積的長度N＋M－1時，線性卷積yl（n）做周期延拓有重疊，循環卷積的結果有兩部分組成，一部分是線性卷積不重疊的部分，n的取值區間為N＋M－1－L≤n≤L－1，此時循環卷積和線性卷積相等；另一部分為重疊部分，n的取值區間為0≤n≤N＋M－L－2，重疊部分的循環卷積計算如（6）式所示。上述計算循環卷積的方法中，圖形法適于講解循環卷積的運算規律，矩陣相乘法和線性卷積法適合于快速計算出循環卷積的結果。

3結論

本文旨在幫助學生正確理解和掌握卷積運算的規律。根據線性卷積的計算公式推導出了循環卷積的計算公式；討論了線性卷積的計算方法：圖解法、多項式相乘法、豎式法和FFT快速算法，循環卷積的計算方法：圖解法、矩陣相乘法和線性卷積法。在教學中采用本文方法講解卷積運算，既能很快掌握線性卷積和循環卷積的關系，又能很快計算出卷積的結果，解決了卷積運算教學過程中難于計算的問題，提高了卷積運算的教學效果。

作者：姜恩華陳得寶竇德召單位：淮北師范大學