勾股定理證明范文

導語：如何才能寫好一篇勾股定理證明，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關鍵詞：勾股定理；定理證明；推廣應用

1引言

自我國改革開放以來，國內政治、經濟、社會、文化等諸多環境得以完善，從而吸引了大量外國企業、居民進入國內，給中國當代文化氛圍、科學技術發展帶來了較為深刻的影響。中外文化的交流，在一定程度上給整個世界學術界、實務界的發展提供更加鮮活的血液與動力。（刪除）勾股定理作為世界范圍內數學界最為偉大的發明之一，其是一個十分偉大的數學定理。迄今為止，勾股定理已經被利用多種方法給予證明，并在較多領域中得以推廣。作為一個具有歷史厚重感的數學定理，在當前中學教課書中也是僅僅列舉了一種證明方法，而對其他方法的證明及其推廣應用的介紹十分之少。為此，作者將在本文中針對勾股定理的證明方法進行研究，作者謹此希望能夠利用本文的研究豐富當代中學生的視野，使他們能夠利用對定理背后歷史的探究，更好的掌握數學應用方法，為步入大學校園繼續深造奠定堅實的基礎，為社會主義現代化建設需求人才素質的提升做出自身貢獻（刪除）。

2勾股定理的證明方法研究

勾股定理作為一種舉世聞名的數學定理，其（刪除）現存的證明方法繁復多樣，可根據主流的分類方法將其歸為三類。在下文當中，作者將對前兩種方法分別進行一種證明方法的研究。

第一，面積法。該種證明方法是由畢達哥拉斯所發明的，其當初所使用的面積法證明采用了分解的思路，具體如下圖所示：

在兩個繪制的圖形當中，可以發現，畢達哥拉斯共設計出了八個大小完全相等的直角三角形。并對每個直角三角形的邊進行了賦值，其中直角邊的賦值分別為a與b、斜邊的賦值為c。接下來，在上述八個直角三角形的位置周圍繪制出了三個等邊正方形。最終就形成了如上兩個圖形。在做好上述準備工作之后，就可開始對勾股定理進行了證明，其證明思路主要為利用正方形所具有的面積對定理進行證明。可以發現，左圖當中將所有小矩形的面積進行相加，就等于整個大正方形的面積。并可得出如下公式：

（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab

在得出上述等式基礎上，再將面積相等的方法應用于右圖當中，也可以得出另一等式：

（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab

通過上述兩個公式之間的合并，最終可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2

第二，拼接法。拼接法證明與面積法證明之間存在著較大差異。為此，可以先繪制以下圖形，以便于利用拼接法進行更為準確的證明：

其通常所采用的方法之一具體由上圖列示。該圖形主要由四個大小相同的直角三角形所構成。并對每個直角三角形的邊進行賦值，賦值方法與面積法基本相同。在此基礎上，可利用上述拼接圖形進行勾股定理的證明。由上圖可以發現，DE=AF=HE=b，且角GDE為90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG為90度。因此，上圖當中的兩個四邊形就可以利用已經為直角三角形的賦值進行替代表示。從而又可將上圖分解為兩個圖形，并實現勾股定理的證明。

3勾股定理的推廣應用研究

勾股定理不但可以在平面圖形當中得以應用，更加可以在三維圖形，乃至n維圖形當中得以應用，并給解決諸多較為復雜的數學問題提供重要幫助。例如：假設ABC為等邊三角形，D是該三角形內部的一點。如果假設角BDC為150度，并假設BD長度為2，CD長度為1。那么，AD的長度應當是多少。在上述旋轉三角形邊長求解的運算當中，就可以借助勾股定理的方法實現對最終答案的求解。該求解的主要利用圖形的旋轉將現有三角形ABC等位移動至三角形AEC處，從而構造出了一個新的等邊三角形ADC。那么，依據這一思路之后，就可以利用對現有容易求解的方法對ED求解，并利用兩者之間相等的思想，實現對目標邊AD長度的求解。其中針對EC的求解就可以應用到勾股定理，并構造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。進而也就求得了邊AD的長度。通過這則案例可以得出結論，勾股定理在平面圖形之外的立體多位圖形當中可以實現推廣與應用。

4結論

通過本文的研究，可以發現，勾股定理作為一個舉世聞名的數學定理，其現存的證明方法繁復多樣，可根據主流的分類方法將其歸為三類：其一為面積法；其次為拼接法；另外一種為定理法。通過對不同方法的探究，作者以案例的方式對其中兩種方法的大致證明思路提出了思考，并在此基礎上對不同方法的推廣應用進行了研究。作者謹此希望，能夠利用本文的研究，給數學界勾股定理應用范圍及深度的提升帶來促進作用，也希望能夠在未來求學過程中繼續深入思考研究數學理論的相關問題。

篇2

    一、邏輯推理與實際應用是數學學習動機

    數學發展的歷史包括兩種典型的數學文化:一種是重視邏輯推理的希臘數學文化,一種是重視實際應用的中國數學文化.

    數學史家將古希臘數學按時間分期:第一期從公元前600年到前323年;第二期從公元前323年到前30年,也稱亞歷山大前期;第三期從公元前30年到公元600年,也稱亞歷山大后期[3].前兩個時期,希臘數學文化認為,數學命題只有通過幾何形式的邏輯推理論證才能說明其正確性,論證數學成為數學研究的主流,幾何形式的邏輯推理證明成為數學成果正確與否的衡量標準.這個標準逐漸發展成為對數學研究的期望或理想,即期望數學成果能夠通過幾何形式的邏輯推理來論證.在“亞歷山大后期”,古希臘數學突破了之前以幾何為中心的傳統,算術、數論和代數逐漸脫離了幾何的束縛.這一時期受羅馬實用思想的影響,論證數學不再盛行,如海倫的《量度》中有不少命題沒有證明.但論證數學中的邏輯推理在數學研究中仍占有重要位置,如丟番圖《算術》書中采用純分析的途徑處理數論與代數問題[4].邏輯推理從幾何論證中脫離出來,邏輯推理解決問題的思想發展成為數學研究的新理想,即希望數學問題可以通過純邏輯推理的方法解決.縱觀整個希臘數學文化,數學研究成為滿足上述兩種理想而付出的勞動,成為實現個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.究其本質,邏輯推理思想是幾何論證與分析法解決問題的根本,是上述兩種理想中最本質的思想,并且滿足動機的定義.因此它是古希臘數學研究的一個動機,也是人類進行數學研究的一個動機.

    中國古代數學在整體發展上表現為算法的建構和改進[5].所謂“算法”不只是單純的計算,而是為了解決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般性的計算方法[4].算學的目的在于解決實際問題,而實際問題是層出不窮的,因此中國古代數學不僅經受住了統治者廢除“明算”科的考驗,甚至還有所發展,如元末明初珠算的普及.隨著中國數學文化的形成,用數學知識解決實際問題成為算學的理想,即期望數學成果能夠被實際應用.中國古代數學研究成為受這個理想而支配的勞動,成為實現個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.實際應用滿足動機的定義,因此它是中國古代數學發展的一個動機,也是人類進行數學研究的一個動機.

    所以邏輯推理與實際應用是人類進行數學研究的兩個動機,按動機的分類它們屬于驅力,是從生理需要出發的內在動機.數學學習可以認為是有方向性的對已有數學成果的再次研究過程,可以看作是數學研究的特例形式.依據歷史發生原理綜合分析得出:人類進行數學研究的內在動機一定會在數學學習中表現出來,即激勵人類研究數學的內在動機與激勵學生學習的內在動機是一致的.

    從實際情況出發,邏輯推理可以作為生活中一種娛樂形式,如邏輯推理游戲、邏輯推理小說、邏輯推理電影等都深受公眾喜歡;而實際應用也是大家十分感興趣的,如通過應用基本的空氣動力學知識制作航模.

    綜上所述,邏輯推理與實際應用是數學學習動機,且這兩個數學學習動機是學生共有的、內在的,也是在實際教學中易于對學生進行培養的數學學習動機.

    古希臘數學中的公理化思想是希臘數學文化的重要特點之一.公理化思想出現的標志是歐幾里得的《幾何原本》.在數學中引入邏輯因素,對命題加以證明,一般認為是從伊奧尼亞學派開始的,但畢達哥拉斯學派在這一方面作了重大的推進,他們的工作可以說是歐幾里得公理化體系的前驅[3].因此公理化思想的提出要晚于邏輯推理思想,公理化思想是邏輯推理思想的發展.

    算法程序化思想是中國數學文化的另一個重要特點.算法程序化思想出現的標志是成書于公元前后的《九章算術》.實際應用思想雖沒有明確的出現標志,但在《九章算術》成書前的《周髀算經》、《算數書》等書中涉及的數學知識都蘊含著明確的實際應用思想.算法的提出是為了解決一類實際問題,算法程序化為了使算法嚴謹、簡明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于實際應用思想,且算法程序化思想是實際應用思想的發展.

    隨著數學發展,公理化思想與算法程序化思想已應用到現代數學中,成為現代數學的特點.但它們不是貫穿整個古希臘數學與中國古代數學研究的內在因素,而是邏輯推理與實際應用數學思想發展的衍生物.公理化思想與算法程序化思想也可作為數學學習的動機,但適宜群體明顯要少得多.數學發展至今,數學本身的文化區域性特點淡薄了,希臘數學文化與中國數學文化背后的驅力——邏輯推理與實際應用思想,早已相互融合.近代微積分的應用及理論的嚴密化過程就是一例.

    二、比較古今數學教材以研究初中教材兩個學習動機的培養

    教材是教學中最重要的用書之一,是教師教學、學生學習的主要依據.《幾何原本》、《九章算術》作為西方與中國的數學教科書都有千年之久.兩本著作都反映了當時的數學文化背景.重視邏輯推理與重視實際應用分別成為教學思想包含在這兩本書中.

    因為《九章算術》作為教材多將劉徽注釋加入其中,所以將現行數學教材與《幾何原本》、《九章算術及劉徽注》進行比較研究.為增加3者的可比性,選擇它們共有的內容,且知識體系完備,預備知識基本一致,學生認知水平大抵相同的勾股定理部分作為比較對象.這種比較雖不能以點代面,但仍有較強的代表性與啟發性.現行數學教材采用經全國中小學教材審定委員會2004年初審通過的義務教育課程標準實驗教科書八年級數學下冊[6],以第18章第1節勾股定理內容為標準,選擇《幾何原本》、《九章算術及劉徽注》部分內容進行比較.因《幾何原本》的成書結構是公理化體系,利用已知命題證明未知命題,且命題后沒有輔助理解該命題的習題,所以選擇其中與勾股定理有關或利用勾股定理證明的命題作為比較對象.由于初中教材在講解勾股定理時,預備知識中未包含圓、無理量及立體幾何內容,故選擇《幾何原本》[7]第Ⅰ卷命題47、48,第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13作為比較對象.《九章算術及劉徽注》的勾股章是利用直角三角形性質求高深廣遠,因初中教材勾股定理的預備知識中沒有相似三角形及勾股數組的內容,所以選擇《九章算術及劉徽注》[8]勾股章[一]至[一四]題及[一六]題作為比較對象.

    1.各種教材中勾股定理的內容

    (1)編寫目的

    《全日制義務教育數學課程標準(修改稿)》(下簡稱為《標準》)中勾股定理的教學要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些簡單的實際問題[9].《幾何原本》與《九章算術及劉徽注》雖沒有類似的編寫標準,但可以從它們的內容及成書體系分析得出.《幾何原本》利用勾股定理轉換面積間關系證明幾何問題,即在直角三角形中,兩直角邊上正方形面積和與斜邊上正方形面積可以相互轉換.如第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13都是利用這種思想.《九章算術及劉徽注》利用勾股定理數量關系求得高深廣遠,解決實際生活的問題.

    (2)知識框架

    初中教材通過生活發現與幾何直觀探索,建立從實際到理論再到實際的知識體系,并運用定理解決簡單問題.《幾何原本》通過已知命題推導勾股定理,建立從理論到理論純幾何形式的知識體系,重在證明未知命題.《九章算術及劉徽注》通過給出3個簡單幾何問題“術”,建立從理論到實際的應用知識體系,旨在解決實際問題.3者建構的知識框架各不相同.

    (3)定理引入

    初中教材的導入分為兩部分,分析畢達哥拉斯發現的定理特例與探究定理的一般形式.《幾何原本》受公理化體系的影響,它的導入可以認為是定義、公理、公設及已知命題.《九章算術及劉徽注》的導入是3個已知兩邊求第三邊的簡單幾何問題.

    (4)定理表述

    初中教材用特例猜想定理的一般形式給出勾股定理[6]:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,斜邊為c,那么《幾何原本》的勾股定理以命題形式給出:在直角三角形中,直角所對邊上的正方形等于夾直角兩邊上的正方形[10].《九章算術及劉徽注》中的勾股定理以3個簡單幾何問題術的形式給出:勾股各自乘,并,而開方除之,即弦[8].3者對比,初中教材體現數形結合的勾股定理且形體現在邊長上;《幾何原本》中體現形的勾股定理且形體現在面積上;而《九章算術及劉徽注》體現數的勾股定理.各自的表述為其內容服務,它們之間存在一定差異.

    (5)定理證明

    初中教材利用我國古代趙爽的弦圖(如圖1、圖2、圖3),通過圖形旋轉證明定理猜想.這種證明方法是近年來學者們傾向于“古證復原”思想提出的.初中教材對定理證明如下[6]:

    趙爽注釋的《周髀算經》對勾股定理的證明如下:案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二,倍之為朱實四.以勾股之差自相乘為中黃實.加差實一亦成弦實[8].

    兩種解釋代表兩種證明思想,趙爽弦圖及其證明方法未成最終定論.初中教材選擇歷史上的數學作為定理證明既應符合歷史,又應符合學生認知習慣.圖形旋轉是否是趙爽的弦圖思想,是否符合學生對一般幾何問題證明的思維形式,仍需再斟酌.

篇3

摘要：勾股定理及其逆定理的證法很多. 筆者運用平面幾何中著名的托勒密定理，構造出托勒密定理滿足的基本條件，再借助初中幾何的圓及四邊形等綜合知識，對兩個定理加以證明. 利用構造的方法，對培養學生的創新思維具有拋磚引玉的功效.

關鍵詞：勾股定理；逆定理；另證；方法

勾股定理的證明方法多達四百余種，而它的逆定理的證法卻沒有那么多，筆者曾用同一法證過其逆定理. 大多數方法都是運用中學數學中常規的數學思想方法加以證明的. 筆者結合多年的教學實踐研究，運用高中數學競賽綱要中所要求的一個重要的著名定理――托勒密定理，對勾股定理及其逆定理加以了證明，讓人耳目一新，既拓寬了學生的視野，啟迪了學生的思維，又引導了學生如何去拓展書本中的知識，豐富了學生的課外生活，激發了學生課外探究數學的熱情，增強了解決數學問題的能力. 下面，筆者將托勒密定理的證明及如何運用它來證明勾股定理及其逆定理提供給同行們.

[⇩]托勒密定理：圓的內接四邊形中，四邊形的兩組對邊的乘積之和等于對角線的積

已知：如圖1，四邊形ABCD內接于O.

[D][A][B][O][G][C][3][4][2][1]

圖1

求證：AB?CD+BC?AD=AC?BD.

證明作∠BAG=∠CAD. 因為=，所以∠3=∠4. 因為∠BAG=∠CAD，所以ABG∽ACD. 所以=.

所以AB?CD=AC?BG.①

因為∠1+∠CAG=∠2+∠CAG，所以∠DAG=∠CAB. 因為=，所以∠ADG=∠ACB. 所以ADG∽ACB. 所以=.

所以BC?AD=AC?DG. ②

①+②得AB?CD+BC?AD=AC?（BG+DG）=AC?BD.

[⇩]運用托勒密定理證明勾股定理及其逆定理

1. 勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

已知：如圖2，在直角三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C=90°.

求證：a2+b2=c2.

[B][C][O][A][D]

圖2

分析直角三角形ABC有且僅有一個以AB中點O為圓心，為半徑的外接圓. 如果再在圓O上找一點D，就可以構造一個圓內接四邊形，便可以運用托勒密定理得線段間的關系，從而得到勾股定理.

證明作出直角三角形ABC的外接圓O，連結OC并延長CO交圓O于點D，再連結BD，AD. 因為CD為直徑，所以∠CBD=∠CAD=90°. 因為∠C=90°，所以四邊形ADBC是矩形. 所以AD=BC=a，AC=BD= b，AB=CD=c.

由托勒密定理可得BC?AD+AC?BD=AB?CD，所以a2+b2=c2.

2 . 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

已知：如圖3，在三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b且a2+b2=c2.

求證：∠C=90°.

[B][C][O][A][D]

圖3

分析三角形ABC有且僅有一個外接圓O，可將∠C放在圓中，得到一個圓周角. 要證明它為直角，只需要證明它所對的弦AB為直徑即可. 要證AB為直徑僅由a2+b2=c2得出談何容易？此路不通另尋他途，不妨在圓O上再找一點D，構造出一個圓內接四邊形看能否利用托勒密定理得出線段間的關系再結合已知條件a2+b2=c2來進行證明. 那么D點如何找呢？過B點作BD∥AC交圓O于點D，連結AD，CD，運用托勒密定理即可達到目的.

證明作出三角形ABC的外接圓O，過B作BD∥AC交圓O于點D，連結AD，CD. 因為BD∥AC，所以∠BDC=∠DCA. 所以=.

所以BC=AD=a . 因為=，所以∠BCD=∠BAD. 因為BD=BD，所以ABD≌CDB. 所以AB=CD=c. 因為四邊形ACBD是圓O的內接四邊形，

由托勒密定理可得BC?AD+AC?BD=AB?CD，

所以a2+b?BD=c2. 因為a2+b2=c2，所以BD=b. 所以BD=AC. 所以平行四邊形ACBD是矩形，所以∠ACB=90°，從而命題得證.

篇4

關鍵詞:勾股定理 故事 自學 引導 鞏固

時鐘隨著指針的移動嘀嗒在響:“秒”是雄赳赳氣昂昂列隊行進的兵士，“分”是士官，“小時”是帶隊沖鋒陷陣的驍勇的軍官。所以當你百無聊賴、胡思亂想的時候，請記住你掌上有千軍萬馬;你是他們的統帥。檢閱他們時，你不妨問問自己——他們是否在戰斗中發揮了最大的作用?

——菲·蔡·約翰遜

數學教學實質上是數學思維活動的教學，在數學教學中要充分調動學生的主體作用，注重教學過程，改變被動接受知識的局面，實現課堂教學素質化，才能真正提高課堂教學質量和效率。下面說說我在教學中的做法，通過這個例子來具體地說明數學課上如何提高課堂效率。

課例:《勾股定理的證明》

教學目標:勾股定理是學生在已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的。它是直角三角形的一條非常重要的性質，是幾何中最重要的定理之一;它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系;它可以解決直角三角形中關于邊的計算問題，是解直角三角形的主要根據之一，在實際生活中用途很大。教材在編寫時注意培養學生的動手操作能力和分析問題的能力，通過實際分析、拼圖等活動，使學生獲得較為直觀的印象;通過聯系和比較，理解勾股定理，以便正確地進行運用。

例如，勾股定理證明教學過程中，教師可這樣實施:

一、故事引入，激發興趣

為了激發學生學習勾股定理的興趣，可以由下列故事引入:三千多年前有個叫商高的人對周公說:把一根直尺折成直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。

這樣引起學生的學習興趣，激發學生的求知欲。

教師緊接著問:是不是所有的直角三角形都有這個性質呢?

教師要善于激疑，使學生進入樂學狀態。這樣做將學生的注意力吸引到課堂上來，學生全神貫注地聽課，課堂效率得到提高。

二、自學教材，主動探究

教師將教材知識整合，制作成幻燈片，以此指導學生自學教材。通過自學感悟、理解新知，體現了學生的自主學習意識，鍛煉了學生主動探究知識的能力，養成了學生良好的自學習慣。

1.通過自主學習，教師設疑或學生提疑。如:怎樣證明勾股定理?通過自學，中等以上的學生基本都能掌握，這時能激發學生的表現欲。

2.通過合作探究，引導學生擺脫網格的限制，研究任意直角三角形三邊的數量關系。滲透由特殊到一般的思想方法。

3.教師引導學生按照要求進行拼圖，觀察并分析;(學生每人準備四個大小一樣的直角三角形)(1)這兩個圖形有什么特點?(2)你能寫出這兩個圖形桔黃色部分的面積嗎?(3)你得到什么結論?

這時教師組織學生分組討論，調動全體學生的積極性，達到人人參與的效果，接著全班交流。先由某一組代表發言，說明本組對問題的理解程度，其他各組作評價和補充。教師及時進行富有啟發性的點撥，最后，師生共同歸納，形成一致意見，最終解決疑難。

三、鞏固練習，強化提高

1.出示練習，學生分組解答，并由學生總結解題規律。課堂教學中動靜結合，以免引起學生思維疲勞。

例1.某樓房三樓失火，消防員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防員取來6.5米長的梯子，梯子的底部離墻基2.5米，請問消防員能否進入三樓滅火?

2.出示例1:學生試解，師生共同評價，以加深對例題的理解與運用。針對例題再次進行鞏固練習，進一步提高學生運用知識的能力，對練習中出現的情況可采取互評、互議的形式，在互評互議中出現的具有代表性的問題，教師可以采取全班討論的形式予以解決，以此突出教學重點。

四、歸納總結，練習反饋

引導學生對知識要點進行總結，梳理學習思路。分發自我反饋練習，學生獨立完成。

五、課后作業

1.課本第81頁1、2、3題。

2.通過報刊、資料或上網查閱中外名人對勾股定理的證明方法以及勾股定理的發展史。

教學反思:本節課教學目標明確，重點突出，注重對知識形成過程的教學。但是在準備這節課時還是不夠充分，比如引例比較簡單，可以適當增加。在本節課后，我又搜集了一些關于勾股定理的典故，充實本節課的內容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人，也知道這一定理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用它來測定直角，之后才漸漸推廣。

2.金字塔的底部，四正四方，正對準東西南北，可見方向測得很準，四角又是嚴格的直角。而要量得直角，當然可以采用作垂直線的方法，但是如果將勾股定理反過來用，也就是說:只要三角形的三邊是3、4、5，或者符合的公式，那么弦邊對面的角一定是直角。

3.到了公元前540年，希臘數學家畢達哥拉斯注意到了直角三角形三邊是3、4、5，或者是5、12、13，他想:是不是所有直角三角形的三邊都符合這個規律?反過來，三邊符合這個規律的，是不是都是直角三角形?他搜集了許多例子，結果都對這兩個問題作了肯定的回答。他非常高興，殺了一百頭牛來祝賀。以后，西方人就將這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”。

另外，合作探究和拼圖部分給學生留的時間太少，應該給學生足夠的時間進行思考，讓學生發現問題并解決問題。

篇5

【關鍵詞】勾股定理；文獻資料；教學設計；實驗操作

在“理解數學、理解學生、理解教學”的基礎上備好一節課本是最好的備課方式，但由于教師理解能力的差異，以及對“三個理解”的認識程度不同，備課效果自然不可同日而語.那么，怎樣才能備出一節好課呢？筆者認為，通過比對同一課時的文獻資料，分析不同教案的優缺點，博采眾長，巧妙融合，自然會備出一節好課.下面以“勾股定理”起始課為例，談談如何利用文獻資料進行備課.供參考.

1常見教學設計

查閱近幾年的文獻資料，發現勾股定理起始課教學設計大致分為三類：以證明定理為主的教學設計、以探究發現定理為主的教學設計、以實驗操作來發現定理的教學設計.現對這三種教學設計做客觀分析.

1.1以證明定理為主的教學設計

章建躍博士在談到勾股定理教數學時指出：“其一，勾股定理的發現具備偶然性；其二，畢達哥拉斯是大數學家，對數極其敏感，對“形”非常自動化地想到“數”，這是一般人做不到的……我覺得，不應該讓學生去發現，重點應該放在讓學生去證明這個定理.”[1]在這一觀點的支撐下，一線教師中的許多實踐者也取得了良好的教學效果.

課例1劉東升[2]先從一段BBC紀錄片《數學的故事》展示古埃及人結繩繃成直角三角形導入新課，隨即導入勾股定理的特例“如果作一個直角三角形，使得兩直角邊分別為3和4，你能否求出斜邊的長？”在學生嘗試無果后，教師指出有人曾經用拼圖的方法求出該三角形的斜邊長為5，接下來用拼圖的方法予以計算.最后從特殊到一般用面積法（割補法）證明勾股定理.

分析教師設計以證明為主的教學思路，大致是基于以下幾點思考：一是恰當安排講授法，節約時間，采用教師講授證明思路，學生跟進理解，是基于對學情的理解；二是勾股定理的發現具有偶然性，只有畢達哥拉斯這樣的大數學家，才能從“形”非常自動地想到“數”，這是一般人做不到的，在課堂上有限的時間里讓學生去發現該定理是不現實的，也是無法完成的任務.所以，該設計把時間重點分配在證明勾股定理和欣賞勾股定理文化上.從學習的角度看，這樣的安排是有效的，是基于學情來考慮的，有利于學生學習數學知識，培養學生演繹推理的能力.

《義務教育階段數學課程標準（2011版）》[3]（以下簡稱標準）在課程基本理念中指出：學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.顯然，上述過程少了學生觀察、實驗、猜想的過程，而這卻是數學教學的重要功能所在.事實上，發現一個定理的價值遠遠大于證明這個定理，從這個角度看，上述安排是不完美的.

1.2以探究發現定理為主的教學設計

特級教師卜以樓認為：研究一個定理，一般要從猜想――驗證――證明這三個方面去把握，如果離開了猜想、發現定理這兩個環節，那么培養學生的創新意R和實踐能力就會在教學中打折.事實上，發現一個定理的價值遠遠大于證明這個定理.卜老師同時給出了基于上述思考的教學設計.

課例2卜以樓首先通過畫兩個直角三角形，引導學生發現直角三角形三邊間有關系，然后順勢提出問題：既然直角三角形三邊數量之間有一個等量關系，這個等量關系是什么呢[4]？接著，引導基礎薄弱的學生在單位長度為1 cm的坐標紙上，理性地選擇幾個直角三角形去畫一畫、量一量，觀察量出的數值，估計、猜想三邊間的關系；引導基礎較好的學生理性分析三邊間的關系：a、b、c三邊間關系可以是一次等量關系、二次等量關系，甚至是高次等量關系，根據三角形兩邊之和大于第三邊否定三邊間存在一次關系，然后探討三邊間的二次等量關系，先從特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，經過驗證發現猜想成立，再用“證偽”否定其它的二次關系，最后引導學生從a2、b2、c2這些“式結構”想到“邊長分別為a、b、c的正方形面積”這個“形結構”，然后利用圖形面積（割補法）來分析和解決問題.

分析首先，本課例關注學生四能培養，教學過程就是基于發現和提出問題，分析和解決問題的思路來設計的，教學過程就是引導學生思維的過程；其次，符合“猜想――驗證――證明”的數學學習規律，過程嚴謹，絲絲入扣，數學味濃，注重學生思維能力和創新能力的培養.

但仔細分析其教學設計后發現，其課堂教學過于理想化，既要啟發基礎較差的學生畫一畫、量一量，觀察量出的數值，估計、猜想三邊間的關系，又要引導基礎較好的學生理性分析三邊間的關系，直至發現直角三角形三邊的平方關系，還要引導學生證明勾股定理，復雜的教學過程可能會導致教學時間不夠，文章展示的探究過程很難在現實的課堂中得以實現.另外，在引導基礎較好的學生理性分析三邊間關系的過程中，作者根據三角形兩邊之和大于第三邊就可以否定三邊間存在一次關系，這句話是有問題的，比如，邊長分別為a=3、b=4、c=5的關系可以表述為a+b=75c這樣的等量關系.對于a、b、c之間二次關系的三種形式的分類是可行的，但直接從特殊情況a2+b2=c2入手，是執果索因的結果，這和直接告知結論是一樣的效果.

1.3以實驗操作來發現定理的教學設計

蘇科版數學教材主編董林偉先生指出：數學實驗不是學生被動地接受課本上的或老師敘述的現成結論，而是學生從自己的數學現實出發，通過自己動手、動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經驗，逐步建構并發展自己的數學認知結構的活動過程[5].數學實驗已成為數學教學中的一個重要方式.關于勾股定理的教學，數學實驗大致有兩種方法：測量法和計算法.

課例3測量法[6]：任黨華引導學生從“直角三角形的角度特殊，會不會它的邊在數量上也有特殊的關系呢？”開始思考，然后讓學生動手畫一個任意直角三角形，測量其三邊長度，計算交流，接著學生展示所得數據及本組猜想，師生用幾何畫板演示，發現a2+b2=c2這一結論成立，再用拼圖法證明結論，最后介紹有關勾股定理的數學史.

課例4計算法[7]：萬廣磊從展示2002年的數學大會的弦圖開始，然后直接給出直角三角形和以該三角形三邊向形外作三個正方形，通過填空的方式來計算三個正方形的面積，學生通過畫一畫、想一想、試一試、辨一辨來發現a2+b2=c2，再用實驗的方法驗證鈍角三角形和銳角三角形不具備兩短邊的平方和等于最長邊的平方，然后用拼圖法證明勾股定理，最后介紹有關勾股定理的數學史.

分析這兩個課例都是通過畫一畫、想一想、算一算來發現勾股定理的，動手實驗的過程有利于培養學生的動手能力，獲得研究問題的方法，積累活動經驗.但課例3存在兩點不足，一是學生畫圖、測量過程中無法保證圖形的準確和數據的精確，不能為發現規律提供保證；二是學生從測量出的三邊數據中，怎么會輕易發現三邊的平方關系？課例4教師通過填空計算面積的方式已經把解題思路和盤托出，難點化為烏有，就像幾何題中老師提前告知輔助線一樣，是避開難點，而不是突破難點.羅增儒教授稱以上教學為“虛假性情境發現”和“淺層次的情境發現”.

2勾股定理教學中需要突破的難點

通過上述課例的分析，我們不難發現在勾股定理的教學中回避不了幾個難點：一是如何創設合適的情境，引導學生發現直角三角形三邊間的平方關系？二是怎樣引導學生從a2、b2、c2這些“式結構”想到“邊長分別為a、b、c的正方形面積”這個“形結構”？三是選擇探究教學，探究的時間較長，有時甚至不可控，需要時間成本；四是數學定理的呈現雖是美麗的，但發現的過程確是漫長和痛苦的，所以，課堂上定理的發現不能過于理想化，所謂還原數學家火熱的思考，實在過于理想化，在短短的一節課內要完成一個定理的發現，必然要降低發現坡度，縮短發現時間，中間教師的引導甚至干預就必不可少.3吸收精華，改進教學設計

上述四個課例均有可取之處，在認真學習比對優劣的基礎上，多方吸收各種教法中的精華，充分考慮勾股定理教學中需要突破的四大難點，經過認真整合，確定“從特殊到一般，經歷猜想――驗證――證明”這樣的探究教學設計，在實際教學中取得了較好的效果.

3.1情境入

在一個確定的三角形中，有確定的角的關系：①三角形內角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三邊間有確定的關系嗎？

3.2探究發現

（1）從最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三邊間關系

直角邊長為1的等腰直角三角形的面積是多少？如果斜邊用字母c表示，請用c表示三角形的面積.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）

用同樣的方法研究直角邊長為2的等腰直角三角形，有什么發現？

（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.

依次研究直角邊長分別為3、4的等腰直角三角形，會發現下面結論.

12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（這里是需要教師干預和引導的）

（2）在網格中研究直角邊不等的特殊直角三角形圖1

如果兩直角邊不等，上述猜想還成立嗎？老師在黑板空白處畫圖分析，指出上面的方法行不通，能否借助格點正方形來發現呢？分析“式結構”，在上圖（圖1）中22=4，用四個正方形表示，12=1，用一個正方形表示，那么以斜邊為邊的正方形的面積是等于5嗎？引導利用割補法研究（小學已經學過）.

（3）幾何畫板驗證猜想的結論

（4）不完全歸納法得出勾股定理

3.3定理證明與介紹

證明過程略.（圖形割補見圖2，證明思路見上面分析）

本設計在研究最簡單的三角形時，學生是不可能想到運用面積來發現等腰直角三角形的三邊關系的，這時教師直接引導先用兩直角邊求面積，再啟發用斜邊求面積，這個過程不自然，但確實沒有更好的辦法.所以，發現式教學不能不加干預，任由學生自由思考，正如佛賴登塔爾所說：“強調用發生的方法來教各種思想，并不意味著應該從它們產生的順序來呈現它們，甚至不關閉所有的僵局，刪除所有的彎路.”顯然，這就是教師主導作用的意義所在.

綜上所述，通過文獻資料的研究，我們可以對相關內容的教學有清楚的認識，并在比較中去粗存精，獲得比較合理的教學方法，這不失為一種行之有效的備課方式.

參考文獻

[1]章建躍.理解數學內容本質提升思維教學水平[J].中學數學教學參考（中旬），2015（6）：14-19.

[2]劉東升.基于HPM視角重構“勾股定理”起始課[J].教育研究與評論：課堂觀察版（南京），2016（1）：45-48.

[3]義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[4]卜以樓.基于四能的“勾股定理”教學創新設計[J].中學數學教學參考（中旬），2016（7）：11-14.

[5]董林偉.初中數學實驗教學的理論與實踐[M].南京：江蘇科學技術出版社，2013.

[6]任黨華.勾股定理（第一課時）[J].中學數學教學參考（中旬），2015（6）：12-13.

篇6

【關鍵詞】面積法；證明；幾何定理

Application area method certificate several axioms



Yang Dao-liang

【Abstract】In mathematics teaching material in the high school that everyone be familiar with of hang up an axioms and sine axioms be use an area method certificate of, use an area method certificate several some axioms with try simple clear, this text will use an area method certificate 6 several axioms

【Key words】Area method;Certificate;Several axioms

所謂面積法就是用面積相等的關系式推導得出所需結論的方法。大家熟知的中學數學教材中的勾股定理和正弦定理就是用面積法證明的。用面積法證明某些幾何定理和試題簡單明了，面積法是解決一部分幾何定理和試題的有效途徑和方法。本文將用面積法推理證明6個幾何定理。

（1）等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等。

如圖1，已知ABC中，AB＝AC，求證：∠B＝∠C。

證明： 12·AB·BC·Sin∠B

＝12·AC·BC·Sin∠C

Sin∠B＝Sin∠C

∠B＝∠C或者∠B＋∠C＝180°

∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＞0°

∠B＋∠C＝180°不成立，

故∠B＝∠C。

圖1

（2）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

如圖2，已知AB∥CD∥EF，求證：AC/CE＝BD/DF。

證明：連結AD、BC、CF和DE，

作DCAE交AE于G，CHBF

交BF于H，則SACD SCDE＝ 12AC·DG12CE·DG

＝ ACCE， SBCD SCDF＝ 12BD·CH12DF·CH＝BDDF ，

又AB∥CD∥EF

SACD＝SBCD，SCDE＝SCDF，

AC/CE＝BD/DF。

圖2

（3）三角形內角平分線定理：三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。

如圖3：已知AD是ABC中∠A的平分線，求證：BD/DC＝AB/AC。

證明：作AEBC于E，

BDDC＝ 12AE·BD12AE·DC＝ SABD SACD

＝12AB·AD·Sin∠BAD12AC·AD·Sin∠DAC＝AB AC，

BD/DC＝AB/AC。

圖3

（4）同理可證明三角形外角平分線定理：如果三角形的外角平分線外分對邊成兩條線段，則這兩條線段和相鄰的兩邊對應成比例（證法略）。

（5）三角形重心定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中心點的距離的兩倍。

如圖4，已知G是ABC的重心，求證：AGGD = 21， BGGE = 21， CGGF = 21。

圖4

證明：SADC＝21SABC＝SBCE

SAGE＝SBDG

作CHAD且交AD于H

又SBDG＝SCGD，SAGE＝SCGE

AGGD＝CH ·AG/2CH ·GD/2＝ SAGCSCGD

＝2·SAGESAGE＝21；

同理可證BGGE＝ 21，CGGF＝21 。

（6）四邊形的面積等于二對角線與其夾角正弦的積的一半。

證明：如圖5

圖5

SABCD＝SABE＋SBCE＋SCDE

＋SADE＝12AE·BE·Sin∠1

＋ 12BE·CE·Sin（180°－∠1）

＋ 12 CE·DE ·Sin∠1＋ 12AE·

DE·Sin（180°－∠1）＝

12AE（BE＋DE）Sin∠1＋ 12CE

（BE＋DE）Sin∠1＝ 12AC·BD·

篇7

一、導入新穎，誘發興趣

一句巧妙的導語，一個好的導入活動，會收到“一石激起千層浪”的效果，是學生產生強烈的求知欲望，進入最佳學習意境。如何在有限的課堂教學中誘發學生產生與學習內容、學習活動本身相聯系的直接學習興趣，是學生從一開課就產生強烈的求知欲望是一堂課成功與否的關鍵。例如；我在上七年級不等式的性質時，就先請兩個身高懸殊較大的學生站在同一高度的磚頭上，讓其他學生觀察，通過這一現象能發現什么數學道理？其他學生很容易就發現了不等式的其中兩條性質。如此開課，不僅形象，直觀地介紹了不等式的性質，而且還能引起學生濃厚的學習興趣。

二、明確目的，產生興趣

心理學研究表明，興趣是在需要的基礎上產生的，通過人的實踐活動形成和發展的。當一個人有了某種需要時，才會對相關的事物引起注意，并產生興趣。因此，教師在導入新課后，應明確具體地交待學習目標，使學生明確本節課的學習內容在知識體系中以及在實際應用中的地位、作用，以引起學生的重視，產生心理的需要，引發學習的欲望，使學生產生強烈的學習責任感，從而產生濃厚的興趣。明確的學習目的，不僅是培養學生學習興趣的手段，而且也是在學習上產生持久動力的保證。它更容易讓學生在學習中產生毅力和恒心。

三、創設情境，提高興趣

在教學中，適時地創設和諧、愉悅的求知情景，激發學生樂學、愛學數學的內驅力，誘發學生學習興趣。如在上圓的定義時，就有一位老師設置了這樣一個情景：“車輪是什么形狀？”同學們覺得這個問題太簡單，便笑著回答：“圓形！”教師又問：“為什么要做成圓形的呢？難道不能做成別的形狀？比如說，做成正三角形，正方形等？”同學們一下子被逗樂了，紛紛回答：不能！因為它們無法滾動！”教師再問：“那就做成這樣的形睿老師隨手在黑板上畫了一個橢圓行嗎？”同學們大笑回答“不行，這樣一來，車子前進時就會忽高忽低。”教師再問：“為什么做成圓形的就不會忽高忽低呢？”同學們一時找不到答案，教師建議學生小組探討，最后終于找到了答案：“因為圓形車輪邊緣上的點到軸心的距離相等?！庇纱艘鰣A的定義，學生的興趣一下子就提高了

四、動手操作，促進興趣

篇8

關鍵詞：素質教育；數學教學；提高質量

在實施素質教育的今天，面對每周每天一節的數學課，要想高質量、輕負擔地完成教學任務，使每位學生既學知識又長智慧，就急需每位教師提高自身業務素質，在鉆研教材、研究教法的同時，更應注重研究學法，使每一位學生參與到課堂教學中去。

課堂教學除發揮好教師的主導作用外，主要就是出色地發揮每位學生的主體作用，使每一位學生積極、直接、主動地參與課堂教學，提高課堂效率，挖掘學生的潛力，使每位學生都得到發展提高，使課堂真正成為學生學習的樂園。怎樣才能使學生積極、直接、主動地參與到課堂教學中來？下面筆者綜合自己的教學實踐，談談幾點體會。

一、創設情境，激發學生參與學習的興趣

托爾斯泰說，成功的教學，所需要的不是強制，而是激發學生的興趣。學生興趣是直接推動學生參與學習全過程的動力。要讓學生對學習感興趣，就在于為他們創造一個生動活潑輕松愉快的學習環境。例如：在講等腰三角形性質定理時教師主要是揭示定理證明的思想：證明兩個角相等轉化為證明兩個三角形全等的化歸思想，在提示了證明的思想、方法后，學生不難找到證明的途徑，即添輔助線。通過實驗發現定理，具體如下：

要求學生畫一個等腰三角形,先觀察圖形三邊關系、三角關系，然后用工具測量兩個底角的大小從而發現命題：等腰三角形兩底角相等。

已知：在ABC中,AB=AC,求證：∠B=∠C(圖略)。對于初中年齡的學生，讓他們看看、畫畫、量量是培養興趣的一種手段，當量出兩個底角相等，就有了為什么相等、如何證明的沖動，這時教師再引導、點撥學生進行分析：

證明兩角相等常用什么方法?如此問題化歸為證明兩個三角形全等,如何產生兩個三角形？添輔助線,如何添輔助線？學生較快地找到了以下方法：

方法1：取BC中點D,連結AD,通過SSS公理證明ABD≌ACD，得∠B＝∠C。

方法2：ABC的角平分線AD，通過SAS公理證ABD≌ACD，得∠B =∠C。

方法3：作ABC的高AD,通過HL公理證明ABD≌ACD，得∠B＝∠C。

又問：剛才添了不同的輔助線，若畫在同一個等腰三角形中，是三條不同的輔助線嗎？為什么？讓學生在實驗中得出推論，又從證明中加深對推論的認識、理解。像三角形內角和定理、角平分線定理、線段的垂直平分線定理都可由學生先實驗、歸納再研究、探索，尋求達到目的的方法和手段，學生始終處于獲取知識的過程中，從中體會到樂趣，從而積極主動地投入到學習中。

二、運用遷移規律，在參與學習過程中培養學生的能力

學生參與學習過程，不僅要重視激趣，更重要的是要重視培養能力。在教學中，如果能巧妙利用遷移規律，抓住新舊知識的連接點作為溝通新舊知識的內在聯系，精心安排以學生的“學”為軸心的教學活動，給學生搭建一個用已學的知識解決新知識的階梯，激發、引導學生自覺、主動地參與課堂教學，就能達到培養學生能力的目的。如在講分式通分時：

復習分數通分類比分式通分

關鍵：找2、4、8最小公倍數 關鍵：找x,x2,x3的最簡公分母x3

方法：分數基本性質 方法：分式基本性質

問：為什么最簡公分母是x3,而不是x4式x5式x3 x2等等?

學生通過思考回答體現了“最簡”,又要體現“公”,在此基礎上變式為通分。

，，

。

。

觀察歸納出如何找最簡公分母？(求所有因式的最高次冪的積)

又問:兩個公式的分母有不同的系數能通分嗎？如何通分？

再變式為通分：，，。

此時做一組練習鞏固所學內容(通分),在初步鞏固基礎上,提出變式題：

,的最簡公分母是什么?怎樣通分?變式為,又怎樣通分?再做一組練習使學生熟練。

后一組題與前一題相比，有一定的變化，所以解題并不單調，盡管題目在發展，障礙在增加，但題目之間的坡度不大，能使全班學生都投入到探究活動中，在不知不覺中學到了新知識，體會到了獲取知識的樂趣。在這個教學過程中，教師巧妙創設合理的情境，組織好遷移條件，使學生主動參與學習的全過程。隨著老師的不斷啟發、引導、點拔，學生積極主動地參與探索、發現，很快地懂得今天的新知識“分式的通分”就是“分數的通分”的引申。這個過程學生在教師的引導下，在正遷移規律的作用下，正確運用所學的舊知識，學習新知識，在掌握知識的同時，發展了學生的智力，培養了學生的能力，為今后的學習中能融會貫通、舉一反三奠定了堅實的基礎。

三、動手操作,提高學生主動參與的意識

動手操作，一方面可以培養學生的動手操作能力，激發學生的學習興趣，提高學生主動參與的意識，另一方面利于根據認識規律，引導學生從形象思維為主向抽象思維為主過渡，從而從操作中豐富、完善認知過程，從感性到理性建立知識框架。例如，在講《勾股定理》證明時，我課前布置同桌共同做八個全等的直角三角形，三個分別以直角三角形三邊為邊長的正方形，授課時，引導學生動手拼圖，拼好后，觀察圖形特點，教師起畫龍點睛的作用，提出問題，學生借助于自己拼好的圖形，回答問題，最后得出“直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方”。之后，再舉一例子讓學生應用勾股定理，加深印象。這樣，通過教師的啟發、引導，讓學生真正理解了勾股定理的證明，并達到會應用勾股定理，這樣學生不但學到了知識，又培養了動手動腦能力,促進學生在主動參與的學習進程中準確地掌握知識。

四、引導討論，提高學生參與的積極性

課內開展小組討論是參與教學的一種有效方法。教學中，我們把不同智力層次的學生搭配成若干小組，在教師的指導下，引導學生就教學中的某個問題發表看法，通過必要的組織、引導、探討、交流、歸納，得出正確的結論，從而完成某一教學任務的一種教學組織形式。在協作學習中，學生展開充分的討論和交流，人人積極主動地參與教學過程，并發揮集體的智慧，開展合作學習，形成智慧互補，這對于提高各層次學生的學習參與能力，大面積提高教學質量有著重要作用。

篇9

一、利用平面幾何知識證明線線垂直

由于立體幾何中的很多問題都可以通過“化空間為平面”的思想方法來解決，因此平面幾何中證明線線垂直的方法仍適用.如：勾股定理、菱形或正方形的對角線互相垂直、等腰三角形的三線合一、直徑所對的圓周角是直角、三角形全等、過切點的半徑垂直于切線，等等.

1.利用等腰三角形中“三線合一”的性質證明線線垂直。

例1：已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB和PC的中點（如圖），求證：MNAB.

分析：由于M是AB邊上的中點，因此可以聯想到利用等腰三角形中“三線合一”性質來證明.不妨先構造一個三角形，然后證明它是等腰三角形.

證明：連接PB、BN、AC、AN，由PA平面ABCD，BCAB且BC?奐平面ABCD。

PBBC

N是PC中點

BN=PC

PAAC

AN=PC

AN=BN，ANB是等腰三角形

M是AB中點

MNAB

點評：本題是先借助直角三角形的性質“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到AN=BN，再利用等腰三角形“三線合一”得出MNAB.

2.利用勾股定理證明線線垂直。

例2：在正方體ABCD-ABCD中，P為棱的中點，O為底面正方形ABCD的中心，求證：BOPA.

分析：要證明BOPA，可以先證BOPA.可以計算一下BO，PO，BP三邊的長度，觀察是否滿足BO+PO=PB.

證明：連接PO，PB.

BBAO，BDAO

AO平面BBDD，即PO是AP在平面BBDD內的射影.

設AB=a則BD=BD=a，OB=OD=a.

BO=OB+BB=a，PO=OD+OP=a，PB=BDB+DP=a.

BO+PO=PB，BOPO，PAOB.

點評：本題的證明過程，既用到了平面幾何中的勾股定理，又用到了立體幾何中的三垂線定理，兩者有機地結合在一起.

3.利用菱形的性質、三角形全等證明線線垂直。

例3：已知平行六面體ABCD-ABCD的底面是菱形，且∠CCB=∠CCD，證明：CCBD.

分析：要證CCBD，只要證BD平面OCC，即證BD和平面OCC內的兩條直線都垂直，可以利用菱形的性質和三角形全等來證.

證明：連AC交BD于O，連CO、BC、DC.

四邊形ABCD為菱形

AC與BD垂直且平分，即ACBD.

BC=CD，且∠CCB=∠CCD.

CDC≌CBC.

CD=CB即CBD是等腰三角形.

又O是BD的中點，OCBD，又CC∩OC=C，CC、OC?奐平面OCC

BD平面OCC.

CC?奐平面OCC.

BDCC.

點評：通過利用菱形的性質、三角形全等的性質、等腰三角形的性質證明了線面垂直，最后由此得出線線垂直.

4.利用若兩直線平行，其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線。

例1除了用等腰三角形的性質來證明外，還可以利用平行線的性質來證.

分析：要證明ABMN，可以證明與MN平行的一條直線垂直于AB即可，不妨根據已知條件添加輔助線，構造一個平行四邊形.

證明：連PD取中點F，連NF，AF.

NF∥CD∥AM，且NF=CD=AB=MA.

四邊形AMNF為平行四邊形.

MN∥AF.

PA平面ABCD.

PAAB.

又ABAD且PA∩AD=A.

AB平面PAD.

ABAF.

MNAB.

點評：本題重點考查空間中的垂直關系，還考查了平面幾何中兩直線平行的判定和性質，可見平面幾何知識在立體幾何中的重要性.

二、利用立體幾何中證明垂直的方法

1.利用線面垂直或面面垂直的性質證明線線垂直。

例1的前兩種證明方法都是借助平面幾何的知識來完成的，我們也可以用立體幾何的知識來證.

分析：要證線與線垂直，可以先證線與面垂直，然后利用線面垂直的性質，得出線與線垂直.

證明：取AC中點E，連接ME、EN

M是AB中點.

ME∥BC.

ABBC.

MEAB.

EN∥PA，PA平面ABCD.

EN平面MEN.

又AB?奐平面ABCD且ME∩NE=E.

AB平面MEN，而MN?奐平面MEN.

ABMN.

點評：線線垂直、線面垂直、面面垂直之間可以相互轉化.

2.利用三垂線定理及逆定理來證明線線垂直。

例4：在正方體ABCD-ABCD中，P為棱的中點，O為底面正方形ABCD的中心，求證：BOPB.

分析：要證明BOPA，只要證明PAAM，再證明AM是BO在平面AD中的射影即可.

證明：取AD中點M，連接OM，AM.

O，M均為中點.

OM∥AB∥AB.

又AB平面AADD.

OM平面AADD，即AM就是OB在AADD平面上的射影.

又AAM≌ADP.

∠PAD+∠AMA=90°.

PAAAM.

由三垂線定理得PAOB.

點評：三垂線定理來證明線線垂直，基本程序為“一垂，二射，三證”，即第一步是找平面和垂線，第二步是找射影，第三步是證明垂直.

三、利用向量證明線線垂直

“兩向量垂直的充要條件是它們的數量積為零”，通過計算兩向量的數量積來證明兩條直線或線段垂直.

例5：l，l是相互垂直的異面直線，MN是它的公垂線段，點A、B在l上，C在l上，且AM=MB=MN，證明：ACNB.

分析：如果建立適當的坐標系后能算出與的數量積為零，就能證明ACNB.

證明：建立空間坐標系M-XYZ.

令MN=1則A（-1，0，0）B（1，0，0）.

MN是l，l，的公垂線段，且ll.

l平面ABN.

l∥Z軸.

設C（0，1，m）則（1，1，m），=（1，1，0），•=（1，1，m）•（1，-1，0）=0.

ACNB.

點評：用向量證明垂直的時候，要選取合適的坐標系，可以使計算變得非常簡單，通?？梢岳靡阎倪吇蛱厥獾倪吔⒆鴺?

篇10

例1 （上海市）如圖1，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且ACE是等邊三角形．

（1） 求證：四邊形ABCD是菱形.

（2） 若∠AED=2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．

（說明：本文所有例題皆選自2008年中考題）

分析： 證四邊形ABCD是菱形的方法有多種：證明四邊形ABCD的四條邊相等；證明平行四邊形ABCD有一組鄰邊相等（如，通過EAD≌ECD證AD=CD）；證明平行四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直.

若從AC既是平行四邊形ABCD的對角線，又是等邊ACE的一條邊的角度展開思考，可優先考慮對角線，利用等腰三角形的三線合一，證ACBD.事實上，有相當一部分題目，在從邊、角、對角線三個方向上構思解題策略時，可優先考慮對角線.

證明：（1） 由四邊形ABCD是平行四邊形，得OA=OC.

由EAC是等邊三角形，且OA=OC，得EOAC.

四邊形ABCD是平行四邊形，ACBD，

平行四邊形ABCD是菱形.

（2） 由EAC是等邊三角形，得∠AED= ∠AEC=30°.

由∠AED=2∠EAD，可得∠EAD=15°，∠OAD=60°-15°=45°.

因為∠ODA=30°+15°=45°，所以∠OAD=∠ODA，OA=OD.

因為OA=OC，OB=OD，所以AC=BD.所以菱形ABCD是正方形.

注：也可以這樣證明：因平行四邊形ABCD是菱形，故∠BAC=∠DAC，∠BAD=90°.所以四邊形ABCD是正方形.

策略2若直覺無效，則不妨從最原始的地方思考

例2 （重慶市）如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E.

求證：（1） BFC≌DFC；（2） AD=DE.

分析： （1） 由BC=DC，CF平分∠BCD，CF=CF，易得BFC≌DFC.

（2） 證明AD=DE，估計同學們憑借直覺在較短時間內無法找到證明方法.這時不妨從最原始的地方展開思考：利用全等三角形證明AD=DE.連接BD，得ADB、EDB.不難發現，BD=BD，∠ADB=∠DBC=∠CDB.欲證明ADB≌EDB，尚需∠ABD=∠EBD或∠A=∠DEB（提醒：不要考慮待證線段AD=DE）.從運用DF∥AB的角度思考，可考慮證∠ABD=∠EBD.

由BFC≌DFC，得FB=FD，所以∠FBD=∠FDB.

又因DF∥AB，故∠FDB=∠ABD.

∠ABD=∠EBD.

證明：略.

注：本題也可以延長DF交BC于點H，利用BHF≌DEF證BH=DE，利用平行四邊形ABHD的對邊相等，得AD=BH，從而完成證明.

策略3構造基本圖形

例3 （山東?。┰谔菪蜛BCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點.求證：CEBE.

分析： 延長CE交BA的延長線于點F（如圖3）.

由DCE≌AFE，得CE=FE，CD=FA.

因BF=AB+AF=2+1=3，BC=3，故BF=BC.

BCF是等腰三角形三線合一的基本圖形.

證明：略.

注：本題也可通過具體計算的方法，借助勾股定理的逆定理證明兩條直線互相垂直.

策略4計算證明法

例3再證：如圖4，過點C作CFAB，垂足為F，得矩形AFCD，AF=CD=1，BF=2-1=1.

在RtBCF中，AD=CF= =2 .

在RtCDE中，CE 2=DE 2+CD 2=2+1=3.

在RtBAE中，BE 2=AE 2+AB 2=2+4=6.

CE 2+BE 2=3+6=9=BC 2.

∠CEB=90°.

注：本題還可通過過E作中位線進行計算證明.

策略5化歸策略

例4 （莆田市）如圖5，已知矩形ABCD，點P是BC邊上的一個動點.

（1） 求證：PA2+PC 2=PB 2+PD 2.

（2） 請你探究：當點P在矩形ABCD的內部（如圖6）時，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，請給出簡單的證明過程；若不成立，請簡述理由.

（3） 當點P在矩形ABCD的外部（如圖7）時，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，請給出簡單的證明過程；若不成立，請簡述理由.

分析： （1） 因線段PA，PB位于RtPAB中，PC，PD位于RtPCD中，所以從運用勾股定理的角度可以將待證結論PA2+PC 2=PB 2+PD 2化為PA2-PB 2=PD 2-PC 2.

在RtABP中，PA2-PB 2=AB 2；在RtCDP中，PD 2-PC 2=CD 2.

由AB=CD，可得PA2-PB 2=PD 2-PC 2.

（2） 如圖6，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F，則問題（2）即可以化歸成問題（1）.

運用（1）中的結論，得PA2-PE 2=PD 2-PF 2，PB 2-PE 2=PC 2-PF 2 .兩式相減，得PA2-PB 2=PD 2-PC 2，即PA2+PC 2=PB 2+PD 2.

（3） 仿第（2）題，在圖7中，過點P作EF∥BC，分別交BA，CD的延長線于E，F，即可將問題化歸為問題（1），仿第（2）題的方法可獲解.

證明：略.

策略6整體考察法

例5 （廣州市）如圖8，每個小正方形的邊長為1，把陰影部分剪下來，用剪下來的陰影部分拼成一個正方形，那么新正方形的邊長是（）.

A. B. 2 C. D.