培養學生邏輯推理能力的意義范文

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本著這一教學理念，筆者無論是在日常教學中，還是在不同級別的公開課當中，都注意提醒自己要以培養學生的思維能力為努力目標.那這一教學目標如何才能有效達成呢？在筆者看來，在初中數學教學中無論多糟糕的教學都能讓學生自然地產生一些思維能力，但教學作為一種學生成長過程殊的過程，因此更應該在自然能力生成的基礎上，教師發揮更多的提升作用.筆者對此有所實踐并思考，現以初中數學教學中對觀察力和邏輯推理能力培養為例，將一些淺顯的收獲形成文章，以與同行切磋.

一、初中數學教學中觀察能力和邏輯推理能力意義淺述

進入課程改革以來，筆者常常體會到一個道理，就是在我們的初中數學教學中只有真正認識到一件事物的意義，我們才能把一件事情看透并且做好，如果認識不到意義，往往就會流于形式而容易半途而廢.就以數學觀察和邏輯推理為例，基于一些教學經驗，我們會知道初中數學學習過程中，學生會經歷大量的數學觀察和邏輯推理，但至于為什么需要數學觀察和邏輯推理，數學觀察和邏輯推理對于學生的思維能力培養具有哪些重要的作用，則往往不被我們數學老師所重視.這就造成了我們的教學往往只能是知其然而不知其所以然.

根據筆者的經驗，筆者對數學觀察及邏輯推理之于學生的思維能力提升有著這樣的理解：

數學觀察是數學學習活動中的重要組成部分，其觀察對象是隱藏在數學模型后的數學符號，或者是隱藏在數學符號背后的數學模型.為什么兩者互為現象與實質？是因為我們的初中數學教學中，呈現在學生面前的大體上是這兩種情形：一是直接提供數學情境，這時需要學生在觀察的基礎上進行思考，進行數學模型的構建，并用相應的數學符號來描述這一數學模型；二是提供給學生抽象的以符號為載體的數學問題，需要學生通過觀察進行思考，然后還原出相應的數學模型.由此我們可以看出其中數學觀察是數學建模和抽象思維的基礎，學生的數學思維能力正是在觀察的基礎上形成的.

而邏輯推理則是在數學觀察的基礎上，根據學生內隱的或者說默會的數學知識產生一種自然的直覺，在這種直覺思維能力的作用下，學生會自發地由已知向未知進行推理，這種推理的初步形式是直覺的、跳躍性的，然后在學生書寫或陳述的過程中，需要一步步地進行闡述，為了合乎邏輯關系，邏輯推理就發生了.顯然，這種推理能力是思維能力的一部分.

例如，在學習一元二次方程時，我們往往會給學生提供一元二次方程標準方程的變式給學生，如最簡單的變式5x2+3x-1=4，學生在看到這一方程之后就會通過觀察，將其與標準方程對照，得出二次項、一次項和常數項前面的系數各是多少，然后通過知識的重現與選擇，看其是否能夠變成（x+a）（x+b）=0的形式，如果不能則需要用求根公式進行求解.這一系列過程中充斥著數學觀察與邏輯推理，能力強的學生可以在思維中直接完成，能力相對較弱的則需要借助于草稿紙才能完成，但不管怎樣，我們都能看出初中數學學習中數學觀察與邏輯推理存在場合之廣泛和意義之重大.

二、初中數學教學中觀察能力和邏輯推理能力培養策略淺述

在認識到意義的基礎上，我們提出的培養學生數學觀察能力和邏輯推理能力的目標就需要靠良好的教學策略才能實現.關于這一點筆者也想談談自己的一些淺顯的看法與做法.

在筆者看來，實現培養學生思維能力首先就要培養好學生良好的數學直覺.這種數學直覺即是指數學觀察的直覺與邏輯推理的直覺.事實表明，只有具有了良好的直覺，學生才有可能在接觸到數學問題時迅速地反映出問題解決的思路.而要具有良好的直覺，又必須以數學觀察和邏輯推理能力為載體，因為兩者是一種相輔相成、互相促進的關系.有數學課程專家研究得出這樣一種關系，就是學生的直覺與興趣之間有著密切的關系，這種研究結果應該說與我們的教學經驗是吻合的.因為在日常教學中我們常常注意到這樣的現象，就是對數學學習感興趣的同學往往在課堂上有著良好的直覺，具體表現正是學生能夠敏銳地觀察到數學問題的關鍵所在，能夠迅速地對問題解決思路形成良好的邏輯推理的大體過程.而對數學學習不感興趣的學生在遇到問題時，往往表現得比較遲鈍，觀察不到問題背景中的數學因素，因而就無法展開邏輯推理.

這樣，我們的論述也就由數學直覺過渡到數學興趣上來，在初中數學教學中培養學生真正的數學興趣策略一般有：

讓學生觀察體會數學美.數學興趣異于一般的學習興趣，其關鍵在于讓學生發現數學的魅力，而這在初中數學內容中有著豐富的素材，例如數學的高度概括性，生活中長度、溫度、時間的描述均離不開“數”，例如數學的對稱性，數軸、各種曲線如拋物線、各種幾何對稱圖形如圓等，“數”與“形”是人們描述自然的抽象且有用的手段.

讓學生感受邏輯推理的力量.無論是代數中的分析計算，還是幾何中的推理證明，如果我們能夠帶領學生去發現其中絲絲入扣的關系，就能在“因為……，所以……”中，在不斷地發現等量關系中感受到邏輯推理的力量.如果我們還能將這種邏輯推理遷移到其它領域，如生活中某些事件的猜想、某些專業領域如警察分析案件中均離不開邏輯推理時，邏輯推理的力量就更加能夠為學生所體會.

以上所述的數學直覺與數學興趣是筆者認為比較重要、比較基礎的兩點，其余策略由于篇幅所限，不再贅述.

三、關于數學思維能力培養的一點思考

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關鍵詞：幾何；推理；書寫；教育

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）11-008-01

一、教師要培養學生的幾何推理能力

在幾何知識學習中，證明題是一個常見題型，就是需要學生作出一判斷，這個判斷不是僅靠觀察和猜想，或反通過實驗和測量感性的判斷，而必須是經過一系列的嚴密的邏輯推理和論證作出的理性判斷。推理論證的過程要符合客觀實際，論證要有充分的根據，不能憑主觀想象。證明中的每一點推理論證的根據就是命題中給出的題設和已證事項，定義、公理和定理。換言之，幾何命題的證明，就是要把給出的結論，用充分的根據，嚴密的邏輯推理加以證明。

每一個命題都是由題設和結論兩部分組成的，要求學生從命題的結構特征進行劃分，掌握重要的相關聯詞句。例：“如果……，那么……?！薄叭簟?，則……”等等。用“如果”或“若”開始的部分就是題設。用“那么”或“則”開始的部分就是結論。有的命題的題設和結論是比較明顯的。例：如果一個三角形有兩個角相等（題設），那么這兩個角所對的邊相等（結論）。但有的命題，它的題設和結論不十分明顯，對于這樣的命題，可要求學生將它改寫成“如果……，那么……”的形式。例如：“對頂角相等”可改寫成：“如果兩個角是對頂角（題設），那么這兩個角相等（結論）”。在解題的過程中需要學生掌握基本的規律定律，也要擁有嚴密的邏輯思維，以便能夠使推理變得有理有據。

二、教師要加強對于學生的幾何書寫規范

在教學的過程中我們發現，不少學生在書寫的時候往往不注意格式，推理、求證的思路不能直接體現出來，這就給學生的有效解題帶來了難度。教學中教師要注重對于學生書寫格式的規范化教育。最好能夠引導學生根據命題的題意結合相應的幾何圖形，把命題中每一個確切的數學概念用它的定義，數學符合或數學式子表示出來。命題中的題設部分即被判斷的“對象”寫在“已知”一項中，結論部分即判斷出來的“結果”寫在“求證”一項中。使對于題目的求證變得更加有序、整潔。

例1：求證：鄰補角的平分線互相垂直。已知：如圖∠AOC+∠BOC=180°，OE、OF分別是∠AOC、∠BOC的平分線，求證：OEOF。

證明：

OE平分∠AOC

∠AOE=∠COE=∠AOC/2

OF平分∠BOC

∠BOF=∠COF=∠BOC/2

∠EOF=∠COE+∠COF=∠AOC/2+∠BOC/2=（∠AOC+∠BOC）/2=∠AOB/2=90°

OEOF

三、教師要做好學生邏輯推理能力與書寫能力的全面發展

由于命題的類型各異，要培養學生分析與綜合的邏輯推理能力，特別要重視問題的分析，執果索因、進而證明，這里培養邏輯思維能力的好途徑，也是教學的重點和關鍵。在證明的過程中要培養學生：在證明開始時，首先對命題竹：分析、推理，并在草稿紙上把分析的過程寫出來，以便之后在證明的時候能夠更加明確解題步驟，做到卷面整潔。初中幾何證題常用的分析方法有：

1、順推法：即由條件至目標的定向思考方法。在探究解題途徑時，我們從已知條件出發進行推理。順次逐步推向目標，直到達到目標的思考過程。

如：試證：平行四邊形的對角線互相平分。已知：ABCD，O是對角線AC和BD的交點。求證：OA=OC、OB=OD。

證明：

四邊形ABCD是

ABCD AB=DC

∠1=∠4 ∠2=∠3

在ABO和CDO中

ABO≌CDO（ASA）

OA=OC OB=OD

2、倒推法：即由目標至條件的定向思考方法。在探究證題途徑時，我們不是從已知條件著手，而是從求證的目標著手進行分析推理，并推究由什么條件可獲得這樣的結果，然后再把這些條件作結果，繼續推究由什么條件，可以獲得這樣的結果，直至推究的條件與已知條件相合為止。

如圖，已知在ABC中，EFAB，CDAB，G在AC邊上，∠AGD=∠ACB.求證：∠1=∠2.

推理：想要證明∠1=∠2，就要證明∠1=∠3，想要證明∠1=∠3，就要證明DG∥BC，還要證明∠2=∠3。根據這一倒推方法就可以進行有效的證明：

證明：

EFAB，CDAB，

EF∥CD，

∠2=∠3；

∠AGD=∠ACB，

DG∥BC，

∠1=∠3；

∠1=∠2.

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【關鍵詞】題設 結論 分析 畫圖 證明

俗話說："幾何學、叉叉角角，老師難教、學生難學"，眾所周知，幾何證明是數學教學的重點，也是難點。

在教學中，我認識到：很多同學對幾何證明題，不知從何做起，談到幾何學習就頭痛，甚至部分同學知道了答案，不知道怎么書寫解題過程，敘述不清楚，說不出理由，這使大部分的學生失去了學習的信心。

對此，我在數學教學中思考、摸索，得出了一些感悟，在幾何證明題教學中，我是從以下幾方面進行的：

1. 培養學生學會劃分幾何命題中的"題設"和"結論"

1.1 每一個命題都是由題設和結論兩部分組成的，要求學生從命題的結構特征進行劃分，掌握重要的相關聯詞句。例："如果……那么……""若……，則……"等等。用"如果"或"若"開始的部分就是題設。用"那么"或"則"開始的部分就是結論。有的命題的題設和結論是比較明顯的。例：如果一個三角形有兩個角相等（題設），那么這兩個角所對的邊相等（結論）。但有的命題，它的題設和結論不十分明顯，對于這樣的命題，可要求學生將它改寫成"如果……那么……"的形式。例如："對頂角相等"可改寫成："如果兩個角是對頂角（題設），那么這兩個角相等（結論）"。

以上對命題的"題設"和"結論"劃分只是一種形式上的記憶，不能從本質上解決學生劃分命題的"題設"、"結論"的實質問題，例如："等腰三角形兩腰上的高相等"學生會認為這個命題較難劃分題設和結論，認為只有題設部分，沒有結論部分，或者因為找不到"如果……那么……"的詞句，或者不會寫成"如果……那么……"等的形式而無法劃分命題的題設和結論。

1.2 正確劃分命題的"題設"和"結論"，必須使學生理解每個數學命題都是一個完整無缺的句子，是對數學的一定內容和一定本質屬性的判斷。而每一個命題都是由題設和結論兩部分組成的，是判斷一件事情的語句。在一個命題中被判斷的"對象"是命題的"題設"，也就是"已知"。判斷出來的"結果"就是命題的"結論"，也就是"求證"?？傊?，正確劃分命題的"題設"和"結論"，就是要分清什么是命題中被判斷的"對象"，什么是命題中被判斷出來的"結果"。在教學中，要在不斷的訓練中加深學生對數學命題的理解。

2. 培養學生將文字敘述的命題改寫成數學式子，并畫出圖形

2.1 按命題題意畫出相應的幾何圖形，并標注字母。

2.2 根據命題的題意結合相應的幾何圖形，把命題中每一個確切的數學概念用它的定義，數學符合或數學式子表示出來。命題中的題設部分即被判斷的"對象"寫在"已知"一項中，結論部分即判斷出來的"結果"寫在"求證"一項中。

例：求證：鄰補角的平分線互相垂直。

已知：如圖∠AOC+∠BOC=180°， OE、OF分別是∠AOC、∠BOC的平分線。

求證：OEOF

3. 培養學生學會推理證明

3.1 幾何證明的意義和要求。

對于幾何命題的證明，就是需要作出一判斷，這個判斷不是僅靠觀察和猜想，或反通過實驗和測量感性的判斷，而必須是經過一系列的嚴密的邏輯推理和論證作出的理性判斷。推理論證的過程要符合客觀實際，論證要有充分的根據，不能憑主觀想象。證明中的每一點推理論證的根據就是命題中給出的題設和已證事項，定義、公理和定理。換言之，幾何命題的證明，就是要把給出的結論，用充分的根據，嚴密的邏輯推理加以證明。

3.2 加強分析訓練、培養邏輯推理能力。

由于命題的類型各異，要培養學生分析與綜合的邏輯推理能力，特別要重視問題的分析，執果索因、進而證明，這里培養邏輯思維能力的好途徑，也是教學的重點和關鍵。在證明的過程中要培養學生：在證明開始時，首先對命題粗審、分析、推理，并在草稿紙上把分析的過程寫出來。初中幾何證題常用的分析方法有：

①順推法：即由條件至目標的定向思考方法。在探究解題途徑時，我們從已知條件出發進行推理。順次逐步推向目標，直到達到目標的思考過程。如，試證：平行四邊形的對角線互相平分。

②倒推法：即由目標至條件的定向思考方法。在探究證題途徑時，我們不是從已知條件著手，而是從求證的目標著手進行分析推理，并推究由什么條件可獲得這樣的結果，然后再把這些條件作結果，繼續推究由什么條件，可以獲得這樣的結果，直至推究的條件與已知條件相合為止。

③倒推-順推法：就是先從倒推入手，把目探究到一定程度，再回到條件著手順推，如果兩個方向匯合了，問題的條件與目標的聯系就清楚了，與此同時解題途徑就明確了。

3.3 學會分析。

在幾何證明的教學過程中，要注意培養學生添輔助線的能力，要注意培養學生的創新思維能力和處理問題的機智能力；要使學生認識到在幾何證明題中，輔助線引導適當，可使較難的證明題轉為較易證明題。但輔助線不能亂引，而且有一定目的，在一定的分析基礎上進行的。因此怎樣引輔助線是依據命題的分析而確定的。

例：如圖兩個正方形ABCD 和OEFG的邊長都是a，其中點O交ABCD的中心，OG、OE分別交CD、BC于H、K.

求：四邊形OKCH的面積。

分析：四邊形OKCH不是特殊的四邊形，直接計算其面積比較困難，連 OC把它分別割成兩部分，考慮到ABCD為正方形，把OCK繞點O按順時針方向旋轉90°到ODH，易證OCK≌ODH

4. 培養學生證題時養成規范的書寫習慣

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一、新課改對教學的要求

新的課程改革不僅要求教師激發學生的學習積極性，在教學過程中與學生積極互動，促進學生在教師指導下主動地、富有個性地學習，從而培養學生掌握和運用知識的態度和能力，而且要求教師由原來的知識的傳授者、灌輸者轉變為主動地為學生搭建學習知識的腳手架的搭建者和引領者，通過創設基于學生實際情況且有利于學生學習新教學內容的教育情景，引導學生自主進行探索教學內容的本質和規律。

導數是高等數學中的內容，又是微積分的重要組成部分。函數在一點處的導數的定義的實質是函數f(x)在x0處的增量與自變量x在x0處增量之比的極限。這樣的概念是非常抽象的，不易于學生的學習和掌握。由于導數是從許多實際問題中抽象出來的數學概念，有著豐富的實際背景，因此，教師應從實際出發，從實例著手，創設有利于職高學生主動學習和探究的實際問題的教學情境，激發學生的學習熱情，活躍學生的思維。通過教師與學生的互動合作，通過學生自己的觀察、交流、推理、歸納等活動，學生能從客觀的一般規律、幾何或物理原型中，得出導數的概念。在此過程中，教師起到的是促進學生活動，引導學生探究的作用，促進學生多方面能力的培養。同時，根據前蘇聯著名的心理學家維果茨基的教育的“最近發展區”：教育對兒童的發展能起主導作用和促進作用，但需要確定兒童發展的兩種水平：一種是已經達到的發展水平，表現為兒童能夠獨立解決的智力任務；另一種是兒童可能達到的發展水平，表現為兒童還不能獨立地解決任務，但在成人的幫助下，在集體活動中，通過模仿，能夠解決這些任務。在新課改的要求下，教師需要能夠正確把握學生的“最近發展區”，從學生的實際和現有水平出發，進行導數概念的教學，從而達到加速學生對概念的理解與掌握的目的。

二、職高學生的實際現狀

目前職高的學生基本上都是因為沒有考取高中，退而求其次，選擇了職業高中。一方面，這部分學生和高中生相比，相對的基礎知識和接受能力能力、思辨能力、邏輯推理及歸納能力都要稍遜一籌，同時知識面相對狹窄。由于是由初中直接升上來的，在物理等方面的知識也是十分有限的。另一方面，職高的學生真正開始接觸和學習高等數學就是是從學習導數開始的，在此之前學生所學習的內容都是初等數學。從初等數學到高等數學，學生在知識內容、思想方法等方面有了比較大的跨度，再加上剛開始接觸導數這樣一個十分抽象的概念，因此很難適應和接受。

三、創設情景引入導數的概念

創設速度問題的教學情境，變速運動的速率是導數的物理意義，有助于學生掌握導數的實質。

學生通過以上情境得出概念，不僅能掌握實質，而且能為導函數概念教學打下良好的基礎。

四、培養學生多方面的能力

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1.邏輯推理過程有一定的難度。學生對數學定義、定理、公理、判定、性質、法則等理解膚淺，全憑感性認識，思維不嚴謹，推理不嚴密，不會靈活運用它來解決或證明一些數學問題，以至于無法形成較好的邏輯推理能力。

2.語言表述方面的困難。幾何講究思維嚴密性，往往過分專業而嚴密的敘述要求使學生無法逾越語言表述的障礙，仿佛就像一座無法逾越的“城墻”。

3.證明過程及分析條理的困難。面對幾何證明題無從下手，不知道哪些步驟該寫，哪些步驟可以省略，最終導致關鍵步驟缺失。

4.解圖能力的困難。針對于一些復雜的圖形看成是由一些簡單圖形組合而來的。不會由有關圖形聯想到相關的數量關系，挖掘隱含條件。

5.結合實際生活的能力。幾何來源于生活，在生活中幾何無處不在，學生學習時不善于與周圍實際生活聯系起來展開豐富想象。

教師對入門教學的成敗，對學生學習幾何知識，起著特殊作用。因此幾何入門的教學在幾何教學中占有很重要的地位，值得我們教師認真去探索。針對學生學習幾何的以上困難，我認為，教師在幾何“入門”教學時應轉變教學思路，把嚴密的邏輯推理和合情推理有機的結合起來，通過猜想、觀察、歸納等合情推理，讓學生消除對幾何學習的恐懼心理。要在數學活動中來學習幾何，即“做數學”。還要加強學生探究性學習，結合圖形理解運用。讀圖、識圖要遵循由簡到繁的規律，先從簡單的圖形開始，逐步向復雜的圖形過渡。作輔助線要根據已知條件以及與其有關的定理作輔助線或者進行逆向思維，從結論出發，結合已知條件缺什么補什么。教師是學生學習過程中的引導者，至此在教學過程中我認為要始終堅持做到以下幾點：

一、 教師本身熟透教學目標和教學重點。

如果不精通教材，對教學目的要求把握不好，那么，在教學過程出現盲目性，這樣，教學效果肯定不理想，更談不上達到什么教學目的，所以，教者應該知道每一部分內容應該教給學生什么知識。學生對這部分內容的知識應該掌握到什么程度才算是達到教學目的。如在講同位角、內錯角、同旁內角的概念時，可以從這些角產生的過程入手，根據‘三線八角’并對其具有的特殊位置關系的角加以命名。在教學中不必給出嚴格的定義，重在會認。

二、 注意培養學生學習幾何的興趣

初中數學從研究數式到研究圖形，從數式計算到邏輯推理，是一個大的飛躍。所以初學平面幾何的學生會遇到各種障礙。激發學生學習幾何的興趣，是幾何入門教學的一個重要環節。為此在剛開始幾何教學中，我常常拿一些實物教具，如：三角板、圓規等進行線、角教學，消除學生對幾何的陌生感、恐懼感，然后精心設計一些實例，說明幾何知識及圖形在實際生活中的應用。如：飛機螺旋槳的外端連接是什么？為什么利用勾股定理可以計算一些邊長等等？。這樣充分利用幾何本身的趣味性和實用性，改變幾何教學枯燥無味的現象，形成積極的學習態度，形成良好的學習循環，同時也培養了學生的直覺思維能力。

三、 注意幾何學習方法指導

正確地認識圖形，是學好幾何的基礎，通過看、說、寫、畫訓練，不僅加深對概念理解，同時培養學生的語言表達能力；培養學生預習的學習習慣，摘出重點，標出難點，提出疑點，理清知識的前后聯系，帶著問題去聽課，得到事半功倍的效果；適當地組織課堂討論，讓學生就某個問題發表自己的見解，充分發揮學生的積極性和創造性。如“平角是一條直線”對嗎？“直角就是90°對嗎？通過討論，使學生加深對概念的理解，明確了直線與平角，直角與度數的區別與聯系；運用多媒體教學手段，讓圖形“動”起來，即使學生受到新奇的感官刺激，又可以更恰當、更有效地展示教學中的變化規律，讓學生充分享受發展的樂趣。

四、 重視幾何基本概念教學，引導學生掌握好幾何概念。

重視基本概念的教學，是數學科教學的總要求，但對幾何教學而言，還有其特殊的意義和特定的要求，幾何概念大致可分為三類。第一類是既不加定義，也不給予解釋的概念，如“延長…… ”， “在……之上”等等。這類概念要求在教學過程中要注意多次重復，使學生通過潛移默化學會使用，并能正確表達和應用于畫圖。第二類是有所定義，但涉及內容較少的概念，如“全等三角形的對應角”“同位角”“多邊形”等，這類概念在教學過程中要注意引導學生正確掌握這些概念的實質，既知道是如何從具體實例中抽象出來，又能夠靈活運用。第三類是有準確的定義，涉及內容較多，而且還具有判定作用或性質作用的概念，如“直線的平行”“等腰三角形”等等，這類概念特別重要，在教學過程中既要重視這些概念的意義的講解，又要重視用圖形語言、幾何符號來表示這些概念，使學生能夠牢固掌握好它。

五、舉一反三是學習幾何的策略

推理論證是提高學生分析問題，解決問題能力的重要手段，因此，從開始就應加強推理基本訓練，注意教給學生正確的分析方法。從“已知”入手，由已知條件可以推出哪些結果？從“求證”入手，若要求得到結論需要具備什么條件？從教材的基本例題，習題出發，適當地改變題目的條件和結論，從而引出一系列新的問題，激勵學生自己去分析、去探索、去證明，創設一個思維境地，獨立完成證明，從而提高學生的解題水平，真正入門。

六、重視幾何語言的教學，引導學生掌握好幾何語言

幾何語言極為規范、嚴謹，按其敘述方法可分為文字語言和符號語言。按用途可分為描述性語言，推理語言和作圖語言。對于文字語言，在教學過程中要力求生動、形象、準確，通過教者示范，使學生掌握“所有”“延長”“連接”“截取”“對應”“在……之上”等等述語的用法。符號語言是推理論證的基礎，在教學過程中要注意引導學生將重要概念公理、定理，推論符號化，通過范句、范例培養學生使用符號語言規范化，并進行文字語言和符號語言互釋互譯的練習，循序漸進地進行教學，學生才能掌握好幾何語言，并不斷地提高幾何語言的表達水平。

七、注意培養學生畫圖、看圖、識圖的能力

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【關鍵詞】正反例同步教學法 經濟數學 教學模式

【中圖分類號】F22 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）06-0101-02

作為經管專業一門非常重要的基礎課，經濟數學為經濟管理問題的研究提供必要的數理方法。隨著當今高等學校招生規模的擴大，學生的綜合素質有所下降，難以適應大學數學的學習。因此，教師應認識到這種變化，本文試圖通過正反例同步教學模式，在經濟數學的教學中，培養學生善于思考、推理及運用所學解決實際問題的能力，從而提高學生學習效果。

一、正反例同步教學模式

同步教學使得教師的講與學生的聽同步進行，其結構為：組織教學溫故練習新課教學練習，是一個不斷往復的過程，每一段都實現了教師講授與學生聽課的同步。為了能夠達到課堂效果，教師應事先做好充分準備，對于前面講過的知識及時復習，并對學生出錯的題進行集中糾錯，通過練習加深記憶與理解。在講授新課時，仍需輔以具體實例以便對新的概念做出解釋、說明。在同步教學過程中，新的概念、定理等往往比較抽象、晦澀難懂，此時先以正面的例子加以說明，使得學生有個直觀地認識，并初步理解概念、定理的條件結論等，能夠運用所學概念、定理解決基本問題。在這個階段，學生對于概念、定理往往一知半解，理解得不夠透徹，并且相似的概念容易張冠李戴，此時需以典型的反例加以鞏固，通過反面例子的講解，指出學生容易出錯的地方，從而對新概念、定理有了更深的認識。

二、正反例同步教學方法應用

經濟數學屬于高等數學的范疇，包括微積分、線性代數、概率論與數理統計等內容，該課程是提高經管類學生數學素養與思維創新能力的重要途徑之一。下面，我們以微積分中的題目為例分析說明正反例同步教學法的應用。

（一）溫故知新，課堂復習中的正反例同步模式

教師組織課堂教學，帶領學生共同回顧上一堂課所學內容，通過對以往內容的梳理鞏固所學，正所謂“溫故而知新”。如在介紹無窮小概念時，提到了有限個無窮小之和仍為無窮小，可根據無窮小的定義及極限的四則運算法則證明。為了讓學生能夠更加清楚，此時可采用正面例子，如■（x2+sinx+tanx+ln（x+1）+arcsinx）=0復習完了這個結論似乎已經結束了，但是學生在明白了有限個無窮小的和具有這種特點時，很自然地會想到對于無窮多個無窮小的和會不會也是無窮小。此時，可以此設置問題，供學生思考，并請學生踴躍發言進行討論。

（二）靈活運用，新課講解中的正反例同步模式

（三）創新思維，邏輯推理中的正反例同步模式

為了培養學生具有獨立思考的創新思維，教師教學過程中應注意引導，讓學生提出與本節相關的且有疑惑的問題。同時，教師留出時間便于學生討論。針對所討論的問題，加以引申，并注重知識間的關聯性，通過回顧所學知識，建立知識鏈，從而培養學生的邏輯推理能力。如在復習一元函數微分概念時，可以得到函數的可導、可微是等價的，即可導？壙可微。根據導數、微分的概念及幾何意義，也可以得到函數的導數與微分的關系。聯系前面介紹的函數連續概念，進一步可以得到一元函數在閉區間[a，b]上可導，一定也是連續的，但是由函數的連續無法推得可導或可微，即可？壙導可微連續，如分段函數f（x）=x2 -1≤x≤0x 0

三、結束語

在經濟數學的教學過程中，適當地使用正反例可以幫助學生辨認、分清概念，從而可以很好地掌握基本知識，并運用所學知識解決問題。本文在課堂復習、新課講授中采用正反例同步教學模式，著力培養學生獨立自主的創新能力與邏輯推理能力。

參考文獻：

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[2]陳鼎興.數學思維與方法[M].南京：東南大學出版社，2008.

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關鍵詞：應用型高校；計量經濟學；課程教學

計量經濟學的學科內生性要求與“應用型高?！钡膶W生培養目標之間存在部分偏離。這種偏離對教師的授課提出了更高的要求，這意味著教師要在學科內生性要求之間與學生所必須掌握的計量經濟學基本理論、基礎知識與強化對實際經濟問題的科學觀察能力、應用知識能力、邏輯分析能力和實際操作能力之間確定平衡，以此提高教學效率。

一、方法論特征與能力培養

從經濟學誕生以來，關于經濟學的方法論就受到了廣泛的討論，而且學者研究的視角不同，結論也不一致。但經濟學提供給了人們一套觀察現實經濟現象、分析經濟現象背后的自然邏輯、提出相關經濟問題的解決對策等方法則基本是所有經濟學者和方法論學者都認同的。簡單說，經濟學提供了一套分析框架和邏輯體系，以幫助人們認識現實經濟世界。計量經濟學作為現代經濟學的四大領域之一，其內容紛繁復雜。在一定意義上，由于現實可觀測數據的變化特性從而使其具有與其他經濟學科相比更大的發展性。但是，由于計量經濟學仍然是一門經濟學科，其方法論特征更加明顯。許多計量經濟學研究者都特別提到了這一點。進一步，計量經濟學方法論特征的進一步體現在一定意義上簡化為經濟問題分析和研究的這樣一種邏輯體系，即“經濟現象的觀察、經濟問題的理論分析、計量經濟學模型的構建、數據的搜集與處理、計量經濟模型的估計、計量經濟模型的檢驗、計量經濟模型的應用”。事實上，這樣的邏輯體系也是科學研究的本質。從這一邏輯體系來看，每一個環節都特別突出了計量經濟學實踐能力的培養，都暗含了計量經濟學在方法論方面的要求。因此，這一方法論特征給予了計量經濟學在“應用型高?！苯虒W中提升學生應用實踐能力更大的權重。這意味著，在實際教學中，要始終注意計量經濟學的方法論特征，注重經濟問題分析方法和工具的傳授，而不是只強調理論知識和數學推導與證明，這一點對于計量經濟學的教學尤其具有意義。在經濟現象觀察的階段要培養學生的思考能力，經濟問題的理論分析和計量經濟學模型的構建中要培養學生的知識運用能力和協調能力，數據的搜集和處理則需要學生的動手操作能力和實踐能力、計量經濟學模型的估計和中檢驗中要培養學生的操作能力、知識運用能力、思考問題能力等，在計量經濟學模型應用中培養理論與實踐相結合的能力。

二、經濟現象與直覺理解

經濟現象存在于我們的經濟生活當中，對經濟現象（經濟問題）的把握是經濟學方法論的主要特征。這種把握也是進行計量經濟分析的基礎。從根本上說，休謨問題的起始正是對現象的分析，這也是眾多學者詬病目前計量經濟學教材只重視參數估計和檢驗進而缺少實際分析的原因。在實際教學中，要重點強調經濟現象的直觀把握，增強學生對問題分析的經濟學直覺，而不是過分注重模型的構建。對經濟現象的初始認識非常重要，這種認識包括對即將進行的模型分析的初步的認識，包括這樣的問題有沒有意義，這個問題能不能提煉出可驗證的經濟學假說等。從模型的角度理解，則意味著這種經濟現象所體現出來的被解釋變量是什么，解釋變量又是什么，解釋變量又是如何影響被解釋變量等問題。對經濟現象的分析正確把握也是本科計量經濟學學習的第一步，同時，也是培養學生應用和實踐能力的開端。雖然經濟現象非常重要，但要對其徹底進行把握則是非常困難的，這就需要發揮經濟學直覺的作用，經濟學直覺能夠幫助我們建立初步的判斷，而且這往往也有助于對問題的深入理解。比如，在研究農業產出的決定因素這一計量模型時，就要引導學生思考那些因素會影響產出水平，進而再具體進行分，這就是經濟學直覺的訓練。再比如，對于總體模型隨機擾動項方差的估計，就要通過將總體回歸模型與樣本回歸模型的比較，建立起殘差項與隨機擾動項之間聯系的直覺。這樣，學生的理解和對問題的把握就較容易進行，再進行正式的數學證明就會較簡單。

三、科學分析與邏輯推理

盡管通過經濟學直覺可以幫助學生認識和把握經濟現象，但這只能作為非正式的分析來進行，對計量模型的科學分析和邏輯推理還是基本的方法?？茖W分析建立在掌握的經濟理論、方法和工具上。在實際教學中，科學分析與邏輯推理重要的是要完整體現分析與推理的過程，而不是僅僅應用數學模型構建和求解來進行，過分強調數學公式的證明和推導。要綜合運用多種方法來進行。比如，對于計量模型解釋變量的選擇這樣的問題，就是要步步進行，嚴格分析和邏輯推理過程。不能因為邏輯推導的過程過于復雜就省略，這樣，學生的能力得不到培養，因為，學生的科學精神沒有建立的機會。同時，學生對于結論的把握也是不清楚的，很容易遺忘，對于能力的培養起不到作用。可以綜合運用語言描述、幾何圖形和數學來進行邏輯推理，建立分析嚴謹的能力和精神。

四、教學內容與授課方法

教學具體內容是課堂教學中的一項重要組成部分，并且，在傳統的教學過程中，教學內容構成了課堂教學的重要部分。計量經濟學的教學內容由于學科內生性要求，其系統性較強。這意味著學生只有經過長期學習的“漸修”過程，才有可能“頓悟”。對于“應用型高校”中的教學而言，可能就浪費了時間。在應用型能力的培養中，要設計科學的授課方法，竭力整合教學內容，盡量使學生在較短的時間內能夠掌握基本的學習內容，同時，又能完整理解學習內容的邏輯關系，減少學習和理解掌握的難度，減少“漸修”期限，增強“頓悟”能力。眾多學者在這一方面進行了探索。在一元線性回歸模型的教學中，盡管內容非常簡單，但所包含的思想、方法和工具確實十分豐富的，具有基礎性作用，其也是日后學習更復雜內容的基礎。具體講，首先，要體現思想性、方法性的學習。要幫助學生理解經濟問題分析的內容是什么？（對于這一問題，許多同學是不清楚的，這體現在畢業論文寫作過程中的因果不分和計量軟件實習當中的被解釋變量和解釋變量位置的顛倒），讓學生明白經濟問題分析、經濟理論、經濟模型、變量之間的關系，這樣的層次遞進關系。進而，要知道計量經濟學研究的是不確定性的關系及為什么是不確定性的關系。這種不確定性的關系為什么又在現實中表現出來進而表征為經濟現象（經濟問題）？第二，進入一元線性回歸模型（最簡單的描述變量之間關系的學習）。當然，在這個過程中，要說明為什么是一元模型而不是多元模型？總體回歸模型的客觀性、不可觀測性和唯一性等。在接下來的分析中，最重要的是隨機擾動項的解釋和理解，被解釋變量的隨機性及其一次實現的確定性。對于設定的一元線性回歸模型，要清晰地說明，分析和研究的主要任務是什么？即估計總體模型中的總體參數的一個“科學合理”的估計。估計之前要講清楚這個純數學模型的假設條件，特別要說明其經濟學直覺含義。接著是總體參數的估計過程。第三，弄清楚估計的參數估計量是不是“科學合理”，這實際上就是要分析估計量的特征，重要的是講清楚參數估計量的隨機性，在這個過程中要注意推導過程中的假設條件在此的應用，使學生理解假設條件的作用與最終的結論之間的關系，為日后的學習打下良好的基礎。第四，是考察參數估計量“科學合理”的第一步，即參數估計量表示的樣本回歸模型中變量之間的關系是不是“能”真正“揭示”總體模型中解釋變量和被解釋變量之間的關系，這實際上就是總體參數的顯著性檢驗。第五，考察總體參數“科學合理”的第二步是說明這樣的參數估計量多“揭示”總體模型中解釋變量和被解釋變量之間關系的程度，即在“能”基礎上的“程度”問題，也就是要考察其擬合程度。第六，考察考察總體參數“科學合理”的第四步是考察這樣的估計值的實際結果如何？即參數估計值揭示的關系的應用。第七是考察考察總體參數“科學合理”的第五步，要說明參數及模型的穩定性。

五、學科“文言文”與理解“白話文”

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有的說：“我們現在的數學學習是使得其中5％的人取得所謂的成功——上大學，而95％的人成為失敗者。數學已成為枯燥乏味的代名詞，數學不過是那些數學演算紙上的智力游戲……”“現行中小學數學課程處于一種現代數學的本質已經發生了很大的變化，但我們的數學課程仍然停留在20世紀初期的數學觀念上，就是把數學等同于計算、推理、證明的狀況?！?/p>

在2005年度諾貝爾物理學獎揭曉后，中國工程院院士、清華大學教授吳佑壽指出：“制約我們獲諾貝獎的關鍵因素在于我們缺乏創新精神，而這種創新精神的缺乏是由我國的現行教育體制所決定的。在現行教育體制下，衡量一個學校辦學水平高低的唯一指標就是升學率。在高考指揮棒的指揮下，學校的一切工作重心都是為了提高升學率，無論學生還是老師，對考試成績的追求已達一種瘋狂的境地，死記硬背成了奪取高分的法寶。我們離諾貝爾獎還有多遠？這個距離不是那么簡單的幾句話就可以概括的。但如果我們不改變應試教育的教學方法，如果我們不改變傳統文化對我們的負面影響，……我想，這個差距還是難以在短時間內得以縮短的?！笔刮覀儾坏貌辉僖淮畏此紨祵W教育的價值，不得不再一次思考如何才能讓數學返樸歸真。

二、追溯數學的發展歷史不難發現，數學的誕生發端于生存的需求。數學是抽象出的關于秩序與模式的學科，又是對世界與生活的理性思考。

而隨著數學的不斷發展，我們卻逐漸將它演變成為少數人的智力游戲，成為檢驗一個人智力高低的標準。我們在課堂上引領學生花費大量的精力去追求的，卻僅僅是解題方法的總結和數學知識技能的簡單積聚。學生在邏輯思維枷鎖的約束下，機械的套用僵硬的公式，肢解著邏輯的各個鏈結，對問題的整合意識極其淡薄，缺乏自我對數學的理解方式，在解決新的問題面前一籌莫展，逐漸喪失了自主、自我的思考能力。長此以往，數學教育教給學生的便是用絕對的熱情與精力關注繁雜的公式，陷入試題的海洋，并樂此不疲；而很少教師有意識的去引導學生從那些枯燥的內容里獲得對客觀事物和生活的觀察與認識，以及對理性精神的認同、強化與提升。數學教育不但沒有起到明智的作用，反而使學生喪失了學習數學的興趣。這將是一個值得深思的課題。

數學主要是培養學生邏輯思維能力的，但不能因為數學學得不好，就說明邏輯思維能力差，進而表明智商低。數學是抽象出的符號體系，是相對于感性的另一種理性的表達式。學生缺乏的只是對抽象的符號體系的理解，而不是邏輯思維能力本身。因此數學教育的關鍵是讓抽象的符號體系向生活實踐復歸，這正是數學教育的價值所在。

三、關于什么叫有用，什么叫無用，很好地把握，不容易。比如可用來買菜、算賬就是有用嗎？或者更高級一點，可以用來計算利息？看懂股市行情就是有用嗎？再高級一點，能夠用來解決某個實際問題就是有用嗎？都是，但又都不完全是。我認為，任何數學知識都是有用的：而且數學知識的作用是動態的，即它要隨著時間與空間的變化而變化。“人人都學有用的數學；有用的數學應當人人所學；不同的人學不同的數學。”這樣，把數學區分為“好數學”與“壞數學”是沒有意義的。

數學教育在素質教育中承擔著非常獨特的任務，學生的邏輯推理技能、抽象思維能力的培養主要依靠數學教育。因此，在數學教學中對學生進行系統的邏輯推理訓練始終是最重要的，這與發展學生的創新精神和創造力不但沒有矛盾，而且是相輔相成的。因為在當今信息社會中，對瞬息萬變的信息的判斷和選擇能力至關重要，而這種能力的基礎就是邏輯推理能力。沒有一定的邏輯推理能力作為基礎，創造力、解決問題的能力等都將成為空中樓閣，解決問題的過程也只能是嘗試錯誤式的，其質量和效率都是無法保證的。沒有系統的邏輯推理訓練，數學的思維方式就不可能建立起來，數學的精神、思想和意義等也無法體驗和領悟。

因此，數學的有用或無用，不能僅僅看它是否能夠在現實中得到直接應用，還應當看到它在提高學生素質上的作用。從某種意義上說，技術是可以通過適當的訓練而學會的，但是智力的開發是有時機的，在相應的發展階段如果得不到應有的培養，學生的智力就會失去發展機會。

四、教科書的內容要和“有用”緊密地聯系在一起。這個“有用”不僅包括對培養基本知識和技能有用、還包括對形式初步的創新意識和實踐能力有用、對孩子未來的生活和做事做人有用。

新理念的數學教學，要求緊密聯系學生熟悉的生活實際，可以從他們的經驗和已有知識出發，引導探索新知識。但凡熟悉的事物總讓人感到親切，在熟悉的生活場景中，更易引發學生的積極性，從而使他們從容不迫地探索新知。

但我們的教科書傳統上卻多是板著面孔，看上去離孩子的生活較遠。其實數學的嚴謹性未必一定要通過板著面孔體現。孩子用的教科書一定要貼近孩子的生活，讓他們感到親切。這樣才能產生樂學、好學的動力。

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關鍵詞：初中英語閱讀理解能力培養

隨著現代化社會的飛速發展，英語變得越來越重要了，尤其是對我們初中畢業班的學生和家長來說學好英語就更為重要了。然而閱讀能力的好壞是學好英語最為關鍵的事情之一，所以怎樣去提高閱讀能力就變得非常重要。

一、培養學生的閱讀興趣

愛因斯坦說過：“興趣是最好的老師。”興趣是推動學生學習的內在動力。學生在課堂上學到的是基礎知識和基本技能技巧，要使學生的閱讀理解能力得到提高。還需要大量的廣泛的課外閱讀。廣泛的閱讀是學好英語的一個重要途徑。從簡單易懂的趣味故事、幽默故事、以及學生感興趣的明星、運動題材入手。逐漸培養學生對閱讀的興趣。將被動的學習轉變為積極主動的學習。這也是我們教學的主要目的之一。較濃的閱讀興趣可以使學生主動地涉獵廣泛的閱讀材科，從而自己拓寬知識面，提過閱讀速度、閱讀技巧。全面提高閱讀理解能力。

二、加強詞匯訓練

詞匯是構成語言的基本元素。詞匯量的大小直接決定學生的閱讀理解能力。在日常的教學工作中。教師一定要把好詞匯關，除了要求學生掌握課本中的詞匯，還應對現有詞匯進行擴充，在教學中多加歸納。歸納一詞多義的詞。如view有視力、風景等不同and watch或make、let含義；歸納用法相近的詞，如：see、hearand have etc；歸納總結反義詞、近義詞、同義詞：也可利用前綴和后綴擴充詞匯，如mini是前綴，列舉mini表示小型的東西：minibus、miniskirt etc；利用合成詞擴充詞匯。如教classmate時schoolmate deskmate可列舉workmate etc。詞匯的學習過程是和遺忘做斗爭，因此要采用各種手段、方法、啟發學生思考，加強印象。利用音、形、義，結合機械化記憶和理解記憶，鞏固和提高詞匯量。

三、培養學生良好的閱讀習慣

要提高閱讀速度和理解的準確率。學生必須具有良好的閱讀習慣。良好的閱讀習慣，主要有以下幾個方面。

1.培養視讀、默讀能力。學生在閱讀的過程中總是用手或筆尖指著文章逐字地讀，或是讀出聲音。這些都是閱讀中的陋習，而且會影響閱讀的速度。因此，在閱讀訓練中應培養學生視讀、默讀的習慣，提高閱讀速度。

2.少查或不查字典。由于學生的詞匯量有限，在閱讀時難免會遇到不認識的單詞，這個時候學生不應停下來反復思考這個詞是什么意思。而應跳過去繼續讀。就是遇到一些反復出現。影響文章理解的關鍵詞，也應通過上下文的語境來理解，不要一碰到生詞就查字典。平時養成了習慣會有依賴性，不肯主動思考。

3.集中精力閱讀。閱讀時應強調注意力高度集中。讀得快，視時短，信息輸入時就會更多地注意關鍵詞，省略掉次要細節。抓住中心大意。如果讀得慢，容易在一些詞匯上停留，造成對文章整體意義的忽視與局部情節的遺忘，但還要注意閱讀時不可不斷地回過去閱讀。

4.帶著問題閱讀，閱讀時，要求學生帶著問題閱讀。這樣做便可“有的放矢”。對與問題無關緊要的句子便可跳過，從而提高閱讀速度。有目的性的閱讀，有助于提高閱讀速度和閱讀質量。

四、讓學生掌握必要的閱讀技巧

在訓練中，教師應結合英語閱讀的目的和常見的閱讀考題形式，講授一些基本的閱讀技巧，來提高學生的閱讀理解能力。以下為一些常用的閱讀技巧：

1.抓住文章的中心思想，一個段落總是表達一個中心或主題思想，其通常可以用～句話來概括，即主題句。要抓住文章的中心思想。就要找它的主題句，所以閱讀時要引導學生特別注意從文章的開頭和結尾尋找主題句。不過有些文章的主題句不明確，這時就應注意句子問的邏輯關系。

2.猜測詞義。閱讀中遇到生詞。為了不影響閱讀速度和思維連貫性，不必每遇生詞就停止閱讀，查閱詞典，要求學生可以通過以下幾種方法，猜測詞義。A、構詞法。通過前后綴猜測詞義或轉變詞性而獲得新意義。如由possible猜出impossible的意思，由law猜出lawyer的意思。B、定義法。文中常用解釋性詞語other引出生詞含義。如to be、that is、mean、in words等。有時也以同位語。定語從旬的形式出現，或用破折號、括號來表示。C、生活常識法。運用邏輯推理能力、自身的生活經驗和生活常識。再聯系上下文能讀懂的部分，能夠正確猜出詞義。如：Mostof the roses to wither because of theare cold天氣beginning冷了。玫瑰開始枯萎，這是生活常識。我們不難猜出wither的意思是?？菸?。D、例證法。根據列舉的事例可以猜出新單詞的意義。例如：lhave a toothache。I need to to the dentist。從gotoothache不難猜出dentist為“牙科醫生”。E、忽略法。有的新單詞即使不明詞義，也不影響對全文的理解，我們沒有必要在這些單詞上停留不前，影響文章整體的理解。應該忽略。

3.注意連詞和指代代詞連詞是閱讀中必須注意的一個重要方面。它反映了句與句各個層次意思之間的邏輯關系，如時間、因果、條件、讓步等。在but、however、while這些表示轉折意義的連詞出現的句子中。其前后有明顯的對比關系。Since、because、as連接原因狀語從句，so?that，、such?that連接結果狀語從句，通過前因后果的對比，依據已知部分，往往能猜句意。在閱讀中通常會遇到代替現象，這是作者為了避免重復或使上下文更緊密而常用的寫作方法。如：one、ones、it、they、those等等。這些詞在上下文中形成了一一照應的關系。弄清這些詞指代什么，有助于正確理解文章。

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    一、知識結構、邏輯推理及相互間的關系。

    在小學數學教學中,構建良好的數學知識結構是培養發展學生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早就指出:“所謂智力發展不是別的,只是很好組織起來的知識體系?！倍R體系因為其內在的邏輯結構而獲得邏輯意義。數學中基本的概念、性質、法則、公式等都是遵循科學的邏輯性構成的。

    “數學作為一種演繹系統,它的重要特點是,除了它的基本概念以外,其余一切概念都是通過定義引入的?！边@種演繹系統一方面使得數學內容以邏輯意義相關聯。另一方面從知識結構所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法(如邏輯推理等),再去獲取更多的知識。如學習“能同時被2、5整除的數的特征”時,我們是通過演繹推理得到的:

    所有能被2整除的數的末尾是0、2、4、6、8;所有能被5整除的數的末尾是0、5;因此,能同時被2、5整除的數的末尾是0。

    數學中的這種推理形式一旦被學生所熟識,他們又會運用它在已有知識的基礎上作出新的判斷和推理。

    學生知識的習得和構建,主要依賴認知結構中原有的適當觀念,去影響和促進新的理解、掌握,溝通新上知識的互相聯系,形成新的認知結構系統,這是數學知識學習過程中的同化現象。它包含三方面的內容:一是新舊知識建立下位聯系;二是新舊知識建立上位聯系;三是新舊知識建立聯合意義。這三方面與邏輯結構中的三類推理恰好建立相應的聯系。推理,是從一個或幾個已知的判斷得出新的判斷的過程。通常有:演繹推理(從一般性的前提推出特殊性結論的推理);歸納推理(從特殊的前提推出一般結論的推理);類比推理(從特殊的前提推出特殊結論的推理或從一般前提推出一般結論的推理)。如:教學“循環小數”時,先在黑板上出示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333;1÷3=0.333……、70.7÷33=2.14242……、299÷37=8.081081……等。觀察各式的商學生們直觀認識到:小數有有限小數、無限小數之分。進而從一組無限小數中,發現了循環小數的本質屬性,得到了循環小數的定義。由兩個或幾個單稱判斷10.333…的數字3依次不斷地重復出現,2.14242…的數字42依次不斷重復出現等,得出一個新的全稱判斷(循環小數的定義)是歸納推理的一種方法。

    在教學的過程中,教師結合教學內容,有意識地把邏輯規律引入教學,注意示范、點撥,顯然是有利于發展學生的邏輯思維能力。

    二、邏輯推理在教與學過程中的應用。

    1.如果原有的認知結構觀念極其抽象,概括性和包容性高于新知識,新舊知識建立下位聯系、新知識從屬于舊知識時,那么宜適當運用演繹推理的規則,由一般性的前提推出特殊性的結論。

    “演繹的實質就是認為每一特殊(具體)情況應當看作一般情況的特例”。為了得以關于某一對象的具體知識,先要找出這一對象的類(最近的類概念),再將這一對象的類的屬性應用于哪個對象。如:運用乘法分配律簡便運算時,學生必須以清晰、穩固的乘法分配律知識為基礎,才能得出:999×999+999=999×(999+1)=999000這里999×999+999=999×(999+1)是根據一般性判斷a×c+b×c=(a+b)×c推出的。當學生理解這種推理的順序,且懂得要使演繹推理正確,首先要前提正確,并學會使用這樣的語言:只有兩個約數(1和它本身)的數是質數;101只有兩個約數;101是質數。

    那么,符合形式邏輯的演繹法則就初步被學生所掌握。

    在知識層面中,這種類屬過程的多次進行,就導致知識不斷產生新的層次,其邏輯結構就越加嚴密,新的知識也就會不斷分化和精確化,就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學中正確把握這種結構,用演繹推理的手段組織學習過程,不但能培養學生的思考方法,理解內容的邏輯結構,還能提高學生的模式辨認能力,縮短推理過程,快速找到解題途徑。

    在新舊知識建立下位聯系時,整個類屬過程可分化為兩種情況。

    (1)當新知識從屬于舊知識時,新知識只是舊知識的派生物?？梢詮脑姓J識結構中直接推衍。新知識可以直接納入原有的認知結構中。

    如學生已學過兩位數的筆算,清晰而穩固地掌握了加法的計算法則,現在要學三、四位數的加法,只要讓學生思考并回憶兩位數加法計算的表象結構,適當地點撥一下三、四位數加法與兩位數加法有相同的筆算法則,學生就能順利解決新課題。新知識很快被舊知識同化,并使原有筆算法則得到充實新的知識獲得意義。雖然這些知識的外延得到擴大,但內涵不變。

    教學中,掌握這些知識的內涵的邏輯結構,就會有一個清晰的教學思路,就會自覺地運用演繹推理的手段,與學生一起愉快地順利地進行下位學習。就不會在講三、四位數加法時,著眼于竭力以三、四位數加法為例證,說明加法的計算法則。

    (2)新知識類屬于原有較高概括性的觀念中,但不能從原有上位觀念中直接派生出來,而需要對原有知識作部分的改組,才能同化新知識。新知識納入原有知識后,原有知識得到擴展、加深、限制、修飾和精確化。新舊知識之間處于相關類屬。這時,運用演繹推理之前,先要對原有知識作部分改組,請出一個“組織者”,再步步演繹。(為新知識生長提供觀念上的“固定點”,增加新舊知識間的可辨性,充當新舊知識聯系的“認知橋梁”,奧蘇伯爾稱它為“先行組織者”簡稱“組織者”。)

    如學生已掌握了長方形面積計算公式:S=ab,現在要學習正方形的面積計算公式,這就要對長方形進行改組,把它的長改成與寬相等(a=b),于是“正方形面積計算”可被“長方形面積計算”同化,當a=b時,S=ab=a·a=a[2,]。又如教圓面積之前,向學生演示或讓學生動手操作,把圓適當分割后拼成近似長方形,由長方形面積公式導出圓面積計算公式。其間以直代曲,是由舊知識導向新知識的認知橋梁,是由演繹推理構建新知識時,找到的觀念上固定點。找到固定點后圓面積的計算被長方形面積同化,于是面積計算規則從直線封閉圖形的計算,推廣到曲線封閉圖形的計算,擴展加深了對原有面積計算規則的認識內容,使有關面積計算的認識結構趨向精確化。

    2.如果原有認識結構已形成幾個觀念,要在原有的觀念上學習一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知識,即新舊知識建立上位聯系時,那么適當運用歸納推理的規則,可由特殊的前提推出一般性的結論。當需要研究某一對象集時,先要研究各個對象(情況),從中找出整個對象集所具有的性質,這就是歸納推理。歸納推理的基礎是觀察和試驗,是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況(結論、推論)。

    教材中關于概念的形成,運算法則和運算定律、性質得出,一般是通過歸納推理得到的。如分數的初步認識。在學習前,學生認知結構中已有了分數的某些具體經驗,加上教材提供的和教師列舉的生活實例和圖形。如:一個蘋果平均分成兩份,每份是它的1/2,一根鋼管平均截成三段,每段是它的1/3,一張紙平均分成4份,每份是這張紙的1/4……所有這些操作和演示都讓學生認識到幾分之一這個概念。隨后,再認識幾分之幾。這種不完全的歸納推理,是在考察了問題的若干個具體特例后,從中找出的規律。(嚴格地說,由不完全歸納法推理得到的結論還需要論證,才能判定它的正確性。)

    運用歸納推理傳授知識時,要根據學生的實際經驗,選取典型的特例,并能夠通過典型特例的推理得出一般性的結論。又要用這個“一般結論”,去解決具體特例。在教與學的進程中,歸納和演繹不是孤立地出現的,它們緊密交織在一起。

    3.如果新舊知識間既不產生從屬關系,又不能產生上位關系,但是新知識同原有知識有某種吻合關系或類比關系,則新舊知識間可產生并列關系。那么可以運用類比推理。

    教材中,商不變性質和分數基本性質,乘數是整數的乘法和乘數是分數的乘法等,學習這類與舊知識處于并列結合關系的新知識時,既不能以上位演繹推理到下位,又不能以下位歸納推理到上位,只能采用類比推理。如五年級學習“一輛卡車平均每小時行40千米,0.3小時行了多少千米?”時,學生還無法根據小數乘法的意義列出此題的解答等式。所以,教學中一般用整數乘法中的數量關系相類推。