求值域的方法范文

導語：如何才能寫好一篇求值域的方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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【關鍵詞】函數；值域；常用方法

求函數值域的常用方法有：配方法、分離常數法、判別式法、反解法、換元法、不等式法、單調性法、函數有界性法、數形結合法、導數法.

一、觀察法

有些函數結構簡單，我們可以通過基本函數的值域以及不等式直接觀察出函數的值，這種通過觀察函數特點做為解題突破口的一類函數值域的求法，簡潔明了，不失為一種巧法.

二、配方法

配方法是求“二次函數類”值域的基本方法.F（x）=af 2（x）+bf 2（x）+c的函數的值域問題，都可使用配方法，解題過程中要特別注意自變量的取值范圍.

三、判別式法

若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數，可用二次方程根的判別式法求函數的值域.

四、反函數法

直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域.也叫反解x法，將y視為變量，利用數式的性質或已知函數的值域求y，體現了逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一.

五、分離常數法

形如y=cx+dax+b（a≠0）的函數.思路是用分母表示分子，分離出常數，使得分子不含變量，最后借助基本函數的值域求解.

六、換元法

以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域.

形如y=ax+b±cx+d（a，b，c，d均為常數，且a≠0）的函數常用換元法.令u=cx+d，x=u2-dc且u≥0，使之變形為二次函數，再用配方法；如果函數中含有a2+x2形式，用三角代換，令x=asinα，α∈-π2，π2或者x=acosα，α∈[0，π]，這種方法用到的是多元函數關系，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設參數，可將原函數轉化為單函數的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識.

七、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab.用此法求值域時，要注意條件“一正二定三相等”.即① a>0，b>0；② a+b（或ab）為定值；③ 取等號條件a=b.其題型特征：解析式是和時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧.考查函數自變量的取值范圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函數定義域，進而求值域.不等式法是重要的解題工具，它的用非常廣泛，是數學解題的重要方法之一.

八、單調性法

先確定函數在定義域（或定義域某個子集上）的單調性，再求出函數的值域的方法為單調性法.

九、數形結合法

若可以畫出函數圖像時，通過圖像可以求出值域和最值；或者利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法求出函數的值域.利用函數的圖像求函數的值域，體現數形結合的思想，是解決數學問題的重要方法.

十、求導法

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關鍵詞：函數；值域；教學方法

中圖分類號：G623 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）22-0100-02

一、求二次函數式在自然定義域上的值域，一般將函數式y=ax2+bx+c（a≠0）化為y=a（x-m）2+n的形式，這里m=-■，n=■。化成這種形式體現兩個優點：①知道圖象的頂點坐標（m，n）、對稱軸及函數最值；②函數的兩個單調區間為（-∞，m]、[m，+∞）。這樣，若a>0，其值域為[m，+∞）；若a

求二次函數式在限定區間D上的值域，先考察頂點橫坐標m與區間D的關系。如果m∈D，那么一個最值就是n，再通過考察區間D的兩個端點對應的函數值就能確定值域；如果m？埸D，那么D必是函數的單調區間，利用單調性就能求出值域。

二、化歸思想――通過替換或變形等方法把函數轉化為基本函數式或基本函數有聯系的形式，進而利用基本函數的圖象和性質確定出值域

【例1】：求函數y=■的值域。

分析：此函數式分母變化，分子為常數，其外形就是冪函數y=■，

因此，可通過替換化歸為冪函數后就可求出值域。

解：設x2-3x+2=t，則y=■

因t=（x-■）2-■≥-■且t≠0，

如圖可知y≤-4或y>0，函數的值域為（-∞，-4]∪（0，+∞）。

【例2】：求函數y=（■）-x■-4x+5的值域。

分析：此函數式底數為常數，指數變化，外形就是指數函數y=（■）x。因此，可化歸為指數函數后，就能求出值域。

解：設-x2-4x+5=t，則y=（■）t。因t=-（x+2）2+9≤9，而y=（■）t是減函數，y>（■）9=■，即函數的值域是[■，+∞）。

三、方程思想――一個函數式實際上就是關于自變量x與函數值y的方程，而根據函數的定義可知，這個方程必關于x有解，因此有時我們把函數式變形為關于x的方程后，利用方程有解的條件建立關于y的不等式關系，從而求出值域

【例3】：求函數y=log2ax+2logax+2的值域。

分析：把函數式視為關于x的方程，則這個方程關于x有解，因為x∈（0，+∞），所以logax∈R，這樣把函數式看作關于logax的一元二次方程，那么這個方程恒有解，利用一元二次方程有解的條件就能求出值域。

解：因x>0，logax∈R，設logax=t，則函數式可變形為t2+2t+（2-y）=0 由Δ=4-4（2-y）≥0解得y≥1，故函數的值域是[1，+∞）。

四、制約思想――自變量x與函數值y相互依存又相互制約。

【例4】：求函數y=■的值域。

分析：由于y受sinx的制約，而sinx∈（-1，1），因此從函數式解出sinx=f（y），通過-1≤f（y）≤1可求得值域。

【例5】：求函數y=■的值域。

分析：由于y受x2的制約，而x2≥0，因此從函數式解出x2=f（y），通過f（y）≥0能確定值域。

五、幾何思想――幾何思想即數形結合思想，通過作出函數的圖象或根據函數式所表示的意義畫出相應圖形，進而求出值域

思路一：畫出函數的圖象，可觀察出值域。思路二：由于|x-3|-|x+1|表示數軸上的點到3的距離與到-1的距離之差，因此，通過數軸可知值域是[-4，4]。

【例6】：求函數y=■的值域。

分析：因為函數y=■的幾何意義為兩點P（-2，0），Q（cosx，sinx）連線的斜率k，而點Q在單位圓x2+y2=1上（如圖），

易求得-■≤k≤■值域是[-■，■]。

六、注意留意基本不等式即函數的單調性

【例7】：求函數y=x（3-2x），0

解：把函數式變形為y=■（2x）（3-2x），因為2x，3-2x均為正值，所以y=■（2x）（3-2x）≤■[■]2=■，（x=■時取等號），又y>0

故函數的值域是（0，■]。

除以上基本思想方法外，要注意考察奇偶性與周期性。如果是奇函數或偶函數，我們只求正區間或負區間上函數值的范圍，根據對稱性就能確定值域；如果是周期函數，只求一周期區間上的值域。

總之，求值域是個較困難且較為靈活的問題，需靈活運用所學，靈活解決。

參考文獻：

[1]史海平.一類函數值域的新求法[J].數學教學通訊，1989（05）.

[2]方亞娜.函數值域的求法[J].甘肅教育，1998（11）.

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1．健康素質

健康素質，包括身體健康和心理健康兩個方面。身體健康是實行一切目標的前提條件，尤其初入職場的新人勢必面對繁雜的工作任務，沒有強健的體魄不要說表現優異就連完成任務都會很困難。現在很多關于學生身體素質的報道見諸報端，例如小學生在運動會開幕式期間就紛紛暈倒等等。由于過度重視文化課而忽視了身體鍛煉讓很多學生的身體羸弱，在學校里就經常病假不斷的學生很難想象如何面對激烈的職場競爭。高職學生的心理健康問題表現在就業方面則主要是情緒易波動、抗壓能力低，人際協調能力差，企業需要的是具備平和心態、集體觀念強、善于與人合作的員工。

2．敬業精神

敬業精神也可稱為職業道德。說到敬業就會讓人聯想到吃苦耐勞，說到職業道德就會讓人聯想到行業規范。實際上這其中的含義遠不止如此，敬業精神或職業道德表現在職場人的身上應該是對本職工作的一種全力以赴的態度。不論本職工作在社會分工中的地位如何都抱著積極、負責甚至享受的態度去對待，事無巨細認真對待工作中的每一個細節。有些年輕人這山望著那山高，時刻準備著跳槽，對每一個現職工作都諸多抱怨，總是幻想著能得到更好的工作，入職很久卻沒有多少職業積累。缺乏忠誠和歸屬感的人，永遠只能游離在職場的邊緣。

3．職業技能

職業技能，指就業所需的技術和能力。“聞道有先后，術業有專攻”，知道道理有先后，技能學業各有專門的研究。所以三百六十行每一行都有它專業的技能，每一行也都出過本行業優秀的人才。職業技能可以分為三個層次，即粗通、熟練、精湛。以機械專業為例：粗通專業技能的人只能進行簡單零件的加工還可能會經常產生廢件，熟練工能夠保質保量地完成加工任務，而技術精湛的技工可以完成高難度機件加工并且獨立開發和設計新的產品。只有具備精湛的職業技能才有可能成為行業中的精英。

二、高職學生職業素質的培養

1．啟發學生的就業意識

有這樣一種現象，很多高中畢業生在跨入大學校門后就開始發胖，究其原因是很多學生認為終于考入了大學，緊張的學習生活已經結束了，沒有了壓力充分放松之余食欲也增加了，所以吃成了小胖子。“十年寒窗苦讀，一朝金榜題名”，很多大學生認為考大學就是學習的目的，考上大學就可以無憂無慮地玩了，至于大學畢業之后又將怎樣卻極少考慮。有調查表明，50%以上的在校大學生對自己畢業后的發展沒有規劃甚至感到不知所措，所以在臨近畢業時倍感壓力。因此，應將高職學生職業素質的培養作為課程納入教育體系，在入學初期就應讓學生意識到學習與就業的聯系，認識到職業生涯規劃的重要性。思考學習的目的，思考大學生活的意義，明確自我，了解自我。自我主要包括自己的個性、氣質、能力；世界觀、人生觀、價值觀；優勢與劣勢。能夠清楚地認識到我能為社會做什么，社會又能為我做什么。根據這些來綜合地評定個人的發展方向和職業范圍。

2．校內高職學生職業能力的培養

首先，獨生子女的生活讓很多學生在家庭中受盡寵愛，有些甚至是溺愛，這讓他們缺乏獨立意識、責任心及合作精神。日常的習慣會自然而然顯露出一個人的素質狀況，是個人修養的體現。從日常的學習生活入手培養學生的素質修養，從一點一滴去修正他們生活中的壞毛病同時也發掘他們美好、優秀的一面。其次，設立相關部門專門引導學生職業素質的養成。如設立就業指導部門及開設職業生涯規劃類課程，結合社會的就業形勢對學生進行職業教育和就業指導。學校的教學安排以校內教學與校外實訓相結合，這樣有利于學生及時將課堂所學的專業理論知識消化吸收，在實踐中盡快轉化為個人的專業技能。學校的教學的過程中還可針對不同專業組織學生考取專業認證資格提前為步入社會做好準備。

3．充分利用社會資源提高高職學生的職業素養

“工作不好找”，畢業生在說，家長在說，很多的人都在說。而事實當真如此嗎？企業不需要員工嗎？社會不需要新鮮的血液來保持蓬勃的生命力嗎？答案當然是肯定的。問題的關鍵在于畢業生所能給予企業的是否是企業所需要的。企業希望新入職的員工能夠迅速接手工作，能夠不斷地學習，以充實自己去創造新的業績，能夠有良好的心理素質，能夠與同事和睦相處、合作無間。所以，當一個大學畢業生懷揣著滿滿的期待去企業應聘時也許就會因為某方面的不足而碰壁。如果對于應聘的工作各方面期望過高的話可能會更加受挫。要學生完全適合企業的要求單純依靠學校是不行的，還需要社會各方面的支持。首先，學校應開通渠道與企業合作，在教學上更貼近企業用人的要求。

其次，鼓勵學生利用各種機會接觸社會，如假期社會實踐、節假日校外打工、社會公益活動等等。最后，從入學開始向學生強調了解企業的重要性，指導學生從網絡、媒體、社會實際接觸多方面的認識企業，加強與企業的聯系。這樣才能促使學生在畢業后更好地融入社會。

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關鍵詞 番茄病毒?。话l生癥狀；傳播途徑；發病條件；防治措施

中圖分類號 S436.412.1 文獻標識碼 B 文章編號 1007-5739（2013）16-0112-02

在夏、秋季節栽培番茄，比較容易發生病毒病，植株一旦染病，輕者減產，重者絕產，嚴重影響菜農的種植積極性。為此，筆者將廣大農技人員多年來對該病的觀察研究以及綜防措施加以整理，以供廣大菜農參考。

1 番茄病毒病發生癥狀

番茄病毒病有以下3種類型：一是花葉型。病株新生葉片較健株葉片小，且色淺，皺縮畸形，下部葉片褪綠，葉面稍皺，在葉片上出現黃綠相間或葉色深淺相間的花葉癥狀；病株較正常植株矮，并伴有大量落花、落蕾現象；病株基部的果實小而質劣，呈花臉狀，對產量影響很大[1-2]。二是條斑型。在葉、莖、果上都有發生，病斑形狀因發生部位不同而異。在葉片上最初表現為深綠色與淺綠色相間的花葉癥狀，之后變成茶褐色的斑點或云紋；在莖蔓上最初表現為暗綠色下陷的短條紋，之后變為深褐色下陷的油漬狀壞死條斑，病斑逐漸蔓延擴大，以致病株萎黃枯死；果實染病后表現為果實著色不勻、畸形，果面上遍布不規則形褐色下陷的油漬狀壞死斑，病果極易脫落。三是蕨葉型。病株明顯矮縮，上部葉片細小如蕨葉，中部葉片微卷，主脈稍微扭曲，下部葉片邊緣上卷，嚴重的卷成筒狀[3]。葉背葉脈微微發紫，葉肉薄而色淺，微現花斑。全株腋芽所生側枝都呈蕨葉狀小葉，上部復葉節間短縮，呈叢枝狀。

2 傳播途徑

番茄病毒病傳播有以下2種方式：一是接觸傳染。花葉型與條斑型病害均由煙草花葉病毒引起，由于該病毒可在多種植物上越冬，種子、土壤中的病殘體、田間越冬寄主殘體等都是該病的初侵染源，所以自育苗至田間的整個栽培管理過程，各種農事操作（如移苗、綁蔓等）以及操作人員的手、衣服、工具等均可帶毒傳毒，甚至病葉與健葉相互摩擦，葉片稍有損傷，病毒就可侵入。二是蚜蟲傳播。蕨葉型病害由黃瓜花葉病毒引起，該病毒主要由蚜蟲傳播，汁液也可傳毒。桃蚜、棉蚜、蘿卜蚜等多種蚜蟲均可傳毒[4]，以桃蚜為主。

3 發病條件

番茄病毒病的發生與環境條件、栽培管理及品種等關系極為密切。在高溫季節，氣候干燥有利于病害發生；土壤瘠薄、板結、黏重及排水不良等因素也易導致植株感染病毒?。环讯ㄖ矔r苗齡過小，幼苗徒長，或栽后接連灌水，植株也很容易發病。另外，番茄病毒的毒源種類在一年里因季節不同而周期性變化，春、夏季節以煙草花葉病毒為主，秋季以黃瓜花葉病毒為主，因此生產上防治時應根據毒源采取相應的措施，以達到滿意的防治效果。

4 防治措施

4.1 選擇抗病品種

近年來，經廣大菜農實踐表明保冠1號、東圣1號等品種比較抗病。另外，紅粉系列品種也明顯比大紅系列品種抗病。

4.2 種子處理

煙草花葉病毒可以通過種子傳毒，因此在播種前進行種子處理非常有必要。先用清水浸種4 h，再用10%磷酸三鈉溶液浸種40 min，撈出種子用清水沖洗干凈，最后催芽播種。

4.3 加強田間管理

4.3.1 適時播種，培育壯苗。番茄壯苗標準：植株矮壯，莖部直徑粗大且顏色較深，技術措施是播前苗床要施足肥，澆足水，出苗后要適當控制肥水，避免秧苗徒長。

4.3.2 挑選壯苗，適時早定植。實踐證明，在高溫出現之前植株組織生長達到一定健壯程度的秧苗抗病能力強，所以應選擇帶有花蕾、不老化的壯苗適時早移栽。

4.3.3 阻斷病源。一是清除田間雜草及殘枝落葉，減少傳染源；二是在定植前，使用磷酸三鈉、敵敵畏、甲醛對棚室徹底消毒，密閉3 d以上，使溫度達到60 ℃左右；三是定植用地最好選用未種過番茄或未發生番茄病毒病的田塊，如果定植用地曾發生番茄病毒病，那么定植前必須對用地進行深翻，同時在深翻過程中加入石灰，這對于病株殘體腐爛和煙草花葉病毒鈍化非常有幫助；四是為阻斷帶毒蚜蟲、粉虱遷入，保護地栽培番茄要在放風口設置防蟲網[5]。

4.3.4 加強肥水管理。適時澆水、施肥可促使植株健壯生長，提高抗病能力。一是栽后1周要施好提苗肥，施尿素75 kg/hm2、過磷酸鈣300 kg/hm2，用水澆施；二是在第1～2穗果膨大，第3～4穗果坐果后要適當多施肥、澆大水，一般施復合肥300 kg/hm2；三是在果實膨大期間，噴施過磷酸鈣或磷酸二氫鉀，既可促進果實生長發育，又可促使植株健壯生長，提高抗病能力。

4.3.5 注意農事操作。在綁蔓、整枝、打杈、蘸花和摘果等操作時，為防止接觸傳染應先處理健株，后處理病株，接觸過病株的手要用10%磷酸三鈉溶液消毒，或用肥皂水沖洗。

4.3.6 晚打杈，早采收。晚打杈既可促進根系發育、幼苗早發，又可減少和推遲人為接觸傳染。果實掛紅后就開始采收，可以及時調節植株體內營養的分配，減緩生殖生長和營養生長的矛盾，增強植株耐病性。

4.4 實施輪作

輪作可減少和避免番茄病毒病土壤和殘留物的傳毒，減輕病毒病的發生，由于煙草花葉病毒在土壤中的病體上可以存活2年以上，因此應實行至少3年輪作。

4.5 及時防治蚜蟲

在蚜蟲發生初期，及早用藥滅蚜，可大大減少蚜蟲傳播病毒的可能性；另外，將銀灰薄膜條（4 cm寬）掛在高出生長點20 cm左右的架上，再結合黃板進行蚜蟲誘殺，效果也很好[6-7]。

4.6 化學防治

防治番茄病毒病應以預防為主，為增強番茄植株的抗性，減少病毒病的感染，每周可用20%病毒A可濕性粉劑800倍液噴施1次，連續噴施2～3次，能夠起到很好的預防作用。

5 參考文獻

[1] 吳桂福，秦藝，丁建娣.番茄病毒病的發生與防治[J].農家致富，2008（23）：36-37.

[2] 郭彩穎，張敏，梁超峰，等.番茄病毒病發生規律及防治技術[J].西北園藝（蔬菜專刊），2009（3）：35-37.

[3] 申紅芳.番茄病毒病的發生與防治[J].現代農村科技，2009（11）：28.

[4] 鄭旭東，許偉東，陳辛耘，等.防治番茄病毒病藥劑試驗[J].江西農業學報，2010（1）：84-86.

[5] 孫鳳柏，郭井祥，孫鳳君.番茄病毒病的防治[J].農民致富之友，2010（8）：43.

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1、準備少許食用面粉、玉米粉；

2、將玉米粉和面粉按照6比4的比例混合，然后加入少量開水，捏成團后放進蒸鍋內蒸熟；

3、將煮熟的粉團取出，晾涼后將面團掰碎；

4、加入適量酒曲或酵母粉拌勻；

5、用容器密封，之后放在太陽下暴曬，待餌料產生酸味即可；

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【關鍵詞】水電行業 職業道德 個人品德 提升方法

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）07C-0023-02

一、水電行業職工的職業道德與個人品德要求

水電人所從事的工作，與社會各階層的人直接相關，其本身就是單位的“窗口”，其一舉一動關系到單位的形象。在新形勢下，推動水電事業健康發展，水電行業職工需要良好的職業道德修養和個人品德，大概包括以下幾個方面：

（一）吃苦耐勞、不畏艱險的獻身精神

水電行業有其特殊性。首先，水電是社會公益型事業，水電的建設、管理、開發、利用和維護，歸根結底是為全社會服務的。其次，水電是一個十分艱苦的行業，“春季忙配套、夏季忙防汛、秋季忙規劃、冬季挖土方”，這一“四季歌”是水利人忙碌工作的生動寫照。盛夏酷熱難當，水利人卻要深入防汛抗旱第一線。寒冬冰天雪地，水利人卻要上工地挖土方。電力人也一樣，哪里沒有光明就到哪里，無論是團圓的日子還是親人需要照顧的時候，都24小時堅守崗位。第三，許多水電崗位處于人跡罕至的偏遠地區，清貧而默默無聞。這些都要求水電人要有全心全意為人民服務的精神，要有甘為他人作嫁的無私奉獻精神。要真正做到想人民所想、憂人民所憂、急人民所急。把為人民辦實事作為自己一切工作的出發點。同時，要有無私奉獻的精神，在工作中不能利用職業便利謀取行業及個人私利。要杜絕在公務活動中搞吃拿卡要錢，更不能有違法違紀行為，一切都要按照黨紀政紀的要求來從事水電活動。

（二）忠于職守、勤勞刻苦的負責精神

水利和電力是為全社會服務的。水電工作，無論是防汛還是抗旱，無論是水利建設還是水利管理，無論是電力安裝還是電力維修，都牽涉到國家、地方乃至個人的利益。作為水電人，對這一點，尤其要有清醒的認識。一定要站好自己的崗，負起自己應盡的責任，在自己平凡的工作崗位上，盡自己最大努力，為國家和社會提供最優質的服務。水電工作是清貧的，也是艱苦的，遇到特殊時刻，甚至要水電人獻上自己寶貴的生命。但是，這也是一個考驗人、鍛煉人、培養人的行業。只有在任何時候，任何情況下都忠于職守，優質服務的水電人，才是真正優秀的水電人。

（三）愛崗敬業、精益求精的求實精神

愛崗就是要熱愛水電，忠于水電事業，就是要樹立起富有時代精神、健康向上的人生理想和目標，并將之落實到各自的本職工作中去，就是要有對自己職業的榮譽感、自豪感，并將之體現到每一項工作中去。敬業就是要努力提高自己的業務素質，刻苦學習，善于鉆研，不斷增強為人民服務的本領。2008年春節南方發生大雪災，電力人全力以赴、團結拼搏，嚴防死守，奪取了抗災保證光明斗爭的全面勝利。這一偉大勝利充分體現了電力人愛崗敬業的高度責任感、使命感。2009年西南地區發生大旱，水利人忘我戰斗在抗旱一線，24小時保證送水綠色通道暢通，萬家團圓的大年夜他們也堅守在崗位上。水電人用自己的高尚情操和恪盡職守的精神，譜寫了一曲新時代的凱歌。

（四）團結一致、不斷進取的創新精神

水電工作是一項具有廣泛社會性的治水活動、抗災活動、搶險保照明活動，直接關系到上下游、左右岸和千家萬戶的利益。這就要求水電人一定要有大局精神，如果沒有這一精神，水利電力的效益就難以得到充分發揮，水利電力的建設、管理、開發、利用就會功虧一簣。因此，水電人考慮問題常常是從大局出發，爭取整體和全局利益，而不是只考慮地方、團體、一己利益。水利災害變幻莫測，電力障礙千變萬化，這就要求水電人具有不斷進取的創新精神。只有不斷進取才能應對水電行業不斷出現的新情況。就像水柜建設是我們廣西水利人的杰作，今天的水利人又在琢磨著另外一種更能保障桂西北大石山區民眾用水的方式。

二、提高水電行業職工職業道德修養及個人品德塑造的方法

職業道德教育工作是凝聚人心、調動人的積極性、激發人的創造性的工作，是經濟工作和其他一切工作的生命線。職業道德教育必須既要教育人、引導人、鼓舞人、鞭策人，又要做到尊重人、理解人、關心人、幫助人。把灌輸引導與職工自我教育結合起來，使職業道德教育更貼近實際、貼近職工、貼近生活，情理交融、親切可信，真正起到提高職工素質和個人品德的作用，為廣大職工歡迎和接受。

篇7

1.同側求差取最大，直接連接找交點

例1 設有兩點P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、y∈R+，求P、Q到原點O的距離之差的最大值，并求取得最大值時的x和y的值.

分析 由題意可知|OP|-|OQ|= - = - ， 即在X軸上求一點M（x，0），使它到點A（0，3）和點B（2，2）距離的差取得最大值. 又A、B兩點都在X軸的同側，為此，連接AB并延長使之交X軸于一點，易證該點即是所求的點M，從而AB的長就是所求的最大值.

解 由分析易得|OP|-|OQ|的最大值為|AB|= ，此時直線AB的方程為y=- x+3.令y=0得x=6. 則所求的x=6，y=-4.

2.異側求差取最大，找出對稱直接連

例2 在直線l∶3x-y-1=0上求一點M，使它到點A（4，1）和點B（0，4）的距離的差最大.

分析 由題意可知A、B兩點分別在直線l的兩側，則設B（0，4）點關于直線l∶3x-y-1=0的對稱點為B′，易求得B′（3，3），連接AB′并延長交l于一點，易證該點即是所求的點M.

解 由分析易得|MA|-|MB|的最大值為|MB′|= ，此時直線AB′的方程為y=-2x+9.

由3x-y-1=0y=-2x+9 x=2y=5. 故所求M點為（2，5）.

3.異側求和取最小，直接連接找交點

例3 求使函數f（x）= + 取得最小值的點P的坐標.

分析 f（x）= + = + 表示動點P（x，0）到定點A（-3，3），B（5，-1）的距離之和，而A、B兩點分別位于X軸的上下兩側，由此連接AB交X軸于一點，易證該點即為所求的P點.

解 由題意及分析易得直線AB的方程為y=- x+ ，令y=0，得x=3，即所求的P點為（3，0）.

4.同側求和取最小，找出對稱直接連

例4 在直線l∶x-y+9=0上任取一點P，又知M（-3，0），N（3，0），試問P點在何處時|PM|+|PN|取得最小值？

解 由題意可知M（-3，0），N（3，0）在直線l同側，要使|PM|+|PN|取得最小值，設M（-3，0）點關于直線l∶x-y+9=0的對稱點為M′，易求得M′（-9，6），連接M′N并延長交l于一點，易證該點即是所求的點P. 又直線M′N的方程為y=- x+ ，即x+2y-3=0.

由x-y+9=0x+2y-3=0 得x=-5y=4，即所求P點位置為（-5，4）.

點評 由上可知，上述問題可用如下口訣給予解決：同側求差取最大，直接連接找交點；異側求差取最大，找出對稱直接連；異側求和取最小，直接連接找交點；同側求和取最小，找出對稱直接連.

例5 設m≥1，求坐標平面上兩點A（m+ ，m- ），B（1，0）之間距離的最小值.

分析 此題若直接用距離公式求解，比較麻煩. 如果從軌跡圖形入手，最簡捷. A不是動點嗎？那么A的軌跡是什么？先將動點的軌跡求出來，將動點與定點的距離最值問題轉化為定點與軌跡上的點的距離的最值問題.

解 由x=m+ y=m- ，可知A點的軌跡方程為x2-y2=4. 繪出如右圖所示的雙曲線的一支，立即可以看出，|AB|的最小值為1.

例6 如圖，設P為圓（x-3）2+y2=1上的動點，Q為拋物線y2=x上的動點，求|PQ|的最小值.

分析 利用圓上動點到圓心的距離等于常數的特點，將圓的動點轉化為圓心定點，從而可將兩個動點的距離最值問題轉化為一個動點到一個定點的距離的最值問題.

本題P，Q兩點都是動點，如果設這兩個點的坐標來求，顯然非常困難. 這就需要把這兩個變量轉化為一個變量來處理. P點在圓上運動，但P點到圓心M（3，0）的距離是定值，利用這個定值來解決.

解 設Q（y2，y），則|QM|2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2- ）2+ ≥ ，取等號當且僅當y=± .

故|PQ|的最小值為 -1.

例7 已知橢圓 + =1內有一點P（1，-1），F為橢圓的右焦點，在橢圓上求一點M，使得|MP|+2|MF|取得最小值.

分析 利用圓錐曲線的定義將折線段轉化為直線段來求最值.

解 a2=4，b2=3，c2=1，即F（1，0）. 由M向右準線作垂線，垂足為N，則 = = ，即|MN|=2|MF|. 故|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|.

篇8

關鍵詞：幼兒 求知興趣 措施 方法

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）04（c）-0233-01

求知欲是兒童認知發展到一定階段出現的一種對知識的渴望，當他們接觸到新事物或新技能時，會表現出強烈的興趣。英國教育學家夏洛蒂?梅森說過，求知欲加完美的注意力，會讓孩子擁有無窮的學習動力。但是在日常生活中，家長們發現，幼兒的興趣雖然比較廣泛，但比較浮淺，容易變化，來得快，去得更快，且大多數幼兒的興趣是直接興趣。培養幼兒求知興趣的基本任務是引導幼兒的直接興趣向間接的有意興趣發展，提高興趣的穩定性，為日后樹立定向的學習興趣打下基礎。那么如何有效的培養幼兒的求知興趣呢？我認為具體可考慮以下措施與方法。

1 創造良好的求知環境，豐富幼兒的知識和生活經驗

豐富的環境是刺激幼兒認識社會、釋放情緒、主動獲知的源泉，對幼兒的全面發展起著重要的作用。認知心理學認為：當個體原有的認知結構與來自外界環境中的新奇對象之間有適度的不一致時，個體就會產生探索的興趣。孩子從剛剛來到世界上，睜開眼睛，對身邊陌生的環境形成一個逐步的認識過程，他們能夠自主地去接觸一些新鮮的事物，并對此產生強烈的好奇心，進而會激發他們的求知欲望。相反的，如果長久的處于一個相對獨立和單調的環境，就會產生視覺疲勞和心理疲憊。他們的好奇心和獵奇感就會逐漸消退。

因此，家長要努力挖掘周圍環境的教育資源，有目的、有計劃地把知識寓于環境創設之中，為幼兒提供大量的觀察機會和觀察對象，滿足他們的好奇心，激發求知興趣。例如，可以適當改變家庭的布置和裝飾，盡可能地提供大量的與學習相關的工具，如望遠鏡、地球儀，拼插玩具等等；還可以帶著孩子走入大自然的懷抱，用自然界中鮮艷的色彩和奇妙的變化吸引富于好奇心的孩子，通過孩子與環境的互動，讓幼兒大量感知，在感知中發現，在發現中詢問，在詢問中思考，使他們的思維更加活躍，興趣更廣泛，并慢慢地培養他們穩定的求知興趣。當然父母和老師還要善于引導孩子觀察，鼓勵幼兒用不同的方法，從不同的角度進行求異思維，以此來激發孩子的求知欲。

2 正確對待幼兒的提問，引導幼兒的求知興趣更深入的發展

正確對待幼兒的提問，是培養幼兒求知興趣的重要途徑。英國科學家培根曾說過：“好奇心是孩子智慧的嫩芽，提問則是孩子求知欲發達的標志”。幼兒隨著年齡的增長，語言和智力的發展，逐漸對周圍的事物產生強烈的興趣和好奇心，想要去了解和探索更多他們沒有接觸過的新鮮事物，表現出了強烈的求知欲望。幼兒的問題總是沒完沒了，四五歲的幼兒已對事物之間的因果關系產生興趣，常會提出“為什么”的問題，“為什么用紅綠燈做信號燈？為什么金魚睜著眼睛睡覺？為什么媽媽能生寶寶？”且追根究底。

由此可見，問題是幼兒對外界的一種特殊反映，是好奇心與求知欲的具體表現。重視并正確對待幼兒的提問，不僅能使幼兒獲得新的知識，還能培養他們形成良好的學習習慣。家長和教師正視幼兒的提問，需要注意以下三點：（1）應抱著積極歡迎的態度，要專心傾聽，耐心解說，對提問的幼兒要給予鼓勵，切不可對孩子的提問抱無所謂態度或露出厭煩的情緒。（2）要善于啟發幼兒提問，或向幼兒提問，培養幼兒主動的探索精神。（3）正確機智的回答，可以進一步激發幼兒的求知欲。回答幼兒的問題是一種教育藝術，要根據幼兒的年齡特點，考慮他們的知識經驗和智力水平來回答問題。一般應簡單明確，通俗易懂。如果出現無法回答或不好回答的問題，父母應坦誠地告訴孩子，并盡快向在關專業人員咨詢，或通過上網等手段查詢，獲取答案及回答的方法，再及時反饋給孩子。妥善解決孩子的每一次提問，是對孩子求知欲的最直接的保護。

3 通過組織豐富多彩的活動，培養幼兒的廣泛興趣和求知欲。

游戲是兒童生來喜歡的，孩子的生活可以說就是游戲。孩子參加他最喜愛的游戲時，情緒愉快，注意力集中，大腦思維處于高度興奮狀態。最容易接受新鮮事物，產生好奇感，激發求知欲。老師和家長可以利用這個動機去誘導，在教孩子的過程中，充分運用類似游戲的方式方法，使幼兒寓娛樂于學習，從中接受知識。如，在做數學題時，如果只告訴他3-1=2，幼兒此時很難理解并記住。究其原因，幼兒往往只會運用形象思維。我們可以換一種方式來做，拿3支畫筆并告訴孩子：“老師手里有三支畫筆，分別是紅色、黃色和藍色，現在分給小朋友一支紅色的，那么老師手中還有幾只畫筆？”這時他就能輕松的理解3-1=2。運用類似的方式方法教學，幼兒就會對學習產生濃厚的興趣，逐漸喜歡上學習。父母應對孩子參與游戲的程度以及選擇游戲的內容有所把握。

此外，講故事也是激發孩子求知欲的重要方式。幼兒都喜歡聽故事，因為故事中的語言、人物性格等在幼兒的意識中是鮮活的。更能激起幼兒的思想、情感、愿望。幼兒不僅用智力認識世界，且也用心靈認識世界。所以好的故事猶如給孩子打開了眺望世界的窗口，也滿足了他們了解世界的需要。要熱情地滿足幼兒聽故事的要求，聽完了故事宜教小孩試說，提高他們聽說的能力和興趣，激發孩子的語言智慧，使其得到充分發展。如有的家長經常孩子講故事，時間長了，孩子便能把許多故事講給別人聽。

4 提供合理有效的操作性材料，激發幼兒求知興趣

幼兒求知欲的另一種表現是通過動手操作活動自主地發現知識、探索知識。要想使幼兒在操作活動中成為主動的探索者，首要條件是為幼兒提供了豐富的合理有效的操作材料，這樣才能把枯燥單調的科學知識與幼兒自己的動手操作經驗結合起來，使幼兒能興致盎然地一步一步主動進行探索，并在探索的過程中，構建知識，獲取科學知識經驗。

教師要理解幼兒并給孩子自由探索的機會，不過多干預，應該大膽放手，給幼兒充分自由探索的空間，反復感知。如在“磁鐵”的活動中，準備了各種木塊、金屬紐扣、易拉罐、紙張、鉛筆等不同材料物品，在提醒幼兒注意操作安全的事項后，就只提出“看看誰發現的秘密最多”的要求，然后讓幼兒自由選擇材料操作。面對幼兒操作中的失敗，不要馬上糾正。而是要相信他們有能力認識和糾正自己的錯誤。在不斷嘗試中獲得成功的體驗。成功的喜悅將激發幼兒更為強烈的探索精神，給孩子帶來更多的快樂和自信。

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【關鍵詞】社會總供給　社會總需求　供需平衡　指標　社會最終產品

一個國家或地區在一定時期內全部經濟活動的總成果表現為國家經濟總量。社會總供給與社會總需求作為反映國民經濟總量的綜合性指標，能最集中、最概括地反映社會經濟活動的總成果和總量關系。

一、社會總供給與總需求指標解讀

社會總供給是指一個國家或地區在一定時期內(通常為1年)全部生產要素(物質生間部門)向社會提供的最終消費和使用的物質產品和勞務總量，即國內生產總值。它包括兩個部分：一是由國內生產活動提供的產品和勞務，包括農林牧漁業、工業、建筑業等行業提供的產品，也包括由交通運輸、郵電通訊、銀行保險、商業服務業等行業提供的服務，即國內生產總值。二是南國外提供的產品和勞務，即商品和勞務輸入。其計算公式為：社會總供給=本期國內生產總值+本期進口一本期不可分配部分

本期不可分配部分，是指國內生產總值中當年不能進行分配的部分，如人工培育正在生長過程中的牲畜、樹木、由于天災人禍造成的損失等。

社會總需求是指一個國家或地區在一定時期內(通常1年)社會用于投資和消費的貨幣支出所形成的對商品和勞務的需求總量。它包括兩個部分：

一是國內需求，包括投資需求和消費需求。投資需求由固定資產投資需求和流動資產投資需求組成。消費需求由居民個人消費需求和社會集團消費需求組成。二是國外需求，即產品和勞務的輸出。測算社會總需求有兩種方法：

一是從需求形成角度測算，就是在生產指標基礎上，按影響總需求的因素作出調整，以得到社會總購買力的方法。其計算公式為：社會總需求=本期國內生產總值一本期儲藏+本期銀行信貸收入+本期財政赤字+本期出口

二是從需求使用角度測算，就是把社會總購買力可能使用去向的各個項目加總在一起的方法。其計算公式為：

社會總需求：本期投資需求總量+本期消費需求總量進口+本期國外需求總量

上述需求總量和供給總量比較，反映著以貨幣支付力所代表的需求與實物(包括勞務)供應之間的平衡狀況。

二、社會總供求失衡的表現形式及其成因

1、社會總供給大于社會總需求

含義指社會總需求絕對或相對不足而形成社會總供給絕對或相對過剩的情況。導致社會總供給大于社會總需求的可能性存在于商品的生產和交換之中。導致社會總供給大于社會總需求的可能性存在于商品的生產和交換之中。供給和需求的分離，生產過程和流通過程的分離，于是供給大于需求的矛盾就具有了一般的可能性，并在社會化大生產中轉變為現實性。因此是市場經濟體制的產物。直接產生的后果就是出現以下幾個方面(I)經濟停滯，即經濟呈現零增長、負增長或只有微量增長；(2)社會勞動力的需求減少，就業水平下降；(3)企業產品銷售困難，實際存貨水平上升。

2、社會總需求持續地超過社會總供給

含義是指如果社會總需求持續地超過社會總供給。導致物價持續上升，貨幣持續貶值，影響了國民經濟的正常運行的狀態。便是需求膨脹。追其形成原因在于除去商品經濟的一般原因之外。在非市場機制條件下，社會總需求大于社會總供給的原因可以從需求和供給兩個方面說明。在市場機制條件下，取決于宏觀調控力度。其導致的后果就是以下幾個方面：(1)它會使經濟處于過熱狀態，最終損害經濟增長。(2)形成大起大落的經濟超常波動。(3)還將導致價格扭曲，使資源配置非合理化。(4)通貨膨脹還會使居民的實際生活水平下降。

三、影響社會總供需平衡的因素分析

物質供應量的形成和需求總量的貨幣支付能力之間，存在著同有的內在聯系?？傂枨笮纬傻幕A是生產企業的產品銷售收入，一切需求都是由生產企業的銷售收入轉化而來。這表現為生產單位獲得銷售收入是以向社會提供相應的物資供應為前提的，而且取得收入的數量和提供物資的供應與需求畢竟是二個相互獨立運動的過程，它們在經過一段各自獨立的運動過程而再次相會時，就有可能出現平衡。為了從宏觀上控制總供給與總需求的平衡，就必須分析影響總供需平衡的因素。

1、價格因素。當消費和生產資料出售價格上漲時，總供給可能會大于總需求；相反，其出售價格下跌時，意味著總供給的減少，這時，總需求可能會大于總供給。

2、貨幣儲存因素。貨幣作為貯藏手段和職能象調節器一樣，能夠調節流通中的物流量。儲藏，特別是定期存款增加，會減少本期社會總需求；反之，如果儲藏期末存款減少，會增加社會總需求。

3、物資儲備因素。一定數量的儲備物資是保證流通過程正常進行的一個不可缺少的條件。

4、物資積壓因素。物資的積壓，會減少物質的社會供應量。因此，應當盡可減少物資積壓現象，應該說現在的企業早就意識到了這一點，所以目前的企業都采用定單式的生產，但是事實上，要想完全避免物資積壓現象是很難辦到的；所以物資積壓必然會成為影響社會總供給的一個因素。

5、購買力因素。當過勞動者收入增加，購買力提高時，消費品支出增加，社會總需求量就會增加。但是，臆造的購買力，也就是沒有相應物資保證向流通的需要向社會增發了貨幣，這樣必然會形成一股強大的需求沖擊，破壞總供給與總需求的平衡。

6、社會勞動生產率提高速度與平均工資增長速度的脫節。社會勞動生產率提高速度超過平均工資增長速度。意味著社會總供給相對增加；平均工資增長速度超過社會勞動生產率提高速度，就意味著社會總需求增加。

7、物資損失的因素。企業生產的產品在進人流通領域以后以達需求者手中之前，由于種種原因會發生報廢損失，比如水災、火災、地震、暴風雨襲擊等災害的發生，會造成物質的損失；由于經營管理不善或瀆職而引起的商品損壞等，都是物資的社會總供給的直接減少，因而也影響總供給與總需求的平衡。

以上因素對社會總需求平衡的影響，在不同時期是各不相同的，各種因素之間是相互聯系，互相制約的，所以從宏觀上調節和控制總供需平衡時，要對上述各個因素進行評價分

四、在統計上建立一系列指標從宏觀上調控社會總供需平衡

為了從宏觀上調節和控制總供給與總需求的平衡，就必須聯系影響總供需平衡的因素，建立一系列指標還進行考核。

1、反映社會總供給情況的指標

(1)可供的生產資料總額(生產資料庫存總額)，即國家或某地區在一定時期內所擁有的可供分配的生產資料價值總量，這個指標可以反映一定時期內國家或地區用來供給各部門、各行業的生產資料總規模。

(2)社會消費產品總額，指一定時期內全社會物質生產部門生產

的消費品的產品的價值總和，這個指標反映生活消費品的供給規模和程度。

(3)物資儲備總額：是指某一時期末全國或地區的物資儲備的價值總和，據上期末儲備總額和本期末儲備總額計算本期儲備增加或減少額。

(4)物資積壓總額。是指某一時期末全國或地區物資積壓的價值總和。根據上期末積壓總額和本期末積壓總額計算本期積壓增加或減少額。

(5)商品報廢損失總額。是指一定時期全國或地區的商品報廢損失的價值總和。

(6)補償基金總額。指一定時期內社會物質生產部門生產的社會總產品中用于補償生產過程中已經消耗的生產資料的基金總額。它反映社會再生產補償規模，在計算社會總供給時應予扣除。

(7)進口總額：指從國外進口的產品總額，直接成為進口供給。

2、反映社會總需求情況的指標

(1)積累基金總額?？煞譃閿U大再生產基金、非生產性基本建設基金和社會物質儲備基金。

(2)消費基金總額?？煞譃閭€人消費基金和社會消費基金。

通過以上各項基金和消費基金總額的統計，可以反映國家或某一地區的生產和生活消費情況，進而綜合反映社會總需求的情況。

(3)居民儲藏存款增加額?？筛鶕掀谀┐婵钣囝~和本期存款余額計算本期增加或減少額。

(4)出口總額。指向國外出口的產品總額。直接形成出口需求。

以上社會總供給和社會總需求指標，可列成平衡表式如下：五、社會供求總量的測算方法

為了加強對社會總供給和總需求的平衡的管理，筆者提出了上述指標。從我國統計核算的實際情況出發，可以有三種測算方法，即國內生產總值法、社會總產品和社會最終產品法。我認為，目前對社會供求總量的測算，采取社會最終產品法比較合適。

采用社會最終產品法對社會總供求進行測算，總供給由以下三部分構成。國民收入生產額、物質部門的固定資產折舊額、進口額?？傂枨笥赏顿Y需求和消費需求兩個方面構成。投資需求包括五個方面，1、國家財政中的固定資產投資和增加流動資金的預算撥款；2、銀行發放的固定資產貸款和流動資金貸款增加額；3、地方、企業、部門用預算外資金安排的固定資產投資；4、城鄉居民個人用于建房及投資性貨幣支出，消費需求由居民個人、社會集團用于購買消費品的貨幣購買力所組成，它是現行統計中組成社會社會商品購買力的各種貨幣收入扣減，城鄉居民用于建房及投資生支出后的數額。定期儲蓄一般在銀行存放的時間比較長，已經通過信貸支出作為投資基金，不形成對消費品的需求。建房投資、非商品支出也不形成對消費品的需求。如果上述對各項組成的需求總量大于供給總量，就會表現為貨幣所的需求(購買能力)和實物供應之間的差額，這個差額可以用兩種價格表示：1、按上年價格計算，供給總量中不含當年價格上升因素，其差額是當年供需平衡的實際差額。2、按現價(當年價格)計算，其差額是反映由價格上升因素，其差額是當年供需平衡的實際差額。因此，在平衡時應加以說明，若用后一種價格計算，還要分析價格上升減少需求的數額。

采用社會最終產品法測算社會總供給和總需求的總量，有以優點：

第一、便于利用現有資料。計算方法以較為簡便；

第二、便于進行定量分析，推斷社會總供求的平衡趨勢；

第三、可以為宏觀調節提供依據。

此外，從最終產品出發組織綜合平衡，安排社會生產，符合社會主義基本經濟規律和再生產原理的要求，要以從根本上解決產銷平衡的問題，使生產和消費更好的銜接起來。

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關鍵詞： 函數 值域 方法 技巧

函數的值域是函數的三要素之一，函數的值域取決于函數的定義域和它的對應法則，因此不論在何種情況下求函數的值域，都要先求函數的定義域。

1.課本知識再現

教科書（以人教版為例）對函數值域問題的相關描述是：（1）在定義函數后給出了函數值域的定義和表示方法；（2）羅列出了基本初等函數（如一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、三角函數）的值域，并沒有具體說明如何去求這些函數的值域，這無形中給學生的學習帶來了很大的困難（學生感覺對函數求值域問題無例可參，無法可依），同時又給教師的教學提供了更廣闊的空間，于是求解函數值域問題的各種方法和技巧應運而生。

2.函數值域的求法

函數的表示方法有列表法、圖像法、解析法，下面分別介紹在這三種情況下如何求函數的值域。

2.1列表法給出的函數，其值域就是表格中相應y取值的集合。

2.2圖像法給出的函數，其值域就是函數圖像在y軸上的正投影覆蓋y軸的部分。

2.3解析法給出的函數，就要根據函數解析式的不同結構，靈活地選擇方法求其值域，值得注意的是這往往是多種方法的綜合，并不是某一種方法就能解決的問題。

2.3.1對于簡單的一次整式型函數，可以結合其定義域進行觀察、分析，直接得出函數的值域。如果求這類函數在某區間內的值域，有時可以采用單調性法（若該函數在此區間內單調），如函數f（x）=2x+3在（-1，3）的值域就可由f（-1）＜f（x）＜f（3）求得，即為（1，9）。

2.3.2二次函數求值域，一般采用配方法，其關鍵在于將函數的解析式正確地化成完全平方式，但要特別注意二次函數在R上的值域和它在某區間內的值域是不同的。如二次函數f（x）=x-2x+3=（x-1）+2≥2，其值域為［2，+∞）（這里隱含x∈R），而函數f（x）=x-2x+3（-1＜x＜2）的值域，配方得：f（x）=（x-1）+2。此時就要畫出圖像，觀察圖像可知f（1）≤f（x）＜f（-1），此函數的值域是［2，6）。

2.3.3分式型函數求值域大致可分為以下幾類。

2.3.3.1函數解析式的分子和分母都是x的一次式（如函數y=（a≠0）），若原函數的值域不易直接求解，可以考慮求其反函數的定義域，根據互為反函數的兩個函數定義域與值域互換的特點，確定原函數的值域，可采用反函數法，也可用分離常數法。

2.3.3.2函數解析式的分子和分母都是關于x的二次式（如函數y=（ac≠0）），可以考慮：①判別式法。函數為分式結構，且分母中含有未知數x，函數的定義域為R時，則常用此法。通常去掉分母轉化為x的一元二次方程，再由判別式≥0，確定y的范圍，即為原函數的值域。②不等式法。借助于重要不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求函數的值域，但要注意均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等、四內”。③單調性法。若解析式可以轉化為形如y=φ（x）+（p＞0），則可依此函數的增區間為（-∞，-］和［，+∞），減區間為［-，0）和（0，］求值域。

2.3.4無理函數求值域，可以考慮：①單調性法。如果易判斷函數在其定義域內的單調性，常采用此法。例如函數y=x-，其定義域為{x|x≤}，函數y=x，y=x-均在（-∞，］上遞增，故y≤-=，所以函數的值域為（-∞，］。②代數換元法，將整個無理式用一個字母代替，解出后轉化成的函數求值域問題（注意函數的定義域）。③三角換元法，當無理函數的定義域為［-1，1］或其子集時，可考慮此法。例如y=x-，因其定義域為［-1，1］，故可以設x=sinα，α∈［-，］，則y=sinα-cosα，α∈［-，］。將此問題轉化成三角函數在閉區間上的值域，這是通過開方消除無理式的方法。

2.3.5函數解析式中若含有e、sinx等，并且能轉化成e=f（y）或sinx=f（y）的結構，注意到e＞0，|sinx|≤1，解關于y的不等式，可求得y的取值范圍，即函數的值域。例如在求函數y=的值域時，解方程得：e=。因e＞0，故＞0，解得-1＜y＜1。從而函數的值域是{y|-1＜y＜1}。這就是利用函數的有界性法求值域。

2.3.6數形結合法。如果函數的解析式有較明顯的幾何意義，可借助幾何法求函數的值域，形如，可以聯想兩點（x，y）與（x，y）的連線的斜率;由可聯想兩點（x，y）與（x，y）的距離。

2.3.7導數法。通過導數可求函數在一個閉區間上的最大值和最小值，即得出函數的值域。此法主要用于高次函數或不同的基本初等函數構成的較復雜函數的值域。課本中有較詳盡的介紹，這里不再贅述。

參考文獻：

［1］人民教育出版社數學室編著.全日制普通高級中學教科書?數學必修.北京：人民教育出版社，2006，11.