微積分教材范文
時間：2023-03-31 08:45:07
導語：如何才能寫好一篇微積分教材，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。
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二十世紀迅猛發展起來的信息技術，改變了人們教與學的方式，引發了教育的深刻變革。作為教學活動的腳本、教學內容的基本載體，傳統的教材受到了巨大的挑戰，在信息技術的支持下，教材所承載的教育理念及素材的組織表現方式都發生了很大的變化。微積分作為大學數學教學中最重要的一門課程，其教學改革與教材建設自然也是這場變革中被重點關注的焦點。MOCC課堂、多媒體教學、案例教學、實驗教學等依托信息化技術的教學方式已廣泛應用到微積分教學中，微積分教材也呈現多樣化、立體化等新的特點。
一、 信息化技術對中美微積分教材影響對比分析
綜合國內外（主要以美國的幾本代表性教材為例）教材演變特點，信息化技術給微積分教材帶來的變化主要有以下幾方面。
（一） 教材構成向立體化、系列化、網絡化轉變
上世紀60年代出版的Thomas’Calculus第4版與我國通用教材的構成形式還是相當接近的（除了一些彩色插圖），后來的第10、11版，其構成形式就有很大區別了。
特別值得指出的是其完善的作業、考試測評系統更具特色。學生需要在規定時間內，進入網絡教學系統完成并提交作業。這已經非常接近于近年興起的MOOC課堂練習形式了。
我國在這方面也進行了相應的改革。比如[5]除了有配套的多媒體課件外，還在各章節穿插介紹了Mahtemitica軟件使用。而最新版的[5]已經融入了MOOC課程的內容。
（二） 概念引入和敘述更注重幾何直觀和數值驗證
美國在上世紀90年代后出版的一些改革教材都明確提出了“4規則”和“Archimedes方法” [1 ]。
所謂“4規則”，即每個概念都要從圖形、數值、代數和語言4個方面描述（對概念內涵的闡述更豐滿，兼顧了不同學生理解問題的不同習慣和思維方式）。
“Archimedes方法”，即形式化的數學定義與方法要根據其實際背景的考察而得出（加強了對概念的應用內涵的介紹）。
在引入數學概念或定理時，美國教材通常是先給出數值計算的近似結果，然后給出十分精確美觀的幾何直觀圖，力圖讓學生對抽象的知識先有一個感性認識，最后再給出嚴格敘述。
國內教材雖然在表述上理論嚴謹、條理清晰，我們應該在教材的漸進性、直觀性和可讀性等方面作一些改進。例如對數學概念、定理的引入和敘述可以更加突出其應用背景、幾何直觀、數值驗證，使學生在接受數學概念和結論時有更為直觀和具體的感受，也可以訓練學生從多角度觀察、研究問題。這也是信息時代對數學教材的新要求。
（三） 教材內容選擇更注重實際應用
信息時代對數學應用提出了更為廣泛、更為迫切的要求，為適應這一需求，美國新版教材中幾乎隨處可見與實際結合的應用問題。這些應用問題不僅數量多而且覆蓋面廣，涉及物理、幾何、建筑、生物、醫學、經濟、金融、軍事、政治、社會發展等諸多方面 [2 ]。
哈佛協作組所寫的《微積分》[1]，該書采用“問題驅動”方式組織材料，是體現這一理念的突出例子。
另外，從Thomas’ Calculus不同版本選材的演變，也可以看到信息化技術對美國教材的影響。該書第4版中的應用題往往局限于幾何和物理，以及其他方面一些簡單應用，少數涉及管理方面的應用。而且這些問題也是經過數學加工、可用手工計算解決的（類似于我國現行教材）。
在第10、11版中，就大量增加了應用問題的比例。如數值計算、方程近似解、函數逼近中的誤差估計等內容更充實，論述更加詳盡，例題和習題更加豐富 [3 ]。
更為重要的是，這些內容為教學改革提供了有力支撐。比如，我們課題組在進行高等數學課程論文教學改革實踐的過程中，就采用了上述教材中提供的很多實際問題作為課程論文選題的素材。
反觀國內教材，實際應用的問題篇幅較少?；局簧婕暗搅宋⒎e分在近似計算中的一些簡單的實際應用以及在幾何、物理、力學方面的傳統應用，很少觸及其他領域。
二、 我國微積分教材建設的幾點思考
綜上所述，“科技能改變教育”已是不爭的事實。在不久的未來，類似iPad等移動設備在教育中所扮演的角色會越來越重要，這將會從根本上改變教學和學習的結構方式。事實上，到今天，這種改變已經發生。最典型的方式之一就是MOOC課程、課程論文教學等。
對比中美教材的建設，提出國內教材改革的幾點思考。
（一） 保持和發揚國內教材傳統優點，借鑒國外成功經驗，經一步豐富教材構成
在保持知識結構系統、完整，表述簡潔、嚴謹，例題、習題、選擇精益求精，教學、學習指導書內容豐富，習題解答完整等優勢的前提下，豐富多媒體資源，完善網絡系統資源。
（二） 保持經典微積分內容系統、完整的前提下，適當調整教材內容
增加幾何直觀和數值驗證，突出連續問題離散化、數值化，適當降低理論推導、技巧運用的難度等。同時也要盡量避免國外教材篇幅過于龐大的弊端。
（三） 挖掘實際生活中的實例，充實例題、習題類型
充分挖掘實際生活中的實例，增加具有我國特點、行業特點的案例，在表述中融入建模思想和方法，在練習中訓練建模能力。為課程論文或者大作業教學提供一些開放性的案例。
（四） 編寫與微積分密切相關的數學實驗教材，使之成為立體化教材的重要內容
需要特別指出的是，在數學實驗方面，美國由于語言以及軟、硬件方面的原因，相比國內有著天然的優勢。因此，我們在這方面應該下更大的氣力，建立起獨具特色的教材體系。
三、 結束語
信息化時代，我國微積分教學發生了巨大的變化，信息技術使微積分教學更生動、更有效率、更有效果。相應地，微積分教材建設也應與時俱進。相對于美國微積分教材在這方面的變化，我們還存在很大差距。如何編寫符合時代要求、適應創新型人才培養要求、具有中國特色的微積分及其它數學教材已經成為我國數學教育工作者面臨的迫切任務。
參考文獻：
[1] 郭鏡明，朱曉平，應明，交流互補融合提高-中美微積分教材內容的比較[J] . 高等數學研究，2006（1） ： 6-9.30
[2] Louis M. Friedlwer， 美國的微積分教學：1940-2004[J] ，高等數學研究，2005.5第5期
[3] Finnery. Weir. Giordano. Thomas’ CALCULUS（Tenth Edition）（影印版）[M]. 北京：高等教育出版社，2004.
[4] James Stewart. Calculus（Fifth Edition） （影印版） [M].北京：高等教育出版社，2004.
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【關鍵詞】成人 高等 教育 微積分 教學
我國的教育方針政策的多元化發展，逐漸加大了對成人教育以及高等職業教育的投入力度，這是為了適應社會經濟發展的需要。成人高等教育與普教相比，肯定會有很多不同的地方，考慮到成人教育的特殊教育對象，在教學中要轉變觀念，更新思維，努力探索，用新的方法去進行教學，解決成人高等教育中的實際問題。微積分在教學中一直都是難點，特別是成人高等教育中的微積分教學，那更是令無數學生感到摸不著門道。探討成人高等教育中的特點，因材施教，采用深入淺出的方法，通俗易懂地進行教學，讓成人高等教育中微積分的教學不再是一個難點。
一、充分了解作為前提
俗話說知己知彼，百戰百勝。在成人高等教育中，同樣要充分地了解教育的對象以及使用的微積分教材，才能做到心中有數，實現因材施教。成人高等教育中，教育的對象都是大齡人群，他們的基礎知識相對比較貧乏。要深入了解學生的數學基礎知識的掌握情況，具體跟微積分相關的基礎知識掌握情況。對學生基本情況進行充分了解，具體掌握哪些方面基礎最差，哪些方面相對比較好一些，這樣才能有針對性地設計優秀的教案，對學生學習微積分才有幫助。了解了學生基礎知識掌握情況過后，不要急于上微積分的新內容，需要花幾個課時的時間對學生掌握最差以及跟微積分聯系最密切的幾個方面進行基礎性知識的補課，并讓學生充分重視與學習微積分密切相連的內容。充分了解了學生，還需要充分了解教材。由于目前并沒有專門針對成人高等教育而編寫的微積分教材，在教學中使用的基本上都是普教本科的微積分教材。對于成人高等教育的對象來說，普教教材難度明顯大了一些，并且成人高等教育的目的是為了培養實際動手能力強的技術人才，要求在生活工作中有足夠的知識使用。這就要求在微積分的教學中要做大量的取舍工作，選擇與學生實際動手能力聯系緊密的內容、難度較小的內容進行教學，讓學生能夠理解，才有實際教學的意義。
二、啟發為主促進為輔作為方法
了解了成人高等教育的教育對象特點，以及充分把握了微積分的材料之后，結合這些特點，需要努力探索出一種有效的教學方法，進行因材施教，達到完成教學目標的目的。成人高等教育對象基礎知識的缺乏，以及年齡的特點，在微積分的教學中應該以啟發為主，同時輔以促進來達到完成教學目的的目的。利用啟發逐步培養學生對微積分的熱愛，有了學習的熱情，才有好的學習效果。同時對學生采用促進的方法，以及強化訓練和鞏固，讓學生循序漸進、逐漸地掌握微積分的教學內容。通過啟發，可以把復雜的內容轉化成大量單個的、簡單的微積分問題，解決這些單個簡單的微積分問題，綜合起來起到解決整個微積分問題的作用。例如求復合函數y=sin2（lnx）的導數，先把復合函數分解為簡單函數y=u2，u=sinv，v=lnx。再分別求導：yu'=2u，uv'=cosv，vx'=1/x。最后求的原復合函數的導數為：yx'=yu'·uv'·vx'=2u·cosv·1/x=2sinlnx·coslnx·1/x=sin（2lnx）/x。
三、微積分思維方法的培養
微積分是一門完整的思想和方法，要學習微積分，就要學習它的思維方法，這與整個數學這個大學科的學習是相統一的。微積分教學中要強調微積分的思維方法，而不應該僅僅是死記硬背公式定理，這樣對學習微積分沒有一點好處，相反有時還會出現錯誤。無論在什么內容的微積分教學中，都要充分體現微積分的思維方法，讓學生學習解決微積分問題的思維和方法，不能讓學生死記硬背、生搬硬套，以免出現錯誤。
四、結合成人高等教育對象特點體現實用和夠用的原則
成人高等教育是為了培養實際動手能力強的社會應用型人才，在成人高等教育中應該體現知識的實用性和夠用性。一切理論知識的學習都要緊緊圍繞實用性來展開，不要唯理論而理論。在微積分的教學中，應該對復雜的、不實用的內容加以舍去，在教學中大量選用簡單的、易懂的內容進行講解。讓學生學會理解的方法、解決問題的思路，以及如何應用等實際問題。讓學生在教學中學到解決問題的能力和方法，而不是掌握問題的結果。
五、結語
總之，在成人高等教育中的微積分教學，要充分結合教育對象以及教材的特點，因材施教，以實用性和夠用性為根本，以啟發為主、促進為輔的方法進行教學，教學中充分體現微積分思維方法的培養，而不是理論的灌輸。教育教學活動本身就是一種非確定性的活動，在教學中，應該結合教材、教育對象、教學目標等，采取相應的教學方法和手段，以達到成人高等教育的要求。
參考文獻
［1］陳志平. 成人高等教育數學課程教學初探［J］. 中國科教創新導刊， 2009（29）.
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關鍵詞： 高等數學 微積分教學 策略研究
高等數學中的微積分知識廣泛運用于當今的生物學、化學、經濟學、工程學等眾多領域，對科學技術的高速發展有著重要的意義。在當前的教育形勢下，高等院校高等數學微積分教學中的問題仍然存在，因此相關的教學工作者必須不斷優化教學策略，制訂行之有效的教學方案。
一、高等數學微積分教學的概況
微積分的發展年數相對較長久，并且微積分的發展過程是人類發展的重要衡量標準之一。在17世紀，人民群眾的認知體系相對薄弱，尤其是各種理論認識方面。運動物體的速度問題、曲線的切線問題、函數的極值問題，以及物體之間的相互作用力四大問題困擾著當時的學者們，由此為微積分的發展奠定了堅實的研究基礎。
高等數學微積分是現實分析學版塊中的重要組成部分，而且高等數學微積分教學工作涵蓋微分教學和求導教學兩部分內容。其中微分教學的作用在于精確地求出曲線的斜率數值，是解決函數問題和加速度求值問題的主要工具，同時積分的作用主要是計算面積和體積。
二、高等數學微積分教學的主要現狀
（一）微積分教學內容在制定方面個性化水平較低
目前我國的高等院校在高等數學微積分課程設置方面，將其納入專業課程，并且微積分教學內容相似性較強。然而，其個性化水平較低，不能夠較好地符合專業學生的實際發展需要。舉例來說，當前許多學校的專業的差別較大，尤其是理工科和文科專業的差距較大，如果不對其加以區分，那么就會大大降低微積分教學的有效性。
（二）高等數學微積分教學知識偏向于理論方面
許多高等數學微積分教學工作者在教學過程中主要是講授相關的理論知識，并沒有較好地開展微積分相關的實踐教學工作。在此種形勢下，高校學生在微積分課堂教學中興趣較淡薄，主動學習的積極性相對較差。而且高等數學微積分教學內容對于大部分學生而言難度系數相對較大，不利于微積分有效教學工作的開展。
（三）微積分教學評價體系不健全
在目前的高等院校內部，大部分的學科考核工作均是利用考試的形式進行檢驗的，考核形式單一，評價體系不健全。試卷考核方式雖能檢測學生的理論學習水平，但是并不能反映學生的實踐學習情況。學習知識無非是為了應用，所以采取單一的試卷考查方式，違背了微積分教學的初衷，是不合理的。
三、提高微積分教學工作有效性的策略
（一）根據專業特性劃分微積分教學內容
教學工作者必須聯系專業發展方向設施課程內容，選取科學的教學模式，同時要根據目前學生微積分的掌握程度規劃教學階段。例如，對于理工科性質和實踐性質較強的專業，特別是計算機專業、數學專業等，更需要提高高等數學微分教學難度性和延伸性，以此提高學生的能力和水平。對于文科性質或者藝術類學生，在微積分教學內容設置方面，難度系數偏低，讓學生掌握基本的理論知識即可，這樣更有利于提高微積分教材的應用價值。
（二）關注學生學習微積分積極性的提高
教學工作者必須詳細地了解微積分學習的重要性，同時要明確相關教學工作的目的。在微積分教學內容設定方面和教學方式設定方面，應當注重學生的理解能力。例如，在內容設定上，依據專業不同設定不同的難度，在教學方式設定方面，可以將重點和難點內容穿插講解，難點和重點內容教師進行講解，但是在簡單易懂的微積分內容的教學中，可以采取學生講解的模式。在講授求導公式時，教師可以選取學生自主講解的模式，以此提高其熱情，原因是此版塊學生已有基礎。在講授隱函數求導內容的時候，教師則要采取自我講解和點撥的模式加以梳理和指導。
（三）完善課程考核體系
在微積分學習結果測評方面，學校不僅要對其開展理論考核，還應當對其實踐能力進行考核。例如，設定專業試卷考核學生對基本理論知識的掌握情況，這樣才能夠較好地了解學生學習的質量和效率。在實踐考核方面，可以利用計算機系統進行考核，檢測學生在相關實踐操作方面的掌握情況。以課外拓展的綜合方式進行微積分課程的考核，讓學生能夠發現微積分學習的樂趣，強化教學效果。
四、結語
微積分屬于高等數學中的必修內容，其相關知識與實際生活聯系較密切。因此，相關教師應當不斷優化微積分教學策略，提高微積分教學工作質量。這樣才能夠培養適合經濟社會發展的復合型人才，提高高等數學微積分理論知識的應用價值。
參考文獻：
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關鍵詞：中外合作辦學；微積分；雙語教學；改革
中圖分類號：g642.0 文獻標志碼：a 文章編號：1674-9324（2013）30-0089-02
一、高校微積分雙語教學背景分析
自2001年教育部以教高[2001]4號文件下發《關于加強高等院校本科教學工作提高教學質量的若干意見》，要求“積極推動使用英語等外語進行教學”開始，雙語教學便在各大高校陸續展開，學術界亦緊隨跟進。緊接著，教育部作為雙語教學的發起人，在2002年之后的《普通高等學校本科教學工作水平評估方案（試行）》，以相當于三級指標的“主要觀測點”的形式納入雙語教學；2004年關于“本科教學評估方案”將2001年提出的雙語教學的規劃逐一體現，并略有提高；現行的《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》（2010-2020年），更是強調擴大教育開放，提高我國教育國際化水平，培養國際化人才，辦好若干所示范性中外合作學校和一批中外合作辦學項目，探索多種方式利用國外優質教育資源；支持中外大學間的教師互派、學生互換、學分互認和學位互授聯授。
美國微積分（calculus）也就是微積分教學在近六十年來經歷了巨大的變革，其中一些變革是高等院校擴招所引起的，這與我國的擴招相似.另外一些變革，特別是20世紀80年代后期的“微積分改革”，從一定程度上來說，是20世紀以后需要教授更多學生而探索新的教學方法的結果，給美國大學微積分教學提出了新的課題。
二、中外合作辦學中的微積分雙語教學的意義
隨著社會的進步及科技的發展，國際交流越來越頻繁，交叉學科成為熱門領域，而作為研究工具的數學的重要作用越來越被人們所重視。由于發達國家的微積分（calculus）專業較國內起步早、發展快，實行雙語教學可擴大學生的觀察視野，發展學生的外語思維能力、了解不同的文化、培養和發展跨文化交流能力、學術能力、促進學生綜合運用外語的能力，國內的高校積極進行了微積分雙語教學改革。因雙語教學是新的教學形式，在教學中考慮的事項、應用的方法和出現的問題均不同于母語教學，于是，微積分雙語教學改革有很強的現實意義。
三、目前廣西高校合作辦學中微積分雙語教學的現狀分析
結合《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）》的戰略任務和廣西北部灣經濟區開放開發、做大做強做優廣西工業和社會主義新農村建設對高等教育教學改革發展的新要求，在教育教學改革的新理論、新方法、新形式，應用型、技能型、創新型人才培養的新模式、新途徑、新機制等方面開展研究和探索，培育和產生具有較高理論水平和應用推廣價值的教改效果。
我區地處華南經濟圈、西南經濟圈與東盟經濟圈結合部，隨著泛北部灣區域經濟合作的深入開展，各個行業都需要復合型人才，我校和國外聯合辦學已經很多年了，但一直都是中文教學，嚴重影響人才的培養，輸送到國外的學生對專業英語非常欠缺，尤其是工程技術領域，而作為研究工具的基礎學科微積分雙語教學更顯重要?；诖?，我校自2009年開始，率先試行微積分雙語教學。于是，微積分雙語教學改革研究與實踐顯得更為迫切。
四、中外合作辦學開展微積分雙語教學的必要性
首先，通過開展微積分雙語教學，有助于提高數學教育教學質量.通過微積分雙語教學，學生可以學習利用英文原版教材，學習國外先進的學科體系、教學理念和豐富的數學邏輯內涵以及微積分在其他學科領域中的基本應用，以彌補中文教材及翻譯教材的不足。國外教材強調實用性，配有大量的實例，通過對實例的分析深入了解并應用所學的知識，達到提高學生分析問
、解決問題的能力。通過該文的研究，提高微積分的教學質量，不僅能夠提高中外聯合辦學學生的英語水平，還可以以英語為工具獲得數學知識，更加能夠激發學習潛能，培養和提高學生的英語思維能力。同時，微積分雙語教學可以為其他專業的雙語教學起帶動作用，對促進學校聯合辦學建設水平的整體提高具有重要的意義。
其次，在自然科學領域，知識更新速度日益加快，國際上科技資料絕大部分是用英語發表的，掌握外國語中有關數學的有關知識，有助于吸收國外優秀自然科學成果。通過微積分雙語教學，學生可以學到數學的專業詞匯和表達方式，可以提高學生的學習興趣，使學生能夠親自將學習的英語知識用來學習數學，他們既能感到學習的實用性，同時也為將來參考閱讀外文資料打下基礎，為廣西北部灣經濟區開發提供人才。
再次，微積分雙語教學在中外聯合辦學的相關專業的順利開展，不僅在廣西起到了教學改革的示范作用和輻射效應，還可以進一步推廣到全國，對加強我國與國外的國際交流與合作墊定了更加堅實的基礎。
五、中外合作辦學微積分雙語教學改革研究與實踐
研究微積分雙語教學模式及評價方式，微積分是大學中一門極其重要的公共基礎課，對理工科大學生而言，該課程學習的好壞將直接影響到后續專業課程的學習，尤其對于中外聯合辦學的學生而言，影響更深更廣。以前的教學基本采用中文教學，只是某些專業術語給出英文意義，但對于英文表達一無所知，一旦遇到英文文獻，還得查字典，嚴重影響學習的進度和興趣。為了徹底改變這種現狀，我校2009年率先在《工程數學》試行雙語教學，采用英文教材、英文課件、英文作業、英文試卷、中文授課。為了達到早日與國際接軌，微積分雙語教學改革勢在必行，該文研究的主要內容具體體現在如下幾方面：
1.原版教材的選擇及整合。優秀的原版教材是實現雙語教學基本目的的前提條件。目前我們使用的是bill armstrong等編寫的《brief calculus》及wilfred kaplan編寫的《advanced calculus》，并結合了richard a.johnson編寫的《probability and statistics for engineers》。上述教材的優點是，每講一個理論都有大量實例輔助說明，學生學習有激情，但也有其缺點，那就是每本教材都厚達600多頁，知識點非常分散，對于我國學生來說，課時有限，超過了其他任何專業所學的《高等數學》、《線性代數》與《概率論與數理統計》內容之和，該研究要做的是，根據我校學生的實際情況，在中文教材的基礎上，從英文原版教材《brief calculus》、《advanced calculus》與《probability and statistics for engineers》中精心篩選相關實際例子，然后全部用地道的英文制作多媒體課件，并編撰出一本適合我校聯合辦學學生更加適用的英文電子版教材《calculus for engineers》初稿。
2.教學手段的改革?，F代化的教學手段是實現雙語教學的直接目的的基礎，以前我們實行的是普通黑板教學，教師只能在黑板上寫出學習重點，對應原版英文教材進行講授，進行相關理論推導，學生不懂的地方，只能參考同濟版微積分中文教材，部分內容還要參考《線性代數》或者《概率論與數理統計》，這樣做，缺點很明顯，那就是英文課件的順序和原版英文教材順序不盡相同，與中文教材也不盡相同。嚴重影響微積分的系統性學習及邏輯性，而且不能動態的演示理論的應用過程，學生學習沒有激情。該研究認為，迫切要做的是，使用全英文多媒體課件，制作適合中外聯合學生學習的配套多媒體課件。該課件應該涵蓋《高等數學》、《線性代數》及《概率論與數理統計》的內容，這是一項復雜的工程，需要投入比普通教學改革2-3倍的時間和精力，以及資金的支持。
六、結束語
中外合作辦學實行微積分雙語教學是適應新世紀的要求，是學習國外先進教學理念、學習國外先進的教學方法和教學策略的一個良好途徑。通過中外合作辦學微積分雙語教學的實施，使我校中外聯合辦學的學生具備較強的英文表達能力，大力提高優秀學生進入國外高水平大學和研究機構學習的數量和質量。并在項目實施過程中，總結經驗，提煉理論成果，為其它課程的雙語教學提供理論指導和經驗借鑒。
參考文獻：
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【關鍵詞】問題式；微積分教學；應用；全過程
微積分是工科學校最主要的基礎課程，微積分知識為科技工作提供了必備的數學基礎，對于培養學生數學素養有著十分重要的作用.微積分課程具有極高的抽象性和邏輯性，學生學習這門課程難免感到難以接受和難以理解，時間一長就會出現消極學習的狀況.針對這一狀況，教師應該充分發揮問題式教學法的作用，立足于學生的學習需求，激發學生學習興趣，提高學生的學習效率.
一、微積分教學過程中存在的問題
當前的微積分教學存在以下問題：首先，微積分教學內容繁多，在有限的教學實踐內，無法將相應的知識全都教授給學生，因此，大部分教師為了完成教學計劃，仍然沿用傳統的灌輸式教學模式，教師主講，學生被動地聽.這樣的課堂教學中，教師講的內容很多，但是提出的問題卻很少.在當前的微積分教學中，教師通常是先從數學定義展開一系列教學活動，如，推導定理、推導理論、例題講解、習題練習等.在這整個教學過程中，微積分知識以古板的定論形式出現在學生面前，學生成為被動的知識接受者，學習效率十分低下[1].
另外，微積分知識中含有大量理論縝密的理論知識和抽象的概念，以直接教授的方式，讓學生對這些知識進行學習和理解，學生學習起來十分困難，這也成為學生認為微積分難學的關鍵性因素.學生在課堂中只能被動接受學習知識，沒有經過自己的思考，因此，對于微積分知識的學習滯留于表面，盡管可以解答一些微積分的問題，但是只不過是機械式地利用公式進行解答，如果題目稍微有一點變化，學生就無從下手.這樣的情況下，如若時間長一些，學生就會漸漸失去學習興趣，出現消極學習的情況.因此，數學教師應該努力打破傳統教學的束縛，將問題式教學法應用于微積分教學的全過程中，加強師生之間溝通交流，潛移默化地培養學生的探究能力和自學能力，使學生能夠深入了解微積分.
二、將問題式應用于教學全過程中
（一）在教學導入部分應用問題式教學法
在進行新的教學內容導入的過程中，教師可以將教學內容與生活經驗相結合，利用生活中常見的事物和學生熟悉的物品進行提問，可以增添學生對知識的親切感，激起學生的注意力和好奇心，進而主動進行學習.例如，在進行“雙曲函數”的教學過程中，為了讓學生對雙曲函數有一個初步認識，教師可以提出問題：“在公園中，經常會看到兩根桿中間懸掛著鐵鏈，請問：鐵鏈是什么曲線？”由于這種現象學生在日常生活中也經常見到，因此，對于提出的題，可以很快根據自己的生活經驗，得出結論：鐵鏈是拋物線.但是，當教師否定這一結論時，學生自然產生好奇之心，這就可以引入新的教學內容，而教師利用這個問題，可以讓學生對拋物線與雙曲余弦之間的區別印象深刻.同時，為了進一步激發學生的學習興趣，教師可以為其講述古代著名數學家所犯下的錯誤，讓學生知道，自己對事情理解的偏差，與古代數學家有著相似之處，進而激發學生的學習積極性.
（二）在概念講解部分應用問題式教學法
概念講解部分是微積分教學的基礎部分，教師在該部分應用問題式教學方法，可以讓學生從已經掌握的知識概念出發，對新概念進行認識和學習，進而牢固掌握新的概念.學生在這個過程中，發現問題的能力和解決問題的能力可以得到相應的提高.例如，在進行“二元函數極限定義”的教學過程中，教師可以先帶領學生對一元函數極限的定義進行復習，然后提出問題：二元函數與一元函數之間有什么區別？一元函數極限定義中涉及自變量的部分是哪些？一元函數在一點上鄰域怎么定義？二元函數比一元函數多了一個自變量，則二元函數在一點上的鄰域又該怎么表示？通過對舊知識的復習鞏固，來進行新概念的講解，一方面，可以讓學生牢固掌握之前學習的“一元函數極限定義”舊知識，鞏固學生的基礎知識，另一方面，通過舊知識引出新知識，并利用新舊知識之間的比較，加深學生對新知識的印象，同時也激發學生的探究欲望.且利用提問方式，逐步引導學生思考和研究，使學生從學習過的一元函數出發，對上述問題進行探究和解答，進而嘗試寫出二元函數的極限定義.在這一整個過程中，學生既可以更好地理解和掌握新舊概念，還能潛移默化提高學生的主動學習能力和自學能力.
（三）在新內容講解時應用問題式教學法
知識之間常常存在緊密的聯系，在微積分知識中也一樣，微積分知識間有很多都存在聯系，學生應該掌握這些聯系，掌握了這些知識之間的聯系后，才能形成縝密的數學邏輯思維，提高學生的學習效率.為此，在微積分教學過程中，當教師要講解新的教學內容，利用新舊知識之間聯系，可以讓學生在鞏固和復習舊知識的同時，掌握新的知識內容，對學生的思辨能力和探索能力進行潛移默化的培養.另外，教師可以利用舉實例的方式，讓學生掌握新的知識.例如，在進行“變速直線運動的瞬時速度”的教學過程中，教師可以為學生創建教學情境：假設你是一名賽車手，但是跑車的時速表出現了故障，但是里程表和秒表仍然可以正常工作，請你就用這個跑車對直線型公路上某一個時刻的瞬間速度進行測量，請說出測量方法.當問題任務布置好以后，教師就可以引導學生以小組的形式進行探索和研究，小組研究過后，學生就會了解到，導數是瞬間變化率，那么教師可以接著提出一個問題：“是不是所有的瞬間變化率都可以轉化為導數來進行研究分析？[2]”
（四）在定理解釋部分應用問題式教學法
在微積分教學過程中，定理解釋部分十分枯燥且乏味，因此，很容易發展成為傳統教學中的灌輸式教學模式，由于定理是已經存在的理論，因此，利用什么方法讓學生可以對定理的條件以及結論進行理解和掌握成為教師當前所應該重點考慮的問題.以“一元函數的可導和一元函數的連續之間的關系探索”為例，教師可以提出幾個問題讓學生進行思考，問題如下：一元函數可導一定連續，那么這個定理的逆命題是否成立？否命題是否成立？若逆命題、否命題成立了，這條定理的條件和結論會不會產生改變？應該改變為什么？在探索和解決以上問題時，教師可以讓學生分為若干小組，以小組討論的方式進行課堂教學，以便提高學生的學習效率，并促進學生之間的團結與協作，培養學生的團結協作能力.而通過對以上反例的探索和分析，學生能夠理清定理條件與結論之間的關系，且學生在分析的過程中可以對定理進行積極的思考和質疑，這就使學習過程不再單調枯燥.如果學生經常使用這種質疑的眼光看待教材中的知識內容，就會形成敢于質疑、勇于探索的良好學習習慣，有助于提高學生的創新能力.
（五）在難點解析部分應用問題式教學法
所謂授之以魚，不如授之以漁，即交給學生現成的知識，不如交給學生學習的方法.因此，教師應該教授學生學習微積分的方法，在重要方法的交接過程中，于易錯難懂的環節設置相應的問題，讓學生注意到這種學習方法適用的范圍，并讓學生了解什么條件使用什么方法更佳.例如，在進行“函數的極限”的教學過程中，對于“等價無窮小方式”這一板塊的內容，教師可以設置問題：等價無窮小替換加減因子的條件是什么？什么時候可以替換，什么時候不可以替換？利用提問，讓學生注意到，在等價無窮小方式中，加減因子的替換條件是重點，那么學生在解決該板塊問題的過程中，就會對加減因子的條件進行重點關注[3].長期使用這種提問方式進行重點和難點的解析，可以幫助學生養成良好的數學思維，使學生能夠抓住微積分知識的重點，有助于提高學生的數學能力.
總而言之，問題式教學法在微積分教學中的應用，與素質教育的要求相適應.在各個教育階段，教師應該立足于學生的實際學習情況，設置相應的問題，有效激發學生的學習興趣，促進學生主動發現問題、探究問題、分析問題進而解決問題.當學生帶著問題開展學習活動和思考活動，就能不自覺地提升學生的探究能力和實踐能力，對于提升學生的綜合能力有著積極作用.另外，問題式教學方法，可以鍛煉學生的思維邏輯，可以幫助學生形成數學邏輯思維，提高學生綜合素養.
【參考文獻】
[1]何正風.問題式教學在微積分教學中的應用[J].考試周刊，2014，15（A5）：62-63.
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關鍵詞：高中數學；微積分；問題成因；教學策略
中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0058-02
一、引言
“微積分”模塊是以函數為研究對象，研究生活中運動、變化以及變化著的量之間的關系。“微積分”模塊的學習，能夠培養學生的辯證觀點，提高分析問題解決問題的能力。對于解決生活中的最優化問題有很大幫助。
1.我國“微積分”模塊教學回顧[1]。在1960年曾爭論過“微積分”模塊是否進入中學的問題，有的還寫入了試驗教材。但考慮到學習內容已很多，師資也有困難，所以還是未正式列入課程。1980年前后，“微積分”模塊開始進入高中，要求學習微積分的所有內容。由于操之過急，教學中無法實施，所以很快改為“選學”，實際上則不學（高考不考）。到1996年，“微積分”模塊再次納入高中課程，不過內容和課時都減了。微積分先講極限，再講導數，從導數到原函數到不定積分再到定積分，這是出于數學的嚴謹性，但學生理解有困難，而且實際應用也不要求如此嚴格。在最新一輪課改中，改變了這一做法，以“瞬時變化率”描述導數，從導數的幾何意義和物理意義方面幫助學生直觀理解導數，把重點放在用導數研究函數和解決實際問題上。目前正朝“理解導數思想，強調導數實際應用”的方向努力。
2.新課標對高中“微積分”模塊教學目標的要求（所指教材均為人教版教材）。突出導數概念的本質，感受和領悟“微積分”模塊的基本思想。不講極限概念，不是把導數作為一種特殊的極限（增量比的極限）來處理，而是直接通過實際背景和具體實例反映導數思想和本質。新課程希望學生在今后的學習和步入社會后，能留下對微積分的一些實際認識。同時也體現“課標”讓學生在經歷中感受數學的思想，認識數學，主動參與數學教學活動的基本理念。強調導數在研究事物的變化率，函數的基本性質和優化問題中的應用，感受和體會導數在處理問題中的一般性和有效性。重視幾何直觀等思想方法的滲透和學習。反復通過圖形去認識和感受導數的幾何意義，以及用導數的幾何意義去解決問題?！罢n標”提高了對導數幾何意義的理解以及用導數的幾何意義去解決問題的要求，其目的一是加深對導數本質的認識和理解，二是體現數學中幾何直觀這一重要數學思想方法對于數學學習的意義和作用。
二、高中數學“微積分”模塊在教學中存在的問題
“微積分”模塊是高中數學教材新增的內容，無論對于學生還是教師都是“新”的。作為教師不僅要學習新內容，而且要從思想方法上研究新內容的內涵和本質。
1.對微積分知識的定位不準。微積分的運動變化的思維方式與之前所學函數靜態的思維方式有很大的不同，中學生開始接觸微積分的基本概念時不能一下子就領悟它也是很正常的。關鍵是教師不能照本宣科，而應作充分準備性說明，從幾何直觀逐步過渡到邏輯推理上去，但不能僅僅停留在幾何直觀上，只是在知識的廣度和深度方面要適可而止。既要考慮學生的接受能力，又不能低估學生的理解能力[2]。
2.常量思維的根深蒂固?！拔⒎e分”模塊教學研究的是變量間的函數關系，學生對微積分中變量認識不深刻[3]。因為常量思想的根深蒂固，對變量思想的轉變會有一個過程，在這個過程中就要求教師運用自己本身的專業水平進行正確的引導。當然，這種引導就需要教師在實踐中不斷探索。
3.“應試”教育的影響。大綱對文理科學生關于微積分的教學內容和要求相差很大。文理科考試要求與大綱教學內容要求相比都有所下降。文科將“極限”所有內容刪去，理科刪去“積分”的所有內容和“微分的概念和運算”。因為考試不考的原因必然不被學生所重視，所以要淡化“應試”教育思想，為提高能力而學習。
三、高中數學“微積分”模塊的教學策略
1.運用微積分求曲邊梯形的面積問題。例如：如何求如圖所示的曲線f（x）在區間[a，b]上與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。
分析：在區間[a，b]內任取n-1個點，將區間[a，b]分成n個小區間[xi-1，xi]，i=1，2，Λ，n。記為Δxi=[xi-1，xi]，在無限細分的過程中，把每個小曲邊梯形近似看成是矩形，則f（x）為高，那么面積s=f（xi）Δxi=f（x）dx。
策略：在講解時，可以利用多媒體來演示無限細分，無限趨近的過程，讓學生從直觀上來理解定積分所表示對幾何意義。
2.運用微積分求曲線的切線問題的教學策略。在沒有學習導數之前，求解切線問題，一般的方法是直線方程與曲線方程（一般是二次方程）聯立組成方程組，消去y，變成關于x的一元二次方程，利用判別式Δ=0來求解。學習導數之后，由導數的幾何意義我們知道，曲線上某點的切線就是過該點曲線的割線的極限。例如：（1）求函數f（x）=x2-x在（2，2）點處的切線方程。分析：首先驗證點是否為切點，把（2，2）點帶入函數，f（2）=22-2=2，則（2，2）點為切點，f'（x）=2x-1，過該點的切線斜率k=f'（2）=2x-2-1=3，切線方程為y-2-3（x-2），即y=3x-4。
（2）求函數f（x）=x2-x在（2，1）點處的切線方程。分析：首先驗證點（2，1）不在曲線上，不是切點，所以設切點為P（x0，y0），則切點P坐標滿足y0=x02-x0，P點的切線斜率為k=f'（x0）=2x0-1，切線方程為y-y0=（2x0-1）（x-x0），把y0=x02-x0及點（2，1）代入切線方程，得1-（x02-x0）=（2x0-1）（2-x0），整理得x0=1，x0=3，故切點為（1，0）和（3，6），切線方程為y=x-1和 y=11x-63。
策略：此類問題首先確定給出點是否為切點（是否在曲線上），若是，求出切線斜率（即該點導數），由點斜式求出切線方程。若不是，設出切點，表示出切線斜率和切線方程，代入已知函數方程和點的坐標，求出切點進而求出切線方程。
3.運用微積分求函數的單調區間、極值和最值問題的教學策略。例如：求函數f（x）=ex-ax-2的單調區間。分析：函數f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x）=ex-a。若a≤0，則f'（x）>0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；若a>0，令f'（x）=0，則 x=lna。
所以在（-∞，lna）上，函數f（x）單調遞減；在（lna，+∞）上，函數f（x）單調遞增，此時f（lna）=a-alna-2為極小值也是函數的最小值。
策略：對于解決函數單調性極值問題，首先分析定義域，讓學生明白定義域是函數的靈魂，求出f'（x）=0的點作為分界點，把定義域分成幾個小區間，當f'（x）
4.運用微積分解決不等式問題的教學策略。例如：證明當x>0時，ex>sinx。分析：構造輔助函數，令f（x）=sinx-ex，且f（0）=-1，f'（x）=cosx-ex，由于在x∈（0，+∞）上，cosx1，從而f（x）=sinx-ex在x∈（0，+∞）是單調減函數，又由于f（0）=1，從而f（x）=sinx-exsinx在x∈（0，+∞）恒成立。
策略：對于解決不等式問題，首先構造輔助函數，一般是做差或做商，對輔助函數求導利用函數單調性，求出所在區間的最值從而達到證明不等式的目的。
四、結束語
“微積分”模塊作為新課標新增的內容，它的教學研究還不夠成熟，正處于探索階段時期，因此如何進行“微積分”模塊的教學是所有教育工作者不斷探索的課題。
參考文獻：
[1]章建躍，左懷玲.我國中學數學教材的建設與發展[M].北京：人民教育出版社，2001.
[2]匡繼昌.如何給中學生講授微積分[J].數學通報，2006，5（45）.
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關鍵詞：應用 反例 微積分 高等數學微積分是高等數學的主要部分，它是我院高職一年級學生必修的一門重要基礎課程。它可以為學生學習后繼課程和解決實際問題提供必要的數學基礎。通過各個教學環節，可以逐步培養學生比較熟練的運算能力，綜合運用所學知識分析和解決實際問題的能力，初步抽象概括能力、自覺力圖經及一定的邏輯推理能力，我院根據各專業的實際需要，對數學教學的基本要求是“以應用為目的，以必須夠用”為原則，以“強化概念理解，注重應用計算為依據，對微積分中的重要性質、定理、公式只作介紹，側重于應用計算，不做證明與推導，在數學教學中，常會遇到一些值得思考的問題，對它們不可能在教材中進行詳細討論，但要弄清楚這些問題，對提高學生的縱向思維卻極其重要，這就要求思考者具有高超的分析思維能力。通過應用反例直入主題，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受學生歡迎。本文圍繞高等數學中的重要分支微積分中的連續性、可微性和可積性進行具體探討反例在微積分教學中的作用。
一、兩個無窮小的商一定是無窮小嗎？
在無窮小性質的教學中，根據性質有一條推論：有限個無窮小量的乘積一定是無窮小量。學生在學習這一問題時常會問：兩個無窮小量的商一定是無窮小量嗎？對于這一結論大部分同學認為是正確的。不妨舉一個反例：
如： =0， =0都是無窮小量，而 （第一個重要極限），顯然，兩個無窮小量的商不一定是無窮小量，也就得出了兩個無窮小量的商不一定是無窮小量的結論。
二、最大值與最小值定理中條件改變一定還存在最大值與最小值嗎？
最大值與最小值定理的內容是閉區間[a，b]上連續函數一定存在最大值與最小值（據團區間上的連續函數的性質）。
1、在定理中，如果將閉區間[a，b]改為開區間（a，b），那么結論不一定成立。
如求f（x）=x在區間（2，4）上的最大值與最小值。
顯然函數f（x）=x在開區間（2，4）上連續，且在該區間內單調增加，所以函數的最大值與最小值應在區間的兩端點處取得，而函數在兩端點處無定義，所以f（x）=x在開區間（2，4）上不能取得最大值與最小值。
2、在定理中，如果閉區間[a，b]內存在間斷點，結論不一定成立
如
f（x）=
考慮函數f（x）在閉區間[0，2]上的最大值與最小值
因為
即 不存在，即在閉區間[0，2]上有間斷點且x=1是第一類跳躍間斷點，所以f（x）在[0，2]上不能取得最大值與最小值。
三、函數在閉區間上有原函數一定可積嗎？
在積分學中，微積分基本公式即牛頓-萊布尼茲公式是個十分重要的公式，它將不定積分與定積分巧妙的結合起來，它揭示了定積分被積函數的原函數（不定積分）之間的聯系。給定積分的計算提供了一個很好的計算方法，簡化了定積分的計算。
上述公式是學生記憶中的公式，F（x）是連續函數f（x）在[a，b]上的一個原函數，這樣使定積分的計算轉化成了求被積函數一個原函數的問題。因學生容易忽視f（x）連續的條件，認為在應用此公式時f（x）連續的條件是多余的。
定義函數如下：
首先證明，這個函數存在原函數，我們指出，下面這個函數就是它的原函數：
為此目的，只需證明 對任何x∈[0，1]成立，而0
現在來考慮 的定積分是否存在，其實容易看出它在閉區間[0，1]無界，因為任意 ，函數 在區間（0， ）無界，在這個區間上， 是無窮小量和有界量的乘積，是無窮小量，但 這一項卻是在正無窮與負無窮之間反復振動的量，例如取 ，則其值為 ，但若取 ，則其值為 ，只要n充分大，便可使 ，同時 卻可以大于任何預先給定的正數。這就是說，任意 ，函數 在區間（0， ）無界，從而在閉區間[0，1]無界，而我們知道閉區間上的無界函數是不可積的，所以 的定積分不存在。
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看到本叢書，多數人會問這樣的問題：
“什么是教育數學？”
“教育數學和數學教育有何不同？”
簡單說，改造數學使之更適宜于教學和學習，是教育數學為自己提出的任務。
把學數學比作吃核桃，核桃仁美味而富有營養，但要砸開才能吃到它。有些核桃，外殼與核桃仁緊密相依，成都人形象地叫它們“夾米子核桃”，如若砸不得法，砸開了還很難吃到。數學教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃。教育數學呢，則要研究改良核桃的品種，讓核桃更美味，更營養，更容易砸開吃凈。
“教育數學”的提法，最早出現在筆者1989年所寫的《從數學教育到教育數學》中。其實，教育數學的活動早已有之，如歐幾里得著《幾何原本》，柯西寫《分析教程》，都是教育數學的經典之作。
數學教育有很多世界公認的難點，如初等數學里的幾何和三角，高等數學里的微積分，都比較難學。為了對付這些難點，很多數學老師、數學教育專家前赴后繼，做了大量的研究，寫了很多的著作，進行了廣泛的教學實踐。多年實踐，幾番改革，還是覺得太難，不得不“忍痛割愛”，少學或者不學。教育數學則從另一個角度看問題：這些難點的產生，是不是因為前人留下來的知識組織得不夠好，不適宜于數學的教與學？能不能優化數學，改良數學，讓數學知識變得更容易學習呢？
知識的組織方式和學習的難易有密切的聯系。 英語中12個月的名字：January，February，……背單詞要花點工夫吧？如果改良一下：一月就叫Monthone，二月就叫Monthtwo，等等，馬上就能理解，就能記住，學起來就容易多了。生活的語言如此，科學的語言——數學——何嘗不是這樣呢？
很多人認為，現在小學、中學到大學里所學的數學，從算術、幾何、代數、三角到微積分，都是幾百年前甚至幾千年前創造出來的數學。這些數學的最基本的部分，普遍認為是經過千錘百煉，相當成熟了。對于這樣的數學內容，除了選擇取舍，除了教學法的加工之外，還有優化改革的余地嗎？
但事情還可以換個角度看。這些進入了課堂的數學，是在不同的年代、不同的地方，由不同的人，為不同的目的而創造出來的，而且其中很多不是為了教學的目的而創造出來的。難道它們會自然而然地配合默契，適宜于教學和學習嗎？
看來，這主要不是一個理論問題，而是一個實踐問題。
走進教育數學，看看教育數學在做什么，有助于回答這類問題。
隨便翻翻這幾本書，就能了解教育數學領域里近20年來做了哪些工作。從已有的結果可以看到，教育數學有事可做，而且能做更多的事情。
比如微積分教學的改革，這是在世界范圍內被廣為關注的事。叢書中有兩本專講微積分，主要還不是講教學方法，而是講改革微積分本身。
由牛頓和萊布尼茨創建的微積分，是第一代的微積分。這是說不清楚的微積分。創建者說不清楚，使用微積分解決問題的數學家也說不清楚。原理雖然說不清楚，應用仍然在蓬勃發展。微積分在說不清楚的情形下發展了130多年。
柯西和魏爾斯特拉斯等建立了嚴謹的極限理論，鞏固了微積分的基礎，形成了第二代的微積分。數學家把微積分說清楚了，但是由于概念和推理繁瑣迂回，對于絕大多數學習高等數學的人來說，還是聽不明白的微積分。微積分在多數學習者聽不明白的情形下，又發展了170多年，直到今天。
第三代的微積分，是正在創建發展的新一代的微積分。人們希望微積分不但嚴謹，而且直觀易懂，簡潔明快，讓學習者用較少的時間和精力就能夠明白其原理，不但知其然而且知其所以然；不但數學家說得清楚，而且非數學專業的多數學子也能聽得明白。
第一代微積分和第二代微積分，在具體計算方法上基本相同；不同的是對原理的說明，前者說不清楚，后者說清楚了。
第三代微積分和前兩代微積分，在具體計算方法上也沒有不同，不同的仍是對原理的說明。
幾十年來，國內外都有人從事第三代微積分的研究以及教學實踐。這方面的努力，已經有了顯著的成效。在我國，林群院士近10年來在此方向做了大量的工作。本叢書中的《微積分快餐》，就是他在此領域的代表作。
古今中外，通俗地介紹微積分的讀物極多，但能夠兼顧嚴謹與淺顯直觀的幾乎沒有，《微積分快餐》做到了。一張圖，一個不等式，幾行文字，濃縮了微積分的精華。作者將微積分講得輕松活潑、簡單明了而且嚴謹自封，讓讀者在品嘗快餐的過程中進入了高等數學的殿堂。
叢書中還有一本《直來直去的微積分》，是筆者學習微積分的心得。書中從“瞬時速度有時比平均速度大，有時比平均速度小”這個平凡的陳述出發，不用極限和實數，“微分不微，積分不積”，直截了當地建立了微積分基礎理論。書中的概念與《微積分快餐》中的邏輯等價而呈現形式不盡相同，殊途同歸，顯示出第三代微積分的豐富多彩。
回顧歷史，牛頓和拉格朗日都曾撰寫著作，致力于建立不用極限也不用無窮小的微積分，或證明微積分的方法，但沒有成功。我國數學大師華羅庚所撰寫的《高等數學引論》中，也曾刻意求新，不用中值定理或實數理論而尋求直接證明“導數正則函數增”這個具有廣泛應用的微積分基本命題，可惜也沒有達到目的。
前輩泰斗是我們的先驅。教育數學的進展實現了先驅們簡化微積分理論的愿望。
兩本關于微積分的書，都專注于基本思想和基本概念的變革?；舅枷?、基本概念，以及在此基礎上建立的基本定理和公式，是這門數學的筋骨。數學不能只有筋骨，還要有血有肉。中國高等教育學會教育數學專業委員會理事長、全國名師李尚志教授的最新力作《數學的神韻》，是有血有肉、豐滿生動的教育數學。書中的大量精彩實例可能是你我熟悉的老故事，而作者卻能推陳出新，用新的視角和方法處理老問題，找出事物之間的聯系，發現不同中的相同，揭示隱藏的規律。幽默的場景，詼諧的語言，使人在輕松閱讀中領略神韻，識破玄機?？纯催@些標題，“簡單見神韻”、“無招勝有招”、“茅臺換礦泉”、“凌波微步微積分”，可以想見作者的功力非同一般！特別值得一提的是書中對微積分的精辟見解，如用代數觀點演繹無窮小等，適用于第一代、第二代和第三代微積分的教學與學習，望讀者留意體味。
練武功的上乘境界是“無招勝有招”，但武功仍要從一招一式入門。解數學題也是如此。著名數學家和數學教育家項武義先生說，教數學要教給學生“大巧”，要教學生“運用之妙，存乎一心”，以不變應萬變，不講或少講只能對付一個或幾個題目的“小巧”。我想所謂“無招勝有招”的境界，就是“大巧”吧！但是，小巧固不足取，大巧也確實太難。對于大多數學子來說，還要重視有章可循的招式，由小到大，以小御大，小題做大，小中見大。朱華偉教授和錢展望教授的《數學解題策略》，踏踏實實地從一招一式、一題一法著手，探秘發微，系統地闡述數學解題法門，是引領讀者登堂入室之作。作者是數學奧林匹克領域的專家。數學奧林匹克講究題目出新，不落老套。我看了這本書里的不少例題，看不出有哪些似曾相識，真不知道他是從哪里搜羅來的！
朱華偉教授還為本叢書寫了一本《從數學競賽到競賽數學》。競賽數學當然就是奧林匹克數學。華偉教授認為，競賽數學是教育數學的一部分。這個看法是言之成理的。數學要解題，要發現問題、創造方法。年復一年進行的數學競賽活動，不斷地為數學問題的寶庫注入新鮮血液，常常把學術形態的數學成果轉化為可能用于教學的形態。早期的國際數學奧林匹克試題，有不少進入了數學教材，成為例題和習題。競賽數學與教育數學的關系，于此可見一斑。
寫到這里，忍不住要為數學競賽說幾句話。 有一陣子，媒體上出現不少討伐數學競賽的聲音，有的教育專家甚至認為數學競賽之害甚于黃賭毒。我看了有關報道后的第一個想法是，中國現在值得反對的事情不少，論輕重緩急還遠遠輪不到反對數學競賽吧。再仔細讀這些反對數學競賽的意見，可以看出來，他們反對的實際上是某些為牟利而又誤人子弟的數學競賽培訓。就數學競賽本身而言，它是面向青少年中很小一部分數學愛好者而組織的活動。這些熱心參與數學競賽的數學愛好者（還有不少數學愛好者參與其他活動，例如青少年創新發明活動、數學建?；顒?、近年來設立的丘成桐中學數學獎），估計不超過約兩億中小學生的百分之五。從一方面講，數學競賽培訓活動過熱產生的消極影響，和升學考試體制以及教育資源分配過分集中等多種因素有關，這筆賬不能算在數學競賽頭上；從另一方面看，大學招生和數學競賽掛鉤，也正說明了數學競賽活動的成功因而得到認可。對于青少年的課外興趣活動，積極的對策不應當是限制、堵塞，而是開源分流。發展多種課外活動，讓更多的青少年各得其所，把各種活動都辦得像數學競賽這樣成功并且被認可，數學競賽培訓活動過熱的問題自然就化解或緩解了。
回到前面的話題。上面說到“大巧”和“小巧”，自然想到還有“中巧”。大巧法無定法，小巧一題一法。中巧呢，則希望用一個方法解出一類題目。也就是說，把數學問題分門別類，一類一類地尋求可以機械執行的方法，即算法。中國古代的《九章算術》，就貫穿了分類解題尋求算法的思想。中小學里學習四則算術、代數方程，大學里學習求導數，學的多是機械的算法。但是，自古以來幾何命題的證明卻千變萬化，法無定法。為了找尋幾何證題的一般規律，從歐幾里得、笛卡兒到希爾伯特，前赴后繼，孜孜以求。我國最高科技獎獲得者、著名數學家吳文俊院士指出，希爾伯特是第一個發現了幾何證明機械化算法的人。在《幾何基礎》這部名著中，希爾伯特對于只涉及關聯性質的這類幾何命題，給出了機械化的判定算法。由于受時代的局限性，希爾伯特這一學術成果并不為太多人所知。直到1977年，吳文俊先生提出了一個新的方法，可以機械地判定初等幾何中等式型命題的真假。這一成果在國際上被稱為“吳方法”，它在幾何定理機器證明領域中掀起了一個，使這個自動推理中最不成功的部分變成了最成功的部分。
“吳方法”和后來提出的多種幾何定理機器證明的算法，都不能給出人們易于檢驗和理解的證明，即所謂可讀證明。國內外的專家一度認為，機器證明的本質在于“用量的復雜克服質的困難”，所以不可能機械地產生可讀證明。
筆者基于1974年在新疆教初中時指導學生解決幾何問題的心得，總結出用面積關系解題的規律。在這些規律的基礎上，1992年提出消點算法，和周咸青、高小山兩位教授合作，創建了可構造等式型幾何定理可讀證明自動生成的理論和方法，并在計算機上實現。最近在網上看到，面積消點法也多次在國外的不同的系統中實現了。本叢書中的《幾何新方法和新體系》，包括了面積消點法的通俗闡述，以及筆者提出的一個有關面積方法的公理系統，由冷拓同志協助筆者整理成書。教育數學研究的副產品解決了機器證明領域中的難題，對筆者而言實屬僥幸。
基于對數學教育的興趣，筆者從1974年以來，30多年持續地探討面積解題的規律，想把幾何變容易一些。后來發現，國內外的中學數學教材里，已經把幾何證明刪得差不多了。于是“迷途知返”，把三角作為研究的重點。數學教材無論如何改革，三角總是刪不掉的吧。本叢書中的《一線串通的初等數學》，講的是如何在小學數學知識的基礎上建立三角，以三角的發展引出代數工具并探索幾何，把三者串在一起的思路。
在《一線串通的初等數學》中沒有提到向量。其實，向量早已下放到中學，與傳統的初等數學為伍了。在上海的數學教材里甚至在初中就開始講向量。講了向量，自然想試試用向量解決幾何問題，看看向量解題有沒有優越性?？上г诮滩睦锖涂锷铣霈F的許多向量例題中，方法略嫌繁瑣，反而不如傳統的幾何方法簡捷優美。如何用向量法解幾何題？能不能在大量的幾何問題的解決過程中體現向量解題的優越性？這自然是教育數學應當關心的一個問題。為此，本叢書推出一本《繞來繞去的向量法》。書中用大量實例說明，如果掌握了向量解題的要領，在許多情形下，向量法比純幾何方法或者坐標法干得更漂亮。這要領，除了向量的基本性質，關鍵就是“回路法”。繞來繞去，就是回路之意?；芈贩ㄊ枪P者的經驗之談，沒有考證前人是否已有過，更沒有上升為算法。書稿主要由彭翕成同志執筆，絕大多數例子，也是他采集加工的。
談起中國的數學科普，談祥柏的名字幾乎無人不知。老先生年近八旬，從事數學科普創作超過半個世紀，出書50多種，文章逾千篇。他對于數學的執著和一生的愛，洋溢于他為本叢書所寫的《數學不了情》的字里行間。哪怕僅僅信手翻上幾頁，哪怕是對數學知之不多的中小學生，也會被一個個精彩算例所顯示的數學之美和數學之奇深深吸引。書中涉及的數學知識似乎不多、不深，所蘊含的哲理卻足以使讀者掩卷遐想。例如，書中揭示出高等代數的對稱、均衡與和諧，展現了古老學科的青春；書中提到海峽兩岸的數學愛好者發現了千百年來從無數學者、名人的眼皮底下滑過去的“自然數高次方的不變特性”，這些生動活潑的素材，兼有冰冷的思考與火熱的激情，無論讀者偏文偏理，均會有所收益。
沈文選教授長期從事中學數學研究、初等數學研究、奧林匹克數學研究和教育數學的研究。他的《走進教育數學》和本叢書同名，是一本從學術理論角度探索教育數學的著作。在書中，他試圖詮釋“教育數學”的概念，探究“教育數學”的思想源頭與內涵；提出“整合創新優化”、“返璞歸真優化”等優化數學的方法和手段，并提供了豐富的案例。筆者原來杜撰出“教育數學”的概念，雖然有些實例，但卻凌亂無序，不成系統。經過文選教授的旁征博引，詮釋論證，居然有了初具規模的體系框架，有點學科模樣了。這確實是意外的收獲。
瀏覽著這風格不同并且內容迥異的10本書，教育數學領域的現狀歷歷在目。這是一個開放求新的園地，一個蓬勃發展的領域。在這里耕耘勞作的人們，想的是教育，做的是數學，為教育而研究數學，通過豐富發展數學而推進教育。在這里，大家都做自己想做的事，提出新定義、新概念，建立新方法、新體系，發掘新問題、新技巧，尋求新思路、新趣味，凡此種種，無不是為教育而做數學。
篇9
關鍵詞：定積分概念 教學設計
中圖分類號：G642 文獻標識碼： A 文章編號：1672-1578（2013）01-0035-02
自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術運算是計算不出來的，而必須通過分析一個無限變化過程的變化趨勢才能求得結果。這正是人類文明發展中的偉大創舉——極限思想和極限方法產生的客觀基礎。微積分的創立，是數學史上一個具有劃時代意義的創舉，也是人類文明的一個偉大成果，正如恩格斯評價的：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發明那樣被當做人類精神的最高勝利了?！倍ǚe分又是微積分教學中的一個重點，同時也是一個難點，在定積分的概念教學中，如何讓學生理解定積分的本質，培養數學思想，挖掘學生潛力，激發學生想象力和創造力，勇于進取，提高解決實際問題的能力是非常重要的，筆者在教學過程中作了如下設計：
1 注意背景知識與引入方法
定積分概念起源于求平面圖形的面積，空間立體的體積，曲線段的長度，物體的重心等幾何和物理問題。17世紀以前，計算這些問題缺乏一種統一的數學方法，直至牛頓和萊布尼茲建立了微積分之后，才有了統一的積分方法，并把求面積、體積、長度這一類問題和求原函數聯系起來。200年后，才由黎曼用嚴格的形式給出了定積分的概念，也稱黎曼積分。在教材中，引入定積分的兩個經典引例是“曲邊梯形的面積”和“變速直線運動的路程”，為了引入自然，我們采用探究式的教學方法，以培養學生的問題意識，突出數學思想方法提出問題，啟動思維：
探究1：你知道如何求正方形、長方形、三角形的面積嗎？這些圖形都有什么特點？
探究1的設計意圖：學生歸納平面圖形特點是：各邊都是線段組成的圖形；同時把思維引向如何求面積的方向上來。
探究2：你知道圓的面積公式嗎？它的面積是怎樣計算的？
探究2的設計意圖：學生感受求曲邊圖形面積的難度，回憶圓的面積求法，為本節課類比作好鋪墊。
2 引入新課，探究學習
探究3：陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線y=f（x）的一段，我們把由直線x=ɑ， x=b（ɑ≠b），y=0和y=f（x）曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形。如何計算這個曲邊梯形的面積S？思考下面問題：
（1）曲邊梯形與“直邊圖形”有什么區別？
（2）能否將球這個曲邊梯形面積的問題轉化為求“直邊圖形”面積的問題？
探究3的設計意圖：給出曲邊梯形的定義，明確本節的研究課題，由具體問題出發，激發思維熱情。
我們可以針對這一問題用Mathematica軟件制作一個動畫，先把曲邊梯形等分成10個小矩形，再將曲邊梯形等分成20個、30個、70個小矩形，通過動畫演示，可以使學生深刻領會定積分的思想。同樣的，我們也可以做出積分上和逼近其下確界的相應圖像。在傳統教學中，無論教師將分點怎么增加，也無法刻畫“分點無限增加”的細分過程。將動態圖形鮮明、生動、形象的展現在屏幕上，學生可以清晰地看到：隨著小矩形的不斷增加，其面積之和就越來越接近曲邊梯形的面積這一事實。是學生可以在具體的情境中體會這種無限的過程，這種“從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變”的思想，是對微積分思想的樸素的直觀認識。
探究4：如何求由拋物線y=x2與直線x=1，y=0所圍成的平面圖形部分的面積S？
結論：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段。
（2）應用“以直代曲”的思想求曲邊梯形面積，共分四步。
教師引導，學生自主完成探究。
探究4的設計意圖：先研究特殊的曲邊梯形的面積，簡化運算，揭示思想核心。
第一步——分割：化整為零，把整體量化為局部量
第二步——近似代替：以“不變”代“變”，在局部量中做近似代替
第三步——求和：把局部量的近似值累加起來。此處，教師強調：這里的面積畢竟是近似值，不能代替真實值，尚需完善。
第四步——取極限：把整體量的近似值轉化為精確值。
3 整理新知，鞏固所學
探究5：求曲邊梯形面積的四個步驟都是什么？這四個步驟間有何關系？
探究5的設計意圖：先分后總整理一般步驟，得到一般方法，給出求解這類問題的一般步驟——“四步曲”，由特殊問題探究上升到一般認識。對曲邊梯形的面積問題，注重詳細分析，這一分析過程是把整體分為局部，在局部以直代曲，以不變代變，這種處理問題的思想方法即為“極限思想方法”，它是高等數學的基本思想方法，甚至可以說是微積分的靈魂，后面的各種積分都是采用這種思想方法去處理的，詳細地分析面積問題后，總結所應用的方法步驟，突出強調結果是一個“和的極限”。對第二個引例，以啟發為主，師生一起進行簡要地分析，引導學生作出類似結論。
4 對比實例，抽象定義
上面兩個問題所需的計算量，一個是幾何學中的面積，一個是物理學中的路程。雖然兩個量表示的實際意義不同，但計算這些量的方法和這些量的數學形式都是相同的?？偨Y問題共性，著重指出實際中還有很多類似問題，它們都可以歸結到此類相同的數學形式，因此要對這些形式進行研究，于是抽象出定積分的概念。
5 剖析概念，領會實質
給出定義后，教師應進一步闡述：（1）定積分是一個特殊的極限值，因此是一個數值，這與定積分截然不同；（2）通過解釋兩個“任意”，結合極限的唯一性，說明若定積分存在的話，其結果是確定的，與區間的分法與區間內點的取法無關；（3）定積分的值僅與積分區間和函數結構有關，所以更換積分變量所采用的字母，積分值不會發生變化；（4）給出定積分存在的條件。
6 歸納總結
借助多媒體與圖形結合起來，更有利于學生的直觀理解，體會逼近的思想。積極的師生互動能幫助學生看到知識之間的聯系，有助于知識的重組和遷移。讓學生自己小結，養成良好的學習習慣。
參考文獻：
[1]耿立華.談定積分概念的教學[J].中國科教創新導刊，2009（4）.
篇10
關鍵詞 大學數學教學 數學建模 生活實際問題
1大學數學教與學的現狀
大學數學的學習現狀，主要體現在兩個方面。一方面，學生的數學學習興趣不高。隨著高校擴大招生，在原有教學大綱、教學模式基本不變的基礎上，學時銳減，使得教師單位時間內講授的內容過多、速度過快，難度相應也加大，并且例題和課堂練習相對較少。大多數學生習慣中學時養成的少思考多練習的學習方法，在課后不愿意多思考，不能認真完成作業；再者，囿于課時的限制，數學應用部分幾乎都被砍掉，學生不清楚為什么學習數學，怎么用數學，數學的應用價值體現不直接，這些都導致學生數學學習興趣、學習能力、學習成績下降。而對于絕大多數的由?？粕秊槎镜谋究聘咝＃òǜ呗氃盒＃﹣碚f，學生的數學基礎普遍較差，接受知識慢，對數學的學習興趣更是不高。另一方面，重理論重技巧輕背景輕應用，使得學生缺乏數學意識、用數學的能力薄弱。盡管學生學的數學知識較“深”，用數學的意識和能力卻比數學知識學得“淺”的國外大學生弱。例如，如今國內大多數高校的微積分教學與美國傳統的微積分教學極為相似。僅讓學生做求導求積分練習，卻缺乏增強讓學生理解和用于解決問題的能力；學生學完了微積分，不了解微積分的背景和實際需要，不會用來解決其他學科提出的問題和應用。
大學數學教學現狀主要是：在擴大招生后，“精英教育”向“大眾化教育”轉型，社會對數學的要求越來越高，絕大多數高校在學時銳減的情況下，仍然沿用擴招以前的教學模式，造成教學目標錯位、教學手段落后、教學方式呆板僵化；大多數只是把書本上的知識講授給學生；而且理論推理多，實際應用少，忽視數學思想，忽視綜合性的、再創造性的思維行為，使學生難于從數學情景中發現、提出數學問題，輕數學的思想方法和數學的人文素質的培養，一定程度上淡化了數學的作用。
2生活實際問題引入大學數學教學的必要性
激發學生數學學習興趣、提高數學能力是大學數學教學改革的首要任務。大學數學課程作為公共基礎理論課，除了為后繼課程奠定基礎，擴充、完整學生的知識結構，更重要的是，需要培養學生的創造性思維能力、抽象概括能力、邏輯推理能力、自學能力、分析問題和解決問題能力、開闊學生思路，提高學生綜合素質等。數學教學的第一目的，也是首要任務：培養學生的數學思想方法以及應用數學思想方法的能力，即教給學生如何正確地思考問題，解決問題；而教會學生數學的知識是第二位的?，F行高等數學大綱也強調應以培養學生的創新能力和實踐能力為重點。高等數學提供了豐富的、特色、普遍適用、強有力的思考方式，包括建立模型、抽象化、最優化、邏輯分析、從數據進行推斷以及運用符號等，用數學思想方法分析問題解決問題的能力、把實際問題轉化為數學模型的能力、求解數學模型的能力，這種數學化的實踐能力是高校畢業生在實際工作中必須具有的全面素質和綜合職業能力。另外，數學教學要充分調動學生學習的積極性、主動性、自覺性，啟發學生獨立思考、活躍思維，從而激發求知欲望，使學生達到先想學、繼而會學的境界，變“要我學”為“我要學”，使學生能有效地掌握基礎知識和基本技能，為他們能力的培養創造有利的條件。
在教學中融入數學建模的思想，已經是各高校在數學教學上的大勢所趨。充分有效地將大學數學知識運用到現實生活、生產貿易、經濟管理等領域，并解決實際問題，是數學科學的價值所在和目標追求，同時也調動大學生學學數學的積極性和主動性。營造適宜的教學情境，引出數學問題，帶動學生的主觀能動性，讓學生自主地運用數學的思想和方法，從而開發學生認識事物的能力。例如，微積分教學就應體現微積分與當代生活和科技的聯系，應設計選擇一些實際背景強、與現代科技結合緊密的應用題，如疾病傳染、流言傳播、人口增長、環境污染、種群競爭、系統變化等問題，logistic模型能描述人口、生態、廣告等多領域的問題。
然而，國內外注重數學建模思想的優秀大學數學教材所使用的案例幾乎都是實際問題經過了抽象簡化后的、需要單一知識點的簡單應用題。這些案例的已知條件在問題解決中每一個都會被用到，并且沒有一個條件是多余的，這給學生造成了誤解，如果有一個條件沒有用到，學生就會認為解題思路錯了。這在一定程度上扭曲了現實，現實生活中，解決問題之前并不知道哪些是已知條件，甚至哪些是未知要素也是很模糊的，再者，本應作為“己知條件”的，如果沒有恰當的方法獲取，也將被視為未知條件。從數學的角度，將實際問題抽象、化簡為數學問題，厘清已知條件、未知要素，是數學建模的第一個步驟，恰好是我們所有大學數學教學所忽略掉的，包括數學建模課程的教學，卻也正是我們如今的學生稀缺的一種能力。這種能力惟有將學生置身于生活實際中才能培養。再者，生活中遇到的實際問題更能引起學生的共鳴，引起他們的興趣，從而照顧到各個層面的學生，數學基礎不同的同學可以提出或解答不同層次的問題。生活實際問題的解決，讓學生真實地體會數學的作用、強大，滿足數學“有用”的要求，激發學生的學習動力。另外，作為數學建模過程中的一個步驟，能逐步培養學生用數學的“眼睛”發現問題、提出問題的能力，這種能力應與所學數學知識難易程度關系不大，當然，數學基礎較好的學生更有可能提出更為恰當的問題、更能解決問題，這就是數學化的實踐能力的具體體現。
3生活實際問題引入大學數學教學的可行性
由解決生活實際問題出發，在認真研究教材的基礎上，教師可以挑選恰當的生活實例，根據學生的數學基礎、學習能力，提出各個層次的問題，這樣可以全面引起學生的興趣，啟發思考。生活實際問題的解決通常需要多方面、多知識點的有機結合，教師可以根據教學的需要，解剖成對應不同知識點的小問題，同時，提出的問題可以由淺入深、由簡入難，問題解剖的過程同時也是引導學生學會思考的過程，是從現實抽取數學問題的過程。這種以問題為導向的數學課堂，也是以解決問題為核心的課堂，能使學生自主、自覺地去了解、學習本來會被他們認為較為困難的數學知識，同時也將所學的知識，包括數學知識和其它學科知識，形成有機的結構體系。
在解決生活實際問題的同時，不可避免的需要用到軟件知識，數學軟件的學習，使得學生由“學數學”向“做數學”轉變，探究數學的神奇與強大。
現今，大學數學作為公共基礎課，課時被削減到很少的情況下，這種以問題為導向的教學方式，既能有助于教師組織課堂，又有利于學生數學能力的培養。給出的生活實際問題相對于教材上的例題是“大問題”，該“大問題”又分解為“小問題”，這些“小問題”的解決又對應著書本上相應的知識點，這種有的放矢的教學是高效、有吸引力的教學。
4總結