微積分案例教學策略探討

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摘要：高等數學是高等職業教育必修的基礎課，其理論基礎和思想方法不僅為專業課學習提供基礎，還是技能發展的支撐工具。高等數學在高素質技能型人才的培養方面占據非常重要的地位。微積分教學作為高等數學教學中的重要模塊，其教學成效重要性不言而喻。本文對微積分的教學進行研究，探討微積分的案例教學如何實現。

關鍵詞：教學成效;微分學;積分學;案例教學

高職院校以培養高素質技術型人才為主要方向的高等教育目的，其在課程設置需要依照高等職業院校學生的特點和專業需要。高等數學的教學展開情況直接影響了技術型人才的技能素養和終身發展的需求。

一、發展簡史

微積分的發展體現著人類認識是感性認識到理性認識的過程。早期萌芽時期始于公元前七世紀上半頁，表現為對圖形的長度，面積和體積的研究，比如窮竭法，割圓術等都體現了微積分思維的雛形。發展成型于十七世紀，此時科學的理論研究著力于速率、極值、切線等問題，特別是描述運動與變化的無限小算法等，后來，牛頓和萊布尼茨各自獨立地提出微積分系統的理論，使得微積分成為一門數學學科。自此以后，連續性、導數、無窮小以及函數收斂等得到一系列數學家的繼續深化研究和改善，微積分建立在牢固的理論基礎上。初等數學無法解決的問題隨著微積分理論迎刃而解，顯示出微積分學的非凡魅力。

二、教學案例的設計

微積分的發展史也體現了人類在數學方面的認知發展過程，微積分的教學成為高職教育中非常重要的一環。在微積分的講解過程當中，著力于高職教育的教育目的以及高職類學生的基礎特色，著重從實際案例引入微積分的教學。(一)極限思維培養。在微積分的講解過程當中，極限思維的培養是非常重要的。具有極限的思維能很好地理解函數的連續、可導，積分等微概念。案例：在課堂探討無限循環小數0.9與1的大小關系。證明方式：x=0.9令，10x=9.9則有，聯立方程組求解有：10x=9.9x=0.9，解得x=1。在進一步基礎上，引入初等數學問題討論“任意的無限循環小數都可化成分數”的實現。另外可以適當根據學生的基礎情況，通過圓周率的確定，扇形面積公式等來進一步講解極限思維的應用場景，實現與初等數學的銜接和極限思想的進一步培養。(二)函數以及函數的連續性。函數體現的是實數變量之間的對應關系，可引入速度、時間和路程這些量之間的關系，系統解釋一元連續函數，如圖1。在連續函數的基礎上，可以進一步作離散的函數圖2，以作連續和離散函數的對比。圖1圖2(三)函數的可導。在函數連續的基礎上，導數定量研究函數的連續性，在實際講解過程中繼續對圖1所示函數進行分析：以y表示直線運動的路程，x表示運行時間，其中y=2xx-6x-80≤x≤10。按照圖3所示，逐點x0<x<10考慮dydx或者∆y∆x∆x→0，則得到瞬時速度函數y'=dydx=2x-6x-8+2xx-6+2x-80<x<10，則y'對應物體運動瞬時速度函數，比如在路程y函數上點x0,y0處有對應瞬時速度函數y'上有點x0,y0'，代表x0在時刻，有速度值y0'。另外根據需要和學生情況，在端點處x=0和x=10處探討單側可導性。圖3圖4通過此案例的介紹，其實導數衡量的變量的改變趨勢，包括改變的方向以及改變的快慢，是一種定量研究函數連續性的方法。(四)函數的可微。微分主要衡量自變量的改變對應引起的因變量的改變大小，本質上是導數的變形。在此圖中，s∆=y0'∆x-∆y，∆y為圖3中對應的因變量的改變量，在極限狀態∆x→0下s∆為零，故有∆y→y0‘∆x∆x→0，亦可記為dy=y0‘dx。此種推導過程推廣到整個區間，則有任意點x0<x<10處都有dy=y’dx。從實際案例理解起來，就是微小時間的dx內，路程改變量dy=y’dx，即等于瞬時速度乘以時間。圖5(五)不定積分。從數學的角度來說，不定積分屬于微積分領域積分學的范疇，其實屬于導數的逆運算。在從微分學跨越到積分學的過程當中，從離散狀態的求和符號xi講起，然后強調積分符號fxdx本質上是一種連續狀態下的求和，把連續的微小量fxdx累加起來。通過不定積分的y'dx求解，可以得到——系列的路程——時間函數,這些函數的圖象保持如圖6所示的特點。路程——時間函數呈現圖6的特點，得到多條趨勢一致的曲線（即路程——時間函數不唯一），這是由于速度只是決定了路程的變化趨勢，但是物體運動的初始位置沒有限定，故由速度反向確定路程——時間，得到的結果不唯一。(六)定積分及其不定積分的關系。定積分問題本質上屬于微分的逆運算，也是連續狀態下的求和問題。如果以時間、速度和路程三者的關系為例子圖6和圖7充分反映了定積分以及不定積分的關系。y2-y1=s1-s2+s3=x1x2y'dx，其本質反映了在時間段x1,x2上按照速度y'運動的物體路程的累計改變量，其結果跟圖6中所示的路程——時間函數具體選取哪個函數沒有關系。在具體的教學過程當中，通過路程、時間和速度三者的之間的關系講解，最后延伸到身邊的數學當中去，比如可以借助經濟增長模型、傳染病控制相關知識、法醫鑒定人體死亡時間等相關知識來探討微積分相關知識。

通過案例的引入，加深學生對微積分的理解，最后再從具體的案例當中抽象出來，從數學層面純粹探討微積分并進行講解。本文通過時間、路程和速度三者的關系進行實例剖析，通過實例介紹，介紹微積分從連續、可導、可微、定積分和不定積分這些概念的內在聯系，為微積分的案例教學提供一定的參考。案例講解過程中忽略理論推導而注重直觀感受，比較符合高職教育的實際情況和需要。

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作者:蔣芬 單位:廣州華夏職業學院