數學競賽試題范文

導語：如何才能寫好一篇數學競賽試題，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

【關鍵詞】大學生數學競賽；矩陣；矩陣方程；特征值

【中圖分類號】O151.2【文獻標識碼】C

【基金項目】河南省高等學校青年骨干教師資助計劃項目（2014GGJS-193）

一、引言

2015年第七屆全國大學生數學競賽（數學類）預賽試題第三大題：

設A為n階實方陣，其n個特征值皆為偶數.試證明關于X的矩陣方程X+AX-XA2=0只有零解.

證明如下.

設C=I+A，B=A2，A的n個特征值為λ1，λ2，…，λn，則B的n個特征值為λ21，λ22，…，λ2n；

C的n個特征值為μ1=λ1+1，μ2=λ2+1，…，μn=λn+1；C的特征多項式為pC（λ）=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μn）.

若X為X+AX-XA2=0的解，則有CX=XB；進而C2X=XB2，…，CkX=XBk，…，結果0=pC（C）X=XpC（B）=X（B-μ1I）…（B-μnI）.注意到B的n個特征值皆為偶數，而C的n個特征值皆為奇數，故（B-μ1I），…，（B-μnI）皆為可逆矩陣，結果由0=X（B-μ1I）…（B-μnI）立得X=0.

受此啟發，考慮一般的問題：方陣A與B滿足什么條件時，關于X的矩陣方程AX=XB只有零解.

二、主要結論

定義1設A∈Pn×n，λ∈P，如果存在X∈Pn且X≠0，使AX=λX，則稱λ是矩陣A的一個特征值，稱X是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量.

定義2設A∈Pn×n，λ∈P.矩陣λE-A的行列式

|λE-A|=λ-a11λ-a12…λ-a1n

λ-a21λ-a22…λ-a2n

λ-an1λ-an2…λ-ann

稱為矩陣A的特征多項式，記為fA（λ）.

注fA（λ）是一個關于λ的n次多項式，其在P中的根即為矩陣A的全部特征值.

引理1[哈密頓-凱萊（Hamilton-Caylay）定理]設A∈Pn×n，fA（λ）=|λE-A|是矩陣A的特征多項式，則

fA（A）=An-（a11+a22+…+ann）An-1+…+（-1）n|A|E=0.

注這表明矩陣A的特征多項式是矩陣A的零化多項式.

引理2設A∈Cn×n，B∈Cm×m，則fA（B）（fB（A））是m階（n階）可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無公共特征值.

證設A的n個特征值為λ1，λ2，…，λn，B的m個特征值為μ1，μ2，…，μm，則

fA（λ）=|λE-A|n=（λ-λ1）（λ-λ2）…（λ-λn），

fB（λ）=|λE-B|m=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μm），

于是，fA（B）=（B-λ1E）（B-λ2E）…（B-λnE）.

注意到對任意1≤k≤n，有

|B-λkE|m=（-1）m|λkE-B|m=（-1）mfB（λk）=（-1）m（λk-μ1）…（λk-μm）=（-1）m∏mj=1（λk-μj），

故|fA（B）|m=|B-λ1E||B-λ2E|…|B-λnE|=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）.

因此，若fA（B）可逆，則

|fA（B）|m=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）≠0，

于是λi≠μj（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），從而矩陣A與B無公共特征值；反之亦真.

同理可證fB（A）是n階可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無公共特征值.（證完）

定理1設A∈Cn×n，B∈Cm×m，A與B無公共特征值，則矩陣方程AX=XB只有零解，其中X是n×m矩陣.

首先，X=0是AX=XB的一個解.其次，設X=X0是AX=XB的任一解，tAX0=X0B，于是A2X0=A（AX0）=A（X0B）=（X0B）B=X0B2，進而A3X0=X0B3，…，AkX0=X0Bk，…，（k∈N）.注意到A的特征多項式fA（λ）=λn+∑nk=1（-1）kbkλn-k，其中bk（k=1，2，…，n）是A的所有k階主子式之和，于是有fA（A）X0=X0fA（B）.

由引理1知fA（A）=0，則X0fA（B）=0，又A與B無公共特征值，則由引理2知fA（B）是m階可逆矩陣，于是X0=0.因此，矩陣方程AX=XB只有零解.（證完）

三、應用

解決第七屆全國大學生數學競賽（數學類）預賽試題第三大題.

篇2

學校概況相關知識

1,暨南大學的前身是1906年清政府創辦于南京的暨南學堂.1927年更名為國立暨南大學.

2,目前,暨南大學有20個學院,44個系,有61個本科專業.

3,暨南大學的校訓是忠信篤敬.版權所有

4,暨南大學在1996年成為國家重點建設的"211工程"大學.

5,暨南大學全日制本科辦學的定位是:外招生是面向世界,應用為主;內招生是加強基礎,目標上移.

6,我校的辦學方針是面向海外,面向港澳臺,我校的發展戰略是僑校+名校.

7,暨南大學創辦于1906年,1958年遷往廣州重建,1978年復辦至今.

8,2006年11月16日,暨南大學將迎來百年華誕.學校定于11月18日(星期六)隆重舉行建校百年慶典.

二,實驗室管理及實驗教學相關知識

1,實驗室建設,調整與撤銷,必須經學校正式批準.依托在高等學校中的部門開放實驗室,國家重點實驗室的建設,調整與撤銷,要經過學校的上級主管部門批準.

我學校實驗室管理實行校,院(系)二級管理體制.

實驗室要嚴格遵守國家環境保護工作的有關規定,不隨意排放廢氣,廢水,廢物,不得污染環境.

高等學校實驗室工作人員包括:從事實驗室工作的教師,研究人員,工程技術人員,實驗技術人員,管理人員和工人.

5,實驗室實行主任負責制.高等學校實驗室主任負責實驗室的全面工作.實驗室主任由學校按規定任用或聘任,要具有高級技術職務.

6,實驗室要做好工作環境管理和勞動保護工作.要針對高溫,低溫,輻射,病菌,噪聲,毒性,激光,粉塵超凈等對人體有害的環境,切實加強實驗室環境的監督和勞動保護工作.凡經技術安全和環境保護部門檢查認定不合格的實驗室,要停止使用,限期進行技術改造,落實管理工作.待重新通過檢查合格后,才能投入使用.

7,實驗室要嚴格遵守國務院頒發的《化學危險品安全管理條例》及《中華人民共和國保守國家秘密法》等有關安全保密的法規和制度,定期檢查防火,防爆,防盜,防事故等方面安全措施的落實情況.要經常對師生開展安全保密教育,切實保障人身和財產安全.

8,化學危險品保管地點應有相應的防火,防爆,防靜電,隔離,監測,報警等設施,庫房物品的保管應該科學化,化學危險品要儲存在通風,低溫,陰涼,干燥的房子內,特別要注意性質相抵觸的危險品絕對不能堆放一塊.

9,實驗室高壓容器要存放合理,易燃與助燃氣瓶要分開放置,離明火10米以處.

10,實驗室噪音應小于70db.

11,學生實驗完畢,應關閉水源,電源,氣源,做好儀器的復位工作,清潔實驗儀器和實驗工作臺.

12,高等學?；A課教學實驗室評估標準中教學任務不低于64800人時數,儀器設備的固定資產賬,物,卡相符率達100%,單價低于500元的低值耐用品的賬物相符率不低于90%,現有儀器設備完好率不低于80%,每個實驗項目的常規儀器配置套數,不低于5套.

13,高等學?；A課教學實驗室評估標準中要求實驗室專職技術人員有3人以上,參加實驗教學的教師要比實驗室專職技術人員多2倍,專職人員中,高級技術職務人員要占20%以上.

14,2005年教育廳組織了廣東省高等學校實驗教學示范中心評審,評選出29個省級實驗教學中心,并于2005年10月8日網上公示.我校電子信息技術實驗教學示范中心,基礎醫學實驗教學示范中心,物理實驗教學示范中心被評為廣東省實驗教學示范中心.

15,2005年我省推薦中山大學化學實驗教學中心,華南理工大學電工電子教學實驗中心,華南師范大學物理學科基礎課實驗教學示范中心參評2005年國家級實驗教學示范中心.教育部組織有關專家對30個省,自治區,直轄市教育行政部門報送的物理,化學,生物,電子四個學科類別68個實驗教學中心進行了評審,我省中山大學化學實驗教學中心被評為第一批國家級實驗教學示范中心.

16,單價在人民幣10萬元(含)以上的儀器設備為貴重儀器設備.單價在人民幣40萬元(含)以上的儀器設備為教育部所管的貴重儀器設備.

17,教育部規定10萬元(含)以上儀器儀表類通用設備年使用定額機時為1400小時/年,專用設備800小時/年;機械類使用定額機時為800小時/年.

18,能獨立單價在人民幣500元(含)以上的一般設備,及單價在人民幣800元(含)以上的專用設備列為固定資產管理.

19,專用設備是指各種專門性能和專門用途的設備,包括各種儀器和機械設備,醫療器械,文體設備等.一般設備是指:辦公和事務用的通用性設備,交通工具,通訊工具,家具等.

20,學校對儀器設備和管理采取"統一領導,歸口管理,分級負責,責任到人"的原則,實行校,使用單位二級管理體制.

21,使用儀器設備必須嚴格遵守操作規程.使用貴重儀器,必須由經過技術培訓的專職人員上機操作,并要認真填寫"貴重儀器使用登記本",如實記錄使用,借用,損壞,檢查,維修等情況.

22,經批準同意報廢的儀器設備,要保持完整,帳,物相符,及時上交校資產管理部門統一處理.任何單位和各人無權自行處理.

23,我校不辦理報廢留用手續(堅持報廢不留用,留用不報廢的原則).對確實需要留用的零部件,應經學校歸口資產管理部門批準并做好領用登記.在未經校資產管理部門批準之前,一律不得自行拆卸.

24,暨南大學將準備在2007年接受教育部組織的全國普通高等學校本科教學工作水平評估.

25實驗教學按課程性質可分為學科基礎課實驗,專業基礎課實驗和專業課實驗.

26實驗教學按形式和內容可分為四種實驗:演示性實驗,驗證性實驗,綜合性實驗和設計性實驗.

27在教育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》中,一級指標有7個.

28,育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》中,特色指標有1個.

29,教育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》中,二級指標有19個(其中重要指標有11個).

30在教育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》中,主要觀測點有44個.

31,教育部普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》體系中,二級指標"4.3實踐教學"中涵蓋以下各主要觀測點:實習和實訓,實踐教學內容與體系,綜合性設計性實驗,實驗室開放.

32,實驗教學若超過18學時,原則上應將理論教學和實驗教學分開,并合理規定二者的學分.

33,實驗教學建設與管理工作要堅持科學化,規范化和標準化的原則.

34,教育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》中規定,多媒體授課是指利用多媒體技術授課.多媒體技術是指利用計算機綜合處理文字,聲音,圖像,圖形,動畫等信息的技術.

35,實驗課程體系應著眼于21世紀人才培養是需要,結合我校特點,從知識,能力,素質這三方面著手培養,與理論課程共同組成合理的課程體系.

36,實驗教學建設與管理工作要按照統籌規劃,優化整合,合理布局,資源共享,提高效益的要求,逐步形成科學的管理體制和運行機制.

37,實驗室開放包括開放的范圍,時間,內容,對學生的覆蓋面等方面.

38高等學校實驗室的設置,應當具備以下基本條件:

答:1)有穩定的學科發展方向和飽滿的實驗教學或科研,技術開發等項任務;

2)有符合實驗技術工作要求的房舍,設施及環境;

3)有足夠數量,配套的儀器設備;

4)有合格的實驗室主任和一定數量的專職工作人員;

5)科學的工作規范和完善的管理制度.

39,儀器設備的報廢必須符合下列條件:

答:1)不能達到國家規定的安全技術指標的儀器設備

2)使用期已超過規定年限,并已達不到應有的技術指標,失去使用價值的儀器設備.

3)損壞嚴重,無法修復;或修理費用超過購置同類新設備費用的50%,沒有修理價值的儀器設備.

40,在教育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》中,實驗室達到a級的標準是什么

答:各類功能的教學實驗室配備完善,設備先進,利用率高,在本科人才培養中能發揮較好作用.

41,教育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》中規定,設計性實驗的定義是什么

答:指給定實驗目的要求和實驗條件,由學生自行設計實驗方案并加以實現的實驗.

42,教育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》中規定,綜合性實驗的定義是什么

答:指實驗內容涉及本課程的綜合知識或與本課程相關課程知識的實驗.

43,教育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》中規定,教學管理隊伍包括哪些人員

答:包括學校分管教學的校長,教務處等專職教學管理人員,院(系,部)分管教學的院長(主任),教學秘書等教學管理人員.

44,我?，F階段實驗教學建設與管理工作是什么

答:要以轉變教育思想和教育觀念為先導,以深化改革,實現優質資源開放共享為核心,以提高實驗教學質量和培養學生創新能力為目標,形成科學的管理體制和運行機制.

45,教育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》對實驗室開放的a級標準是是什么

答:實驗室開放時間長,開放范圍及覆蓋面廣,效果好.

46,在教育部《普通高等學校本科教學工作水平評估方案(試行)》中,主要觀測點綜合性和設計性實驗達到a級的標準是什么

答:有綜合性,設計性實驗的課程占有實驗課程總數的比例≥80%,且效果好.

47,實驗室開放的范圍是否包括科研(專業)實驗室

答:包括.

54,儀器在校內報維修時,需辦什么手續

答案:填寫《暨南大學教學科研儀器設備報修申請單》并到資產處維修科預約.

48,做實驗時儀器出現故障,首先要采取什么措施

答案:停機,關閉電源,維修好以后再通電使用.

49,電腦著火了應如何處理答:電腦開始冒煙或起火時,馬上拔掉插頭或關掉總開關,然后用濕地毯或棉被等蓋住電腦,這樣既能阻止煙火蔓延,也可擋住熒光屏的玻璃碎片.切勿向失火電腦潑水,既使已關掉的電腦也是這樣,因為溫度突然降下來會使熾熱的顯象管爆裂.此外,電腦內仍有剩余電流,潑水可能引起觸電.切勿揭起覆蓋物觀看,滅火時,為防止顯像管爆炸傷人,只能從側面或后面接近電腦.

50,說出兩種遇水燃燒的物質

答:鉀,鈉,鎂.

51,人們都知道氧氣屬助燃氣體,請再說一種

答:氯,氧化氮.

52,泡沫滅火機不能撲救什么火災

答:1,不能撲救電器火災;2,不能撲救忌水性物品火災;3,貴重物品,儀表火災.因為泡沫中含百分之九十七的水分,因此不能撲救電器火災(水有導電性)和忌水物質火災(與忌水性物品連觸能燃燒),和貴重物品,儀表火災(留有污跡).

53,撲救電器火災應首先做什么在帶電時,可用什么滅火器撲救

答:切斷電源.可用二氧化碳,1211,干粉撲救.

三,物資采購相關知識

學校規定,物資采購單價或批量金額超過5萬,必須進行招標采購.

學校規定,物資采購金額超過50萬,必須進入省,市有形市場公開招標采購.

3,國家采購法規定的物資采購方式有:公開招標,邀請招標,競爭性談判.

4,在公開招標采購方式中,招標文件發出至投標截止,最短時間是:校內招標:7天;委托省招標機構招標:20天.

5,招標的評標結果公示時間最短為:校內招標:3天;委托省招標機構招標:7天

采取公開招標方式采購的設備,用戶提供的招標貨物的技術參數不得存在歧視性條款或不合理的要求,須構成3個以上潛在投標人參與競爭.

評標委員會人數為5以上的單數,其中技術,經濟等方面的專家不得少于成員總數的2/3.

申購用戶與中標人應當在中標通知書發出之日起30天內,按招標文件與中標人的投標文件簽定書面合同.

貴重儀器設備到貨后,由申購單位牽頭,必要時請相應的技術專家到場,共同組成驗收小組,在合同規定時間內進行驗收.版權所有

10,使用教學設備經費采購的項目,申購用戶若需更改采購內容和數量,可如下操作:申購用戶單位領導和經費管理部門同意后,即可更改.

11,物資采購招標投標工作應當遵循公開,公平,公正;誠實守信;擇優的原則.

12,屬于下列情形之一的,經分管校領導及學校招投標工作領導小組批準,可以采取單一來源方式采購:

1)只能從唯一供應商處采購的,或供應商為唯一專門,且無其他合適替代的.

2)發生不可預見的緊急情況而不能從其他供應商處采購的.

3)必須保證原有采購項目一致性或服務配套的要求,需要繼續從原供應商處添購,添購金額不超過原合同采購金額的10%的.

13,評標委員會成員應認真,客觀,公正,誠信,廉潔地履行職責.有下列情形之一的,不得擔任評標委員會成員:

1)與投標人有利害關系可能影響對投標公正評審的.

2)是招標人或者投標人主要負責人的近親屬的.

3)是項目管理人員和行政監督部門的人員.

4)曾因在招標,評標以及其他與招標投標有關活動中從事違法行為而受到行政處罰或刑事處罰的.

我校設備采購特殊方式申請表須經以下部門審批后方可執行.

1)采購中心

2)紀監審辦

3)分管校長

4)招投標領導小組

招標過程中有下列情形之一的,中標無效,招標人不能與中標人簽訂合同,并按國家和學校的有關規定處理:

1)開標前與投標人進行協商談判的.

2)泄漏應當保密的招投標資料,影響中標結果的.

3)與投標人違規串通應標的.

判斷題:

申購用戶必須通過學校物資采購中心進行物資采購,使用橫向科研經費的除外.(×)

我校五萬元以上的物資采購招標項目,申購用戶不得指定標的物品牌及型號;五萬元以下的物資采購項目,申購用戶可根據自身需求指定物資的品牌及型號.(√)

在評標過程中,用戶單位代表可根據自身情況向評標委員會闡述希望購買的設備品牌及型號.(×)

采用網上競價方式采購的項目,如果是最低價中標,用戶不需簽字確認競價結果.(×)

評標結果公示后,申購用戶可根據自身的實際需求拒絕與中標人簽定書面合同.(×)

個人實驗技能競賽實操題

以下競賽項目每項評選出前三名優勝者.

網線制作:用國際標準t568b方法制作rj-45水晶頭.最短時間內制作完成的為優勝者.

信號發生器波形調試:按要求調出一定幅度和頻率的三角波,方波,正弦波,速度快者為優勝者.

用天平稱量藥品至規定份量,最快最準者為優勝者.

篇3

實施數學教學生活化的策略

數學認知加工教學模式初探

數學課中的題組教學

從“焦點”植入中考談解題技巧

一堂數列課的教改實踐

注重“一題多解、一題多變”追求有效教學——記一堂高三復習公開課及教學反思

一道圓內接四邊形面積最值高考題的研究

精心設置問題串意義建構結論

《數學通報》1898號問題的簡解及應用

一個代數不等式及其若干幾何推論

離散型多變量條件極值問題新探

一個三角形面積關系式的再探究

探究2011年浙江省數學高考解析幾何試題的來源及解法

對2011年全國數學高考理科第21題的深入探究——兼談圓錐曲線的一個統一性質

一道全國初中數學競賽試題另解與聯想

運用廣義對稱妙解競賽題——2011年全國初中數學競賽壓軸題的解法探究

穩中求新促進評價——浙江省2010年高中數學會考簡析

芻議新課程教學實踐中的幾個重要關系

“方程的根與函數的零點”問題串設計賞析

習題教學中如何培養學生的數學思維品質

題不在多有悟則靈——談一道高考題的探究

數學解題中的規定動作與自選動作

動點問題教學之我見

從良好學習方式的形成看數學課堂中有效學習的策略

一個圖形的演變與推廣

簡議中學教育類數學期刊的定位與創新愿景

新課標高中數學課堂教學中的題型設計

抽象函數的對稱性與周期性芻議

四面體中的Cordon不等式

一個重要不等式的簡證與求商法的應用

用代換法求無理函數的值域

聚焦高等數學知識背景審視高考數學創新題型

中考試題中的動態型問題解析

一道“希望杯”試題的命題背景和推廣

從一道聯賽題談導數零點的3類特殊求解策略

用觀察、類比和聯想思想解數學競賽題

分類討論思想在初中數學競賽中的應用

談初中數學競賽中的面積問題

估算在數學競賽中的應用

整數的離散性和整最值問題

活躍在競賽試題中的遞推數列

應用特殊與一般思想解競賽題

函數與方程思想在高中數學競賽中的應用

運用轉化與化歸思想解競賽題

用對應與計數法解競賽題

運用類比思維求解數學競賽題

2009年浙江省希望杯數學競賽(復賽)試題初三卷評析

對3道2009年浙江省數學競賽解答題的探究

一個三角不等式與一道全國初中聯賽題

思維慣性與奧數解題

數學中的演繹與邏輯

幾何證明的橋梁——“輔助圓”

談一道幾何競賽題的創編過程

對一道初中幾何中求角度競賽題的多種思考

巧構幾何圖妙解代數題

解題教學與學生思維發展——例談一道經典考題的鋪墊、變式、拓展與延伸

動態幾何問題演變趨勢

數學問題式教學中培養學生創造性思維能力的策略

越演越烈的中考折疊型試題

篇4

關鍵詞：數學競賽；數學素養；高素質創新人才

中圖分類號：G645 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）45-0048-03

為激發廣大學生學習數學的熱情，提高學生運用數學知識分析、解決實際問題的能力，發現和選拔數學創新人才，自2009年起，中國數學會開始舉辦“中國大學生數學競賽”。大連市高等數學競賽起步更早，從1992年開始，至今已成功舉辦了22屆?！案傎悺迸囵B了大學生的創新思維和創新精神，促進了各高校數學教師之間、學生之間的交流與溝通，推動了高等學校數學課程的改革和建設。

一、數學競賽的基本情況

1.國內外高校數學競賽。大學生數學競賽首先在國外興起，莫斯科大學從20世紀70年代開始就一直在舉辦高等數學競賽，美國也一直舉辦大學生數學競賽[1]。在我國的許多省市也有舉辦數學競賽的傳統，例如，至2013年，北京市已舉辦了24屆北京市大學生數學競賽，每年舉辦一次；浙江省、江蘇省也都舉辦了很多屆的高等數學競賽，大連市數學競賽自1992年起，已成功舉辦了22屆。首屆全國大學生數學競賽于2009年開始，分為預賽和決賽兩個階段，已圓滿完成五屆。全國大學生數學競賽是由中國數學會主辦的面向全國大學生的課外科技活動之一。競賽的參賽對象為大學本科二年級或二年級以上的在校大學生，分數學專業組和非數學專業組。首屆中國大學生數學競賽由國防科技大學承辦，賽區賽于2009年10月24日舉行，決賽于2010年5月15日舉行。競賽的宗旨在于培養人才、服務教學、促進高等學校數學課程的改革和建設，激勵大學生學習數學的興趣，培養分析、解決問題的能力，發現和選拔數學創新性人才，為青年學子提供一個展示基礎知識和思維能力的舞臺[2]。所以全國大學生數學競賽受到全國各高校的高度重視，已成為全國影響最大、參加人數最多的大學生學科競賽之一。

2.我校數學競賽的現狀。我校1992年起就開始參加大連市數學競賽，為此，我們在全校范圍內開設了數學競賽選修課，選派骨干教師任教數學競賽培訓課程，指導學生參加比賽，在歷年比賽中，我校都取得了優異成績。在參賽大連市數學競賽的基礎上，2010年我校開始組織學生參加全國大學生數學競賽，經過多年的不斷摸索，數學競賽的輔導組織工作逐步走向規范。根據第一學期高等數學期末考試成績選出300名左右優秀者參加每年3月份開設的《競賽數學》公共選修課，理工類競賽數學選修課48學時，經管類競賽數學選修課32學時，課程結束后于五月下旬組織校級高等數學競賽，校級數學競賽允許全校大一至大三學生報名參加，通過校級競賽選拔150名左右優秀者參加大連市6月中旬組織的大連市大學生數學競賽，在大連市數學競賽中的獲獎者，于九月份進行集中培訓，參加十月份的全國大學生數學競賽。這樣，數學競賽的培訓選拔工作貫穿全學年，全年三次選拔、兩次培訓工作在全校范圍內展開，通過層層選拔，挑選拔尖人才，已形成健全的選拔、培訓機制。通過規范的培訓輔導，我校學生在全國大學生數學競賽中每年都取得了優異的成績。

二、數學競賽的作用

數學競賽的成績從一個側面反映了一所大學辦學的綜合能力，檢驗了教學質量。組織學生參加大學生數學競賽，對推動學校數學課程的改革和建設，提高大學數學課程的教學水平，激勵大學生學習數學的興趣，發現和選拔數學創新人才，起到了積極的作用。

1.通過數學競賽激發大學生學習數學的興趣。數學競賽對培養學生學習數學的興趣有很大幫助。大學數學競賽中多數試題具有很強的靈活性和技巧性，有一定的難度，這些題目可以最大限度地發揮學生的想象力和創造力，調動學生學習的主動性和積極性，從而激發學生的學習興趣。另外，在競賽中獲獎，會使學生產生成功的體驗，享受成功的樂趣，這種成功的體驗也會進一步開發學生學習數學的潛能，激發學生的學習熱情。同時，還會在其他學生中起到示范和輻射作用，有助于優良學風的營造與形成[3]。

2.通過數學競賽提高大學生的數學素養。數學素養不是與生俱來的，而是在學習和實踐中培養的。培養學生的數學文化素質及創新能力，是高等學校數學教學改革的最終目的，數學競賽活動為培養學生的數學能力提供了有力的平臺。學生在準備“競賽”的過程中，系統地梳理了所學過的數學知識和解題技巧，對數學概念、定理的本質有了深入的理解和認識。通過數學競賽，學生的抽象思維、邏輯思維和創新思維能力明顯提高，有利于學生良好數學素養的形成。實際上，學生畢業后，如果不從事與數學相關的工作，他們學過的具體的數學知識可能大多用不上，以至很快就忘記了。但不管從事什么工作，在數學學習中形成的數學素養，數學的思維方式以及看問題的著眼點等，會隨時隨地發生作用，使人們在實踐中終生受益[4]。

3.通過數學競賽推動高校數學課程的改革和建設。數學競賽是對知識深入理解、系統整理并加以綜合運用的過程，競賽結果體現了學生對所學知識的掌握運用情況，并反映教學計劃、教學內容的合理性。通過數學競賽的賽后總結，發現教與學中存在的問題，為教學改革提供依據。

我校堅持以學科競賽為載體，以培養高素質創新人才為目標，大力推進課程體系、教學內容、教學方法的改革與實踐。為不斷提高我校數學競賽水平，我們在全校范圍內開設了競賽數學選修課，并組織教師編寫了高等數學、線性代數、概率論與數理統計教材與輔助教材，建立網絡課堂，開發多媒體教學課件，建立試題庫與試卷庫，為學生提供了豐富的學習資源，學生學習數學的興趣與日俱增，學生參加大連市數學競賽和全國數學競賽培訓的熱情空前高漲。我校學生在近幾年的大連市數學競賽及全國數學競賽中都取得了優異的成績。實踐證明，數學競賽對促進我校數學課程的改革和建設產生了積極的影響。

4.通過數學競賽促進教師業務水平的提高。數學競賽除了培養了大量具有一定創新能力的優秀學生之外，也極大地激發了教師提高教學質量的熱情。教師要輔導學生參加競賽，一方面要鉆研業務，不斷更新知識，提高能力；另一方面，還要改革傳統的教學方法[5]，開拓新思路，探索新方法。因此，數學競賽提升了教師的業務素質和專業水平，拓寬了知識面，改善了教師的知識結構，培養出了一批具有較強業務能力和奉獻精神的優秀教師。

5.通過數學競賽促進高校數學教師之間的互動與交流。數學競賽活動，不僅為學生提供了展示自我的機會，也成為參賽高校教師之間交流、溝通的平臺，進一步促進各高等院校提高數學教育教學水平。為更好地完成大連市數學競賽的組織工作及全國數學競賽的報名參賽工作，大連市數學會及遼寧省數學會每年都要定期召開會議，主要內容為總結當年大連市及全國數學競賽工作，布置下一年度數學競賽工作；研討大連市及遼寧省數學教學改革、學術交流和專業建設等。并且不定期舉辦各種數學領域的培訓班、講習班或討論班，開展促進提高數學科研與教學水平的活動。大連市數學會還建立了自己的網站，有關數學競賽及各種形式的國內外教學研討、學術交流活動的相關信息。因此，數學競賽活動已成為參賽高校間的一個具有廣泛影響的、長效的資源共享平臺。

三、進一步提高數學競賽水平，培養高素質創新人才的深入思考

雖然我校在大學生數學競賽中已經取得了很好的成績，但在進一步培養學生靈活掌握知識、培養學生自主學習能力、提高學生數學素養等方面還有較大空間，仍需要我們不斷探索與實踐。

1.夯實基礎，做好數學基礎課的教學工作。常規課堂教學是學生獲取基礎知識的主要陣地和基本途徑。基礎知識的教學，其核心是使學生形成良好的數學認知結構，它涵蓋了數學概念、公式、法則及定理的教學，數學基礎知識的理解與掌握程度直接關系到數學競賽的效果，離開了基礎知識的掌握，就失去了數學競賽試題解題方法的源泉。因此最有效的競賽培訓應該回歸到常規課堂教學中來，教師應從基礎知識的掌握、思維方法的提煉、數學思想的歸納與總結及解題研究上入手，有效地培養學生的解題能力及數學素養。

2.教會學生閱讀，鼓勵學生閱讀數學課外讀物。優秀的數學課外讀物中不僅有精細的數學知識，而且有豐富的人文和歷史方面的知識。有些數學書籍深入淺出地介紹當代數學發展的重大成就與應用，有些數學書籍則啟迪數學的發現，還有數學書籍深入淺出地闡釋數學與自然或其他科學的聯系。閱讀數學課外讀物，既可以增長知識，又可以優化已學的數學知識結構。

3.采用研究式教學方法，開展研究性學習。激發學生對數學的好奇心，不僅要向學生展示數學問題的求解思路及研究方法，并要開展研究性學習。課堂講授應貫穿研究式的教學方法：將成熟的知識視為學術研究中未被發現的理論方法來處理，根據教學內容設計學習情境，啟發、引導學生去體會和發現，通過思考親自獲得知識。讓學生把聽課的過程視為探索知識、發現知識的過程。力求在講授中展示創新思維過程，突出數學的精神，注重培養學生科學研究的精神、意識、態度和能力。力求使學生在學習課程的過程中，把研究形成習慣，打破對“研究”的神秘感。

撰寫研究型小論文，開展研究性學習，可以激發學生的求知欲、好奇心和學習興趣，逐漸培養學生的數學素養。

4.重視“數學審美教育”，培養數學直覺思維能力。在通識選修課上融入數學文化，介紹數學家的簡介及軼事，重要的數學思想欣賞，如勾股數趣談、黃金圖形、梅森數和完全數、幾何名題賞析、游戲中的數學方法、數學發現的藝術等，使學生欣賞數學的美學價值，得到優秀文化的熏陶，培養學生的數學素質。

我們在數學教學中不但要重視學生邏輯思維能力的培養，而且也要重視非邏輯思維能力（形象思維、直覺思維、數學美感等），尤其是數學直覺思維能力的培養。成功的數學教學應該為發展學生的數學直覺思維提供有效的途徑，為培養學生的數學直覺思維能力創設良好的空間。

四、結語

大學生數學競賽不僅能激發學生學習數學的興趣，培養學生的數學文化素質及創新能力，而且能夠推動高校數學課程的改革和建設，促進高校數學教師之間的互動與交流，不斷提高教學質量。

參考文獻：

[1]孫長軍.拓展大學生高等數學競賽，培養高素質創新人才[J].廣西民族師范學院學報，2011，28（3）：72-74.

[2]龍先軍，黃應全，龔高華.數學競賽促進大學數學教與學[J].重慶工商大學學報（自然科學版），2013，30（6）：83-85.

[3]李蘇北.以學科競賽為載體，推動課程建設與學生創新能力培養[J].大學數學，2009，25（5）：8-10.

[4]顧沛.數學文化[M].北京：高等教育出版社，2011：2.

[5]鐘偉余，海燕.試論課程改革下的競賽數學[J].讀與寫雜志，2010，7（5）：78.

篇5

一、整體代入

例1 （2008年蘇州市中考題）若 x2-x-2=0，則x2-x+23（x2-x）2-1+3的值等于（ ）

（A） 233 （B） 33

（C） 3（D） 3或33

解：因為 x2-x-2=0，

所以 x2-x=2，

所以原式=2+234-1+3

=2（1+3）3（1+3）

=233，

故選（A）.

二、變形已知條件

例2 （2008年蕪湖市中考題）已知1x-1y=3，則代數式2x-14xy-2yx-2xy-y的值為.

解：因為1x-1y=3，

所以 y-x=3xy，

所以原式=2（x-y）-14xy（x-y）-2xy

=-6xy-14xy-3xy-2xy

=-20xy-5xy

=4.

例3 （2007年全國初中數學競賽浙江省預賽題）已知 b-a=18，2a2+a=14，求ba-a 的值.

解：b-a=18，①

2a2+a=14.②

①×2-②，得 2b-2a2=3a.

由題意知 a≠0，

兩邊同時除以2a，得

ba-a=32.

三、常數換元

例4 （2008年全國初中數學競賽海南省預賽題）已知 a、b 為實數，且 ab=1，a≠1，設M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1.求M-N的值.

解：因為 ab=1，a≠1.

所以M=aa+1+bb+1

=aa+ab+bb+ab

=11+b+11+a

=N，

所以M-N=0.

四、同時變形已知條件和待求分式

例5 已知 a、b、c 均不為零，且 a+b+c=0.求 a（1b+1c）+b（1c+1a）+c（1a+1b）的值.

解：因為 a、b、c 均不為零，且 a+b+c=0.所以

a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b.

所以原式=ab+ac+bc+ba+ca+cb

=a+cb+a+bc+b+ca

=-bb+-cc+-aa

=-3.

五、主元法

例6 （2007年全國初中數學聯賽試題）已知 x、y、z 滿足2x=3y-z=5z+x，則5x-yy+2z的值為（ ）

（A） 1 （B） 13 （C） -13 （D） 12

解：由2x=3y-z=5z+x，

得 y=3x，z=32x.

所以原式=5x-3x3x+3x=13，

故選（B）.

六、待定系數法

例7 若4xx2-4=ax+2-bx-2，求a3+b3a2+b2的值.

解：因為 4xx2-4

=ax+2-bx-2

=a（x-2）-b（x+2）x2-4

=（a-b）x+（-2a-2b）x2-4

所以 a-b=4，且 -2a-2b=0.

解得：a=2，b=-2，

所以a3+b3a2+b2=8-84+4=0.

七、特殊值法

例8 （2006年蕪湖市初中數學競賽題）已知不論 x 取何數值，分式ax+3bx+5的值都為同一個定值，求a+bb的值.

解：因為不論 x 可取任何數值，所以取 x=0時，分式ax+3bx+5=35；

所以取 x=1時，分式a+3b+5=35.

解得 ab=35，所以 a+bb=85.

八、取倒數

例9 （四川省初中數學競賽題）已知 x+1x=3，求x2x4+x2+1的值.

分析：可先求出x4+x2+1x2的值，然后取其倒數即可.

解：因為 x+1x=3，

所以（x+1x）2=9，

即 x2+1x2=7.

又因為x4+x2+1x2=x2+1+1x2=8，

所以x2x4+x2+1=18.

九、配對法

例10 （2007年全國初中數學聯賽試題）當 x 分別取12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2006，2007時，計算代數式1-x21+x2的值，將所得結果相加，它們的和等于（ ）

（A） -1 （B） 1 （C） 0 （D） 2007

解：因為1-（1n）21+（1n）2+1-n21+n2=n2-1n2+1+1-n21+n2=0.即當 x 分別取值為1n，1n（n 為正整數）時，計算所得的代數式的值之和為0，而當 x=1時，1-121+12=0.故所得結果相加之和為0，故選（C）.

十、構造方程變形求值

例11 （2008年廣東省初中數學競賽試題）若實數 a≠b，且滿足等式 a2=7-3a，b2=7-3b.求代數式ba+ab的值.

解：據已知得 a2+3a-7=0，b2+3b-7=0，a≠b，所以 a、b 可看作方程 x2+3x-7=0的兩個不等實根.

所以 a+b=-3，ab=-7，

所以ba+ab=b2+a2ab

=（b+a）2-2abab

=9+14-7=-237.

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一、培養高中生數學競賽解題思維的意義

研究高中數學競賽解題思維和命題解析在當前教育環境中有著十分重要的現實意義.我國高中數學競賽水平雖然在不斷發展，但卻并沒有充分認識到數學競賽的特點.因此，部分學生對其抱有畏懼心理，為促使這一現狀得到更好的改變，教育部門有必要改善現有教學手段，充分研究高中數學競賽的解題思維和命題解析，確保高中數學教育的協調性發展.在學生解題能力不斷提高的過程中，更要有效提高其概括問題的能力，幫助學生將抽象概念轉化成便于自身理解的思維方式，通過理論知識和概括能力的有機結合，進一步促進學生分析理解問題能力的提高.另外，高中數學競賽解題能力的提升，少不了扎實理論基礎的指導，再根據數學競賽特點深入的解決問題，進而培養高中生解決數學競賽問題的能力，從根本上消除學生畏懼數學競賽的心理.由此可見，培養高中生數學競賽解題思維具有極為重要的現實意義.

二、高中數學競賽解題思維和命題解析的策略

1.解題思維策略――局部思維

（1）分解為局部

由于綜合性復雜題目常不能直接求解，而將問題分為若干部分，通過解決局部而解決整體問題.但要注意局部問題間可能存在獨立性，或層層遞進的，因此，在解決各個局部問題時，要妥善處理其關系，認真地進行分析才能保證解題思維方向更正確.例第41屆IMO試題中的題目：設正實數為a，b，c，并滿足abc=1.證明（a-1+1b）（b-1+1c）（c-1+1a）≤1 （*）.通過問題條件分析可知所求的三個形式相同代數式乘積值要≤1，根據條件abc=1，由此視整個代數式求證結果小于等于abc.不過，直接證明該題十分麻煩并不易獲得結果，所以，需要調整思維方向從局部入手解題.按照題意可以假設（*）式左邊的三個乘式（a-1+1b）、（b-1+1c）、（c-1+1a）都是非負數.因為，如果（a-1+1b）0，（c-1+1a）=c+1a（1-a-1b）+1ab>0.所以上述三個乘式中只有一個負數，（*）式才能成立.但通過三個乘式相乘求證顯然很麻煩，由此考慮先計算出兩個乘式的積：

（b-1+1c）（c-1+1a）=1c（bc-c+1）（c-1+bc）=1c[（bc）2-（c-1）2]≤1c（bc）2=b2c，

即（b-1+1c）（c-1+1a）≤b2c.

同理（a-1+1b）（b-1+1c≤a2b，

（a-1+1b）（c-1+1a）≤c2a.

通過局部分解法可知三個乘式都為非負數，這時再將三個不等式左右分別相乘，就能得出最終結論.

（2）調整局部法

所謂局部調整就是指對條件與結論之間異同的分析，不斷調整組成問題的各部分，進而降低問題目標狀態和初始狀態之間的差異，最終實現問題的解答.例如第十五屆全俄數學奧林匹克競賽題目：在1，2，3，…，1989各個數字前添加“+、-”，從而促使所有代數的和為最小非負數，并寫出整個算式.首要考慮的是將“+”添加到各個數字前，計算出1+2+…+1989=995×1989的結果為奇數.那么，考慮將不同符號添加到各個數字前的一般情況，只有調整若干個“+”為“-”即可.但介于a+b和a-b的奇偶性相同，因此，每次調整后代數和的奇偶性不會改變，即總和始終為奇數.而1為最小奇數，在有限次的調整后要進一步檢查其運算結果是否為1.由于不斷的調整最終得出計算式為：1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+…+（1986-1987-1988+1989）=1，其最小值為1.實質上，這類題型就是通過不斷變化調整的過程，深入挖掘題目中不變性質的隱藏條件進行解決的.

2.命題解析策略――演繹深化

所謂演繹深化即從一般正確的基本問題出發，通過邏輯推理逐步來演繹深化數學競賽的命題.與傳統解題策略相反，演繹深化策略借助邏輯推理，從基本公式、定理、圖形、問題等出發，由淺到深的逐步演繹深化出另一個新的問題.很多數學解題方法技巧如數形結合、聯想類比等都可以從相反方向應用到演繹深化命題之中.

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但高考和競賽這兩種考試共有的選拔功能又決定了兩者之間可以相互借鑒，所以高考試題中經常出現競賽數學思想，以競賽試題為背景，考查同學們靈活解題的能力.這些試題往往出現在客觀題與主觀題的壓軸部分.

不過，具有競賽試題背景的高考題并不像同學們想象的那么可怕，因為它們考查的本質還是高中數學的知識和方法.下面我們就以幾道具有競賽背景的高考試題為例，體驗這類問題的思考方法與解決方法.

利用解方程的思想

例1 [2010年高考數學江西卷理科第22題第（1）問] 證明以下命題：對任一正整數a，都存在正整數b，c （b

解析： 參考答案是這樣的：“考慮到結構特征，取特殊值12，52，72構成等差數列，因此對任一正整數a，只需取b=5a，c=7a就能使a2，b2，c2成等差數列.”

看了這個解答后，我們肯定會疑惑：為什么要取特殊值12，52，72構成等差數列？這種解法是如何想到的？讓我們一起來分析一下.

未知數個數多于方程個數的方程被稱為不定方程，不定方程是初等數論中的一個重要內容，也是高中數學競賽的考查內容之一.例1就是以不定方程為背景命制的題目.

由題意可知2b2=a2+c2，a

令a=1，b=2，代入c2=2b2-1可得c2=7，此時c=不是正整數，不滿足條件.令a=1，b=3，則c2=17不滿足條件.令a=1，b=4，則c2=31不滿足條件.令a=1，b=5，由c2=49可得c=7，滿足條件，12，52，72成等差數列. 對于a∈N*，可知a2，（5a）2，（7a）2也成等差數列，即對任一正整數a，都存在正整數b=5a，c=7a使得a2，b2，c2成等差數列.

點評： 解答例1的關鍵在于把題目的條件轉化成一個方程，雖說這是一個不定方程，但我們只要理解問題的本質，就可以利用解方程的思想，用湊數法求出這個不定方程的解，從而解決問題.

轉化到平面內

例2 [2008年高考數學遼寧卷（理科）第11題] 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線

（A） 不存在 （B） 有且只有兩條 （C） 有且只有三條 （D） 有無數條

例3 [1997年全國高中數學聯合競賽一試第6題] 如果空間中三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，c都相交的直線有

（A） 0條 （B） 1條

（C） 多于1 條的有限條 （D） 無窮多條

解析： 例2其實是例3的一種特殊情況：如果把例3中三條兩兩成異面直線的直線a，b，c置于正方體ABCD-A1B1C1D1內，使之成為A1D1，EF，CD，那例3就成了例2.

如何解答例2呢？我們先觀察圖形，看看能不能找到一條與A1D1，EF，CD都相交的直線.

如圖1所示，我們發現，A1C與A1D1，CD相交，由于A1C不平行于EF且與EF同在平面ACC1A1內，所以A1C與EF也相交，故A1C就是滿足條件的一條直線.

同理，由于DE與EF，CD相交，如果延長DE，則DE顯然與D1A1的延長線相交，因此DE也滿足條件.

由于D1F與A1D1，EF相交，如果延長D1F，則D1F一定與DC的延長線相交，所以D1F也滿足條件.

為什么A1C（或DE，D1F）可以在與A1D1，EF，CD其中兩條直線相交的情況下，也與第三條直線相交？這是因為它與第三條直線共面.于是我們就產生了一個逆向思維：“先定面，再定線”.

我們可以在EF上任意取一點M，再設法過點M作與A1D1（或CD）相交的直線，這需要把A1D1（或CD）與點M放到一個平面里來看，解題思路由此展開：

如圖2所示，由直線A1D1與M確定一個平面KND1A1，該平面與CD有且僅有1個交點N.延長NM交A1D1于點L，可知直線LMN與A1D1，EF，CD都相交.當M取不同的位置時，平面KND1A1和點N也會隨之變化，直線LMN與這3條異面直線都有交點，所以符合條件的直線有無數條，選D.

點評： 例2給我們的感覺有點“天馬行空”，但如果我們掌握了解決立體幾何問題的方法，即把空間問題轉化到一個平面內加以解決，難題就不再難了.

找準公式解決問題

例4 [2010年高考數學浙江卷自選模塊第3題第（1）問] 設正實數a，b，c滿足abc≥1，求++的最小值.

例5 [1988年第二屆國際中學生數學友誼賽十年級第1題] 設a，b，c為正實數，求證：++≥.

解析： 柯西不等式屬于浙江省高考自選模塊部分的考查內容，也一直是高中數學競賽中的重要內容.因此，自選模塊中涉及柯西不等式的試題難免會帶有競賽的味道.你們看，例4和例5多么相像！不過例5只要利用柯西不等式就能夠證明，而例4除了要用柯西不等式，還要結合均值不等式才能求出最小值.

在例4中，為了求出++的最小值，我們希望能將問題轉化為“++≥f1（a，b，c）≥…≥fn（a，b，c）≥某常數”的形式，且等號能夠同時成立.注意到（a+2b）+（b+2c）+（c+2a）=3（a+b+c），而a+b+c≥3，再結合條件“abc≥1”，上述不等式鏈就能以一個常數收尾，問題迎刃而解.

由柯西不等式可得

+

+

?[（a+2b）+（b+2c）+（c+2a）]≥（a+b+c）2，所以++≥≥≥1，當a=b=c=1時，以上幾個不等式同時取到等號，所以++的最小值為1.

點評： 解答例4時，我們發現了等式（a+2b）+（b+2c）+（c+2a）=3（a+b+c），并由此聯想到借助柯西不等式解決問題，用此法再來解決例5就易如反掌了.

運用設而不求的方法

例6 [2011年高考數學浙江卷（理科）第21題第（2）問] 如圖3所示，已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點M.點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

例7 [2008年全國高中數學聯合競賽一試第15題] 如圖4所示，P是拋物線y2=2x上的動點，點B，C在y軸上，圓（x-1）2+y2=1內切于PBC，求PBC面積的最小值.

解析：一看例6和例7的圖象，我們就知道這兩道題目肯定脫不了干系.例6確實是由例7改編而來的.兩題的背景十分相似，都是過拋物線上一點作拋物線內部一個圓的兩條切線，但兩題的問題不同.例6討論的是過點P的圓的切線與拋物線交于A，B，當直線AB與PM垂直時，求PM的方程；例7要求的是過點P的圓的切線與y軸的交點所構成的三角形的面積的最小值.這兩題的解法如出一轍，都需利用設而不求法與韋達定理解決問題.

在例6中，由題意可知M（0，4），要求直線l的方程，就要求點P的坐標.

我們設P（t，t2），切線的斜率為k，則切線方程是y-t2=k（x-t），整理得kx-y-kt+t2=0.由點M到切線的距離為1可得=1，整理得（t2-1）k2+2t（4-t2）k+（t2-4）2-1=0 （①）.

設A（x1，[x1][2]），B（x2，[x2][2]），PA，PB的斜率分別為k1，k2（k1≠k2），則k1，k2是方程①的兩個根，所以k1+k2=，k1k2=.

聯立PA的方程與拋物線方程可得x2-k1+k1t-t2=0.因為P為拋物線與切線的公共點，故t為該方程的一個解，由韋達定理解得x1=k1-t.同理，聯立PB的方程與拋物線的方程，可得x2=k2-t.所以kAB==x1+x2=k1+k2-2t=-2t，又kMP=，由直線lAB可得kAB?kMP=-1，解得t2=，所以P±

，

，結合M（0，4）可得直線l的方程為y=±x+4.

點評：我們采用了“設而不求”的方法，通過A，B的坐標求得kAB，這是處理直線與圓錐曲線相交問題的常用方法.

從上面的例子可以看出，以競賽試題為背景的高考題考查的知識和方法并不特殊，解法卻具有一定的“巧妙性”，要確定解題思路有一定難度.

不過這類高考題的難度和競賽題相比仍然相差甚遠.一方面，有些試題只是體現了競賽原題的一種特殊情況（如例2），難度大大下降；另一方面，這類試題的解題方法還是限定在中學數學知識范疇內.所以，面對具有競賽背景的高考試題，我們沒有必要太緊張，要在“戰略上藐視它們，戰術上重視它們”.為了更好地解決這類問題，在復習時應注意以下幾點：

（1） 掌握解決問題的通性通法，這一直是高考考查的重點.

例如，在處理直線與圓錐曲線的位置關系時，經常要用到“設而不求”“韋達定理”等方法；思考立體幾何問題時，經常要把問題從空間轉化到平面內加以解決.只有掌握好通性通法，才能在這個基礎上理解變通、靈活思考.

（2）注意提高自己分析問題的能力.

以競賽試題為背景的高考題對解題思路的要求較高.要解決一個具有新情景或新思路的問題，首先要理解這個問題，抓住解決問題的關鍵所在.比如在例1中，對任一正整數a，要找到滿足條件的正整數b，c（b

篇8

【關鍵詞】奧林匹克競賽；數學；創造性思維

一、數學奧林匹克競賽的教育價值

數學奧林匹克競賽在世界各主要國家的發展和普及，在一定意義上說明了它自身存在著很大的教育價值。數學競賽的積極作用不僅在于其內容具有培養性、趣味性，方式具有激勵性、選拔性、交流性等特點，而且在于它契合了少年兒童要強好勝、思維活躍、求知欲和參與欲強烈的心理特點。因此，數學競賽存在的價值在于激發學生學習數學的熱情和競爭進取意識，激活與發展學生的數學思維潛質，培養學生開拓探索型的智力和能力，也能造就學生追求科學發現的百折不饒的心理品質，利于早期發現、培養數學人才，使有才能的學生有機會在高水準的競賽中進取提高，脫穎而出；能夠促進數學課程和教材改革，奧林匹克數學是基礎性的綜合數學，許多競賽題目與數學課本中的例題、習題有一定的聯系，有的甚至是課本例題、習題的直接延伸、發展和變化。奧林匹克數學也是發展性的數學，它的內容不斷更新、不斷發展、它要求解題者具有相當的數學基本素質和心智技巧。奧林匹克數學是富于挑戰性的活數學，它具有很大的開放性、發展性、挑戰性，現代數學某些分支的發展，往往很快影響到奧林匹克數學的發展。奧林匹克數學鼓勵人們的探索精神和創造毅力，把學生的思維引向深化，從而有助于提高學生的觀察能力、分析問題和解決問題的能力。數學奧林匹克試題的命題制遵循科學性、新穎性、選拔性、能力性、界定性等原則。因而，數學奧林匹克的題目風格迥異，各據特色；涉及知識領域寬闊，思維方法新穎。數學競賽的作用和影響是深遠的，以其魅力發現和培養新一代學者和科技人才，以其構思的優美和精巧吸引著廣大數學愛好者，以其含量豐富的知識、技巧、方法、思想，給人們留下廣闊天地，以其蓬勃開展和健康發展形成并逐步完善奧林匹克數學及其體系。

二、創造性思維在數學及數學競賽中的作用

數學是培養學生創造力的重要學科，而創造力又是數學思維中的重要組成部分。全部數學發展史便是一部生動活潑的創造史，整個數學大廈就是一幢充滿創造活力的大殿堂。事實表明，一切數學知識的誕生、數學理論的應用都是創造型智慧的結晶。在這種活動過程中萌發著創造的思想，產生著創造的方法，孕育著創造的意識，培養著創造的能力。奧林匹克數學是創造性的問題數學，它通過一道道千姿百態的問題和機智巧妙的解法，橫跨傳統數學和現代數學的各個領域；奧林匹克數學試題的構思別致、獨創；結論精美、漂亮；方法新穎奇巧。這些特點都要求解題者不僅具有相當的數學基本素質和訓練技巧，還需要有較強的數學直覺和較高的創造性思維。由此可見創造性在數學中起著非常重要的作用，它對于數學競賽更是不可缺少的主要成分。創造力不僅僅是智力活動，更是一種追求創新的意識和情感，包括探索的興趣、創造的激情，善于把握的敏感性、積極解決問題的心理取向，改變自己做事的方式以適應環境的能力等。創造力以創造性思維為主，而創造性思維又主要指發散性思維。創造力與數學有著密切的關系。嚴密的邏輯規則是數學創新的基礎，創造不是空中樓閣，需要以一定的邏輯體系為基礎。邏輯是探尋新結果的方法，由已知進到未知的方法；邏輯是開發智力的鑰匙、科技創新的工具。數學推崇的是運籌有方、計算有法、分析有規、假設有度、構造有序、進退有制等理性思維。無疑地，掌握數學的基本邏輯規則，將會幫助我們在紛紜復雜的混沌世界中保持清醒的頭腦，去找出事物共同的本質和規律，從而大大提高人們的創新能力。無私的奉獻精神是數學創新的品質，也是一切發明創造的品質。一部數學發展的歷史，就是人類在追求真理、追求理想，始終不渝地求實創新的生動寫照。數學知識的敘述，就能表明數學家們在這些知識的創造過程中所經歷的斗爭、曲折，以及建立在一個可觀的結構之前，數學家們所經歷的艱苦漫長的創新歷程。

三、數學中創造性思維的培養

數學既是基礎學科又是應用學科，對人類社會有著廣泛而深刻的影響。當今所有經濟大國和科技大國，無一例外地都是數學強國。中國是個具有優秀文化傳統的國家，要建設有中國特色的社會主義，提高全民族數學文化素養是重大戰略任務。而數學競賽的開展，肩負著發現和培養優秀人才的重任。要使中國成為數學強國，培養數學優秀人才的任務更加重大。數學是培養學生創造力的重要學科，而創造性思維作為一種技能，每個人都可以通過訓練來提高. 這種訓練的過程可能是艱苦的，當你真正掌握了這些技巧并能夠運用自如、立竿見影的時候，你就會覺得趣味無窮了。近年來，有不少數學教育者致力于培養數學創造性思維，他們的實證研究表明：（1）創造力可以通過培養得到開發；（2）元認知、逆向思維、發散思維的訓練對于創造力的培養非常重要；（3）創造力的開發可促進學生的學業成績；（4）開發智力并不等于開發創造力。創造性思維可以通過具體的數學教學來培養，越來越多的數學教育工作者開始了這方面的實踐和探索，他們驗證的一些具體措施具有一定的借鑒作用：（1）結合實際，引入課題，幫助學生創設問題空間；努力向學生展現將實際問題數學化的過程，培養學生的問題解決能力。（2）充分展示數學思維的過程，重視概念產生、命題形成以及思路獲得的思維過程的教學，指導、調節、控制學生的思維活動；幫助學生發現和總結開展數學思維活動的規律、方法及技巧。（3）加強逆向思維的培養，掌握對定義、定理、公式、法則的逆向使用；學習逆向推理和反向性證明。（4）通過各種變式訓練，培養學生的發散思維能力。（5）加強元認知的訓練. 引導學生對解題過程進行積極有效地監控，教給學生制定計劃、選擇策略、及時評價反饋的解題策略。（6）課堂練習后開展小組討論，適當開展數學活課，舉辦專題講座，介紹數學在其他學科中的應用。

參考文獻：

[1] 沈文選. 奧林匹克數學研究與數學奧林匹克教育[ J] . 數學教育學報，2002，11（3）

[2] 許清華. 數學奧林匹克與數學教育改革[ J] . 四川師范大學學報，1996，19（2）：90- 94.

作者簡介：

篇9

1、抓好高中新課程的實驗工作

認真學習、解讀高中新課標和新教材，準確把握新課程倡導的核心理念和基本要求，認真組織好新課程跟進培訓和教學研討活動，積極探索新課程實施的有效途徑和方法。各級教研員要深入學校，深入課堂，切實發揮對高中新課程的研究、指導、服務作用，確保新課程的順利實施。

2、深入推進學科建設工作

圍繞“加強學科建設”這一主線，依托校本教研平臺，引導教師正確理解學科價值思想，準確把握學科知識體系，強化教學設計的科學性和有效性，提升教師的課程執行力。

認真抓好落實教學常規工作。教研室要修訂、完善*市中小學教學常規，各學校要采取有效措施把教學常規落實到每一個教學環節中，規范教學行為，提高課堂教學質量。

3、改進完善課堂教學達標評優活動

組織好協作區級達標活動理論測試工作，使課堂教學達標評優活動常態化、規范化。

4、進一步提高教研活動的針對性和實效性

充分發揮各級教研組織和教研活動的優勢，進一步健全和完善三級教研網絡，多層面、多角度、多樣化的開展教研活動，提高教研活動的實效性。

圍繞學科教學中的共性問題和典型問題，有效地開展協作區及全市的觀摩研討性的教研活動，發揮優秀教師和優秀教研組的典型示范作用，推廣有價值的教學經驗和教學模式。

初中：認真總結新課程實施以來的經驗教訓，積極探索不同學段的教學規律，改進和完善教研工作管理。

認真抓好初中畢業年級復習備考工作，通過教學診斷、教學觀摩、經驗交流、檢測分析等形式，整體提高復習教學水平。

高中：高一年級重點做好高中新課程實施工作，通過通識培訓，把握新課程的核心理念和基本要求；通過認真解讀新課標、新教材，吃透教材編寫理念和要求，結合教學實際，積極探索行之有效的實施辦法。

針對新課程實施過程中存在的問題和難點，及時做好新課程研討、交流工作，堅持通識培訓與學科跟進培訓相結合，理論學習和實踐觀摩相結合，有效利用各種教研資源，及時解決重點和難點問題，確保高中新課程的順利實施。

二、上期工作總結

1.聽課調研

本期聽課主要是跟蹤聽課和聽畢業班的客為主，高、初中組分別到二中等二十多所學校聽課調研。

2.經驗交流

20*年4月9日（周三）下午2:30，在*四中大禮堂，召開初中畢業班數學復習經驗交流會。會上*二中史康老師上初三復習觀摩課。3中王其長老師作經驗交流。課后馬建民老師對今年的中招有關問題進行分析和交流。

20*年4月9日（周三）下午2:30，在*四中教科樓三樓報告廳，召開高中數學復習經驗交流會。4中任有志老師上高三復習觀摩課。李應順老師作經驗介紹。會后由教研室孫老師點評并對高考進行預測分析。

3.組織市、區、縣中學一百多人參加了本學年的質量預測和期末調考的評卷工作以及中招考試的改卷工作。組織高中教師進行高中會考的評卷的評卷工作。

4．競賽工作

5月份組織參與*省高中2年級和*市高中1年級的高中數學競賽的工作。

20*年*省高二數學聯賽暨*市高一數學競賽于20*年5月11日在*省實驗中學舉行，*市市區*市高一數學競賽獲一等獎56名，二等獎110名，三等獎170名；市區高二獲一等獎27名，二等獎52名，三等獎73名。

5．優質課

上期我們進行了*市中學數學優質課比賽，初高中分別推出一名選手參加*省中學數學優質課比賽。

6.期末成績分析

（1）命題指導思想

根據近兩年高考、中招考試試題的難易情況，我們組織了*市的一線骨干教師命題，結合*市的學情，試題有針對性。

（2）命題意圖

初中命題意圖

①注重基礎（關注考生對教材知識的達成度），②面面俱到（不留死角，讓教材內容全面落實），③凡中見奇（推陳出新，注重創新，讓基礎題顯出味道來）；④在題型和難度上與中考接近，試題有區分度，能夠發現不同層次考生的薄弱環節；⑤聯系實際，學以致用；⑥試題注重梯度，讓不同層次學生都有展示自己水平的空間。

高中一年級命題意圖

①緊扣教材，知識考核面面俱到，又要突出重點（以發現薄弱環節）；②試題難度適宜，該送分的要送出去（但不提倡死記硬背），該有區分度的要有值得講評玩味之處；③關注初高中知識上、方法上的銜接；④聯系實際，學以致用；⑤試題有梯度，由易而難，循序漸進，滿足不同層次學生的需求，使不同層次的學生得到應得的分數。

高二年級命題意圖

由于是階段性考試，命題時以基礎能力測試為主導，考查學生對本學期基礎知識、基本技能和基本理論的掌握情況；鑒于本學期所授內容以理論為主，是理綜命題重點和難點，命題時在注重基礎的同時，適當進行綜合，便于學生逐步適應高考；考慮到高考實際，命題時選擇題題型設計等方面盡量和高考一致。

3.答題中反映出的教學中的主要問題

初中：基本知識和基本技能掌握的較好，但對新的題型和能力要求較高的試題學生掌握的不盡如人意。九年級在坐標系下的運算是比較薄弱的地方。

高中：基本知識和基本技能掌握不是很好，高一學生在函數部分應加強。高二的學生的運算能力需要加強。

（1）對課本的熟知程度還需要進一步的提高。

（2）審題不清，不能注意到關鍵詞關鍵字，例如選擇題。

（3）不能根據情境的改變做出靈活的調整，不能理解命題人意圖

（4）文字表達能力需進一步提高，要強化數學符號的運用。

（5）概念理解還要深入。

4.教學中應該改進的地方

注意知識的深度和廣度，多講通式通法，在培養能力上多下功夫，初中七八年級以基礎為主，以培養學生的興趣為主，九年級以能力為主，注意點面的結合。強調依“標”扣本，課本上的原題，學生考的較差。

5.期末考試成績中的部分數據

三、本學期主要工作

學科具體工作安排：

1.抓好高中一年級的教研工作。

培訓考試情況的簡單介紹。

新課程理念的簡單介紹。

為適應時展需要，高中課程內容有了哪些變化？

此次高中課程改革，在課程內容的選擇上遵循了如下原則：

時代性——課程內容的選擇體現當代社會進步和科技發展，反映各學科的發展趨勢，關注學生的經驗，增強課程內容與社會生活的聯系。同時，根據時展需要及時調整、更新。

基礎性——強調掌握必需的經典知識與靈活運用的能力；注重培養學生濃厚的學習興趣、旺盛的求知欲、積極的探索精神、堅持真理的態度；注重培養搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力、交流與合作的能力。高中課程內容既進一步提升所有學生的共同基礎，同時更為每一位學生的發展奠定不同基礎。

選擇性——為適應社會對多樣化人才的需求，滿足不同學生的發展需要，在保證每個學生達到共同基礎的前提下，各學科分類別、分層次設計了多樣的、可供不同發展潛能學生選擇的課程內容，以滿足學生對課程的不同需求。

模塊與過去的知識單元有哪些不同？

從綜合性與相對獨立性來看，過去的單元更強調知識的前后聯系與縱向延伸，每一個單元是整個學科知識鏈條中的一個環節，綜合性及相對獨立性較差。而模塊則具有更大的綜合性和更強的獨立性，例如：每一模塊都有明確的教育目標，并要求圍繞某一特定內容，整合學生經驗和相關內容，從而構成相對完整的學習單位；每一模塊也都對教師教學行為和學生學習方式提出要求與建議，有利于教學實施。從設計類型及相互關系來看，單元主要以知識的邏輯聯系為紐帶加以線性組織，單元之間呈現遞進關系，必須前后依次展開；而模塊設計則有多種類型，既有前后遞進、學科邏輯較強的設計，如模塊A為模塊B的基礎；也有并列關系設計，如模塊A與模塊B之間沒有必然的邏輯聯系，可以先學模塊A也可以先學模塊B，學生可以根據自己的情況選擇最先學習的模塊內容。

高中《數學課標》幫助學生形成數學思想和解決問題的能力

來自中科院、工程院的王梓坤、張恭慶等6位院士對數學課程標準給予充分肯定，認為數學課程體現了基礎性、多樣性和選擇性，體現數學學科發展的趨勢，突出數學的人文價值，重視增加了數學建模、數學探究、數學文化等內容，將數學置于一個更廣闊的背景中，拓展學生的視野，這是一個很大的突破。

崔俊芝院士認為，高中是人生中選擇志愿、確定志向的時期，對于多數人來說，高中確定的志向會影響人的一生。因此，作為高中主要學習內容之一的數學，從教材的編寫到講授方法、課外活動都會對學生確定志向有一定影響。為此，崔院士建議高中數學應該重視學生數學思維能力的培養，重視數學思想和方法的形成過程，讓學生既學習數學知識，又學習數學思想，學習用數學知識和思想表達與解決現實世界一般問題的方法和技能。因此在教材編寫過程中，要重視基礎性、時代性和多樣性，在傳授知識的同時，還要重視數學思想和方法的形成過程，而且適當加強不同知識模塊的關聯性，以使學生形成較完整的數學思想和解決實際問題的方法。

高中課程改革如何與初中課程改革實現和諧銜接。

應該說，高中課程改革是在初中課程改革基礎上的再改革，應該是一種比較自然的銜接，但由于高中課程改革說涉及到的知識體系較之初中而言，要來的復雜和具體，在“三維”目標上的要求跨度要大。對于教師來說，應該如何適應高中課程改革的進一步需要？對于學生來說，應該如何適應高中學習的進一步要求？對于學校來說，如何進行學校內部管理體制的深層次改革，以適應高中課程改革的需要？這些都是擺在改革者面前現實而且棘手的問題。

教師應該樹立危機意識，認識到課程改革不單單是改革教育本身，更在于改革教育者、改革教師，通過改革，喚醒教師內心深處的危機意識。在改革面前，每個教師，無論你資格多老，無論你多么年輕，都是站在同一條起跑線上，必須有學習意識，必須有動力意識，要強調通過改革，加強學習，以學習來強化自身的學識和修養，以學習來完善自身的知識體系，從而更好地適應高中的改革；學生要改變傳統的學習行為，強化自主學習、培養合作精神，造就探究能力，這是初中階段學習能力和精神的進一步拓展和深化，高中課程改革帶來的不僅僅是學習的樂趣，其實更多的還是學習的挑戰和壓力，因為高中課程改革體現的是素質教育的思想，它屏棄了應試教育的束縛和局限，在改革中，純粹的“死記硬背”式學習方式非但不能適應，還會限制和影響學習成效；學校應該在原來的基礎上加大學校的內涵建設，在不斷完善學校各項硬件設施的基礎上，著眼于人的發展和生命的昂揚，從人的精神世界入手，提高教師的專業素質和人文精神，提高學校的辦學質量，形成學校自身的辦學特色和品位，從學生的一生出發，為學生的的未來負責。

做好畢業年級備考工作，具體安排與要求。

（1）高中認真研究《考試大綱》、《考試說明》，明確復習內容及要求，提高復習針對性；

（2）科學安排復習進度，圓滿達成每一階段的復習目標；

（3）研究命題趨勢，關注新課程理念在試題中的體現（信息題、探究題、開放題、綜合題等）；

（4）有針對性的專題訓練：圍繞考試熱點、難點、及學生薄弱環節（典型錯例）展開；

（5）積極開展有效的復習課、講評課的教學策略及模式.

2.作好初中的教學研究工作

初中工作應緊緊圍繞課堂教學模式進行。準備抓好初三年級的的復習備考工作。

3.關于數學競賽工作

作好高中競賽的賽前培訓工作。

10月，*省高中數學競賽報名，競賽將于10月12日舉行，報名等具體事情另行通知。

4.課堂教學達標筆試題命題基本要求

一、試卷結構、題型、和分值

1.試卷分公共試題和學科試題兩大部分。

2.公共試題20分，學科試題80分（其中學科專業知識30分，教學設計50分）

二、試題內容要求

1.公共試題主要考查教育學、心理學和教育教學法的基礎理論；課程改革以及調節教學的相關內容；重要的是對內容的融會理解和實際運用能力的考查。

2.學科試題主要包括任教學段的教材內容以及與教材內容緊密相關的拓展延伸內容：

①對學科教學的價值取向和特有思想方法和學科能力要求考查

②對學科知識框架的把握和理解，對課程標準（教學大綱）、現用教材以及相關知識內容的認識和理解

③對教材中重難點知識、重難點實驗、重難點問題的準確把握和理解

④對高考、中招命題思路和方向的理解和把握

5對學科相關知識的綜合分析運用能力的考查

6教學設計的方法、原則和實際能力。教學設計部分占50分，以任教學段教材中的某一課、某一章節、某一課時或某一單元的教學內容為素材，考查教學設計能力。

三、命題難度：定位于“達標”的層面，難度適中。

篇10

【關鍵詞】教學資源 收集 整理

對于從事數學教學工作的教師來說，進行教學工作多年，手中除了教材教參和幾份用過的練習題之外，其他資源寥寥無幾，這確實為一件憾事。因此整理好數學教學資源，對于不斷提高數學教學質量，開闊數學教師的視野都有著重要的意義。如果積累的資源雖然不少，但雜亂無序，從不整理系統化，使這些資源得不到及時應用，隨著時間的改變而失去了資源存在的價值。因此，對教學資源的整理，既重要又要及時。

根據多年的經驗，我提出以下建議：

1. 收集教學資源要堅持經常性和長期性

知識是個浩瀚的海洋，有關的數學教學資源要一點一滴的積累。這項工作是沒有盡頭的，就像射線是有起點而沒有終點一樣，不能一開始只憑熱情、沖動，只想短時間內完成所有工作，這是不行的。所以許多人在收集資源時就出現虎頭蛇尾的現象。因此，在收集數學教學資源要堅持經常性和長期性，堅持不懈。

2. 整理教學資源要堅持有目的性

我們收集教學資源的目的就是要將資源的內容應用于平時的數學教學工作中，所以對于資源的整理就要以便于應用為目的，在選用它時能迅速而準確地提煉出來。要明確收集整理資源要遵循先收集、再整理、最后應用的原則。像初中數學因式分解的方法，課本上僅僅出現提公因式法、公式法，我們收集到還有分組分解法、十字相乘法、拆項添項法。如果僅是初中教學前兩種方法就足夠了，但要參加數學競賽還要掌握后三種方法。我們要在平時的收集工作中，從雜亂無章的知識領域中發掘對數學教學有用的，整理好以備后用。

3. 整理教學資源要堅持恰當性

在收集整理教學資源時，要遵循恰當性原則。選合適自己、方便自己的方法。比如把同一類書籍按出版的時間先后順序放在一起，把收集到各省市中考試題按方程、函數、不等式、統計與概率等類型重新歸類，并在開頭貼上標簽，這樣在選題時就不會手忙腳亂了。

作為從事多年教學工作的數學教師，手頭上數學教學資源中習題和試題是占有量最大的一部分。因為全國各地每年都有若干冊數學習題集、數學試題集和數學復習資料出版發行。而學校在各學年度都要有幾次區調研考試，還有省、市統一招生考試和各類的數學競賽，都不斷提供著數學試題資源。面對這么大的工程，如何采取有效的整理措施，以利于提高中學數學教學質量，的確是一個亟待解決的現實問題。

為此，設想建立一個直接為中學數學教學提供 “數學教學題庫”。在備課中可根據教學題庫中的資源內容，為課堂教學設計提供一定的依據和恰當的例題。在教學中，還可以利用教學題庫，為拓展課堂教學提供一系列典型例題，增強教學效果。還可針對教學的內容，很方便地選擇出適宜的補充練習題，以彌補教材中習題內容的不足。在對學生個別輔導過程中，可根據不同學生存在的不同問題，從知識的不同角度選擇例題，定向地解決學生學習中的各

種疑惑難題。教學題庫還可以應用于數學各種測驗、考試和知識競賽的命題，可以大大地提高整個數學教學工作的效率。當然，在條件允許時，最好將所收集的數學教學資源，存儲于自己家用的電腦中。

雖然收集整理資源要花費許多寶貴的時間和精力，但整理好的資源，在需要時能給你很大的幫助，對于已有的資源，如果不能根據使用的目的經常進行整理，資源再多也難以得到很好的應用。由此可見：教師收集整理資源的重要性。

參考文獻

［1］朱凌云 余勝泉 教育資源庫建設的觀念和方法