中等職業學校數學教學研究

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摘要本文敘述了中等職業技術學校數學課堂教學的一些體會,內容包括三個專題:1、一元二次不等式；2、函數的單調性；3、函數的奇偶性。都是筆者在教學工作中的真切感受,想和廣大讀者作一個交流。

關鍵詞中職學校數學教學實際體會

目前普通中等職業技術學校都是從初中畢業生中招收新生,經過三年的學習和實踐,要求學生既具有一定的文化知識,又能在某一方面有實際專長,以適應畢業以后的就業和發展的需要。因此,文化基礎課是以夠用為原則。數學課的情況也是如此,對于一些偏難、偏深的推導、證明等適當簡化，重點是講解一些通俗易懂的例題，課外練習題、復習、測驗或考試也是按照這一原則，題目一般與基本概念相聯系，不出太難、太偏的題目。測驗或考試的題目與例題、課外練習題、復習題的難度基本上是一樣的。學生經過上課、做練習、復習、測驗或考試，能夠掌握最基本的概念和理論，為將來學好專業課打下必要的基礎。現在，準備就上述想法分三個專題談一些體會。

一、一元二次不等式

一元二次不等式的解法是在學習不等式的解法時學生感到較難的一個內容。當明確了一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）之后，如果判別式⊿=b2-4ac>0，或⊿=b2-4ac=0,則可以采用因式分解的方法解題；也可以運用二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象,即拋物線,來解題.如果判別式⊿=b2-4ac<0,則不能采用因式分解的方法,只能考慮作出二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,即拋物線,由圖象判斷一元二次不等式的解集。現在有的教材已經刪掉了這一部分內容，沒有再論述⊿>0或⊿=0時，一元二次不等式有兩種不同的解法。一般就是講了一元二次不等式的一般形式后，直接給出一元二次不等式的例題，這些一元二次不等式，判別式⊿都是大于或等于零的，因此都可以運用因式分解的方法來求解。能不能在講有關一元二次不等式的例題之前，先向學生介紹，⊿>0或⊿=0時，解一元二次不等式，既可以采用因式分解的方法，也可以采用二次函數的圖象解法；⊿<0時，不能采用因式分解法，只能采用二次函數的圖象解法。如果課時有限，可以不再推導這些結論，只作介紹，起碼讓學生有一個了解，正所謂“開卷有益”。如果課時較多的話，就可以向學生推導和證明這些結論。現給出初步推導，以供參考：初中學過當判別式⊿>0或⊿=0時,ax2+bx+c=a(x-x1?)(x-x2),∴⊿>0或⊿=0時,ax2+bx+c是可以因式分解的，其中x1?、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數根。⊿>0時，方程有兩個不相等的實數根。⊿=0時，方程有重根，即只有一個實數根。⊿<0時，方程沒有實數根，因此ax2+bx+c不能因式分解。

現舉一例：解一元二次不等式3-2x-x2≥0，解化成一般形式x2+2x-3≤0，判別式⊿=b2-4ac=22-4×1×（-3）=16＞0，因此，可采用因式分解的方法。分解因式，得（x-1）（x+3）≤0，解這個不等式，得原不等式的解集是：[-3，1]。

再舉一例：解一元二次不等式3x2-x+1<0,解⊿=b2-4ac=(-1)2-4×3×1=-11<0,因此原不等式不能采用因式分解法，需要設二次函數y=3x2-x+1，作這個函數的圖象，通過觀察圖象，判斷原不等式的解集。講完二次函數的圖象和性質這一部分內容后，可以采用二次函數的圖象解法?，F在順便解完這道例題,供參考：∵a=3>0,∴拋物線開口向上。∵，==，∴頂點坐標是（，），頂點在第一象限，由此可作出拋物線的草圖，草圖與x軸無交點。一元二次不等式3x2-x+1<0，相當于在二次函數y=3x2-x+1中，要求y<0,由拋物線的草圖可知，x∈R時，y>0,y不可能小于0,∴一元二次不等式3x2-x+1<0無解,即解集為空集。

2、函數的單調性

函數的單調性指的是函數y=f(x),x∈D,當自變量在定義域D內由小到大增長時，函數y隨自變量x變化的情況。即y是增大，還是減小。有時y還可以保持不變，當然這種情況在中職教材中較少提到。在講述這一部分內容前，可以先講一些實際例子。比如隨著時間的增加，人的年齡也隨著增加。再比如行駛中的汽車，隨著行駛距離的增加，汽車的儲油量反而減少。通過舉這些例子，可以減小學習的難度，也顯得比較直觀。

在講函數的單調性時，一般都是先從數量關系上給出增函數和減函數的定義。即對于函數y=f(x),x∈D,如果自變量x在給定區間上增大時，函數y也隨著增大(或者函數y反而減小)，即對于屬于該區間內的任意兩個不相等的x1和x2，當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2)(或者都有f(x1)>f(x2)),則稱y=f(x)在這個給定區間上是增函數(或者是減函數)。這個給定區間，對于有的函數可能是整個定義域D；對于有的函數，可能只是定義域D的一部分。如果一個函數y=f(x)，在某個給定區間上是增函數或者是減函數，我們就說這個函數在該區間上是單調函數，這個給定區間稱為函數的單調區間。需要向學生強調的是，這個給定區間，指的是自變量x在定義域D內的某一部分區間，也可能是整個定義域D。不是指函數y在值域M內的區間。

現舉一例：判斷一次函數f(x)=-2x+1在區間(-∞,+∞)上是增函數還是減函數？經過解題,一次函數f(x)=-2x+1在區間(-∞,+∞)上是減函數。因為一次函數的圖象是直線，所以可以只描兩點做出f(x)=-2x+1的圖象，沿著x軸的正向，減函數的圖象是下降的，這是減函數的圖象共有的特點，一次函數f(x)=kx+b,正比例函數f(x)=kx，k<0時,都將沿著直線下降，比如本題，k=-2<0,直線是下降的。有的函數在給定區間內，可能會沿著曲線下降。

再舉一例：判斷二次函數f(x)=x2在區間(0,+∞)上是增函數還是減函數？經過解題,二次函數f(x)=x2在區間(0,+∞)上是增函數，可做出函數的草圖，沿著x軸的正向，減函數的圖象是上升的，這是增函數的圖象共有的特點，一次函數f(x)=kx+b,正比例函數f(x)=kx，k>0時,都將沿著直線上升。有的函數在給定區間內，可能會沿著曲線上升。比如本題，二次函數f(x)=x2在區間(0,+∞)上是增函數，圖象沿著曲線上升。但如果把區間換成(-∞,0)，f(x)=x2的圖象將沿著曲線下降。這說明對于函數f(x)=x2，x∈(-∞,+∞)，在區間(-∞,0)上是減函數，在區間(0,+∞)上是增函數，函數在定義域D內有時是減函數，有時是增函數,函數的圖象,有時下降,有時上升。有的函數，順序也可以相反。但有的函數，象一次函數f(x)=kx+b,反比例函數f(x)=，等等，在各自的定義域內，全部都是增函數,或者全部都是減函數。這些情況可以向學生簡單講解，讓他們了解這些情況。

3、函數的奇偶性

函數的奇偶性是除單調性以外函數的另一個重要特性。有的教材舉了一些實際例子，如汽車的車前燈，音響中的音箱，漢字中如“雙”、“林”等對稱形式的字體等，這些都給人以對稱的感覺。這樣，使偶函數的概念顯得比較直觀、易懂。然后定義什么叫偶函數？什么叫奇函數？對于奇、偶函數的講解，一般先從數量關系上定義奇、偶函數，即：如果對于函數f(x)的定義域D內的任意一個x，①都有f(-x)=f(x)，則稱這個函數為偶函數。②都有f(-x)=-f(x)，則稱這個函數為奇函數。然后通過解答例題，論述奇、偶函數的圖象的特點，即偶函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形，奇函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，。上述內容是從數和形兩個方面把握偶函數和奇函數的特征。另外，一個函數能成為偶函數或奇函數，有一個先決條件，那就是函數的定義域是關于原點對稱的區間，即形如（-a,a）或[-a,a],如果不能滿足這個條件，則函數無奇偶性可言，肯定是非奇非偶的第三類函數。如果函數的定義域是上述兩種區間的形式之一，也不能肯定就是奇函數，或者是偶函數，還需要滿足上述奇、偶函數的定義，才能是奇函數，或者是偶函數。例如要判斷f(x)=x2+x是不是奇函數？首先明確定義域D=(-∞,+∞),關于坐標原點左右對稱，f(-x)=（-x）2+（-x）=x2-x，-f(x)=-x2-x，∴f(-x)≠-f(x)，∴f(x)=x2+x不是奇函數。同時，可以向學生補充：本題另有f(-x)≠f(x)，∴f(x)=x2+x也不是偶函數。∴f(x)=x2+x是非奇非偶的第三類函數?，F在有的教材不再提“非奇非偶函數”，建議在解答例題時順便說一說非奇非偶函數的概念，讓學生了解這方面的知識。

另外，需要補充說明的是，有的函數，定義域D雖然不是（-a,a）或[-a,a]這兩種形式之一，但定義域D只要關于坐標原點對稱，仍然有可能成為奇函數，或者是偶函數。例如要判斷函數f(x)=是不是奇函數？先求出這個函數的定義域是（-∞,0)∪(0,+∞)，并不是（-a,a）或[-a,a]兩種形式之一，但定義域仍然關于坐標原點對稱，所以仍然有可能是奇函數，或者是偶函數。繼續演算f(-x)==-=-f(x)，∴f(x)=是奇函數。這道例題的情況也可以向學生補充說明，讓他們增加這方面的知識。

以上分三個專題討論了筆者在數學教學工作中的一些體會。請各位提出批意見，以便在以后的教學工作中不斷改進、不斷提高，以適應新形勢發展的需要。

參考文獻

1.涂焜耀,何聲威,等廣東省中等職業技術學校.文化基礎課課程改革實驗教材.第二版.數學.廣東高等出版社,2006