高等代數教學培養學生的數學思維

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一、高等代數教學中的數學思維概述

（一）抽象思維。數學中的抽象思維主要就是指對于數學知識、定義、常規認知的思維延伸，其表現的是數學本質及客觀發展的深遠過程。在高數課程中，其理論上的內容都來源于對于數學實例的解讀，通過不斷總結，找到其中的規律及相同特征。例如，高數中的定積分理論，可將其表示為某函數圖像在坐標系中特定范圍內的面積，其上下限則是坐標區間的A和B兩端點，因而我們可發現定積分的本質是圖像的細分，但是通過對著名的牛頓布萊尼茨定理的解讀，我們可從中發現思維理論的支撐，通過該定理延伸到定積分，將定積分的表達形式與積分連接在一起，得出確切概念。（二）具象思維。具象思維的主體主要傾向于形象及表象，指的是人們對于事物的具象認知。在認識世界的過程中，針對事物的表象及具體特征進行分析、概括、綜合，最終形成的直觀思維方式。在面對問題時，這種思維方式可快速做出直觀的反應，揭露其本質。因此，在高數教學中想要培養學生的數學主觀判斷力就必須重視對具象思維的引導及塑造。例如，在學習“一元復合函數及多元復合函數求導”課程時，因其函數中包含諸多變量，在求導過程中就存在很多復雜的解題步驟，此時便可充分利用具象思維，將解題思路先用樹形圖的形式表現出來，然后根據求導法按部就班地完善求導過程，這樣一來，即使是復雜的復合函數也會迎刃而解。（三）辯證思維。辯證思維通常被認為是與邏輯思維對立的一種思維，其思維方式建立在事物客觀聯系的基礎上，通過對客觀事物的辯證思考從而得出相應結論。高數課程中處處包含著辯證思維，如高數中的直線與曲線。在人們的常規意識中，直線與曲線本是兩個不同概念，而在高等代數中的某種特定條件下，直線與曲線的概念是相同的，且用曲線代替直線是微積分學習中的重要解題思想。因此，在高數學習中，辯證思維往往會幫助學生解決眾多疑難問題。（四）創新思維。創新思維是一種帶有個人思想特征的思維形式，其通常產生在客觀事實與常規理論的基礎之上，通過新穎的思考方式及創造思維的發散而形成新的思維成果。創新思維從某種意義上可以看作是具象思維、辯證思維及抽象思維的創造綜合體，而這也正是高數解題思維中最為重要的部分。高數教學對學生創新思維的塑造是相對的，它沒有設定等級上的要求，學生如果能在學習中自發總結出新的解題思維或是革新了常規的數學思維，無論其價值高低，對學生來說，都是對其數學思維能力的創新突破[1]。（五）類比思維。類比思維是一類事物具有某種屬性，根據這種已知的屬性，能夠推測出與其類似事物的屬性。類比既是一種科學的研究方法，也是一種有效的教學方法。比如，數域P上的一元多項式環P[x]與整數集Z，對于加法、減法、乘法運算都封閉，且對于除法都不封閉。此時整除不管是在P[x]中，還是在整數集Z中都占有重要地位。從P[x]和整數Z的相似屬性，通過類比能夠推測多項式整出理論與整數的整除理論相似。那么接下來從以下兩個方面進行分析[2]。首先，在多項式帶余除法、整除、最大公因式、互素及不可約多項式等概念與性質的討論中，應該舉一些學生所熟悉的例子，如整數的帶余除法、整除、最大公因式、互素等，能夠更好地幫助學生理解多項式的相關知識。比如，在不可約多項式概念的教學中，把不可約多項式與素數相類比，由素數P只討論大于1的自然數，0和1既不是素數也不是合數，理解不可約多項式只討論數域P上次數≥1的多項式P（x），而對于零多項式與零次多項式，既不討論它們是可約的，也不討論它們是不可約的；由素數P的正因數只有1和P，理解不可約多項式P對的因式只有1和P，理解不可約多項式2018年7月P（x）的因式只有c和cp（x），（c∈p，c≠0）。其次，在整系數多項式的討論研究中，會涉及整數整除理論的一部分性質，此時，教師可以通過與多項式相關知識的類比，得到整數相關知識。

二、在高等代數教學中培養學生數學思維的策略

（一）培養學生積極的數學學習態度。教師在教學中要注重管理學生學習高數的態度，著重加強學生對于高數的整體認知、提高其數學審美意識、化解其不良學習風氣，以保證其處于積極向上的學習狀態。為了達到此目的，教師首先應完善自身教學手段，優化個人素養，通過真誠的情感交流及豐富的數學知識儲備來感染學生。另外，教師自身要具備積極的教學態度，爭取將樂觀的狀態傳遞給學生，幫助其正確看待高等數學的學習。除了利用有限的課堂教學時間，教師還可在課后組建高數學習小組、建立互聯網學習群組，將高等代數深入學生的生活當中。（二）為數學思維培養營造良好的學習環境。在培養學生上述數學思維的過程中，教師應該為學生營造一個積極的教學環境。良好的教學環境更加有利于激發學生的數學思維，進而促進其數學思維的形成和構建。1.學生數學思維培養要以學生為中心。這就需要教師積極轉變傳統的教學觀念、教學模式，運用多種教學手段充分發揮學生在課堂中的主體作用，讓學生能夠有更多的機會自主學習、合作學習、探究學習，在一個輕松、自由、平等、和諧的課堂氛圍中來學習相應的知識，同時，也為培養學生數學思維奠定基礎。2.良好的師生關系是激發學生數學思維的動力。首先，教師應該多與學生進行溝通和交流，消除學生對教師的恐懼心理。還要鼓勵學生在課堂上獨立思考、敢于發言，大膽表達與別人不一樣的意見。對于學生的一些奇思妙想，教師不應該全盤否定，即使是學生錯誤的想法，也不應該給予批評而應該給予精神上的鼓勵并幫助他們找出錯誤的原因及解決措施。最終在組織學生參與課堂教學活動、全面發現問題、思考問題、分析問題的過程中，促進其創造性思維的培養和提高。（三）通過概念教學啟迪學生的數學思維。數學教學離不開數學概念，那么數學思維培養同樣也與概念教學有著深深的聯系。高等代數中，很多數學概念都有一定的推理依據，都源于現實生活中的實際問題。因此，教師在概念教學中，要引導學生認識概念并對感性材料進行分析、概括，創設思維情境，為啟迪學生數學思維奠定基礎。同時，也需要學生結合舊知識來加深對新知識概念的理解，在大腦中進行復雜的理性思維活動，這樣，學生的思維能力就會不斷鞏固和提升，最終達到啟迪學生數學思維的目的[3]。（四）培養學生創造性思維。高數中的創造性思維對于學生的學習來說是極為寶貴的，很多學生在長久的數學學習過程中，已經習慣在課堂中被動接受知識，而忽略鍛煉主動思考與探索的能力，實際上，創造性思維可輔助學生改變固有的數學思維定式，在原有基礎上探索新知，發現新的領域，這種復雜的思維活動可令其提升對于數學的研究興趣。很多教育學家認為，提出問題的重要意義遠大于解決問題，只有產生質疑，才表示對于問題進行了深入的思考。因此，教師在授課中要鼓勵學生大膽提出質疑，加強提問訓練，這對學生發散思維具有良好的推動作用。例如，在學習高數中的中值定理時，教師可引導學生將拉格朗日定理與羅爾定理進行對比，發現二者之間的數學關聯，并思考如何通過羅爾定理的內容與結論來證明出拉格朗日定理。（五）采用啟發式的教學方式。教師在傳授知識時不應只局限于當前的例題或知識點，而是要結合當前教學內容延伸出同一類型的啟發性內容，引導學生不斷思考，努力尋找解題的切入點。在這種啟發式教育的帶動下，學生不僅掌握了數學問題的本身，還可透過例題發現更多同類型知識點，逐漸掌握高數的學習技巧。1.鼓勵學生大膽猜想。在學習高數的過程中，學生可以憑借自己的直覺思維對數學題目進行初步探索，進而延伸出后續的解題步驟。例如，在學習“二重積分和曲線積分”內容時，教師可引導學生對二者之間的聯系進行大膽假設和猜想，結果顯示，很多學生的猜想很接近正確的方向，最大限度地提升了學生學習數學的信心。2.充分訓練發散思維。發散思維是以創造性思維作為基礎的延伸產物，其占領著數學思維的主導位置。由于很多高數問題都具備復雜的知識鏈條，所以學生的解題思路不應過于簡單，而是要充分發散思維，多角度看待問題，尋求各種可能的方式。如在解決導數的問題時，在常用的定義法行不通時，便可考慮公式法、隱函數法、對數法等其他解題思路。3.充分利用逆向思維。逆向思維方式又被稱為求異思維，其主要強調反其道而行之，對常規事物進行反向思考，從而得出新的見解與理論。在某些高數問題中，此種思維的應用往往可使很多難題順利破解。因此，教師在教學中要注重強調數學知識的雙面教學，學生養成反向思考的慣性思維，將題目中的可逆性原則一一傳授給學生。

三、結語

在高等代數教學中融入數學思想，是提高學生邏輯思維及解題能力的關鍵。在21世紀，社會需要的是復合型高素質人才那么，學生高等代數數學思想的培養就顯得更加重要。通過對文章的研究，筆者希望能夠為相關教育工作者提供一些建議和參考。

參考文獻：

[1]李勝平,徐斌.高等代數教學改革的探索與實踐[J].普洱學院學報,2013,29(6):81-84.

[2]許安濤,范志勇.從高等代數教學改革實踐談高師數學教學改革[J].廊坊師范學院學報(自然科學版),2013,13(5):97-100.

[3]鐘朝艷.高等代數發展數學思維工具的功能研究[J].科教導刊(上旬刊),2013(9):189-190.

作者:馬俊梅 單位:山西財經大學應用數學學院