深究結構參量變化時彈性機構特征

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現代科技的發展,要求我們設計出更快、更輕、更準的高性能機器。彈性機構動力學研究正是為實現這一設計目的而開展的。彈性機構的設計過程就是選擇適當的機構結構、截面及材料等方面的參數以滿足其運動和動力設計要求。目前在這類機構的設計研究中,一般都是將以上三種設計參量分開來獨立進行研究的,其中,截面參數在以前的設計中被廣泛取為設計變量[1～4],這在以機構重量最小為目標的彈性機構設計中取得了較好的效果。文[4、5]討論了材料參數對彈性機構動力特性的影響,并指出它是在彈性機構設計中應當考慮的重要因素。然而,結構參量在機構彈性動力學中的作用卻研究得很少,文[6、7]雖然涉及結構參量問題,但它對彈性機構動態特性的潛在影響卻未能表現出來。顯然,對于高性能彈性機構設計來說:截面參量,材料參量和結構參量三個方面是十分重要的基本因素,高質量的設計過程中應同時包含此三方面變量。根據不同設計要求合理選擇三種參數,使機構性能最佳,這正是新型高性能彈性機構設計的發展方向。當然,要實現這樣復雜的設計是比較困難的,因此,首先深入了解這些參量與機構彈性動力性能之間的內在關系是十分必要的,這對高水平的設計過程有重要的指導作用。在此方面,文[8]已經作出了初步成績,它從參量振動頻率響應角度研究了平面曲柄滑塊機構彈性動力特性的變化及其規律,較有新意,但在模型建立、簡化條件和理論分析等方面還不夠深入。顯然,多彈性桿的一般機構參變特性研究更具有普遍意義。

本文從改變機構結構參量入手,研究一般平面彈性機構本征特性的變化規律。首先以4R機構為例,根據其結構參量的不同改變情況,分桿了此彈性機構的前三階固有頻率以及機構各桿中最大動應力值等特性指標的動態響應,然后從理論上對此變化規律進行了解釋,給出了機構固有頻率與結構參量之間的內在關系,從面揭示了結構參變彈性機構的本征特性,為高性能彈性機構設計提供了重要的理論依據。

1動態響應

首先對一機構實例進行分析,觀察彈性機構動態特性指標,如固有頻率和動應力等,因機構結構參量改變而引起的動態響應。根據有限元方法可能將此機構分為5個單元,每個單元有8個結點彈性位移變量,整個機構共有18個廣義彈性位移變量u1～u18。根據本文前述宗旨,此機構的桿件材料及截面參量都不作為設計變量,因而在下面的彈動力分析中均視為常數。機構中各桿均為鋁材,其密變為2710kg/m3,彈性模量為71GN/m2,阻尼系數為0.03。各桿截面均為圓形,直徑分別為:d1=1.9mm,d2=1.1mm,d3=1.0mm。機構結構參數為參變量,其初始值選為:l10=108mm,l20=279.4mm,l30=270.5mm,l40=254.0mm。表1所列為這個參量的各種變化形式。在機構曲柄(桿1)以500r/min等速運轉條件下,運用彈性機構動力學分析方法[9],可以得出在一個運動循環內此機構前三階固有頻率fi(i=1,2,3)的變化曲線,和相應的各桿的最大動應力σj(j=1,2,3)及其中的最大值σmax的響應曲線。為了便于說明問題,這里給出了幾種典型情況如圖2～圖5所示。為了進一步說明問題,把各種情況下的重要特性評價指標,如機構各價固有頻率的平均值fai(i=1,2,3)和最小值fmin。各桿及機構中的最大應力值σjmax(j=1,2,3)和其中最大值σmax等一并列于表2中。從表2中的數據及圖中曲線變化的情況可以明顯看出,機構各階固有頻率隨著機構結構參數的增加而降低,而機構中最大動應力的響應則正好相反,即隨著結構參數的增加而增加。改變機構中不同桿件的結構參量所得到的機構動態響應在固有頻率和動應力上的表現有所不同,而以第5種狀態下的響應最強烈,圖2～圖5正好說明了這點。另外,機構各階固有頻率在機構彈性動力特性上所起的作用也有較大差別。所有這些現象被揭示出來,無疑對在進行彈性機構設計時優選結構參量是有重要指導意義的,但要解釋這些現象并總結出其規律還需要從理論上進一定深入分析。

2本征特性分析

現在從頻率分析角度研究彈性機構結構參量與其特性之間的關系。根據機構彈性動力學分析可知[9],機構中某一單元或桿件的動力學方程可表示為[m]{ü}+(k){u}={p}(1)式中,[m]、[k]分別為此單元的質量和剛度矩陣,{u}為彈性位移向量;{ü}是其加速度向量;{p}為單元所受外載,其中包括慣性力作用。此單元的固有頻率ωe可由方程(1)的特征根求得為det(λe[I]-[k]-1[m])=0λe=1/ω2e(2)這說明單元固有頻率是由其質量和剛度矩陣決定的。當桿件軸向彈性位移很小時有[9][m]=ρAl(la)[k]E•J(1/l3)[lb](3)式中,ρ和E分別為桿件材料的密度和彈性模量,A和J分別為單元的截面面積和慣性矩;(la)和(lb)是兩個僅與單元長度l有關的相似矩陣,兩者中各對應項l的次數完全相同。因此,由式(2)、(3)不難推出下面關系式[10]。ωe∝J/A×E/ρ×(1/l2)(4)式(4)明確表示了機構某單元固有頻率與其各種參量之間的定性關系,其中,前兩部分J/A和E/ρ分別表示單元的截面參數和材料參數,在本文中這兩種參數是固定不變的,因此,式(4)可進一定簡化為ωe∝1/l2(5)這說明,單元固有頻率變化與其結構長度的平方成反比關系。

對于整個機構來說,其彈性動力學方程為(M){U}+(K){U}={P}(6)它與式(1)形式相同,只是用大寫字母表示式(1)相應的整個機構系統的參量。所以,機構固有頻率ω由式(6)的特征根確定為det(λ[I]-[K]-1[M])=0λ=1/ω2(7)顯然,機構固有頻率是由其系統質量和剛度矩陣[M]和[K]決定的。而此[M]、[K]又是由各單元矩陣[M]、[K]通過裝配組成的,因此,機構的固有頻率特性是由各單元固有頻率所決定的。所以,可以推斷,機構固有頻率與其截面、材料和結構參量之間存在著與式(4)、(5)相似的內在定性關系。對于本文研究的情況,就是機構固有頻率的變化與其結構參數的平方成反比關系。這種內在關系揭示了彈性機構的本征特性。

下面通過對數值結果的再分析進一步闡明結構參變彈性機構的本征特性。首先,在前三種結構參量改變狀態中,雖然在總體上都表現為固有頻率隨結構參數反變而動應力隨結構參數正變的總規律,但各種狀態下的響應程度卻各不相同,這種現象產生的主要原因是各桿結構參數或固有頻率在整個機構系統的固有頻率中所占的比重不同,因而所起的作用也不同。在僅某一單元結構參數變化時,機構頻率響應的總效應不能像單元本身那樣符合式(5)的規律,而直接反應在整個機構上。盡管如此,在這幾種狀態下,機構動態響應總趨勢還是符合理論分析規律的。其中,在與之相對應的第5種狀態下,機構中各單元結構參量同時增加或減小,使得機構固有頻率各組成部分同時改變,因而整個機構的頻率響應最為強烈,如圖2～圖5所示。下面討論一種特殊情況,即將機構中各桿按同一比例增加,使顯然,由式(8)可知:l/l0=1.1,所以,(l/l0)2=1.21。這結果正好與前面的頻率比值ω0/ω相同,即式(9)成立。因此,這就從數值上檢驗了理論分析結論式(5)的正確性。

另外,在第4種狀態下,僅僅改變機構機架參數。但由機構動力方程式(6)和式(7)的組成中可知,機架參數并不直接影響機構的質量和剛度矩陣,因此,對機構固有頻率也沒有直接作用,它的改變僅僅是稍微改變一下機構的位形。因此,機架參量的改變不會對機構特征產生什么作用。從表2中的數值可以直接看出,這是5種狀態下響應最弱的情況。這一結果說明,在彈性機構設計中,根據需要可適當改變機架參數,而不會對機構固有頻率等特征有大的影響。下面再從應力指標角度進一步分析。表2中的數據及圖5都表明彈性機構的動應力隨著結構參量的增加而增加,這是因為機構固有頻率隨結構參量的增加而降低。這時,從方程(6)可知,機構剛度下降,質量略增,其總效應是機構變軟。因此彈性變形和應力必然增高。這種結果正好與前面的頻率分析結論相符,也進一步說明了彈性機構結構參量與其動力特性之間的內在聯系。將有關頻率響應結果與應力結果相比可以發現,機構第一階固有頻率(基頻)的變化規律與機構應力的變化情況是基本對應的(圖2與圖5),而第二、第三階頻率的響應則與應力變化相差較遠(圖3、圖4、與圖5)。基頻的增減變化帶來了應力上的響應,這說明基頻在彈性機構固有頻率中占有主導地位,它在很大程度上決定了機構的動力性能,而高階頻率的作用是很小的。也正因為如此,機構固有頻率的最低值就成為一個非常重要的指標,而需要特別注意(見表2中fmin)。在此值附近,機構特性處在一種臨界狀態,此時有可能發生象彈性共振等現象,在機構設計中應盡量避免。

3結論

以上從數值計算和理論分析兩方面探討了彈性機構的結構參量與其本征特性之間的內在關系,可得出如下結論:(1)機構結構參量是彈性機構的重要設計變量之一,它的改變將直接影響機構動態特性。(2)機構固有頻率與其結構參量的平方成反比。(3)機構各桿參量的改變對機構本征特性有不同的作用,如何優選各桿參量是提高彈性機構設計質量的關鍵因素。(4)基頻和最大動應力是反映彈性機構本征特性的重要評價指標。