獨家原創:高中數學的函數教學研究

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摘要：函數概念是中學數學中的核心概念。然而，傳統教學中“一個定義，三項注意”式的概念教學方式依然普遍存在，導致了學生掌握函數概念的水平較低。建構主義是當今世界最有影響力的教育理念，它關注學生的學習過程，提出了認識是一種以主體己有的知識和經驗為基礎的主動建構，它是對傳統教學理論的批判與發展。

關鍵詞：函數概念數學教學

在高中數學教學中，函數內容占了很大的比重，它是高中數學教學的一個重點和難點。因此，學好函數成了高中學生學習數學的熱點和難點。由于函數的內容多，而且比較抽象，在教學中，往往會遇到學生聽課時聽得很“明白”，但解答函數習題時，卻又總感到困難重重，無從入手的情況；有時，課堂上老師把某一問題分析完時，總會有學生一拍腦袋：“唉，原來如此，我怎么就沒想到呢?”學生為什么會出現這樣的情況?如何幫助學生學好函數知識呢?

我國普通高中數學課程標準中把函數作為貫穿整個高中數學課程的一條主線,對函數的內容采用了新的處理方式。準確把握高中數學新課程中函數的定位、要求和處理方式上的變化,對于有效實施函數教學,促進學生對函數本質的理解具有重要意義。

一重點把握幾個重要的概念

函數概念的理解是復雜的、困難的，要有一個比較長期的發展過程。對函數概念的理解，首先要從函數對應關系的操作運算(如已知自變量求函數值或己知函數值求自變量等)、各種表征形式的識別等練習開始，并注意提煉出練習中蘊涵的函數關系，從而即能獲得解題技能，又形成了函數的過程性理解，在過程性理解的基礎上才有可能形成對象性理解。我們教師常常違反了這種理解發展的規律，習慣于直接灌輸給學生一些結論性的知識，學生即使記住，也難以理解和應用。表格形式的函數雖然在教材中有安排學習，但本研究發現學生對此的識別水平很低。這是因為認知發展的規律以及遺忘的因素，使函數概念的理解不可能一次性完成。根據筆者的教學經驗，教師首先要樹立注重理解的教學觀念，并且善于在教學中抓住或創造有助于數學理解的機會，從而逐步、反復地建構學生的概念表象，形成深刻的、真實的理解。

1.函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：

例1：

某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

S=x（50-x）。故函數關系式為：S=x（50-x）。

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：0＜x＜50。

即：函數關系式為：S=x（50-x）（0＜x＜50）。

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。

2.函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。

3.函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點呈中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。

4.函數和不等式

近年來在高考題中函數和不等式相結合的主要有：①函數和不等式的性質與證明相關，如1997年理科24題，2002年江蘇22題，2004年江蘇理科22題；②函數和不等式的解法相關，如2004年浙江理科選擇題13題，2004年上海13題，2005年浙江文科20題，③函數和不等式的綜合應用，如1998年文科24題，2001年文科21題，2004年北京19題.不等式可視為兩個數值大小的比較。在處理不等式的有關問題時,注意運用函數思想作指導,研究條件所提供的信息,通過觀察分析,構造一個適當的函數,然后利用函數圖象和性質加以研究,這樣往往能使問題獲得新穎、簡捷明快的解答.高中數學中的不等式都可以表示為f(x)>0(f(x)<0)，或f(x)>g(x)的形式，也可以從函數y=f(x)的圖象與x軸的上、下位置關系，或函數y=f(x)與y=g(x)圖象的上、下位置關系對其解集做出幾何解釋。

二調動學生學習函數的積極性，提高課堂效率

在高中函數的起始教學中，教師必須了解和掌握學生的基礎知識狀況，尤其在講解新知識時，要遵循學生認知發展的階段性特點，照顧到學生認知水平的個性差異，挖掘學生的主動性，培養學生學習函數的興趣。另外，教師可以幫助學生進一步明確學習的目的性，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的奮斗目標，經常使學生產生“成就感”，提高學生對學好函數的自信心。在課堂練習中經常讓學生先獨立去講、去做、去思考，老師更多的是做引導、指導。

例如：在講函數時候，可以向學生舉例：

例題1：已知：（fx+1）=x-5x+2，求（fx）；

例題2：已知：（f（fx））=9x+1，求一次函數（fx）的表達式時。先讓學生去思考、探索、研究。結果有的學生能夠發現幾種解法，有的學生在探索中會出現很多問題，并且有些問題是老師事先都無法想到的。然后根據學生解題中出現的問題進行認真分析、講解、總結，從而使學生在輕松活潑的課堂氣氛中學會解題，學到更多的新知識。

三運用函數性質，提高分類討論能力

分類討論在指數函數、對數函數和二次函數中應用十分廣泛,若在教學中通過例題,向學生充分展示解題思想,可以提高學生的分類討論能力。

例3解不等式loga(x+1-a)>1。

解析:由于底數a為參數,所以需分0<a<1及a>1兩類,故原不等式的解集為以下兩個不等式組的并集:

(1)0<a<1；x+1-a>0；x+1-a<a

或(2)

a>1；x+1-a>0；x+1-a>0a

(1)的解集為{x|a-1<x<2a-1};

(2)的解集為{x|x>2a-1},

故當0<a<1時,原不等式的解集為

{x|a-1<x<2a-1}。

當a>1時,原不等式的解集為{x|x>2a-1}。

總之，高中函數的特點決定了高中學生學習函數的困難，但是教學有法，而無定法，打實基礎知識卻是一個永恒的教學主題。難點是相對暫時的，由淺到深、由易到難的過程，也是每個學生能力提高的過程。教學中積極調動學生的全部智力因素，充分挖掘其學習潛能，重視課堂教學的啟發引導作用，培養學生對函數問題多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用的良好學習習慣，同時培養學生在學習、理解、訓練應用中有意識鍛煉自己合理的邏輯推理、抽象思維和分析解決問題的能力，從而克服函數教學的難點，提高函數教學質量。

四體驗數學建模的過程

數學建模就是從研究一個真實世界的具體現象或問題開始，試圖把它數學化的過程。例如：假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的匯報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。

請問，你會選擇那種投資方案？

這就需要解題者能夠建立三種投資方案所對應的函數模型，并對模型做出數學化的求解。

五利用函數的多重表示解決問題

函數區別于數學中的其它概念的一個重要方面是，它可以利用語言、符號、表格、圖形等多種形式研究對象。多重表示被認為是數學的重要思想，其方法及它們之間的聯系與轉換被認為是數學學習的中心。所以，讓學生通過對函數的各種表達形式的深刻領會與掌握，反過來可以進一步理解函數的本質思想，從而使學生站在一個更高的層次上去利用函數來解決問題，這也是函數教學一個重要目標。例如在上個例子中，可以建立三種投資方案的函數模型并作出三個函數圖像求交點；可以列表顯示增長情況：

x/天方案一方案二方案三

140100.4

240020100.80.4

340030101.60.8

440040103.21.6

540050106.43.2

6400601012.86.4

…………………

3040030010214748364.8107374182.4

不管哪種表示方法都抓住了自變量與應變量之間一一對應的映射本質，所以，在教學中可以讓學生在利用不同方法解決問題之后，反思方法背后的共同點，從而使其體會形式與本質之間的緊密聯系。這對他們進一步把握函數思想是十分有益的。

參考文獻：