數形結合思想在高中數學的作用

導語：數形結合思想在高中數學的作用一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：數形結合作為一種重要的數學思想方法，將抽象的、復雜的數學問題具體化、簡單化，從而達到“以數解形”和“以形助數”的目的。在高中數學教育中滲透數形結合思想，有利于培養學生的數學思想，拓寬學生解題思路，對于學生理解和解決數學問題具有重要的意義。

關鍵詞：高中數學；數形結合；滲透途徑

一、以形助數，抽象問題具體化

和抽象的數學語言相比，數學圖形具有較強的直觀性，對于一些解決方法太過復雜的、運用代數方法難以解決的、數學問題非常抽象的代數問題，這時可以利用數學結合思想將數轉為形，然后利用圖形的幾何性質及幾何意義來對問題進行求解。這樣可以有效鍛煉學生的觀察能力和思維能力，提高學生的解題效率。例如，教師講解“已知<<10a，關于x的方程xaax=log的實根有幾個？”這一例題，首先可以引導學生將上述方程轉變為兩個函數x)(axf=和xxgalog)(=，要求方程xgxf=)()(實根個數，就是函數xf)(和xg)(圖像交點的橫坐標。圖像交點的個數就是實根的個數，為此，做出函數圖像是關鍵。如圖1所示，兩個函數圖像有兩個交點，為此，關于xgxf=)()(的實根個數有2個。根據上述例題可知，我們可以借助數形結合思想來解決方程求解或函數交點個數的問題，讓學生通過對圖形的直觀觀察，啟發解題思路，幫助學生快速的解題[1]。

二、以數解形，圖形問題代數化

圖形雖然具有形象、直觀等優勢，但是不具備精確的數量關系和邏輯性。當解決圖形問題需要進行定量分析時，就需要借助數形結合的思想，通過仔細觀察圖形中的幾何性質和運動特點，用代數問題來表述圖形問題，然后利用所學公式或代數定理來求解問題。例如，講解“設22)(2axxxf+−=，當)(1>−≥axfx時，，求a的取值范圍？”這一例題時，教師可以首先引導學生對題目中的已知條件進行分析，當)(1>−≥axfx時，有，即222>+−aaxx，令22)(g−+−=aaxxx2。則有當x−≥1時函數xg)(圖像位于x軸上方。要保證不等式成立，分為兩種情況：（1）當0)12(442a<−−=∆時，a(−∈1,2)；（2）當a2≥−−=∆0)12(44且g<−0)1(時，a(−∈1,3)。根據上述例題可知，當對圖形中某個參數進行定量分析時，我們無法利用圖形來進行求解，而需要根據題目中所給出的條件，進行全面的考慮，這樣才能確保答案的正確性和完整性[2]。

三、數形互變，提高解題能力

在求解數學問題過程中，“以數解形”和“以形助數”都有著其各自的奇特功效，但不能完全的解決所有問題，有時在一個數學題目中可能同時需要結合這兩種方法，需要“以數解形”的邏輯性、精準性和嚴密性，也需要“以形助數”的直觀性。在解決此類問題時，需要對題目中的數、形及隱含條件進行認真的分析，通過兩者的運用，確保求解結果的準確性和全面性。數形互變的思想方法在高中數學中應用非常廣泛，常見于求函數的定義域、值域、最值問題；解方程和解不等式問題；三角函數和復數問題中。例如，教師在講解“已知x，y滿足1251622=+yx，求y-3x的最大值與最小值”這一題時。首先引導學生分析對于求解二元函數y-3x在特定條件下1251622=+yx的最值問題，可以采用構建直線截距的方法。設y-3x=b，則有：y=3x+b。那么原問題就可以轉化為：在1251622=+yx求一點，使得過該點的直線斜率為3，同時在y軸上的截距b最大或最小。根據已知條件，做出函數圖像，如圖2所示。當橢圓曲線與直線相切時，有最大截距b1和最小截距b2。將直線方程帶入橢圓方程中有：04001696169125)3162222=−++⇒=++bbxxbxx（。由于相切，有0)40016(1694)9622（bb=−××−=∆得到：b=±13，故y-3x的最大值與最小值分別為13和-13。根據上述例題可知，求解此類題目應該從函數本身的形式入手，引入直線的斜率，直線與橢圓相切時利用一元二次方程根的情況來確定參數值。運用數形結合思想，不僅實現了抽象知識和形象知識有效轉換，拓展了學生的解題思路，同時也避免了復雜的數學計算及推理，大大簡化了解題過程，對于學生數學思維及數學成績的提高具有積極的促進作用。

四、結語

總而言之，數形結合思想在高中數學教育中的滲透，將“數”與“形”二者之間的變化、聯系及運動巧妙的進行轉化，將復雜的數學問題直觀化與簡單化，為學生快速、有效的解答數學問題提供了極大便利，同時也促成學生養成多角度思考問題及放射性思維的良好習慣。為此，教師應該靈活的運用數形結合思想，引導學生在學習的過程中不斷領悟并掌握這一重要思想，從而拓展學生的解決思路，提高學生的數學思維及解題能力。

參考文獻

[1]魏寧波.滲透數形結合思想,優化高中數學教學[J].數理化解題研究,2014,(1):23-24.

[2]陳榮輝.滲透數形結合思想,提高高中數學教學效果[J].數學學習與研究,2015,(9):58.

作者:徐鳳 單位:重慶市萬州區龍駒中學