小議教學史融入數學教學方式的國際探討和啟發

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摘要：探討數學史融入教學的模式是近年來HPM研究中的重要問題，研究者在數學教育的整體框架下，綜合考慮數學史與教學要素的關系，建構了許多融入模式，如詮釋學模式、資源聯絡模式、歷史—心理的認識論模式、三面向模式、“為何—如何”模式。這些模式對于我國的HPM本土化建設有多方面的啟示：教師是數學史融入的主體；課程目標是數學史融入的方向；多角度分析是數學史融入的關鍵；數學史資源急待開發；HPM應成為教師教育的重要內容。

關鍵詞：HPM；融入；模式；啟示

1導言

在國際HPM（HistoryandPedadogyofMathematics）成立以前，人們就關注了數學史對數學教育中的積極價值，許多數學家、數學史家和數學教育家都提倡在數學教學中直接地或間接地使用數學史，并從經驗層面描述了數學史走向數學教學的形式和方法。1972年HPM成立以后，數學史助益數學教學的研究成了HPM研究的重要領域，教育取向的數學史研究、基于歷史發生原理的教學法研究以及數學史融入課堂的教學實驗研究都成了熱門話題。2000年以來，數學史融入數學教學一直是歷屆HPM大會的主題之一，研究者不僅僅在經驗層面上描述數學史的融入，更多地在理論層面和理論指導實踐的層面上研究了有關的歷史模塊、課堂設計、教學案例和課堂實驗，研究成果對教學實踐也有了更強的指導性和適用性。

但是，對于數學教師來說，數學史融入數學教學仍然不是一件容易的事情。有啟發的思想并不能幫助教師解決如何構造教學環節的實踐問題[1]。實際上，教學是一個系統工程，要想實現數學史助益數學教學的目的，需要把數學史放在數學教育的整體框架下，綜合考慮數學史與諸多教學要素的關系，恰當地融入而不是簡單的加入。在這樣的背景下，數學史融入教學的模式研究就成了一個特別值得關注的課題。

2數學史融入數學教學的模式

2.1雙循環的詮釋學模式

1994年，德國教授H.N.Jahnke在第18屆PME大會報告中指出：數學是一種文化，回歸源頭能使我們獲得對思想過程的重要認識，更加清晰的理解現在的問題[2]。他認為，融入數學史的重要性不是為了激發學習動機等外在目的，而是把數學發展中同時期的和不同時期的（synchronousanddiachronous）數學文化聯系起來，使數學史成為支持教與學的必要組成部分。同時期的數學文化含有課堂對話和課堂活動的自然情景，不同時期的數學文化則聯系著數學的生長，教師通過對數學假設、理論、特征的理解、詮釋和融入，讓學生在一定的社會文化背景下掌握數學知識的建構意義、思維模式以及發生發展的形式，不僅實現數學認知的發展，同時也是更重要的，實現元數學認識的發展。

在實際教學設計中，教師不僅要考慮數學史，還要考慮其它教學要素，如教學內容、教科書、課程標準、數學理論等?？梢韵蜃约禾岢鲱愃七@樣的問題：有沒有必要引入數學史？和教學內容的內在聯系在哪里？數學史對學生認知的貢獻在哪里？如何表述它們？這些問題需要教師做出自己的詮釋和理解，然后才能進入教學過程。因此，數學史融入是數學教師雙循環詮釋過程的一部分。圖1是修改后的雙循環模型[3]。

在雙循環詮釋學模型中，T–C1–I循環是一般數學教師所經歷的思考過程，當需要數學史融入時，教師必須經歷C2循環。在C2循環中，教師有兩個方面的工作：一是領會古代數學家的解釋，經過詮釋后呈現于教學之中；二是考慮C1和C2間的聯系，避免陷入瑣碎的歷史細節，影響數學知識的教學目標。在C1和C2間的聯系上，教師可以選擇不同的路徑。例如T–C1–I–C2–I–C1–I的路徑是從教科書入手，尋求數學史，然后思考C1和C2間的聯系；T–C2–I–C1–I–C2–I的路徑是從數學史開始，思考融入教學的合適角度，然后尋找C1和C2間的聯系。

詮釋學模式以社會建構主義的知識教學為目標，重視數學的文化意義，關心數學史與數學教學內容的關系，把數學史作為意義學習的支撐，具體給出了數學史融入的途徑和方法，對指導教學實踐具有很好的參考價值。

2.2資源聯絡融入模式

1998年，為了深化HPM實踐，推動相關的學術與教育資源整合，在ICMI（InternationalCommissiononMathematicalInstruction）的支持下以色列的A.Arcavi博士和希臘的C.Tzanakis副教授牽頭編撰了“數學史融入數學教室之方式的解析性綜述”的主題報告，后被收錄在ICMI研究報告中，臺灣師范大學洪萬生教授也是參與者之一[3~4]。該報告提出了一個基于數學史資源的融入模式，如圖2所示。無論是原始文獻、二手材料，還是由歷史啟發表述的教學材料，都是為數學教學活動服務的。數學史融入可以是直接的，也可以是間接的，總的來說表現在3個方面：

（1）引入直接的數學史料。這種形式是正常教學的輔助形式，不直接改變本來的教學，旨在提供歷史資源——單獨的史實或完整的數學史。

（2）歷史啟發的教學。這種形式的認識基礎是學習只有在充分的動機和心智發展的恰當時機下才會進行，教學中重要的不是如何使用理論和概念，而是提供有關“為什么”的解釋和引導。這種模式的教學有4個步驟：①教師掌握有關主題的歷史演進知識；②在此基礎上甄別歷史演進的關鍵步驟，如關鍵的思想、困難和問題等；③改造這些關鍵步驟，使之便于在課堂上使用；④給改造后的步驟配備難度遞增的系列問題。在4個步驟中，教師和學生都要很好地利用原始文獻和二手材料。第②、③步要求教師熟悉數學發展中的困難以及學生理解上的障礙，在歷史的啟發下選擇問題、激發動機，為新知識的學習鋪平道路。在第③步中，數學史融入有兩種方式：顯性的融入按照歷史事件組織教學，通過描述不同時期的數學，顯示數學的演化和發展階段，把學生引導到數學知識的現代形式上來；隱性的融入不必要考慮歷史順序，目標始終放在現代形式的數學理解上，對數學史材料的考察也只要運用現代的概念和邏輯。

（3）培養數學意識。數學意識包括內在的和外在的兩個方面。對于內在的方面，數學史展示并解析了數學活動的重要內容，如概念、動機、問題在數學發展中的角色，數學對象和形式的演變，悖論、矛盾、直覺、猜想、一般化、形式化對數學的作用等。對于外在的方面，數學史能夠澄清人們孤立看待數學的誤解，展現數學與哲學、藝術、社會、文化的關系等。

資源聯絡模式細分了數學史的3類資源，對于指導教師使用數學史材料大有好處，對數學史資源的建設也有指導意義。在如何使用3類資源上，該模式不僅關注數學史對于知識理解的重要性，而且更加強調數學史對于激發動機和優化教學過程的重要性，其中基于歷史的啟發式教學，顯性融入和隱性融入的形式，都是數學教師在教學設計中必須深入思考的問題。另外該模式還關心數學史的文化價值，體現了數學的教育性，很值得借鑒。

2.3歷史—心理的認識論模式

加拿大的L.Radford教授主要從事數學心理學、符號學、認識論和數學史研究，2000年由他牽頭完成的一篇ICMI報告認為，數學史是理解數學思維形成過程的有益資源，一個重要研究領域是學生數學理解的心理過程和數學思維的歷史結構之間的關系[4]。他們主張在認識論的理論框架下理清數學知識的心理過程和歷史過程，從而在方法論意義上指導教學活動的設計。

該模式的認識論基礎是歷史發生原理和心理發展理論。前者揭示了個體發展和知識同化的機制，后者肯定了生物學過程和歷史文化過程對個體掌握科學概念和科學方法的特殊作用。盡管兩個理論有所不同，但是它們都揭示了個體發展和歷史發展的關系，以及在教學上獲得一個清晰的認識論理解的重要性。

在認識論框架指導下，教師要做好3方面的工作：一是研究某一特殊數學知識出現的歷史條件（歷史領域），如當時的認識困難、社會文化觀念、語言特征，數學知識的結構與體系特點，數學思維的歷史由因等；二是分析學生思維的形式（心理領域），如預測認知困難，確定學習的文化起點，探討學習過程等；三是把這些條件改造并融入到課堂活動中（方法領域），如分析歷史情境與課堂情境的異同，選擇適當的教學策略，采用恰當的元水平指導等。

觀點與回應游戲（voicesandechoesgames）是該模式指導下的一個具體的教學方法，已被證實普遍適用于中小學和不同社會文化背景的學生。這種游戲的一般做法是：①從數學史中引入關于某個問題的“觀點”（voice），這個觀點在數學發展史上應有一定認識跨度，通常與直覺相悖，引入的視角和方法應符合歷史文化的傳統；②與歷史人物展開虛擬的對話（echoes），學生用自己的方式發表意見，隨著互動的展開、情境的改變，學生對該問題的認識也在不斷地改變；③獲得觀點認同（resonance），學生運用這種觀點重新審察和表征自己的知識經驗。其中在第二步，教師可以引導學生開展多種多樣的對話，這些對話實際上就是教師對教學過程和課堂活動的設計。

認識論模式立足于個體和人類的認識過程分析，很好地處理了數學的歷史形態和教學形態之間的關系，使數學史成為數學教學的真正的有機成分，對于優化教學過程、提高學習質量是具有科學意義的。

2.4邏輯—歷史—認知三面向的融入模式

2005年，臺北成功高中教師、臺灣師范大學博士蘇意雯在洪萬生教授的指導下，借鑒自我詮釋模式和認識論模式的研究成果，以課堂教學為中心，在行動研究的基礎上，形成了以邏輯、歷史和認知三面向為主要內容的教學模式，如圖4所示[6~8]。

邏輯與歷史及認知三面向模型

該模式強調，融入數學史的目的是幫助教師教數學，在學習單設計中要考慮數學知識的邏輯、歷史和學生認知3個方面，使學習單的內容和形式既能適應學生的認知水平和課程目標，又能提高學習的興趣、增強體驗、發展能力。邏輯方面的考慮包括：課程單元的教學目標，教科書的編排方式，教師手冊中的相關說明；歷史方面的考慮包括：數學家傳記，數學思想的重要發展，著名定理的來源剖析，證明與解題的思維，歷史文本的呈現，科普書籍介紹等；學生認知方面的考慮包括：學生認知發展的研究成果，本單元認知障礙的案例，教師教學中關于學生學習的經驗等。設計學習單的具體過程是：①體會教科書編者、課程標準與教科書內容；②體會古代數學家、數學知識、數學理論之精神；③自我詮釋，考慮學生需求編制學習單；④進行課堂實踐。三面向模式總結、借鑒了前人的研究經驗，把數學知識的邏輯分析、歷史分析和心理分析結合起來，通過學習單的設計和實施，實現數學史的有機融入，對一線教師具有非?，F實的指導價值。該模式還把課堂教學和教師專業發展聯系起來，是一個可持續發展的實踐模式。

2.5“為何—如何”組合模式

2009年，丹麥學者U.T.Jankvist在研究HPM經驗后認為，在教學中使用數學史有必要分清“為何”使用和“如何”使用（WhysandHows）兩類問題[9]?！盀楹巍笔褂檬顷P于價值取向的討論，分為工具策略和目的策略。工具策略是為了支持現實的教與學，如激發動機、維持興趣、表達人文關懷、克服學習困難、提供看待數學的不同觀點等。目的策略主張學習數學史有其自在的目的，要讓學生了解數學發展的一般規律，了解數學發生發展的時間、空間、環境、文化、動力等，這是提高數學素質的重要內容。目的策略主要關注數學的元知識，而工具策略則更加關注數學的內部知識?！叭绾巍笔褂檬顷P于方法取向的討論，分為3種：講述法、模塊法和歷史啟發法。講述法就是在教學中補充一些歷史信息，如介紹基本史實、引入歷史文獻，運用數學史知識設計開場白和結束語等。模塊法就是設計一些與課程密切相關的數學史專題，規?？纱罂尚?，通常以案例的形式呈現，如Katz等人編寫的11個數學史模塊[10]。而歷史啟發法是間接使用數學史的方法，比如經常提到的發生教學法。策略和方法都是為教學目標服務的，不同的策略可以選取不同的方法。圖5顯示了兩種策略和3種方法之間可能的6種組合?！盀楹巍绾巍苯M合模型

在具體的教學設計中，教師要深入思考“為何”與“如何”之間的關系，重點是以下兩點：①針對既定的教學內容和教學條件，弄清楚為什么使用數學史；②根據策略要求選擇合適的方法。例如在工具策略下，為了激發動機和情感可以選擇講述法，為了發展數學認知，在時間、條件允許的情況下可以選擇模塊法，為了理解數學演化，可以選擇歷史啟發法；如果是目的策略，那么最好的選擇應是模塊法，因為模塊能深化數學的元認識。

“為何—如何”模式鮮明地提出了數學史融入的價值和方法這兩個基本的問題，具體分析了融入的策略和方法以及兩者之間的關系，在綜合考慮教學目標和學生水平的基礎上，提供了6種可能的融入途徑，對于搞好教學設計、全面發揮數學史的教學功能具有非?，F實的指導意義。另外，該模式關于工具策略和目的策略的討論，對于數學史資源的開發很有啟發，關于“為何”和“如何”的論述，也為教學評價提供了依據，這是Jankvist沒有意識到的。

3啟示

綜上可知，數學史融入數學教學的國際研究已經相當廣泛和深入，各種融入模式對我們開展HPM實踐都有很好的、甚至是直接的參考和借鑒價值。就HPM的本土化建設而言，這些模式給我們以下啟示：

（1）教師是數學史融入的主體。數學史融入的過程是數學史從歷史形態走向教學形態的過程，實際上也是教師詮釋、加工、再創造數學史的過程。要想真正實現數學史助益數學教學的目的，教師必須充分認識數學史的教育價值，準確理解數學史的知識意義和方法意義，合理地選擇適應學生學習需要的歷史材料和使用方法。因此，教師既是融入的認識主體，也是融入的實踐主體，教師的主體地位和作用是一切HPM研究和實踐必須充分注意的。

（2）課程目標是數學史融入的方向。在教學中融入數學史，不是為了讓學生掌握數學史，而是為了實現課程目標（包括提高學生數學修養的目標）。數學史的角色是輔助和支持，無論直接使用還是間接使用，都要服務于課程目標，切不可喧賓奪主、本末倒置。因此，教學史融入的實踐和研究要緊密聯系數學課程，抽象地、學究式地討論數學史融入，不僅沒有現實意義，也容易使融入迷失方向。

（3）多角度分析是數學史融入的關鍵。數學教學是一個復雜的系統，任何一個教學要素都可能影響教學效果。在教學中融入數學史，不僅要考慮數學史資源的內部關系，還要考慮數學史與課程要求、教科書、學生的認知結構等要素的關系以及融入的價值取向和使用方法。只有多角度分析數學史的教學意義，提高教學設計和課堂活動的效益，才能真正實現數學史融入的教學價值。

（4）數學史資源急待開發。便于教學使用的數學史資源是HPM實踐的基礎，但無論是國外還是國內，都顯示出這類資源的匱乏，這似乎已成為數學史融入的共同瓶頸。數學教師不可能做“無米之炊”，而依靠教師來開發這些資源又有很大的局限性。所以，當務之急是數學史家、數學教育家、HPM研究者和數學教師主動聯合起來，共同努力，盡快開發出適合我國國情的數學史資源庫。當然，作為權宜之計，也可以首先組織翻譯一些較好的國外資料。

（5）HPM應成為教師教育的重要內容。數學史融入不僅是助益教學的方法，也是很有特色的教學模式，同時還是數學教師專業發展的一個途徑，HPM理應成為數學教師教育的重要內容。我們的教師教育不太重視數學史，教師的職后培訓更是缺少數學史，導致了教師的數學史素養偏低，普遍缺少應用數學史的自覺意識。因此，有必要在教師教育或職后培訓中，加強數學史教育，推廣HPM的研究成果，開展基于數學史的教學研究，以此促進教師的數學素養和教學能力的進一步提高。