談論數學評分的問題與策略探究

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摘要：傳統的數學解答題的評分，對解題者的數學素養和創造性不能全面評價數學解題過程由問題信息、問題空間、策略方法、推理運算和評價反思所構成，解答題的評分不應以預先設定的步驟為標準，應從問題空間、方法策略和推理運算幾方面有側重給予評價，給出分值，并對有創新意義的解法給予加分，以適應數學教育改革的需要。

關鍵詞：數學問題；評分；節點；問題空間

數學解答題評分的合理性和科學性是數學教育的重要問題，很大程度上決定著數學教學的內容和方式長期以來，相對于數學課程的理念、內容、學習方式和教學方式的改革，作為數學學習評價主要形式的數學測試的評分方式卻沒有實質性的改變。

1“節點”理論

傳統的解答題評分以“步驟”給分文[1]從“不同的評分者在主觀題的評閱中也能評出相同的分數”這樣的目的出發，提出了“節點”理論，認為一個數學問題在從初始狀態到達目標狀態的變換過程中，有些子目標是必經之點，稱為“節點”評分者應根據預先確定的“節點”和相應的分值進行評分。

這在一定程度上減少了評分的主觀性和隨意性，特別是對于類似“解方程”這樣形式化的數學題，是比較合理的但是，隨著數學教育的改革發展，數學題型的拓寬，這種程式化的評分，并不能對被試者數學思維的靈活性與創造性做出正確的評價。

首先，所謂“節點”和相應的分值是命題者或評閱者預設的前提是，解決該問題必須經過這些“節點”但事實上，解題途徑往往是多樣的，如果解題者實施了另外的解決途徑，繞過了預設的“節點”或根本不經過“節點”，這種評分標準就失去了意義其次，如果把解決一個數學問題作為完成一項任務，其完成情況是有層次性的：不能完成、錯誤完成、部分完成、完成、創造性完成目前的這種“節點”式評分，可以對前4個層次的解題情況做出定量的評價，但沒有對創造性解決問題給予足夠的評價。

仍以文[1]的例題“甲、乙二人騎自行車從相距44km的兩地相向而行，2h后相遇每走1km甲比乙多用1min，求甲、乙二人的速度”為例，若解題者采用下面的解答：設甲2h走了xkm，則乙走同樣xkm用了(120−x)min，乙的速度為xx120−于是2441202+=−xxx，解得x=20所以甲速度為10km/h，乙速度為12km/h或者，解題者估計甲2h走了20km，則乙100min走了20km，剩余20分鐘恰走了4km所以甲速度為10km/h，乙速度為12km/h前者可以對每一步給出一定的分值，后者是否不給分或扣分？還是滿分或應該加分？

2解題實質

傳統意義上的解題，比較注重結果，強調答案的確定性，偏愛形式化的題目而現代意義上的“問題解決”，則更注重解決問題的過程、策略以及思維的方法[2]對解決數學問題的心理過程研究表明，解決數學問題由“問題信息—問題空間—策略方法—解決問題—評價反思”構成能夠反映解題者解題質量的，是“問題空間、策略方法、推理運算”這3個相互聯系、相互影響的要素。

2.1問題空間

問題空間主要表現為解題者對問題的重新描述和在頭腦中的內部表征問題解決者的認知結構影響著問題空間的構成對同一問題而言，不同的問題解決者形成不同的問題空間，而不同的問題空間，決定著如何選擇解決問題的知識和策略[3]解題者對問題空間的表述有3個層次：錯誤、正確、創新

顯然，錯誤的問題空間，必將導致解題錯誤；正確的問題空間，如果知識策略選擇錯誤或不合理，將導致解題過程復雜或不能完成解題；正確而具有創新意義的問題空間，將使問題解決順暢和簡潔一個典型的問題是“哥尼斯堡七橋問題”，歐拉正是創造性地將問題表征為“一筆畫”，使問題得以簡明地解決。

2.2策略方法

數學解題的策略方法是為了實現解題目標而采取的方針和途徑，數學具有生動活潑的策略思想和方法技巧[4]具體來說，當解題者形成了正確的問題空間后，他是選擇代數方法還是幾何方法，利用函數還是利用不等式，分類討論還是整體證明，等等同樣，策略方法的選擇也有“不當、正確、創新”3個層次如對于“若不等式0≤x2+px+5≤1恰好有一個實數值為解，求實數p的值”如果把問題表征為不等式的解是單元素集合而選擇“一元二次不等式組的解法”，問題的解決第3期湯慧龍：數學解答題評分的不足與對策研究77就變得復雜如果把問題表征為二次函數的值域而選擇利用二次函數“y=x2+px+5”的圖像，問題的解決就容易得多了。

2.3推理運算

完成一個數學問題的解答，需要表示為一系列的推理和運算推理和運算的每一個環節，仍然表現為“錯誤、正確、巧妙”3個層次，體現了解題者的數學基本功。

3評分和建議

目前的“步驟”或“節點”評分方法的一個很大問題，是對同樣得出答案但具有不同思路、不同方法和不同運算的解題不加區分，給予同一個分數，這不符合數學教育的改革和發展我們提倡自主學習、研究性學習，提倡發揮學生的個性和創造性，應該體現在數學測試的評分之中根據對解題過程的分析，我們認為數學解答題的評分可作以下改革。

3.1要素

按照“問題空間、策略方法、推理運算”這3個要素進行評價也就是說，對解題者提供的整個解題過程，不是以“節點”的對錯進行評價，而是對問題空間、策略方法、推理運算這3個要素，分別評價其正確與否，以及是否具有創新意義。

3.2分值

根據解題者的解題情況，可以對問題空間、策略方法、推理運算3個方面賦予一定的分值因為不同的數學問題考查的側重點不同，各個要素的分值應隨著問題的不同而不同同時，特別需要指出的是，傳統的評分標準中，一個解答題的分值是一個定值，即無論用什么方法，只要步驟和答案正確，分值是一樣的，即所謂的滿分我們認為，對一個解答題只能規定一個基本分，對于有創新意義的、比較簡明的解法應該給予適當的加分例如“二次函數y=ax2+bx+c的圖像過點(3,1)，且它的頂點是(2,3)，求a,b,c的值”解法1：由344229312=−−=++=aacbababc，解得a=−2,b=8,c=−5解法2：設y=a(x−2)2+3，則a+3=1,a=−2，所以y=−2x2+8x−5，即a=−2,b=8,c=−5顯然，這兩種解法所反映的數學素養是有區別的，其分值也不應該相同。

3.3命題

前面說過，不同的數學問題所表現的問題空間、策略方法和推理運算的重要性是不同的，有的突出問題空間的描述，有的突出策略方法的選擇，而有的突出推理和運算為了考查解題者對問題的理解——問題空間的形成，數學試題的命題形式也應有所改革我們不妨借鑒英國中學的“數學大型作業評價”，給出問題情境后提出“你是怎樣理解問題的？把你的思路清楚地寫下來，好讓別人明白你做了些什么？”等類似的問題。

4結束語

數學解答題的評分還有許多細節問題需要研究，但傳統的評分方式不適應數學教育改革的發展科學合理的評分方式，應有利于評價學生的數學素質，發揮學生數學學習的自主性和創造性，是數學教育改革的重要推動力。

參考文獻

[1]杜文久數學測驗中主觀題的評分問題[J]數學教育學報，2006，15（3）：87−88

[2]何小亞解決數學問題的心理過程分析[J]數學教育學報，2004，13（3）：34−36

[3]湯慧龍關于數學問題空間的研究[J]數學教育學報，2009，18（2）：23−24

[4]羅增儒，羅新兵作為數學教育任務的數學解題[J]數學教育學報，2005，14（1）：12−15

[5]唐瑞芬，李士锜數學教育評價研究[M]上海：上海教育出版社，1996