培養數學直覺的試驗

導語：培養數學直覺的試驗一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：本文從直覺思維談起，分析了直覺思維的特點以及數學直覺思維的幾種存在形式，同時談到了直覺思維在數學學習中的重要意義，并從實踐的教學經驗分析了如何在數學教學中培養學生的直覺思維，以達到更好的學習效果，同時增強學生的數學思維能力和各方面的品質。

關鍵詞：數學教育、直覺思維

數學教學的首要任務是開發學生的智力，培養學生的能力，特別是要培養學生具有一定的數學思維能力。數學思維的能力是多方面的，其中最重要的是創造性思維能力的培養，而直覺思維又是創造性思維乃至數學思維里面的一個重要內容，所以需要我們給予適當的重視。

直覺思維通常是指人腦對客觀世界及其相互關系的一種非直接的認識、分辨或猜想的心理狀態，是一種間接的心理反應（張俊、羅馥，2002）。直覺作為一種很普遍的心理現象存在于人們的日常生活、學習和研究之中。很多人都承認直覺的存在，但是由于目前我們對于直覺的認識還非常有限，所以我們還只能從直覺思維的一些表現特點上來認識它。

直覺思維概括起來有以下幾個特點：第一，直覺思維具有直接性。這里的“直接”是指在沒有經過詳細分析和推理下，直接獲得的結果。某些時候直覺似乎沒有表現出連貫的邏輯，而是表現出中斷的邏輯，然而在斷裂的背后卻是理性思維的“凝煉”。第二，直覺思維具有迅速性。直覺出現的速度是非常快的，多數時候都是一閃而過，這種瞬間的辨別和判斷是憑借大腦中積累的大量知識和經驗發生作用，所產生的一種結果。（王秀泉，2001）第三，直覺過程似乎是無須努力而自己完成的。直覺的過程往往具有很強的個體性，而且很難用言語清楚地表達出來，因而也很難被他人理解和研究。

在數學里面，直覺思維是人腦對數學現象及其結構關系的一種迅速的判斷與敏銳的想象，其思維的主體是根據已有的知識和經驗，對數學對象及其規律性關系的迅速的識別、直接的理解、綜合的判斷與想象的過程。與分析思維相比較，直覺思維很少會有清晰的和確定的步驟，它更傾向于通過對整體問題的理解為基礎進行思維，隨后通過聯想、猜想等直覺的判斷方法先獲得問題的答案或者進行求解的過程。這無疑會激發人們對已有的答案用分析的手段進行歸納和演繹，從而對所得到的結論加以檢驗。歷史上的數學家無一不肯定“邏輯是證明的工具，而直覺是創造的工具”這一偉大想法。

談到數學直覺思維的基本形式，大體上有這樣幾種：第一，直覺觀念。我們在研究某一數學問題時，即使沒有紙和筆，腦子里也會構思起生動直觀的模型或形象，表現為圖形、文字、符號等。這種以數學模型、空間圖形作為想象載體進行直覺思維的形式，我們稱其為直覺觀念。第二，直覺推理。直覺觀念開始建立時只是簡單的、單個的，而不足以對一個數學問題進行思維，多個直覺觀念按照一定的秩序聯接、變換之后就會形成一定的結構，從而可以逐步接近要認識的對象。這一過程不同于邏輯思維的進行方式，它是由想象力牽引著前進同時又起著與邏輯推理類似的作用，因此我們通常把由想象聯接直覺觀念的運動過程稱為直覺推理。第三，直覺判斷。直覺判斷是人腦對于客觀存在的實體、現象、符號及其表征的相互關系的一種迅速的識別或直接的理解。數學直覺判斷常常在學習和研究過程中表現出來。例如，題目剛一出現，老師還沒有解釋完畢，學生就說懂了，就是因為結論已被直覺地判斷出來。非歐氏幾何的誕生正是羅巴切夫斯基和黎曼具有這種整體的直覺判斷能力的偉大成果。第四，直覺啟發。數學家沉思于某一問題，還沒有在頭腦中搜索到固有的模式，而在某種外部信息的刺激下，由于聯想而使問題豁然貫通，稱之為直覺啟發，也就是我們常說的“靈感”。數學直覺思維中的直覺觀念、推理、判斷和靈感是難以截然分開的，它們常常結合于一個統一的思維過程中。

直覺思維的培養對全面提高學生思維能力，特別是創造性思維發展有重大的推動作用。隨著教育觀念的不斷深化，作為創造性思維的重要組成部分，直覺思維越來越被人們所注重。直覺思維是人類基本的思維形式之一，它是對于一些現象或事物，在未經過嚴密的邏輯程序之前，直接地認識到其內在本質或規律的思維活動。數學直覺是對數學對象內在的和諧與關系的直接洞察或頓悟，是一種敏銳的想象和迅速的判斷，是突發性的也是科學的。數學中的發現往往在最開始是直覺性的而非邏輯性的，例如牛頓發現萬有引力，法拉第發現磁力線與磁場等等。同樣，直覺在數學領域中也有廣泛的應用，怎樣才能有效地培養，發展學生的數學直覺呢？我們雖然尚未完全明白直覺的心理和生理機制，只是從外部特征上有一些描繪性的認識，但我們并不能因此而放棄對學生直覺思維的培養。在教學工作中，我們應引導學生掌握這種天賦。直覺是人憑借自身的經驗和信息而產生的一種心智活動，它不像邏輯思維那樣有完善的架構和模式，因此直覺的培養更需要創設情景、及時把握時機進行啟發和誘導。在日常教學活動中，我們可適當改變純演繹的教學方式加以引導。結合自己的教學實踐，我想談談對這個問題的認識和做法。

一、打好基礎、優化思維、培養意志

雖然數學直覺的產生具有突發性和不可預期性，但實踐表明具有良好直覺思維的人一定是具備一定數學素養的人，在努力探索數學問題的過程中，突然爆發出來的如同閃電那樣的靈感會瞬間出現在他的腦海中，于是疑團一下子被解開了。同時，數學直覺的漲力是可以在學習數學的過程中逐步成長起來的，其中特別重要的一環是：在學習數學的過程中要當達到“真懂”或“徹悟”的境界。由此可見，具有堅實的數學基礎知識、富于探索精神和渴望解決問題的頑強意志，是產生數學直覺的必要條件。所以，在平時的數學教學中應該善于啟發學生認識和理解所學的知識，并能熟練地掌握數學的基本方法和基本技能，通過培養學生的發散性思維能力，優化學生的數學思維品質，讓學生對所學的知識達到“真懂”的地步。

二、依據直覺特征、設計數學情境、培養數學直覺。

數學直覺是一種不包括普通邏輯推理過程的直接悟性，所以它的思維方式是有其特別之處的。只要我們根據它的特點，并且結合數學學習的實際來對學生進行有意識的訓練，同時做到堅持不懈，那么學生的數學直覺一定會被逐步培養起來。培養直覺思維，我們還要從數學的發現過程入手證明問題?，F行的數學教材都是經過邏輯加工好的數學形式，定理的證明以及公式的推導一般都是按照編排好的邏輯演繹方式進行講授。其實，數學知識與其它人類知識一樣，它們的發現也是經過反復的猜測和論證才獲得的。在證明問題前，老師如果能先將數學結論獲得前的推測簡要地重現給學生，或者將自己對結論的猜測告訴學生，又或者創設情景讓學生去猜測、提出疑問等引導學生探索“發現”結論將有助于開啟學生的數學直覺。如此通過引導學生探索、大膽地去猜測、不斷提出疑問而最終發現結論，這一過程將有助于培養學生的創造性思維能力。

1、根據直覺思維考察問題，還要重視各個元素之間的聯系以及系統的整體結構，從整體上把握研究的內容和方向并選取數學問題供學生訓練，同時引導學生利用已有的知識去猜想、發現、最后論證。

例一、橢圓的焦點F1、F2，點P是橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍。

分析：點P在橢圓上運動、要使利用直覺，首先想到當時，點P的位置哪里呢？又根據平面幾何知識可知點P又在以F1F2為直徑的圓周上，所以當時，點P為圓和橢圓的交點，由對稱性有。

2、鼓勵學生大膽猜想，使學生學會猜想。

獲得直覺的過程須經歷一個認識的過程，然后逐步提高深化發生“頓悟”，進而產生直覺。對某類事物的部分對象進行考查，從中尋找可能存在的規律，將這種認識加以推廣形成一般性的結論，即對這類事物的某種猜測。不論這個結論正確與否，我們對這類事物的認識都前進了一步，許多重要的數學結論，如勾股定理、二項展開式、楊輝三角形和歐拉公式等都是在觀察和實驗的基礎上，通過猜想得到的。因此，猜想在培養直覺思維方面功不可沒。想象是根據頭腦里已有的表象，經過思維加工、改造，從而形成新形象的心理過程，想象無拘無束，易于產生創造性的突破。獲得直覺更大程度上依賴于想象，而相同的數學結構特征往往孕育著相同的數學本質特征。由條件或結論的外表形象與結構特征,想到熟知的定義、定理、公式和圖形，從而直覺解題的途徑。

數學猜想是根據已知數學條件和數學原理對未知量及其關系的推斷，是一種探索性思維，它與數學直覺有密切關系。牛頓認為：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。波利亞說：“先猜后證——這是大多數的發現之道”；“預見結論，途徑便可以有的放矢”。所以，加強數學猜想的訓練對提高學生的直覺思維能力是十分有益的。因此，在給學生分析實際數學問題時，老師不妨向學生剖析自己的解題心理，曾經對問題所作的猜測，以此開啟學生的思路，引導學生憑敏銳的直覺、深刻的洞察力進行大膽猜測。

例二在等差數列{an}中若a10=0，則a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n成立（n∈N,n<19），類比上述性質，相應地在等比數列{bn}中，若b9=1，則有_____________。

分析：利用直覺，注意到在等差數列中“和差”，在等比數列是“積商”。所以猜想所求等式為b1?b2?…?bn=b1?b2?…?bx，如何確定x呢？由a10=a1+9d=0，10+9=19，b9=b1?q8=1，9+8=17，所以x=17–n。

所以所求等式為b1?b2?…bn=b1?b2?…b17–n(n∈N,n<17)。

3、由于數學直覺的產生是自發的，是想象出來的瞬間推斷，所以豐富學生的想象、擴展學生的視野同時開拓他們的思維空間也是相當重要的一環。同時還要做到聯系實際生活、實際生產以及聯系數學在其他領域中的各種應用，這樣才能在關鍵的時候有靈感的閃現。

例三，從地面以6m/秒的初速度將物體豎直上拋、物體掉四地面碰撞后速度變為原來的反彈，求該物體運動的總路程（不計空氣阻力）

分析：由物理知識有

4、正確處理數學直覺與邏輯思維的關系。

直覺思維與邏輯思維兩者之間是相輔相成的關系，如前所述，沒有堅實的數學理論和數學基礎知識，數學的直覺是不可能憑空產生的。但是，如果僅有嚴格的邏輯思維而沒有直覺思維的能力，在實際研究問題時，尤其是遇到新的知識時，就會缺乏預見的能力從而缺乏開拓性和創新性，也就難有新的發現或創造產生。但是，由直覺獲得的東西有時是真的，有時卻是假的，不可能獲得百分之百的保證。所以，凡是直覺獲得的真實結論最終是可以用邏輯推理的方法進行證明的，而非真實的結論則會得到證偽。因此，我們在注意培養學生數學直覺能力的同時，還應該重視邏輯思維的訓練。既要教給學生如何猜想，又要教會學生怎樣證明，只有這樣才能得出科學的結論。

例四，已知異面直線a、b所成的角為50°，P為空間一點，則過點P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有（）

A．1條；B．2條；C．3條；D．4條

分析：由異面直線所成角的概念。經過平移變換如圖。利用直覺、猜想答案是選B，為什么呢？由直觀與想象過點P的直線L與直線a’，b’的夾角發生變化，則L與平面α，則射影PO是a’，b’夾角的平分線，即∠OPE=25°。

如圖：由余弦積定理得cos∠MPE=cos∠MPO?cos25°，因為∠MPO是過點P的直線L與平面α所成的角，由0<cos∠MPO<1，∴cos∠MPE<cos25°，∴∠MPE>cos25°，由此得出過點P引直線L與a’、b’成等角，則該角應大于a’、b’所夾角的一半。若設L與直線a、b所成的角都是θ，則：

當θ=25°時有且僅有1條。

當θ∈（25°，65°）時有且僅有2條。

當θ=65°時有且僅有3條。

當θ∈（65°，90°）時有且僅有4條。