對數學建模的認識與總結范文

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關鍵詞： 數學實驗 提出問題與解決問題能力 數學建模能力 自學能力 整體分析能力

同志曾說：“創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭的動力源泉，一個沒有創新精神的民族，是很難立于世界民族之林的?！薄斑M行教育創新，根本目的是要推進素質教育，全面提高教育質量。”隨著市場經濟體制的日益完善，經濟社會對人才的需求也不斷地擴大，與此同時，各用人單位對人才的要求也越來越高，其中拔尖創新型人才已經成為當下社會對人才需求的大趨勢。因此，現代大學教學就不能僅僅停留在知識的傳授上，更要注重學生各種能力的培養，尤其是創新能力的培養。

我國實施素質教育以來，如何有效培養和提高當代大學生的創新能力，已成為人們需要深入研究的重大課題。大學生創新能力培養的途徑多種多樣，通過參與集體活動的組織、進行社會實踐，以及畢業實習等都能夠在一定程度上促進大學生創新能力的培養。但僅靠這些措施還是遠遠不夠的，因為大學生的主體活動都是在教室里上課學習，因此以課堂教學為平臺來培養創新能力是當代大學生創新能力培養中不可忽視的重要手段。數學類課程作為高等教育中的重要基礎課程之一，是許多專業課的先修課程，故《微積分》、《線性代數》、《概率統計》等數學課程作為公共必修課在經管類高校中得以普遍開設。但是由于數學課程本身的性質，使得人們一談起“數學”，總是與“枯燥無味”、“難學難懂”等詞語聯系起來。很少有人能把“數學”與創新能力的培養聯系起來。

數學實驗這一新興的課程，通過運用數學理論和計算機技術來解決實際問題的過程，能夠打破大學生對數學課程的傳統認識。同時，在與計算機緊密聯系在一起的數學實驗課程的學習過程中，大學生的創新能力也得到了培養和提高。數學實驗作為一門實踐性課程，在引導學生通過獨立思考對實際問題形成整體認識、自主提出問題，并對實際問題進行數學建模，最終利用先進的計算機軟件來求解數學模型并解釋實際問題等方面潛移默化地培養了大學生的創新能力。

實際上，拔尖創新人才的綜合能力體現在很多方面，比如語文中作文命題的創新、工程中建筑風格的創新，等等。就數學實驗能夠培養的創新能力而言，主要包括提出問題與解決問題的能力、數學建模能力、自學能力，以及整體分析能力。本文就這四個方面對數學實驗對培養拔尖創新人才的作用進行如下分析和總結。

一、勤于思考與敢于實踐——提出問題與解決問題能力的培養

數學作為人類科學中最古老的一支，從它產生之初就扮演著培養人類提出問題與解決問題能力的重要角色。幾千年后的今天，數學在培養人類創新能力方面的重要性更是不言而喻，甚至有“高新技術本質上是一種數學技術”的觀點[1]。如今，計算機的普及為運用數學知識來解決實際問題提供了極大的便利。這種情況下，數學實驗課程應運而生。

提出問題是培養學生創新能力的重要途徑之一?？鬃釉唬骸皩W而不思則罔?！边@就是鼓勵學生在學習的過程中要不斷思考，并提出問題。愛因斯坦也曾經有過“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”的至理名言。這些都足以說明在學習過程中提出問題的重要性。在數學實驗課程的講授中，可以列出一些日常生活中很常見的問題和現象，而這些現象都能夠用數學知識來解釋。比如雖然地面坑洼不平，但是我們總是可以通過調整椅子的位置和方向，把四條腿的椅子很平穩地放好。學完后，學生們會很驚奇地發現這一日?，F象竟然是用他們學過的《微積分中》的零點定理來解釋的。類似例子的學習可以激發學生學習數學的興趣，更主要的是可以讓他們養成一種思維習慣：在遇到實際問題時，去思考其中哪些現象和問題可以用數學知識來解釋或解決；在學習理論知識的時候，去思考這個定理或方法可以解釋或解決哪些實際問題。不斷引導學生提出類似的問題，久而久之，學生就能夠自己發現問題、提出問題。

然而所謂創新，是指提出別人沒有提出過的想法，并且有效地加以實現或解決。因此，提出問題固然很重要，但對培養學生創新能力還是不夠的，還要鼓勵學生用自己的所學、所知來解決所提出的問題。

在數學實驗課的教學中，老師可以通過開展課堂討論等活動，引導鼓勵學生對這些自己提出的問題加以解釋或解決。實際上，同一問題往往存在多種不同的解決方法，方法不同，結果或結論也可能存在差異。如何提出不同于他人的更有效的新方法，無疑成為了學生的學習目的之一。另外，雖然學生運用的是前人已經使用過的舊方法，但是只要是獨立思考并獨立完成的，對學生而言，每解決一個問題都是一次知識上的“自我創新”，這對培養學生的創新能力是不可或缺的鍛煉方式。

創新是社會發展的動力，也是社會進步和經濟發展的關鍵[2]。提出問題與解決問題是創新能力培養的源泉之一。學生畢業走向工作崗位后，如果不善勤于思考，缺乏用新方法解決問題的能力，而總是因循守舊，只會“本本分分”地完成上級交代的任務，就很難在這個競爭激烈的社會中取得優勢。從這個角度上看，數學實驗對培養學生提出問題與解決問題的創新能力就顯得格外重要。

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關鍵詞： 自主學習 高三數學復習 綜合解題能力

自主學習是指學生充分發揮主觀能動性而進行的創新學習,學習過程不斷呈現自主、主動、創新相互依存的三個層次。高考數學既考查中學數學的基礎知識和方法，更考查學生進入高等學校繼續學習所必需的基本能力。因此高三數學復習中綜合解題能力、應用意識和創新意識的培養既是高考數學的需要，又是培養目標的要求。而對于能力和意識的培養，課堂教學只能起指引作用，更多的應該讓學生在自主學習中“感悟”“領會”。通過自我總結、歸類，學生的綜合能力就會在不斷自我“反省”中得到培養和提高。

一、在基礎知識的復習中強化自主意識，注重基本技能的培養。

著名認知心理學家哈塔羅列舉知識獲得的五個特征時指出：知識是通過主體的積極建構而獲得，而不僅僅是通過傳遞來實現的。他強調了知識不能由教師傳遞，而要靠由學習者自己建構，強調了學生獲取知識的主體性。因此，高三數學一輪復習應以學生發展為本，力求通過各種不同形式的自主學習和探究活動，提高學生對數學知識的整合能力，達到知識間的融會貫通，為知識的綜合運用打下堅實的基礎。例如“函數”是高中數學中起聯接和支撐作用的主干知識，也是進一步學習高等數學的基礎。其知識、觀點、思想和方法貫穿于高中代數的全過程，同時也應用于幾何問題的解決。當問到學生類似于“函數主要有哪些內容？”等問題時，學生的回答大多是一些零散的數學名詞或局部的細節，這說明學生對函數知識還缺乏整體把握。所以復習的首要任務是立足教材，將高中所學的函數知識進行系統梳理，用簡明的圖表形式把基礎知識進行有機的串聯，以便找出自己的缺漏，明確復習的重點，合理安排復習計劃。當然，在這個過程中也發現，如果同學們梳理知識的過程過于被動、機械，只是將課本或是參考書中的內容抄在本子上，缺少了自己的認識與理解，將知識與方法割裂開來，則整理的東西成了空中樓閣，自然沒什么用。這時，需要指導學生自主地將每一個內容細化，問問自己復習這個內容時需要解決好哪些問題，以此為載體提煉與總結基本方法。由于高考強調在知識網絡的交匯點處命題，即增強綜合性，考查單一知識點和方法的試題一般不會出現。因此，全面、系統地掌握基礎知識和基本方法，構建數學知識網絡非常重要。俄國教育家烏申斯基有句名言：“智慧不是別的，而是組織得好的知識體系?！彼詮土暤闹埸c應放在建構完整的“知識網絡”上，“以不變應萬變”，從而突破弱點、培養能力。

二、在課后糾錯中強化自主歸類，提升綜合解題能力。

學習就是不斷地化歸轉化，不斷地繼承和發展更新舊知識。學習數學必須做題，做題一定要獨立而精細，只有具備良好的反思能力，才談得上精做。做題后，一定要認真反思，仔細分析，通過做幾道相關的變式題掌握一類題的解法，從中總結出一些解題技巧，更重要的是掌握解題的思維方式，內化為自己的能力，并總結出對問題的規律性認識和找出自己存在的問題，對做題中出現的問題，注意總結，及時解決，重點一定要放在培養自己的分析問題和解決問題的能力上。指導學生自我反思，反思一題多解，領會發散思想。通過多種解法的展開、比較、反思，能促進知識遷移，并達到舉一反三、觸類旁通的效果。能提高學生思維的深刻性和廣闊性，使各種層次的學生對該學科的思想方法都有不同程度的領悟，從而提高高三學生的復習效率和運用知識的能力。反思一題多變，培養學生探究能力?！耙活}多變”是從多角度、全方位對例題進行變化，引出一系列與本例題相關的題目，形成多變導向，使學生的思維變得活躍、發散，達到一題多練的效果，還能將形似神不似的題目并列在一起比較，，還能培養學生條件轉換、設問置疑、探究因果、主動參與、積極思考的好習慣，也能避免學生盲目做大量的練習而效果差的現象，減輕學生的課業負擔。反思多題歸一，感悟學科模型建立的重要性。在高三第一輪復習中，因為學生掌握了整個高中數學的基本知識結構、基本技能及基本的解題方法，所以在對問題的解決中往往會從多個角度加以思考，呈現思維的發散性，放開無法收攏理順現象。為引導思維的收斂，在復習時，要將很多例題有目的地串聯起來，編成一組，引導學生進行觀察，引導學生對多題一解進行反思，可提高學生的化歸能力，使零碎的知識成為一個有機的整體，體會解題的通則通法在解題中的作用，培養學生觀察問題的敏感性和思維的系統性，感悟學科模型建立的重要性，大大增強解題策略的選擇與判斷能力。

三、在知識應用中強化情境意識，注重自主數學建模，提升學生應用能力。

《數學課程標準》指出：教師應該充分利用學生已有的生活經驗，引導學生把所學的數學知識應用到現實中去，以體會數學在現實生活中的應用價值。教師應根據學生的認知規律，從他們的生活實際出發，在數學與生活之間架起橋梁。數學知識生活化是現代數學教學的改革方向。

應用題教學涉及數學教學的方方面面，要提高應用題的答題水平，必須全面提高學生數學素養。在平時的教學過程中，要求學生做到以下幾點：一是認真對待，不能隨意放棄。帶著自信，冷靜地讀題目是對學生心理素質的一種考驗，要求每一個學生都樹立起學習的信心，提高心理承受能力，保持冷靜。二是思想上重視計算。許多學生只注重列式不注重運算，對復雜的算式缺乏信心，對簡單的算式粗心馬虎。原因在于思想不重視，平時沒有養成良好的運算習慣。為此，教師要加強教育，讓學生知道運算失誤所造成的對學習成績的消極影響。三是算法要精心研究。在運算過程中使用的概念、公式和法則要準確無誤，這是保證運算準確的基本條件。因此，平時的作業、練習、測驗等都必須要求學生自主認真檢查、總結、訂正，提高運算的正確率。另外，學生運算要熟練且合乎算理，運算過程中的每一步都要有依據?；蚋鶕拍?，或根據公式，或根據法則，要養成思維嚴謹的好習慣。通過數學建模教學實踐，讓學生掌握數學建模的方法，了解數學知識的發展過程，從而發展數學創造能力，為高考和將來的工作打下堅實的基礎。

四、在綜合訓練中強化知識塊之間的聯系，培養學生自主探究的能力。

目前，強調各知識塊之間的整合與互補，已逐漸成為高考命題的新思路。要按照《高考說明》中的考試內容，研究高考試卷在知識的聯結點上設計問題的方法，將各知識點融合到一起，在考查某個主知識點的同時，回顧鞏固與之相關的其他知識點。在學生自主學習時，指導學生從不同側面整合知識。如：按主題的整合。比如：圖像交換，涉及初中二次函數中的平移、高中函數的奇偶性、軸對稱和中心對稱、三角中的伸縮變換、解析幾何中圖像的移動等諸多內容。這就需要把它們整合起來，研究它們的共通性，并拓展到各類函數的圖像、方程和曲線中去；再如：以問題為中心的跨模塊聯通。比如研究函數的最值，就要涉及代數、平面三角與幾何的有關知識，研究產生最值的背景，又要將它與代數、三角、平面幾何、立體幾何及解析幾何放在一起融會貫通；又如：各知識塊之間的交匯與融合。比如函數、數列、不等式，它們是有獨立意義的三塊，但綜合復習時要把它們作為一個整體來學：研究函數時以不等式為工具，討論不等式時運用函數的性質，數列可以從離散的角度刻畫函數，也可視為特殊函數，從而使三者構成自然聯系。

五、注重數學思想的自我領悟，提升學生實際解決問題的能力。

第一輪復習一定要透徹理解最基本的數學定義，熟記公式、定理并會運用于解題實踐。如解析幾何的基本思想――用代數方法（方程）研究圖形（直線、圓錐曲線）的幾何性質，立體幾何的基本思想方法之一是化空間問題為平面問題，因而在求角（異面直線所成角、線面角、二面角）、距離（點線、線面、二面角）時，?；瘹w到三角形中，有時要把某個平面從立體圖形中分離出來，這些基本思想同時也為解題提供了具體可操作的方法，復習時要引導學生及時總結，領悟到數學思想方法是數學的精髓，對此進行歸納、領會、應用，才能把數學知識與技能轉化為分析問題、解決問題的能力，使自己的解題能力和數學素質更上一個層次，成為“出色的解題者”。

只有具有自主學習能力的學生才能有良好的學習興趣，善于運用科學的學習方法，善于與他人合作，敢于質疑問難，有較強的進取精神和探索精神，才能在高考中立于不敗之地。然而長期的應試教育下學生的自主探究意識薄弱，培養自主探究、創新精神的人才，教育工作者任重而道遠。

參考文獻：

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一是認真研讀課程標準，理清數學課程每個領域的核心目標及其相應的數學內涵，以及每個具體的數學內容的課程教學要求。同時，結合小學生實際，列舉一定數量的事例，以便于更準確地把握這些數學內容的深廣度及相應的數學學科價值和教育價值。就小學數學課程的整個體系而言，小學數學課程的核心目標在于，通過發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀和運算能力，通過培養數據分析觀念、合情推理和演繹推理能力以及數學的思維方式，進而實現學生在數學上的全面發展。而相對于不同的課程領域，其側重點有所差異。

二是要進行數學知識補償學習，查缺補漏。對此，不僅需要重視以往尚未系統學習過的數學內容，更不宜忽略曾經系統學過、而當前變化較大的小學數學內容。系統學習數學學科的基本思想、基本方法的論文、論著，把握數學的思維特征和數學抽象的核心特征，對于核心數學思想，如數學抽象、數學推理、數學建模，要真正理解并用小學數學的典型事例加以解讀。

三是聯系教學實踐學習相關內容。由于我們的工作特點，提升數學素養結合平常的教學實踐進行會更加有效。比如準備教學小數的意義與認識時，我們教師要了解一下小數的發展歷史；在準備教學旋轉與平移時，教師要首先學習相關幾何變換的基本知識；在準備教學加法交換律的時候，學習運算的一般意義及不完全歸納的思想方法等。這樣堅持從小學數學教學內容出發，不斷深化，不斷拓展，挖掘其蘊含的數學思想方法及人文內涵。長此以往，教師的數學素養會得到相應的提升。

四是要閱讀相關的數學科普書籍。數學科普書籍往往具有起點低，趣味性強，視野開闊等特點。閱讀這類書籍有利于提升數學教師的數學素養。比如：《小學數學教師》《幫你學數學》，《數學雜談》等等。

五要提升課堂教學技能。主要包括：①提升數學語言技能。數學語言是一種由數學符號、數學術語和經過改造的自然語言所組成的科學語言，其特點是簡練、概括、完整、準確、嚴格、含義豐富。數學符號和數學術語是構成數學語言的最重要的成份。但由于小學生的年齡、心理等特點，在些規范化的語言尤其是有許多概念并不提倡在小學階段揭示，所以我們有些小學數學教師在上數學課時不太注意使用規范的數學語言，久而久之，對學生的影響就會很不好。②是要提高課堂的講解和啟發技能。講解技能隨著經驗的增多會逐漸掌握，但對于啟發技能卻需要老師有意識的培養，課堂教學啟發技能有：類比型啟發、情境型啟發、實驗型啟發、遞進型啟發等。另外課堂的提問與評價技能、板書技能、設計技能、結束技能等。我們教師根據自己的教學特點，有效地整合教學技能構成要素，形成自己富有特色的課堂教學技能。③除了提升教師課堂授課技能外，開發學生非智力因素，促進個性和諧發展也是非常重要的。非智力因素是指除智力與能力之外的決定智力活動效益的一切心理因素，它包括學習態度、動機、興趣、情感、意志、毅力和性格等。它在學生的一生中起著舉足輕重的作用，牽引著學生人文素養的表露和培養。當然，開發非智力因素有很多的方法，如：激發學生學習興趣，對數學教學來說，興趣是非智力因素的核心，創造成功的機會，讓每個學生在學習中享受成功的喜悅，鍛煉學生堅韌的意志和品質。

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關鍵詞:分形理論 分形維數 Zipf法則 應用

中圖分類號:O29;F224 文獻標識碼:A

文章編號:1004-4914(2010)05-137-02

分形理論是一門橫斷學科,從數學、振動力學到流體力學、天文學和計算機圖形學,從分子生物學到生理學、生物形態學,從材料科學到地球科學、地理科學,從經濟學到語言學、社會學等領域已廣泛應用。分形理論對方法論和自然觀產生重要影響,用分形的觀點看世界,這個世界實際上是以分形的方式存在和演化著的世界。

一、關于分形內涵的研究

分形幾何的概念是曼德爾布羅特(1975)年首先提出來的。但最早的研究可追朔到維爾斯特拉斯(1872)構造的處處連續、處處不可微的函數,集合論創始人康托構造了有許多奇異性質的三分康托集,皮亞諾(1890)構造了填充平面的曲線,柯赫(1904)設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線,謝爾賓斯基(1915)設計了像地毯和海綿一樣的幾何圖形,這些都是屬于規則的分形圖形。它們是按一定規則構造出來的、具有嚴格的自相似的分形圖形,它們都屬于自相似分形集。豪斯道夫(1910)開始了對奇異集合性質與量的研究,提出分數維概念。布利干(1928)將閔可夫斯基容度應用于非整數維,龐特里亞金(1932)等引入盒維數,貝塞考維奇(1934)更深刻地揭示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維,他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻,從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。

現代分形理論的奠基人曼德爾布羅特(1977)出版了關于分形幾何的第一部著作《分形:形狀、機遇和維數》一書,它集中了1975年以前曼德爾布羅特關于分形幾何的主要思想,總結了依據自相似性計算實驗維數的方法。曼德爾布羅特(1982)的《大自然的分形幾何學》出版,將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集,重新討論盒維數,它比豪斯道夫維數容易計算,但是稠密可列集合維數與集合所在空間相等。在這兩本書中他將分形的理論及應用推動到一個全新的階段。

(一)分形定義、分類與分形維數

通常將具有某種方式的自相似性的圖像或集合稱為分形。所謂自相似性,就是指局部與整體相似。這類某種形式的自相似性,不只限于嚴格的幾何自相似性,也可能是通過大量的統計而呈現出來的不很嚴格的自相似性。由于局部中又有其局部,而它們都是自相似的,這樣整體與局部都具有無窮盡的自相似的內部結構,且在每一小局部中所包含的細節并不比整體所包含的少,所以分形是有無窮自相似嵌套性的圖形或集合。

分形至今無統一定義,因為每種定義都不能涵蓋所有的分形。曼德爾布羅特(1982)對其定義為“分形是一個豪斯道夫-貝塞考維奇維數嚴格大于其拓撲維數的集合。”此定義包括一大類具有分數維的分形集,但忽略了某些維數為整數的分形集。曼德爾布羅特(1986)給出了分形的另一個定義:分形具有在某種方式上部分與總體相似的形狀特征。這個定義強調了分形集具有某種自相似性特征,但仍有很多分形集沒有包括其中。

分形一般分成兩大類,確定性分形和隨機性分形。如果算法的多次重復仍然產生同一個分形圖,這種分形稱之為確定性分形。確定性分形具有可重復性,即使在生成過程中可能引入了一些隨機性,但最終的圖形還是確定的。隨機分形指的是盡管產生分形的規則是確定的,但受隨機因素的影響,雖然可以使每次生成過程產生的分形具有一樣的復雜度,但是形態卻會有所不同。隨機分形雖然也有一套規則,但是在生成過程中對隨機性的引入,將使得最終的圖形是不可預知的。即不同時間的兩次操作產生的圖形,可以具有相同的分維數,但形狀可能不同,隨機分形不具有可重復性。

曼德爾布羅特引進了分數維,給出了一個分形集充滿空間的復雜程度的描述。每個分形集都對應一個以某種方式定義的分形維數,這個維數值一般是分數的,但也有整數維的分形集。分形維數的定義有多種方法,常用的分形維數概念有三種:豪斯道夫維數、自相似維數以及盒維數。在分形維數中,豪斯道夫維數是最古老的最重要的一種。豪斯道夫維數具有對任何集都有定義的優點,由于它是建立在相對比較容易處理的集合測度概念的基礎上,數學應用比較方便。它的主要缺點是在很多情形下用計算的方法很難計算或估計它的值,因此,還有許多其他維數定義也常常被應用。

分形維數是分形理論中核心的概念與內容,它是由曼德爾布羅特為表征曲線的復雜性和處處不可微性而提出的,是刻畫分形體復雜結構的主要工具,引入分形維數正是分形理論的新穎之處。應用分形理論研究自然現象最重要的問題是如何解釋分形維數的意義,分形維數的意義應包括分形維數本身的幾何意義和研究對象參量及其尺度變化的意義兩方面,兩者結合才是特定分形維數的含義。

(二)分形的特征

肯尼思?法爾科內(1990)認為分形集F具有以下特征:(1)F具有精細的結構,即在任意小的比例尺度內包含整體。(2)F具有不規則性,使得它的整體和局部都不能用傳統的幾何語言來描述。(3)F一般具有某種自相似性,可能是近似的或統計意義下的。(4)通常F的分形維數(以某種方式定義)大于它的拓撲維數。(5)在大多數令人感興趣的情形下,F可以通過遞歸、迭代等簡單的方式產生。(6)其大小不能用通常的測度(例如面積、長度、體積等)來度量。

(三)分形的基本性質

分形具有兩個基本性質:自相似性和標度不變性。自相似性是指某種結構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的,或者某種系統或結構的局域性質或局域結構與整體相似,另外在整體與整體之間或部分與部分之間,也會存在自相似性; 所謂標度不變性,是指在分形上任選一局域,對它進行放大,得到的圖形會顯示出原圖形的形態特征。

二、分形理論在經濟數學教學中的應用

當前分形理論的研究主要分三種類型:分形的基礎理論研究、分形圖形的生成方法研究及分形理論在實際應用中的研究。分形理論在化學、物理學、數學、材料科學、地震學、生命科學、藝術、計算機圖形學等多個學科多個方面有廣泛的應用,在廣告、電腦游戲、計算機動畫、書籍和刊物的封裝、藝術作品中,也已經成功地應用了分形技術。在經濟數學教學中適當補充一些分形知識,對提高學生思維品質有很大的益處。

(一)Zipf法則及維數

在教學中引入涉及分形背景的數學模型,結合實例,可以體現數學建模的思想,幫助學生認識到分形的實際應用價值,從而激發學生學習興趣。國內外研究成果表明,城鎮體系的人口及經濟規模的等級分布符合一些數學模型,如Pareto分布模型及G.K.Zipf的等級規模分布模型等,這些數學模型為城鎮體系的分析與規劃提供了科學依據。Zipf(1949)把自己發現的規律應用于城市人口、企業收入等現象,研究這些數量跟等級的關系。在其出版的《人類行為與最小努力原則-人類生態學引論》中,他進一步擴展了視野,討論了人類社會的眾多社會、文化現象及自然現象。根據前人的研究成果提出了一個通用的城市規模分布法則(Zipf's law):Pr=P1r-q(1)式中r為城市位序,Pr為位序為r的城市的人口數,系數P1為首位城市人口,為Zipf指數。類比于豪斯道夫維數公式可知,式(1)服從冪定律,為一分形模型,參數q具有分維性質,它是分維D的倒數,即q=1/D。對(1)式作對數變換有:lnPr=lnp1-qlnr(2)由于冪函數關系等價于對數線性關系,因此,只要雙對數坐標圖上的位序-規模數據點的直線關系成立或者部分成立,即可判定分形的存在,直線上點的范圍即為無特征尺度的區域。以lnr為橫坐標,lnpr為縱坐標作出散點圖,進行線性回歸擬合可求出其城鎮體系規模結構的分維數。已有研究表明中國668個建制城市的前550多個城市服從Zipf定律,即將全部10萬以上人口的城市囊括在內。城市形態的分維在微觀或局域上雖然參差不齊,但在宏觀或整體上卻有一定的規律,大量標本的平均值接近于1.71。

(二)分形圖形的數學分析

可以讓學生利用各種信息網絡環境資源查看分形圖,挖掘分形圖蘊涵數學思想,使學生從一個新的視角認識傳統圖形。在教學中關注學生自主學習,啟發學生發現分形圖形所具有對稱、節奏和韻律、平衡、自相似性、嵌套以及分叉、纏繞、和豐富的變換等特點,體會分形圖形的美學特征。分形圖形在空間結構上體現傳統藝術形態中的對稱形式,分形圖形具有一種局部和更大的局部、或者是局部和整體的對稱,具有無限精細的結構層次,在自相似的遞歸結構中,無論是在哪一個層次的局部都保持整體的基本形態,獲得整個圖形的和諧、秩序與均衡。分形樹、謝爾賓斯基三角形和經典的曼德爾布羅特集等就是具有自相似特性的典型分形圖形。這種自相似性也可以從復映射的經典M集的逐步放大得到,利用MATLAB,改變常數c的取值,可以得到各式各樣的Julia集。以上表明,本質上藝術與數學最為接近,區別只是使用不同的語言來表達。

三、結語

分形是結構的深化,正是分形理論的提出和應用使人們以比從前更深刻更準確的方式方法去認知世界,為人們認識世界提供了新視角和新思路。教學中適當引進有關分形的知識案例,可以多維度地培養大學生數學理念,從而達到全面提高學生思維能力水平,培養出更加適應新時期發展的創新型人才。

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【關 鍵 詞】 基本內涵;主要特征;常見種類;生成路徑

【作者簡介】 張霞玲，江蘇南通經濟技術開發區實驗小學一級教師，區小學數學骨干教師。

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1671-0568（2015） 07-0110-03

隨著義務教育階段《數學課程標準》修訂稿的頒布，數學“基本活動經驗”協同“基礎知識”、“基本技能”、“基本思想”，以“四基”的表述形式，走進了我們數學人的視野，數學學習中一種新的數學實踐方式出現了。

一、基本內涵

國內關于數學基本活動經驗的論述，最早出現在曹才翰先生和蔡金法博士主編的《數學教育學概論》中，但長期以來并沒有引起廣泛的關注。隨著義務教育階段數學課程改革的推進，針對數學基本活動經驗的研究日漸增多，在理論建構和實踐操作等諸方面也取得一些可喜的成果。

那什么是數學基本活動經驗？有老師認為，所謂數學活動經驗，是指在數學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識。有的認為，數學經驗是由實踐得來的數學知識與技能，是對數學知識的生成過程的經歷、體驗。有學者認為，數學活動經驗是指學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識。也有學者認為，數學活動經驗是學生經歷數學活動之后所積淀的內容，它既有學生針對有關數學活動而獲得的那些直接經驗，也有學生經過不同程度的自我反省而提煉出來的個體知識。

我們認為，所謂數學基本活動經驗，是指為了培養學生數學素養，通過對具體事物進行實際的操作、考察和思考，形成、積累并由學生內化了的數學知識、技能和情感體驗，是一種過程性知識。

二、主要特征

數學基本活動經驗的美學特征主要有如下幾個：

基礎性。指學生活動經驗不是高深莫測的，而是學習數學所必須的基礎的東西。

主體性。數學基本活動經驗的載體是學生個體，它只能屬于學生自己，具有不可替代性。

實踐性?；顒咏涷炇且环N過程性知識，是學生在有意義的學習中體驗、獲得、內化的，離開學習實踐就無法獲得經驗。

多樣性。多樣性主要包含兩個層面的含義。一是不同的學生針對相同的學習對象，所獲得的經驗是多樣的;二是同一個學生針對相同的學習對象，如果所用的學習方式不同，所獲得的經驗也是不同的。

發展性。學生的基本活動經驗是感性的、動態的，隨著學習內容的深化、學習方法的優化、個體在群體中的碰撞，學生的經驗會不斷豐富、充實。

內隱性。作為一種特殊的心理現象，經驗是屬于每一個獨特的個體的，往往隱藏在人的內心深處。數學基本活動經驗反映的是學習者在特定的學習環境中或某一學習階段對學習對象的一種經驗性認識，這種認識人們難以把握，難以琢磨，呈現內隱的特征。

指導性。任何一種學習都會有經驗的參與，指導性是指學生通過學習過程先期獲得的經驗，能在學習現狀的基礎上，對后續學習產生有益影響，并對學習進程作出適當合理的安排。

三、常見種類

根據不同的角度，數學基本活動經驗可以分成不同的種類。以來源路徑來分，可分為日常生活數學經驗、社會科學文化情境經驗、教學活動積累經驗;以活動形式來分，可分為直接活動經驗、間接活動經驗、專門設計經驗、意境聯結性經驗;以信息來源和經驗表達為標準，可分為檢索抽取數學信息經驗、選擇和運用已有知識經驗、建模經驗、應用數學符號進行表達經驗、預測結論經驗、對有關結論進行證明經驗、對所得結果進行解釋和說明經驗;基于學生個體與外界信息交換及借鑒復雜系統“自組織”原理，可以分為觀察、操作、交流、猜想探究、推廣、歸納等六類經驗。

四、積累路徑

（一）在日常生活中積累

日常生活是數學基本活動經驗生成的重要路徑，這樣的例子俯拾皆是。

如在學習“小數”這部分內容時，可引導學生了解每噸自來水、每千瓦時電的價格各是多少元，嘗試量一量自己的身高是多少米，課桌的長、寬、高各是多少米，算一算家里水電繳費單的合計數，看是否與總數相等，還可以算一算家里每天三餐花費大概多少元等等。當學習了數字與信息后，可要求學生觀察生活中常見的號碼信息，如圖書編號、汽車牌照等，可以讓學生根據自己觀察到的汽車牌照，總結汽車牌照的編排有什么規律。在學習“分數”的過程中，可布置學生從報刊、電視、網絡等媒體上收集用分數表達的信息，看看不同種類的分數信息各有什么特點。

有位老師講完長方體的表面積和體積后，給學生布置了一個作業，請每個同學回家找一個牛奶盒，量出牛奶盒的長、寬、高，算出它的表面積和體積?？纯磁Ｄ毯猩蠘俗⒌膬艉渴嵌嗌?，判斷牛奶生產產家有沒有欺騙消費者。學生們興味盎然，在第二天的研究成果匯報課上，每位學生都能滔滔不絕，學生們真正領悟到了“留心生活，處處皆學問”的真諦。

（二）在探究活動中積累

在教學分數和除法的關系時，我將學生分成每組4人，每組發3張圓紙片代替三塊餅，圍繞“把3塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊”這一問題，開展探究活動。

探究中，每個小組不約而同，都采用“一塊一塊分”的方法，得出結論：一塊一塊地分，每人每次分得―塊，分三次，3個― 塊是― 塊。學生為自己探究得到的結論而高興。這時候我說：“這樣的方法是對的，有沒有更快的分法呢？”學生一陣沉默，接下來又嘰里呱啦討論開了。接著有學生提出，把3塊餅疊在一起分，每人分得3塊的― ，3塊的― 是― 塊，每人分得的就是― 塊。又有學生提出，把3塊餅分別給4人中的3個人，得到餅的3個人每人取出―塊給沒拿到餅的那一個，那么先分到餅的3個人各剩―塊，后分餅的那個從每人處各拿―塊，也是―塊，最終每人都是― 塊。通過這樣的探究，學生積累了三種分餅經驗。

（三）在思維碰撞中積累

思維碰撞出的火花，既能彰顯學生的思維活動，又能給學生拓展性啟發。我曾經讓學生思考研究過這樣一個問題：學校有一個長80米，寬64米的長方形地，同學們計劃用31.4米長的木柵欄圍一塊地作為勞動實踐基地。請你設計一個方案，使基地的面積盡可能大些。學生們經過激烈的爭論，先后設計出四個方案，一個方案賽一個方案。

方案一：當周長一定時，在圍成的平面圖形中，圓的面積是最大的。因此，可以圍成一個圓，圓的半徑是31.4÷31.4÷2=5（米），面積是3.14×52=78.5（平方米）。

方案二：可以借用一面墻圍成一個正方形，這時正方形的邊長是31.4÷3≈10.47（米），面積是10.47×10.47≈109.62（平方米）。

方案三：利用一面圍墻圍成一個半圓，這個半圓的半徑是31.4÷3.14=10（米），面積是3.14×102÷2=157（平方米）。

方案四：借用兩面圍墻圍成一個圓，面積才是最大的。這個圓的半徑是31.4×2÷3.14=20（米），面積是3.14×202÷4=314（平方米）。

（四）在動手操作中積累

在教學長方體的體積時，我用動手操作的方式，引導學生理解、掌握長方體體積的計算公式。我設計了兩作，效果明顯。

第一作的目的是讓學生探究長方體體積計算公式，主要有這樣幾個步驟：首先是擺，學生每四人一組，小組成員齊動手，用小正方體任意擺一個長方體;其次是說，每組派一個代表說一說是如何擺的，每排擺幾個，擺了幾排，有這樣的幾層;第三是數，每組數一數所用的1立方厘米正方體的個數是多少，由之得出所擺長方體的體積是多少，并猜想長方體的體積和它的長、寬、高有什么關系，將學生的猜想板書在黑板上。

第二作的目的是讓學生驗證自己的猜想，主要有三步：首先用多媒體展示一個長方體，它的長為4厘米，寬3厘米，高2厘米;接著讓學生根據自己的猜想用長×寬×高，算出它的體積;最后讓學生再用小正方體擺一擺出示的長方體，驗證長方體體積的計算公式，進一步明確長×寬和長×寬×高算到的分別是什么。

參考文獻：

[1] 張奠宙，竺仕芬，林永偉.數學基本活動經驗的界定與分類[J].數學通報，2008，（5）.

[2] 丁冬彥.數學教學中中學生數學經驗發展研究[J].西北師范大學學報，2006，（5）.

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關鍵詞：中等職業學校 數學教學 數學興趣 數學生活化

中等職業學校數學教學近年來一直處在瓶頸期，借著國家大力發展職業教育的春風，希望能給職業教育打上一劑強心針。教師們一方面要努力更新自己的知識，拓展視野；另一方面要想方設法讓自己的知識與實際生活相結合，調動學生學習的積極性與主動性。筆者認為教學的重點應當放在培養學生的好奇心、求知欲，讓廣大學生能夠形成獨立思考，進行自主學習，鼓勵學生勤于思考問題和培養學生善于解決問題的能力。

“問題是數學的心臟”，在教學中，筆者更多的是鼓勵學生大膽質疑、釋疑，使學生在提出問題、解決問題的過程中，學會數學的思維方法。聯系生活實際，引導學生自主實踐才是最可行的。現以具體課堂教學與生活化教學相結合的理論為依據，在具體探索的過程中總結的心得體會進行論述。

一、數學生活化，數學興趣的培養很重要

《數學課程標準》中指出：“要想學習好數學，必須從學生已經掌握的知識經驗出發，樹立特定模型讓學生親身經歷數學的建模過程，參與到特定的數學活動當中，目的是要讓學生能夠獲得一些現實體驗，并且通過學生們的合作交流及自主探究，能夠將實際數學問題抽象化，將其變成數學模型，并要求學生能夠對此進行解釋和應用?！?/p>

在筆者從事中職數學教學的這些年中，筆者認識到數學與現實生活的緊密聯系。筆者在不斷地探索如何使自己所教授的內容能夠更加生活化、用數學來解決現實生活中的實際問題時，又不能脫離現實邏輯。數學課堂教學的生活化與數學學習的生活化已經越來越被認同和關注，中職數學越來越傾向于生活化，這就要求教師必須把生活數學與課堂理論教學聯系起來。

柏拉圖在《教育論》一書中曾經說過：“強迫學習的東西是不會保存在心里的?！爆F代教育學家也認為，“教育不是把外面的東西強迫給兒童或青年去接受，而是要使人類與生俱來的能力得以發展”。

因此，在數學課堂教學中，廣大教師要能夠進行角色轉換，從知識傳授者的角色轉換為能夠主宰課堂教學，成為學生學習的組織者和引導者。教師有能力幫助學生潛能的發揮，能夠創造條件促進學生有個性地、可持續地發展，爭取讓學生的主動地去學習。

教學的目的就是讓學生主動地發展，而不只是被動地學習，要讓學生有能力探究新知并不斷進??；要讓學生不斷充滿自信心，培養學生的成就感，讓學生能夠全心地投入到數學問題的學習當中；要讓學生做學習的主人，真正理解和掌握數學。這樣才能促進學生學習成績的提高。

1.創設生活化問題情境，導入新課

人們常說“良好的開端是成功的一半”。引人入勝的課前導入，可以極大地調動學生學習的積極性，使學生產生求知的欲望，進而使課堂教學收到事半功倍的效果。如在教學指數函數及其性質時，創設如下兩個問題情境。

一是讓1號學生準備2粒米，2號學生準備4粒米，3號學生準備6粒米，4號學生準備8粒米……請問35號學生需要準備多少粒米？

二是讓1號學生準備2粒米，2號學生準備4粒米，3號學生準備8粒米，4號學生準備16粒米……請問35號學生需要準備多少粒米？

根據以上兩個問題向學生提問，每位學生所準備的米數用y表示，每位學生的編號用x表示，那么y與x的關系如何表示呢？這兩個函數你熟悉嗎？會命名嗎？從而導入新課。

2.例題生活化，讓學生體驗和感受生活

美國教育學家杜威曾經說過：“最好的一種教學是牢牢記住學校教材和實際經驗二者相互聯系的必要性，使學生們能夠養成一種態度，讓他們習慣于尋找這兩方面的交叉點和相互關系?！?/p>

因為那些能夠讓學生產生認同感或熟悉感的例題，才能讓學生認為有學習需要。學生對數學產生學習興趣后，才能讓教學內容合情合理的引入，同時還能夠豐富學生的生活經驗，有效地促進學生的發展。

要使學生在學習中“活”起來，就首先要讓學習內容“活”起來，與學生的生活發生關聯，這樣才會使學生意識到學習的重要性。

因此，筆者在具體的教學活動中發現，通過不斷地自我探索與總結，學生們會挖掘出許多現實生活相關的實際問題，借助于這樣的平臺，學生們可以合理地運用他們已經積累了的生活經驗，讓他們感悟到所學的數學知識并不只是活躍在書本上，而是存在于廣大的現實生活中。

例題的生活化可以使學生真切地體驗到數學與生活是密不可分的。從生活實踐中學生們會努力“尋找”到我們講授的數學模型，“聯系”到該數學模型能夠與哪些數學知識相關，真切感受到數學與現實生活的密切關系，進而體會到數學的廣泛應用性。

在教學分段函數時，在學了分段函數的相關概念和性質后，筆者提出以買西瓜為例，西瓜的價格常常與重量相關。

例如這道題，有一個人去買西瓜，店主說“7斤以下，每斤1元；7斤以上10斤以下，每斤1.2元；10斤以上，每斤1.5元”。最后稱重時后店主說“一共13元5角，5角就不要了，給13元吧”。可這位顧客馬上說“店主啊，你不僅沒少要，反而還多要了”。這位狡猾的店主只好承認了錯誤，把多收的錢退還給了顧客。

這時向學生提問：你們知道顧客是怎么知道的嗎？學生接觸到這道生活化的例題后都開始思考，大概思考了一分鐘的時間后，學生們就開始踴躍發表自己的想法，即若西瓜10斤以上，最少要15元，若西瓜10斤以下，最多不超過12元。

同樣還是在講授《分段函數》這一內容時，筆者還曾以自己的實際工資為例，讓學生們幫忙算一算每個月筆者要繳納多少稅費。

學生們非常積極踴躍地按照筆者給出的稅費計算公式：應納稅費=應發工資-四金（基本養老保險金＼醫療保險金＼失業保險金和公積金）-起征點（3500元），很快就計算出了筆者每月應繳納的稅費。

通過這次實踐，不僅使學生掌握了教學內容，而且還潛移默化地對學生進行了法制教育滲透，使學生明確自己作為納稅人所肩負的巨大使命。

3.練習生活化，提高實踐能力

在大力推行素質教育的今天，有必要讓學生在數學應用以及生活實踐中使知識得以驗證，得以完善。我們的生活與數學密不可分，大到科學研究、國防建設；小到買、賣東西，房屋租賃，存錢、旅游，我們的生活與數學學習聯系很大。

學好數學能夠讓我們觀察世界的眼光及角度發生變化，學好數學可以讓生活變得更加美好、有趣?？梢姡瑪祵W在我們生活中具有極其重要的作用。所以，學好數學至關重要。

作為學生，學習數學的終極目標就是“能夠運用所學數學的知識和方法解決一些常見的實際生活問題，把數學變為一種解決問題的工具和手段。”

因此，讓學生把所學的數學知識作用于生活實際，一方面可以培養學生的探索意識和創新精神，另一方面還能夠提高學生的實踐操作能力。因此，練習也應體現生活化。

二、課堂氣氛活躍，對激發學生的學習興趣有至關重要的作用

1.課堂氣氛需要教師精心組織與主動創設

課堂氣氛影響學生的學習效率和人格發展。教師是課堂教學的組織者、領導者和管理者，良好的課堂氣氛的營造需要教師精心組織與主動創設。

2.良好的課堂氣氛對教學效果的影響

活躍課堂氣氛、激發學生的學習興趣是提高課堂教學效果、提高教學質量的重要策略。成功的活躍課堂氣氛，能有效地激發學生的學習興趣，使學生積極、主動、輕松地投入到課堂教學中，從而獲得良好的教學效果。

在具體的教學中，筆者會放手讓學生自己去發現生活中的一些實際問題，讓學生自主提出問題，然后共同質疑，補充形成例題。

筆者還會讓學生自主探求解決問題的方法，這為學生提供了充分的學習空間和思考空間。學生的思維不再是受約束的，而是自由的、發散的，他們在輕松的氛圍中體驗著作為發現者和創造者的歡樂，學習不再枯燥無味，而是他們樂于參與其中的一種有趣的活動了。

3.良好的課堂氛圍有利于學生參與到課堂教學中來

筆者會利用現代科技在每一次教學過程中的能力測評階段，用問卷星這個軟件提前設置相關知識點的小測驗，學生們利用手機上微信，就可以進行知識點檢測。同時，筆者還可以借助軟件的分析能力來觀察學生們知識點的掌握程度，及時發現學生存在的問題。

這樣不僅激發了學生參與的積極性，還扭轉了學生只會用手機上網的陋習。學生在課堂中勇于發表自己的觀點，大家暢所欲言，創建了良好的教學氛圍。

三、小結

綜上所述，數學知識來源于實際生活。因此，廣大教師在數學教學的過程中要積極地創設條件，讓學生能夠有機會也有能力挖掘到生活中潛在的數學問題，爭取能夠為學生創設生動有趣的情景展示，讓學生們感受到數學學習的快樂。

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關鍵詞：高師；數學學科教學論課程；現狀分析；改革設想

數學學科教學論是高師學生的一門專業必修(基礎理論)課，它是由傳統“中學數學教材教法”(以下簡稱“教材教法”)演變而來的。由于此門學科形成較晚，加之長期以來存在的有關課程屬性、課程功能等方面的誤區，其發展已遠遠滯后于當代基礎教育改革的實踐，既不利于學科自身的發展，更無法滿足市場經濟的需求。因此，只有厘正偏誤，改變原有課程理念，突破原有的課程結構框架，才能走出誤區，擺脫當前的困境。

一、基礎教育新課程改革背景下數學教學論課的現狀

教學論課程既是高師院校體現教師專業特點的重要課程，又是直接反映基礎教育新課程改革的重要載體?；A教育數學新課程從課程目標、課程內容、學習方式等多個層面提出了全新的理念，這些理念是新一代中學數學教師必須具有的教學理念，也是指導教師教育行為的準則。而教學論課程在這幾個層面上的現狀都滯后于新課程的發展。

1．在課程目標層面上

新課程改革的核心理念是“為了每位學生的發展”，在教學目標上追求知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三者的統一，改變了過去只注重知識傳授的傾向。而教學論課程的目標是為了追求給學生打造全面而扎實的理論基礎。因此，高師教學論在課程屬性上的定位僅是專業理論課，它自然追求小學數學知識的完整性與系統性，課程目標也就體現為注重知識傳授的傾向。這與新課程理念是相悖的。

2．在課程內容層面上

新課程內容表現為兩個特點：一是強調綜合化。增加了能夠反映現代數學思想和方法的一些新知識，如分形、混沌、編碼與密碼、紐結理論、數學軟件使用、邏輯框圖等，并把數學建模、數學探究與數學文化貫穿于數學必修課與選修課的始終，使學生在多方面獲得發展。二是注重生活化。鮮明地主張要設置“身邊的數學”，從日常生活和生產中選取學生熟悉的素材，強調科學知識同生活世界的交匯，理性認識同感性認識的融合，期望學生在現實情景中體驗和理解數學知識的產生、形成與發展過程，體驗數學的美麗，從而實現整體人格的發展。

而現行的教學論課程在內容上難、繁、偏、舊，仍只注重書本知識，關注的仍然是數學學科內容的系統性、科學性與對中學數學教材的分析，很少關注學生的學習興趣和經驗，忽視學生的生活世界，弱化課程內容與學生生活、現代社會和科技發展的聯系，因此，很難適應新課程的要求。

3.在學習方法的層面上

新課程倡導自主、探究與合作的學習方式，以學生主體對知識的建構為基本教學理念。作為建構新知識的學習不僅要成為學生不斷質疑、不斷探索、不斷表達個人見解的歷程，還要成為學生超越原有的個人行為，成為群體合作的行為。它期望不僅能培養學生發現和解決問題的能力，并使學生養成探究學習、合作互助的良好習慣?？墒乾F行的教學論課程基本上是“教論”，主要討論的是教學方法、教學模式、教學策略，對于學生主體的學習方式的研究基本上是空白，這是與新課程所倡導的“以學論教”的理論相悖的。

二、教學論在高師課堂教學中的現狀

1．重學術性，輕師范性，與培養目標脫節

教師教育長期存在著學術性與師范性之爭，在現實中，人們更注重課程的學術性。在該理念的影響下，教學論也被界定為專業理論課，追求給學生打造全面而扎實的理論基礎，其內容也就幾乎覆蓋了中學數學的全過程。勿庸置疑，深厚的學術功底與教學水平有極高的相關性，深厚的學術功底是優秀教師必須具備的重要的基礎性素養，然而，犧牲師范性卻與高師的培養目標完全背道而馳，因為數學教學能力才是數學專業師范生能否成為合格教師的首要條件。隨著師范教育壟斷教師職前教育的改變，高師院校在綜合性大學競爭中，如何保持自己的特色，重新讓社會認可自身的獨特價值，是師范院校當前所面臨的新課題。

2．重理論、輕實踐，與市場需求脫節

片面追求課程的學術性，必然導致重理論、輕實踐的偏向，其結果是：教學論課程忽視了中學數學教學工作的實踐性，使得師范生在開展教學工作時不能很好地發揮所學的教法理論的指導作用，甚至形成了理論與教學實際相割裂的局面。這一問題可以從學生試教或實習工作中得到反映。例如，有半數以上的師范生在備課時對教學內容的重、難點把握不夠準確，教學目的的確定不夠恰當，教學方案的設計不夠合理，在授課中對數學命題和數學概念的講解只是照本宣科，或講解不清晰，不到位，不能自如地將所學理論運用于教學實踐。學生中普遍流傳著這么一則順口溜：“教學論很重要，可是上課想睡覺。理論知識滿堂灌，走上講臺難用到?！辈荒軡M足社會對人才的需求，這是目前高師教學論課程的最大尷尬。

三、教學論課程改革的設想

1．教學論課程屬性的科學界定

“教學論”是一門理論性學科，還是一門以培養數學教師的教學技能為主要任務的應用性學科，這一直是一個有爭議的問題。這一問題的解決，直接影響到教學論課程結構與內容體系的建構。要回答這一問題，必須首先弄清楚師范生必須具備哪些知識和技能。

長期以來，人們一般認為，只要具備充足的學科知識便自然能成為一位好教師。事實上，好教師不僅需要具備豐富的學科知識，還需要具備與學生、教學、課程等相關的教學知識。因此舒爾曼(Shulman)認為，教師需要一種在真實教學中使用的、有別于純粹的學科知識和一般教學知識的知識，他稱之為學科教學知識，它被視為教師專業所必需具備的知識［1］。這種學科教學知識是教師所特有的，是影響教師專業成長的關鍵因素，也是學科教師、學科專家與教育專家的不同之處。因此，作為數學專業的師范生，除了應當具有數學學科知識，還應當具有學科教學知識和技能。而要形成學科教學技能要先學習相關的陳述性知識——所教學科的知識和教育學的知識，明白“教的是什么”和“怎么教”的事理；再學習由所教的學科知識、教育學知識與教學實際結合而成的學科教學的程序性知識，知道“怎么教”；最后還得經過訓練與實踐才能形成“教”的技能。

可是，現行的教師教育中的教育課程分量較小，結構單一，基本上就是心理學、教育學、教學論和教育實習等科目，只占教學計劃中課時總量的10％左右，并且這些課程以各種概括化的定義、規則、理論等為課程的起點。當前，各師范院校擴招，教師教學任務繁重，在師范生教育實習環節上多無力顧及，本應有的技術指導已轉為日常管理了。由此可見，數學學科教學知識的傳授與技能培養，主要落在了教學論身上。

因此，把教學論課程設置為專業理論課的理念是失當的。有人提出，“學科教學論是研究如何使有關的一般理論與學科教學實際情況相結合，來指導學科教學實踐，并在學科教學實踐基礎上研究有關的一般理論，對有關的一般理論進行整合、補充、發展和完善的學科，其核心是以實踐為目的的理論設計”。也就是說，教學論的課程目標是讓習得了數學專業知識與教育理論知識的學生產生“能教數學”的變化；學生產生的變化是形成了教學技能，它規定了課程的性質；課程任務是向學生傳授數學教學技能；課程授受方式是教師講解指導下的學生操作訓練。實質上教學論課程是學生將從數學教育專業理論課學到的理論知識轉化成數學學科教學知識的“橋梁”，從而彌合理論與實踐之間的斷裂。顯然，教學論課程是一門以培養數學教師的教學技能為主要任務的應用性學科。

2．教學論課程功能應該多樣化

教學論課程注重理論體系的完整性，使得該課程只起到一種解釋的作用，而弱化了指導功能。學生學習后，對數學教學知識也只能停留在理論水平上，在教育研究方面更是一片空白。因此，難怪教學論課的有效性會受到人們的質疑了。

為適應基礎教育改革發展的需要，教學論的功能應該多樣化。不僅要讓師范生能學習系統的理論知識，還要讓師范生獲得初步的學科教學知識，更要引領師范生在理論知識的學習與學科教學知識獲得的同時，進行一些科學研究。一方面要引領學生關注理論的實踐研究，跟蹤與中學數學教學有關的學科的前沿理論，結合學科教學實踐，對各種理論進行整合，并努力將其運用于數學教學實踐；另一方面，要引領學生進行實踐的理論研究，要在先進理論的指導下研究學科教學實踐，從而更好地獲得學科教學知識。

3．教學論課程結構應該綜合化

教學論大都沿用一般教學理論體系的套路，人們奉行簡單的拿來主義，將教育學、心理學、教育技術等學科的理論和方法進行簡單的套用、移植或復制，使教學論成了一般教學論的理論加上中學數學教學的實例，即本質規律論+目的內容論+過程原則論+組織形式論與方法論+評價論，這種封閉僵死的模式化理論體系，與鮮活的教學實踐形成了強烈的反差。

如何在教學論中融合中學數學的教學理論與當代教育學、心理學及教育技術等最新理論，我們在實踐中作了一些有益的探索。我們打破了原理論課程的模式，將知識分解為若干個知識模塊，各個模塊都要反映現代教育理論的發展趨勢，從而將哲學、教育學、心理學、教育技術以及中學教學理論有機地結合起來；還在各模塊體系上反映出基礎教育改革對未來中學數學教師的新要求，并將先進的教育理念、最新的學科知識、多樣化的教學操作技能綜合地有機地融合在一起，獲得了很好的成效。

4.教學論課程內容應該時代化

教學論課程在內容上要體現中學數學的理論體系的完整性與實踐的指向性。它一方面要涉及中學數學教學目標論、教學課程論、中學數學學習論，同時要涉及中學數學教學的操作體系；另一方面要涉及到學習和借鑒當代教育學、心理學理論的最新成果，還要關照到基礎教育數學的鮮活教學實踐，不斷吸納當代教育學科的教育理論與數學教學實踐中的最新成果，并將其實踐經驗提升到理論的高度，從而形成特有的新理論。因此教學論課程的內容不僅要與時俱進，不斷調整、充實，富有時代氣息，而且還要具有一定的前瞻性和彈性。

5．教學論課程教學方法應該現代化

師范生在校的學習方式將直接影響其未來的教學方式和生活方式［3］。實現從大學教法到中學教法的轉化過渡，實現從師范生向教師角色的轉變，是高師院校教學所特有的規律。而現行的高師數學課堂教學，教師“一言堂”現象依然突出，數學課堂教學過程呆板，缺乏學生探究和主動參與，缺乏相互的合作與交流，沒有充分利用現代化的教學手段，習慣于方法上的“傾囊相授”，內容上的“面面俱到”，問題解決上的“教師自我表現”。教學雙邊活動中，教師“主演式”、少數學生“配角式”、多數學生“觀眾式”仍大行其道。有研究表明，有89．7％的高師院校的數學教學方法主要是講授法。這種教育的結果是造成了多數高師院校學生主體性的缺失，他們被動地圍繞上課、作業和考試轉，為獲得分數而學，疲于奔命，窮于應對；他們學習不得法，死記硬背概念、結論，生搬硬套公式、定理；他們人際關系緊張，不會進行正常的人際交往等。

這種對師范生的培養方式不能滿足新課程對人才的要求。因此教學論課程教學方法要滿足時代的發展，不僅要發揮自身教學的功能，還要對師范生起到示范的作用。新數學課程的實施要求小學數學教師必須有從事數學發現活動的體驗，具有相應的情感態度和價值觀。因此，筆者在高師的大學數學課堂中實施了教學方式的改革，在實踐中摸索出一套“探究——體驗”式教學方式［5］。實踐證明，教學論教學中的“探究——體驗”式教學方式能應對新課程對學生提出的經歷、體驗數學知識的產生、形成過程，探究問題、解決問題，努力形成積極的情感態度等教學要求。

6．教學論課程評價應該多元化

教學質量如何，在很大程度上體現在學生的學習效果上。而目前對學生的學習效果的評價手段只有考試，即通過考試對學生的學習情況、知識水平給予評價。教學論課程也一直采用傳統的考試方式，即“平時成績+期末成績=學科成績”的方式對學生進行評價。其中平時成績是教師以學生作業的完成情況與上課考勤為依據的，占總分的30％，而學生作業的完成與上課出勤在很大程度上并不能反映學生學習的真實信息，因此教師無法對學生給出一個公平合理的平時成績;期末一次性考試的成績定為期末成績，占總分的70％，其偶然性大，考試內容一般偏重書本上的知識和教師在課堂上所講的問題，即便是有對教材分析的考題，那也都屬于理論性問題。這種評價方式與教學論課程是一門以培養數學教師的教學技能為主要任務的應用性學科的屬性要求相差甚遠，對學生的獨立思考能力、創新思維能力以及學生教學基本技能等內容不易考核，因此也就不能準確而全面地監控學生對這門特色課程的目標要求的達成情況。

科學的評價體系是實現合理評價的重要保障，對學生的學習評價應根據課程目標和要求，對學生學習全過程實施有效的監控。教學論課程評價體系要注重評價主體的多元化和評價形式的多樣化；評價應關注學生綜合能力的發展過程以及學習的效果，采用形成性評價與總結性評價相結合的方式，既關注結果，更關注過程，從而使對學習過程和對學習結果的評價達到和諧統一。

參考文獻：

［1］Shulman，L．S．．Those whounderstand：KnowledgeGrowthin Teaching［J］．Educational Researcher，1986，15(1)：4～14.

［2］吳俊明．學科教學論是一門什么樣的學科［J］中國教育學刊.2003 (11)：12～15．

［3］杜玲玲．數學教育專業學生培養的若干因素及關聯分析［J］．數學教育學報，2002，11(3)：64～71