數形結合思想在初中數學教學的滲透

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摘要：數學作為一門極為抽象、復雜的學科，對學生抽象思維有著較高的要求。但是初中學生抽象思維較差，較為依賴形象思維進行思考，故而需要在實際教學中應用數形結合思想，引導學生以更加簡單、直觀而形象的方式進行學習，以保障教學質量和效率。本文簡單介紹數形結合思想，并從等函數、方程與不等式、三角函數、幾何及應用等方面，對數形結合思想在初中數學教學中的滲透策略展開探討。

關鍵詞：初中數學；數形結合思想；函數

近年來，如何改善初中數學教學效果已然成為諸多教師共同關注和研究的問題。大量教學方法得以在實際教學中嘗試、實踐和應用，結合數形結合思想的教學方法正是其中之一。在將數形結合思想滲透到數學教學中時，還需要合理應用正確方法，才能最大化地發揮其作用，促進初中數學教學質量及效率的有效提高。

一、數形結合思想概述

數與形是數學中的兩個最古老的，也是最基本的研究對象，同時也是中學數學研究的主要部分，并且它們能夠在一定條件下相互轉化。也就是說，數與形之間有著一定聯系，而這種聯系則被稱作數形結合。與此同時，這種聯系還衍生了一種數學科學中的基本思想方法，也就是數形結合思想。簡單來說，數形結合思想就是“以數解形”，即用數的精確性來對形的某些屬性加以闡明，或者是“以形助數”，也就是借助形的幾何直觀性來對數之間的關系加以闡明。在數形結合思想指導下，初中數學中抽象的數學語言、數量關系能夠和直觀的幾何圖形、位置關系相結合，從而使復雜問題變得簡單，抽象問題變得具體，有利于學生充分理解和掌握知識點，也能幫助學生更快更好地解題。在初中數學教學中，數形結合思想的滲透與應用范圍十分寬廣，涵蓋了函數問題、方程與不等式問題、三角函數問題、幾何問題、應用問題等，教師在教學時對其進行合理應用能夠大幅提高教學質量與效率。

二、數形結合思想在初中數學教學中的滲透策略

（一）數形結合思想在函數問題中的滲透應用。函數是初中數學的重要知識點，同時也是令廣大初中學生感到難以理解和掌握的難點。實際上，函數本身就是數與形的結合，函數表達式與函數圖像為數形結合思想的應用提供了基本條件。不管是一次函數，還是反比例函數，又或者是二次函數，在實際教學時都必須將數與形結合起來，才能令學生充分理解其中內容，并幫助學生以更加簡單、直觀的方式掌握函數知識及相應的解題方法。教師應當充分利用數形結合思想，教導學生能夠通過函數表達式畫出對應的函數圖像，并能通過觀察函數圖像分析函數表達式的特征。在函數教學中應用數形結合思想，重點在于引導學生理解函數與坐標軸圖像之間的關系，讓學生能夠根據函數在坐標軸上畫出對應圖像，利用圖像分析函數特性。與此同時，學生在看到一個函數圖像時，也要能夠直接還原相應的函數方程。只有熟練掌握函數方程與坐標軸圖像之間的轉換關系，學生才能以更加輕松、簡單而形象的方式掌握函數問題的相關解答，并能在實踐中充分運用，促進其解題準確率及速率的提升。例如，在教學“二次函數的圖像與性質”這一節的內容時，如果教師直接向學生講解y=ax2+bx+c的內涵與性質，從代數角度對這一公式的特征進行分析，那么學生很難在教師抽象的講解下快速準確地理解知識要點。而應用數形結合思想，將該二次函數基本表達式和平面直角坐標系相結合，從代數與圖形兩方面進行講解的話，學生能夠更加直觀地理解其中內容。具體來看，教師需要先說明函數基本表達式中a、b、c均是常數且a≠0，然后再結合圖形說明a、b、c的不同對圖形的影響。（二）數形結合思想在方程與不等式問題中的滲透應用。方程與不等式作為貫穿初中數學課程的重要內容，一直都是教學的重點所在。實際上，方程與不等式問題的教學同樣可以應用數形結合思想。在數形結合思想的輔助下，方程與不等式問題能夠從抽象的代數問題，轉化為更加形象和具體的圖形問題，從而幫助學生準確理解知識內容，同時也能快速完成解題。在方程不等式教學中應用數形結合思想，關鍵在于教授學生不等式轉化成x數軸圖像，并能借助x數軸上的距離關系，對不等式問題進行求解。由于x數軸上的距離關系能夠被一眼看清楚，故而這種數形結合的解題方法能夠幫助學生更加快速而準確地解決不等式問題。例如，在“一元一次不等式”的教學中，教師在黑板上寫下問題：“對一切實數x，不等式x+1+x-2＞m成立，則實數m的取值范圍是？”然后畫出一個x數軸，并在數軸上標明-2，-1，0，1，2，3，4等數值。教師向學生解釋說：“根據絕對值的幾何意義進行分析，可以發現x+1+x-2表示數軸上的點到-1和2這兩點的距離之和?！蓖ㄟ^圖形可以發現，當x位于-1或者2時，它到-1和到2的距離之和最小，也就是3。（三）數形結合思想在三角函數問題中的滲透應用。三角函數是初中基本初等函數之一，其是以角度為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數，也就是用單位元有關的各種線段的長度來定義的函數。毫無疑問，三角函數也是數與形的結合，不管是學習相關知識還是解決對應問題，都需要合理利用數形結合思想，才能更加形象、快速、準確地理解和掌握知識，解決問題。在初中三角函數相關內容中應用屬性結合思想時，通常用于求銳角三角函數值，解直角三角形，探討正弦、余弦、正切、余切的增減性等。在三角函數中應用數形結合思想，關鍵在于引導學生正確掌握三角函數在三角形中的表達關系，幫助學生準確理解三角函數代表的含義。這樣一來，學生能夠在解題時直接畫出三角形，并對照完成三角函數的計算、轉換等操作，避免死記硬背導致的概念混淆問題。其中需要注意的是，教師應當讓學生結合圖形進行記憶，發揮圖形的輔助作用，而不能讓學生完全依賴圖形來對三角函數進行理解，這樣很容易導致學生產生依賴心理，并且會對其解題速度造成很大影響。例如，在教學“銳角三角函數”時，由于涉及正弦、余弦、正切、余切等多個概念，學生很容易將這些概念弄混淆，并且在確定相應表達式、取值范圍和轉換關系時經常出錯。對此，教師可以在黑板上畫出一個Rt△ABC，其中∠C為直角，那么∠A（可換成∠B）的銳角三角函數則可以通過圖形進行直觀表達。通過學習三角形，學生能夠準確理解正弦、余弦、正切、余切等的定義，從而快速掌握銳角三角函數基本知識。（四）數形結合思想在幾何問題中的滲透應用。幾何問題歷來都是初中數學教學的難點所在。這是因為初中學生思維尚不健全成熟，空間思維能力較差，雖然能夠直觀地理解幾何表征，但卻難以對幾何空間問題進行準確思考。在幾何教學中應用數形結合思想，能夠引導學生將圖形與代數相結合，從而在很大程度上彌補學生空間思維能力的不足，大幅強化學生幾何解題能力?？傮w而言，在幾何問題中應用數形結合思想，關鍵在于將具體的圖像轉換成具體的數字，讓學生從數字的角度對圖形進行全新認知，從而幫助學生發現圖形中包含的數字關系。在徹底掌握了這些圖形中的數字關系后，學生能夠迅速在腦海中完成圖形與數字的轉換，從而能夠更加全面地對幾何問題進行思考，并能從數字角度對幾何問題加以解決。特別是在一些圖形關系中，直接通過觀察圖形很難發現，不過通過觀察數字，這些關系就會變得十分明顯，從而能夠簡化解題思路。例如，“立體圖形的視圖”這一節內容可以分為“由立體圖形到視圖”和“由視圖到立體圖形”兩部分，即要求學生能夠對立體圖形及視圖進行自由轉換。但是學生空間思維能力較差，難以準確把握立體圖形的形狀，同時也很難通過視圖還原立體圖形。針對這一問題，教師可以充分利用數形結合思想，借助代數對立體形狀進行準確表述，進而幫助學生更加全面地認識立體圖形。（五）數形結合思想在應用問題中的滲透應用一直以來，應用問題相關教學都是初中數學教學的重點，是引導初中學生將所學的知識用于生活的關鍵。一般來說，應用問題的文字量極多，而初中學生閱讀理解能力有限，同時抽象思維能力較差，在解決應用問題時往往會遇到難以找出題目中關鍵信息，無法建立等量關系的情況，可謂無從下手。對此，教師可以充分利用數形結合思想，培養學生借助圖形解決應用問題的思維和能力。在數形結合思想的指導下，學生能夠學會將具體的應用問題轉換成簡單的圖形及對應的數字，并通過觀察圖形與數字來對復雜的問題進行直觀認知，對幫助學生理解問題、找到解題思路有著巨大幫助。例如，在“隨機事件的概率”相關內容的教學過程中，教師向學生布置了一道課堂習題：“從某班學生中任意找出一人，如果該同學身高小于160cm的概率為0.2，該同學的身高在［160，175］的概率為0.5，那么該同學的身高超過175cm的概率為多少？”為了解決這一問題，教師在黑板上畫了一個圓，代表某班學生總人數。根據題意，教師將該圓分為三部分，其中一部分只占據二成，另一部分則占據一半，分別代表身高不超過160cm以及身高在［160，175］的學生人數。那么，剩下的占據三成的一部分則是身高超過175cm的學生人數。因此在該班級中任意抽取一名學生，該同學身高超過175cm的概率應當為0.3。

三、結語

數形結合思想在初中數學教學中有著巨大應用價值，對改善教學效果，以及提高學生數學水平有著積極意義。教師在實際教學中，可以積極嘗試在函數問題、方程與不等式問題、三角函數問題、幾何問題，以及應用問題等方面應用數形結合思想，將代數與圖形相結合，引導學生以更加直觀、具體而形象的方式掌握知識點，解決問題。

參考文獻：

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作者:王小忠 單位:甘肅省甘谷縣第五中學