命題邏輯的推理規則范文

導語：如何才能寫好一篇命題邏輯的推理規則，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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【關鍵詞】形式證明 命題 邏輯推理 序列

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）04-0141-02

在初中階段的數學學習過程中，幾何知識是許多學生都倍感頭痛的問題，尤其是幾何證明。這是一個較為普遍的現象，其成因頗多，既有主觀因素也不乏客觀因素。不少同學在聽老師講課時基本能懂能接受，但要其證明時就出現了這樣那樣的問題，不是不會寫證明過程，就是說不清理由；不是東扯西拉，就是前后銜接不上……還有就是想當然者——“我覺得就是這樣的”；更有甚者，將舉例說明和證明混為一談，真可謂是“百花齊放”，諸如此，林林總總，本文不在此一一列舉。

何謂證明？“一個命題的正確性需要經過推理，才能做出判斷，這個推理過程叫做證明?！比私贪?，七年級下冊21頁，如是說。誠然，這不能說其不對，但也確實不夠清楚。什么是“推理過程”？具體問題又該如何“推理”？從課本的這段話中，我們恐怕不易弄清以上問題。許多初學幾何的初中生雖能朗朗上口地背誦定理，但卻不能真正理解其含義，更談不上對其的運用。那么，為何初中生都普遍覺得幾何難學呢？問題究竟出在哪里？這些問題本文將稍后逐步探討。

幾何學是一門非常古老的學科，早在古希臘時期幾何學就已經非常繁榮，比如歐式幾何。時至今日，我們所學的初等幾何基本上都是建立在經歷了兩千多年的歐式幾何的基礎之上的，由此可見其古老性之一斑。雖然幾何學由來已久，并經過了數千年的積淀和研究，然而它仍然令一代又一代的學習者為之困惑，緣何？筆者認為，幾何學之難（尤其是幾何證明）關鍵在于其形式化的公理、定理、性質以及演繹推理等。所謂形式化，即是用一系列約定的符號（如邏輯符號）來表示概念、符號化命題以及推理，并將一定范圍內的所有正確的推理形式（邏輯規律）都匯集在一個整體中。在此基礎之上，由幾條公理及公設出發，并規定一些初始符號和規則，經過有效的邏輯推理，得出若干新的、正確的、可靠的結論（即命題），這些命題的集合就形成一個公理系統，這就是形式化幾何。初中幾何主要研究的是平面幾何的圖形性質及其數量關系，在歐式幾何的公理體系和框架下，早已經形成了許多有關平面幾何的命題，但是教師在教學的過程中絕不能只告訴學生們一個結果，更多時候教師需要引導他們去探索并發現規律，總結和證明他們發現的規律，要證明就必然要弄清形式化的推理。

下面，本文就從數理邏輯的角度來探討何謂推理？何謂證明？為此，需要介紹一些有關的數理邏輯概念和符號。

一 命題與邏輯運算符

定義1：具有確定真假性的陳述句稱為命題。

凡是命題都有真值，命題的真值只有兩種情況，即取自集合{0，1}，具體情況是：真命題的真值為1，假命題的真值為0。

定義2：具有唯一確定真值的陳述句稱為命題。

要判斷一個語句是不是命題，需要注意兩點：一是先判斷其是否為陳述句；其次是看其真值是否唯一確定，這兩個條件缺一不可。例如，“x>5，x∈R”，該語句雖然是陳述句，但卻無法判斷真假。因為x是可變的，當x取3時，其為假命題；當x取7時，其為真命題。這類語句可稱之為命題變元或稱之為命題變量，值得注意的是命題變元不是命題，原因是其真值是可變的，時真時假。此外，還要特別注意像“我正在說謊話”這樣的陳述句，這個語句無論你假設其真值為“1”還是“0”都會推出矛盾，這樣的語句稱之為悖論。在數學中比較著名的有“羅素悖論”。

通常命題可分為簡單命題和復合命題，簡單命題就是不能分解成更簡單的陳述句的命題，簡單命題也稱為原子命題。復合命題就是除簡單命題外的命題，復合命題也可以理解為是由邏輯運算符聯結簡單命題而成的。為了便于后面的討論，本文約定用小寫的英文字母p、q、r…表示命題或命題變元。

比較常用的邏輯運算符有5種：（1）“”稱為否定運算符，讀為“非”。（2）“”稱為合取運算符，讀為“且”或“與”。（3）“”稱為合取運算符，讀為“或”。（4）“”稱為蘊含運算符，讀為“蘊含”。（5）“”稱為等價運算符，讀為“等價”。

以上5種邏輯運算有其優先級，規定其優先順序為：（）、、、、、，其中“（）”的意思是有（）的就先算，然后再按照、、、、的順序來做運算，對于同一優先級的運算符，先出現者先算。

二 推理和證明

定義3：命題公式遞歸定義如下：（1）單個的命題常量或命題變量是命題公式；（歸納基）。（2）若A、B是公式，那么A、AB、AB、AB和AB也是命題公式；（歸納步）。（3）所有的命題公式都是有限次使用（1）和（2）得到的符號串；（最小化）。

在這里可以使用大小寫英文字母表示命題公式，英文字母還可帶下標。以后在沒有二義的情況下，將命題公式簡稱為公式。命題邏輯的推理理論就是利用命題邏輯公式研究什么是有效的推理。

定義4：推理就是從前提集合開始演繹出結論的思維過程，前提集合是一系列已知的命題公式，結論是從前提集合出發應用推理規則推出的命題公式。

若前提是一系列真命題，并且推理中嚴格遵守推理規則，則推出的結論也是真命題。在命題邏輯中，主要研究推理規則。

定義5：稱蘊含式（A1A2…An）B為推理的形式結構，A1，A2，…，An為推理的前提，B為推理的結論。若（A1A2…An）B為永真式，則稱從前提A1，A2，…，An推出結論B的推理正確（或說有效），B是A1，A2，…，An的邏輯結論或稱有效結論，否則稱推理不正確。若從前提A1，A2，…，An推出結論B的推理正確，則記為（A1A2…An）B。

通俗地講（A1A2…An）B即是說，若A1，A2，…，An都正確，則B也正確。清楚了什么是推理以及推理的結構后，下面來討論什么是證明。

定義6：證明是一個描述推理過程的命題公式序列A1，A2，…，An，其中的每個命題公式或者是已知的前提，或者是由某些前提應用推理規則得到的結論，滿足這樣條件的公式序列A1，A2，…，An稱為結論An的證明。

在證明中常用的推理規則有3條：（1）前提引入規則：在證明的任何步驟都可以引入已知的前提；（2）結論引入規則：在證明的任何步驟都可以引入這次已經得到的結論作為后續證明的前提；（3）置換規則：在證明的任何步驟上，命題公式中的任何子公式都可用與之等值的公式置換，得到證明的公式序列的另一公式。

以上是一些基本的邏輯推理規則，如何運用這些規則進行推理和證明呢？在定義6中可以看到，證明實質上就是要把已知的命題公式按照一定順序排列起來，那么具體問題的證明要如何來將那些已知的條件、公理、定理、推論以及性質等（諸如此類在邏輯上都可視為命題公式）按照怎樣的順序來排列呢？下面，通過初中幾何中的具體實例進一步體會理解證明的實質。

例如，已知：如圖在RtABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF。

求證：DE=DF。

分析：由ABC是等腰直角三角形可知，∠A=∠B=45°，由D是AB中點，可考慮連接CD，易得CD=AD，∠DCF=45°。從而不難發現DCF≌DAE。

證明：連接CD。

AC=BC；

∠A=∠B。

∠ACB=90°，AD=DB；

CD=BD=AD，∠DCB=∠B

=∠A。

AE=CF，∠A=∠DCB，AD=CD。

DCF≌DAE。

DE=DF。

上述證明的過程，實質上就是一個命題的序列，可以如下來看：（1）等腰三角形ABC兩腰相等（AC=BC）；（2）等腰三角形ABC兩底角相等（∠A=∠B）；（3）已知條件（∠ACB=90°，AD=DB）；（4）等腰三角形DCB兩腰及兩底角相等；（5）等量減等量得等量（AE=CF），（4）得出的結論（∠A=∠DCB，AD=CD）；（6）三角形全等的判定定理SAS（DCF≌DAE）；（7）全等三角形對應邊相等（DE=DF）。

這里的（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）不就是一個序列嗎？并且序列中的（7）就是要證明的結論，其實所有的證明都是如此，只要按照邏輯的推理規則構造出一個包含證明結論的序列即可。那么，在這七步的序列中運用了哪些推理規則呢？（1）前提引入規則；（2）前提引入規則；（3）前提引入規則；（4）假言推理規則；（5）置換規則和結論引入規則；（6）假言推理規則；（7）假言推理規則。

數學能夠非常有效地訓練人的邏輯思維能力，它是其他學科無可替代的，而數學證明又是最為有效的途徑，正如羅增儒先生所說，數學證明有助于獲得新的體驗、發現新的結論；有助于增進理解，只有清楚了一個命題的證明，才能真正理解該命題的內容。對于幾何證明，首先應該弄清題意，明確證明方向即把握好題目的已知條件和要證明的結論，然后結合圖形理清思路，把和本題有關的命題搜索出來，再來思考需要用到哪些定理，將其羅列出來，最后按照邏輯的思維方法把它們構造成一個包含要證明結論的序列，這就完成了證明的過程。

參考文獻

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[2]張順燕.數學的源與流[M].北京：高等教育出版社，2004

[3]耿素云.離散數學[M].北京：清華大學出版社，2008

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本書共7章：1.命題邏輯：從公理和推理規則的證明。通過生活中的一個邏輯實例引入本節重點，依次介紹了純命題演算、基于微積分的證明示例、純正蘊涵命題演算、布爾邏輯等相關內容；2.一階邏輯：量詞的證明：包括一階純謂詞演算與證明方法、平等謂詞的相關介紹；3.集合論：脫離、對位和矛盾的論證：包括集合與子集的相關概念、并集與交集、笛卡爾積、函數與反函數、等價與序關系等相關基本知識；4.數學歸納：歸納法的定義和證明：包括整數、無理數、有限/無限基數的儲備知識介紹，數學歸納法的引入與證明；5.形成集：通過超限歸納法證明已經有序集。包括超限的方法、超限集和序數及相關規律的介紹；6.選擇公理：用超限歸納法證明。通過最優排序準則、集合的交叉與合并、策梅洛原則及其他相關公理證明選擇性公理；7.應用：集合、功能和關系在諾貝爾獎獲獎（Nobel-Prize Winning）中的應用的。引入了博弈論、匹配度及箭頭的不可能性定理，解釋諾貝爾獎運作過程的具體原理。

作者Yves Nievergelt是華盛頓大學數學系教授，曾于華盛頓大學獲得數學碩士和博士學位，主要研究興趣包括應用分析（數學應用于化學、醫學診斷成像、物理），復雜分析、數值分析（科學規劃數學）等。

本書包含大量的文獻資料及相關文檔的歷史，主要包括邏輯、證明、集和數字理論，在理論方面邏輯嚴謹，內容詳實，實例方面極具吸引力，可以作為一個獨立的學習參考資源。本書適合數學，邏輯和計算機科學以及社會科學領域的本科二年級以上學生、感興趣者或研究人員閱讀。

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形式邏輯不管思維內容，只管思維形式，這是學術界的一個共識。這個共識預設了一個前提:思維形式是可以脫離思維內容而獨立的外在形式。這個預設是建立在內容與形式二元對立基礎上的，并不符合事實，因而是沒有根據的。我們必須超越這種二元對立，代之以內容與形式的統一。應該肯定，一切邏輯學，包括形式邏輯在內，都是既研究思維形式同時又研究思維內容的思維科學。

思維內容與形式不可分離

思維是存在的反映。同存在一樣，思維也是一種既有內容又有形式的統一體。內容之所以成為內容，是因為它規定著自己的形式;形式之所以成為形式，也是因為它表現著自己的內容。這說明，內容與形式必然是相互滲透和轉化的，正如黑格爾所說:“內容非他，即形式之轉化為內容;形式非他，即內容之轉化為形式。”①因此，只要斷定邏輯學是研究思維形式的，就同樣斷定了它也是研究思維內容的，否則，邏輯學研究的思維形式就成為無內容的形式，因而也就失去了作為形式的意義及其存在的根據。進一步說，一門科學，如果它不具有自己特有的科學內容，它同樣失去了作為一門科學的根據，邏輯學也不能例外。

可是，為什么我們又把形式邏輯稱為形式科學呢?應該指出，在特定語境下，認為邏輯學不研究思維內容，也不能說是錯的，否則，學術界為什么一直把它看作正確的觀點并長期加以堅持?其實，我們通常說的邏輯學所不研究的思維內容，是指具體科學所研究的經驗內容。按照黑格爾的說法，它是指可感知的內容。在這種意義上，不僅邏輯學，哲學也是不研究思維的經驗內容的。這就是哲學和邏輯學同具體科學的區別。黑格爾說:“進一步就內容與形式在科學范圍內的關系而論，我們首先須記住哲學與別的科學的區別。后者的有限性，即在于，在科學里，思維只是一種單純形式的活動，其內容是作為一種給予的〔材料〕從外界取來的，而且科學內容之被認識，并不是經過作為它所根據的思想從內部自動地予以規定的，因而形式與內容并不充分地互相滲透。反之，在哲學里并沒有這種分離，因此哲學可以稱為無限的認識。當然，哲學思維也常被認作是單純的形式活動，特別是邏輯，其職務顯然只在于研究思想本身，所以邏輯的無內容性可算得是一件公認的事實。如果我們所謂內容只是指可以捉摸的，感官可以感知的而言，那么我們必須立即承認一般的哲學，特別是邏輯，是沒有內容的，這就是說，沒有感官可以知覺的那種內容。”①在黑格爾那里，邏輯學就是哲學，它們都是研究思維自身的運動，它的內容不是通過感官的感知得來的，因而不具有這種可感知的經驗內容。

在這種意義上說，邏輯學是不研究思維內容的，即不研究由感官感知得來的經驗內容。但是，它所研究的思維單純形式的活動，其本身是有內容的，也屬于思維的一種內容。所以，在哲學和邏輯學中，思維的內容與形式又是統一的，并不存在無內容的形式，也不存在無形式的內容?？茖W和藝術也具有這種統一的普遍性:“只有內容與形式都表明為徹底統一的，才是真正的藝術品。”②藝術的內容與形式，屬于形象思維范疇，由美學研究。邏輯學本身是有科學思想內容的。邏輯學的發展，不只是思維形式的發展，它同樣是邏輯思想的發展。許多邏輯史的著作被稱為“邏輯思想史”，就是一個明證。這里的“邏輯思想”，作為邏輯學的內容，到底是什么，學者們可能有不同的理解，但它的存在已經表明，邏輯學發展史是思維的內容與形式統一的認識史。“這就不啻承認，思想不可被認作與內容不相干的抽象的空的形式，而且，在藝術里以及在一切別的領域里，內容的真理性和扎實性，主要基于內容證明其自身與形式的同一方面。”③自然科學和社會科學所研究的經驗內容，都是通過實踐活動從外部世界得來的，不可能從思維自我運動中產生。所謂思維的自我運動，即思維“單純的形式活動”。在這種意義上，思維內容與思維形式存在一定程度的分離，“并不充分地互相滲透”。這種情況主要發生在不同思維層次之間，就是說，一個層次的思維內容與另一個層次的思維形式之間，是可以分離的。但在同一層次中，如在具體科學中，則是不可分離的。思維形式對思維內容發揮著重大的能動作用，即用自己的特有形式，如概念、命題、原理、定律等，來表達經驗內容，使這些內容得到抽象和概括，并把它們組織到自己的形式模式中去，揭示這些內容的必然聯系，并表述為科學規律。

特別值得注意的是，在討論思維內容和形式時，必然涉及思維和語言之間的關系。無論是思維內容，還是思維形式，都是與語言分不開的。我們經常也把語言稱為思維的形式，而這里所說的“思維”，其本身又是內容與形式的統一，說明了思維內容與形式之間關系的復雜性和多層次性。當我們說語言是思維的物質外殼時，這實際上是指語言是作為內容和形式統一體的思維的載體。如果沒有語言，一切思想的表達都是不可能的。索緒爾說:“思想離開了詞的表達，只是一團沒有定形的、模糊不清的渾然之物。”④這又產生了另一種內容與形式的關系，即思維內容與語詞形式的關系問題。在文學中，朱光潛把這種關系概括為“意”與“文”的關系。朱光潛說:“在為思想所憑借時，語文便雜在思想里，便是‘意’的一部分，是在內的，與‘意’的其余部分同時進行，所以，我們不能把語文看成在外在后的‘形式’，用來‘表現’在內在先的特別叫做‘內容’的思想。‘意內言外’和‘意在言先’的說法絕對不能成立。”⑤形式是表現內容的，只有在相應的形式中，內容才得以顯現。這表明，內容與形式不僅是同時成就的，而且也是相隨而變的。如果更動了文字，就同時更動了思想情感，說明了思想活動和語言活動的一致性。對于思想來說，語言是表達形式，在這種表達式中，既包括了思維的內容，同時也包括了思維的形式。所以，思維內容與思維形式統一于語言之中。“語言的形式就是情感和思想的形式，語言的實質也就是情感和思想的實質。情感、思想和語言是平行的，一致的。”①如果說，語言是思維的居所，那么，這就意味著語言不僅是思維內容的居所，同時也是思維形式的居所。語言是思維內容和思維形式統一的載體。一切科學，包括形式邏輯在內，只要運用語言來表達，它所表達的就不僅是思維形式，同時也表達了思維內容。如果邏輯學是研究思維形式的話，那么，它必定同時要研究相應的思維內容，因而也就是研究思維內容和思維形式的統一。#p#分頁標題#e#

語詞符號的意義

我們在研究思維時，習慣于先把思維的內容和形式分離開來，并對它們分別地加以抽象規定，說明什么是內容、什么是形式，由此認為內容和形式是事物內外的兩種規定:內容是事物內在的規定性，是各種內部要素的總和;形式是事物外部的表現以及這些表現之間的聯系或結構。這種分析，自然是必要的，作為認識的一個階段，也是合理的。但它也提供了一種可能性，即把思維形式看作與內容不相關的外在形式，從而使形式脫離了內容，成為獨立的部分，其結果必然要否定內容，否定內容與形式的統一。別林斯基說:“如果形式是內容的表現，它必和內容緊密聯系著，你要想把它從內容中分出來，那就意味著消滅內容，反過來也一樣，你要把內容從形式中分出來，那就意味著消滅形式。”②所以，單用分析方法是不夠的，還必須同時把分析與綜合結合起來。

思維以語詞為載體。如果運用分析方法，把言語的思維分解成它的組成部分:思維和詞語，這種方法雖然也看到它們之間的相互聯系和相互作用，但不再把它們看作一個整體，這就必然使言語思維的原先特性消失。維果斯基把這種分析的方法稱為“元素分析法”，并認為是不可取的方法，他指出:“把言語的思維分解成它的組成部分:思維和詞語，并且互不聯系地孤立地對它們分別進行研究，會使心理學在同樣的死胡同里曲折前進。在分析過程中，言語思維的原先特性已經消失。研究者們一無所獲，唯有發現兩種元素的機械的相互影響，期望以純粹的投機方式來重新構建業已消失的整體特性。”③因此，他不主張“元素分析法”，而主張“單位分析法”。這種方法就是整體分析法，分析的結果則是保留了整體的所有基本特性。

思維與語詞是不同的兩種事物，但是它們又是不可分離的。沒有語詞的思維是一片模糊，沒有詞義的言語是空洞的聲音。思維是對存在的概括反映，它的表達形式是語詞的詞音，即聽覺形象;語詞的內容就是語義，即語詞所負載的信息。所以，語詞同樣是形式和內容兩個方面的統一，它們是無法割裂的。語義的概括同樣不能不用語詞來表達，因而語義是詞的不可分割的部分。因此，詞義既是思維又是言語。根據這種分析，維果斯基把語義看作言語思維單位。思維的“單位分析法”，就是語義分析法。他說:“在探究言語思維的本質過程中，所應遵循的方式便是語義分析(semanticanaly-sis)———研究這個單位的發展、功能和結構，它包含了思維和言語的相互關聯。”④從思維與語言的發生史來考察，思維在最初發生時，語言并沒有同步地發生。這不是說思維沒有物質載體，只是表明，思維的最初載體并不是語言，而是動作。這時，思維與動作還沒有分離，而存在于動作中。但是，思維是心理和觀念形態，不具有被感知的特征，沒有物質性的載體，它既不能表達也不能實現。后來，產生肢體語言，使思想得以開始交流。為了適應思維發展的需要，進一步產生了有聲語言，使每一種聲音都能傳遞某種信息，而且表達某種意義。語言的產生和發展反過來進一步推動了思維的發展，要求將思維的內容保留下來。經過長期的實踐，出現了書寫語言，即文字。文字的產生，是人類文明發展的重要里程碑，對思維的進一步發展起到了關鍵作用。這時，思維找到了固定的載體，語言不僅成為思維的居所，而且也成為人類的家園。為了克服自然語言的模糊性、歧義性，在自然語言的基礎上又產生了人工語言，進一步推動了思維科學的發展和應用。這是語言在現展所取得的成就。

今天，我們所說的語言，應該包括自然語言和人工語言兩個部分，而且都可以稱它們為符號，即自然符號和人工符號。顯然，同語詞一樣，無論哪種符號，它們也都是有意義的，否則它就沒有任何用途了，因而也就不可能出現。我們使用符號的目的是表達和實現思想，因此符號必定包含有某種意義。可見，符號本身不僅具有意義，同時又是一種形式。符號具有怎樣的意義?必須通過解釋加以確定。根據實踐和理論研究的需要，我們可以賦予符號一定的意義。在具體科學中，這是各門科學自身的工作，邏輯學不能代替而只能完成本學科的符號解釋。只有當某個言語形式的意義在我們所掌握的科學知識范圍內，我們才能準確地確定它的意義。所以，無論是在具體科學中還是在邏輯學中，符號都是內容與形式的統一。一切科學規律都是憑借這種統一來表述的，而且也只有憑借這種統一才能得以表述。例如，牛頓力學中的第二運動定律，可以用符號公式表述為:f=ma。這個表達式是人工符號表達式，其中用了四個符號。只有對每一個符號都作出解釋，賦予一定的意義，才能使它表達第二運動定律的內涵，并被人們所理解。對于已學過牛頓力學的人，只要看到這個公式，就明白這個表達式的意義，因為他們已經知道了對符號所作的解釋。這里的解釋，有兩個步驟。第一，賦予符號以特定的意義:“f”是對物體的外部作用力，“m”是被作用物體的質量，“a”是被作用物體在受外部作用后所得到的加速度，“=”是等值。第二，解釋符號的關系:包括兩個方面的內容，一是對量的關系的解釋，這個公式表示，f等于m與a的乘積，兩者的關系是，物體的加速度(a)與所受外力(f)成正比，與物體的質量(m)成反比;二是對質的關系的解釋，即加速度(a)與外力(f)都是矢量，具有方向性，而且加速度的方向與外力的方向相同。通過上述解釋，我們不僅知道了牛頓力學第二運動定律的形式，而且也知道了這個符號表達式的內容，從而表明了思維內容和形式的統一。這里的形式包含兩個方面:第一，每一個符號都是一種形式;第二，符號之間的相互關系，即形式結構。因此，我們在研究思維內容與思維形式的關系時，主要任務不在于分辨誰是先在的，內在的，是決定者，誰是后在的，外在的，是被決定的，而在于尋求它們之間的統一。這種統一的多樣性取決于是否存在經驗內容的滲透以及這種滲透的程度，從而使邏輯科學構成一個龐大的“家族”。

思維內容和形式在形式邏輯中的統一

從思維內容和形式統一的觀點看，形式邏輯不僅研究推理形式，同時也研究推理內容，研究思維內容和形式的統一。我們可以從以下四個方面認識這種統一的具體表現。第一，邏輯符號的內容和形式的統一?，F代形式邏輯，又稱符號邏輯。它的一切符號，只有通過解釋，才具有特定的意義。這種意義，就是作為思維形式的符號所具有的思維內容。在形式邏輯中，不僅邏輯形式都是由符號構成的，而且邏輯內容也是用符號和符號組合來表達的。在符號邏輯中有許多作為邏輯常項的符號，對這些符號只有作出明確的解釋，才能賦予它們意義。這種意義，就是被解釋的符號所具有的邏輯內容。例如，對符號“?”的解釋是“否定”，對符號“∧”的解釋是“合取”，對符號“∨”的解釋是“析取”，對符號“→”的解釋是“蘊涵”，對符號“≡”的解釋是“等值”，等等。這些意義，都賦予了邏輯形式特定的思維內容。不同的邏輯系統，有不同的符號。由于給予不同的解釋，它們就具有各不相同的邏輯內容，從而形成思維內容和形式的不同統一。例如，在模態邏輯中，把符號“”解釋為“必然”，把符號“”解釋為“可能”;在時態邏輯中，把符號“P”解釋為“過去”，把符號“T”解釋為“現在”，把符號“F”解釋為“將來”;在道義邏輯中，把符號“O”解釋為“義務”，把符號“P”解釋為“允許”，把符號“F”解釋為“禁止”，等等。在這些不同邏輯系統中，有的符號是相同的，有的是不同的。即便是相同的符號形式，由于給予不同的意義，它們也就成為具有不同的內容的符號。例如，“P”這個符號，在直言命題中，它代表詞項;在命題邏輯中，它是肢命題;在時態邏輯中，它被解釋為“過去”;在道義邏輯中，被解釋為“允許”。顯然，這些符號的選擇，完全是自由的，也完全是任意的，我們可以選擇這些符號，也可以選擇另一些符號。但無論選擇什么符號，對它的解釋，則是有確定內涵的，絕不能是完全任意的。而且，這些符號只有在特定的關系和形式系統中，才具有它的確定意義;在不同的關系和形式系統中，它們的意義也是不同的。這些都說明，符號形式和符號形式的意義，反映了在形式邏輯學中形式與內容在特定條件下的統一。#p#分頁標題#e#

第二，邏輯基本規律的內容與形式的統一。邏輯基本規律是獲得“邏輯的真”的規律，它們決定了形式邏輯必須研究命題真假關系的思維內容。形式邏輯教科書主要討論形式邏輯的三大基本規律，即同一律、矛盾律和排中律。這些規律都可以由符號構成的公式來表述。同一律表述為:A≡A;矛盾律表述為:﹁(A∧﹁A);排中律表述為:A∨﹁A。對這些公式意義的解釋，就是這些規律的內容。例如，亞里士多德對矛盾律的解釋是:“一切意見中最為確實的是，矛盾的陳述不能同時為真。”①邏輯基本規律同存在、認識、心理和意義等是密切關聯的。亞里士多德的邏輯學主要研究了矛盾律和排中律，對同一律也有所涉及;在邏輯規律的討論中，涉及的不只是邏輯方面，而且還比較多地涉及本體論、認識論、心理學和語義方面的內容。這說明，邏輯規律是存在規律的反映。矛盾律為什么在我們的思維中占有特殊的地位?只能由存在規律來解釋。格•克勞斯說:“我們不能把思維作為本原的東西，用思維來解釋這一點。我們不能說:‘我們的思維當它邏輯上不矛盾時便正確’，而回答只能有一個:因為它合乎邏輯。不矛盾律的特殊作用取決于它是從本體論的規律即從本原的基礎引申出來的，也就是說，它是存在規律的反映。”②可見，邏輯規律的基礎是存在規律，徹底割斷本體論與邏輯學的聯系是不可能的，這是決定邏輯規律具有思維內容的重要根由。因此，在形式邏輯中，邏輯規律不只是形式方面，也不只是內容方面，而是內容與形式兩個方面的統一。

第三，推理規則的內容和形式的統一。構成形式邏輯基礎的是推理規則，它是邏輯基本規律在推理過程中的具體化。涅爾在《邏輯學的發展》中說:“邏輯是研究有效推理規則的。”③這就明確地表述了真與假的內容與符號的形式之間的統一。涅爾所說的邏輯，自然是指形式邏輯。他在這個說明中，特別強調的是形式邏輯推理的有效性以及保證推理有效性的規則，由此實現從真前提中有效地推出真結論。因為，邏輯規律與存在規律不同，存在規律的表述是有經驗內容的，邏輯規律是沒有經驗內容的，它只是符號系統的規則，與現實世界中的因果關系不直接相關，只是反映命題之間的真假關系。所以，“在邏輯上具有巨大意義的規律，是表示一些判斷的真(假)同另一些判斷的真(假)之間的依賴關系的規律。這些規律決定著推理有合乎邏輯的正確形式”④。命題的真假，并不是思維的形式，而是思維的內容，但又只有在形式關系中，根據一定的規則，才能斷定命題的真假。這表明，“真”與“假”不是事實關系中的真與假，而是形式關系中的真與假，即如何以形式之間的正確聯系來達到這個“真”，這便成為形式關系中的內容。進一步說，所謂“有效性”或“無效性”，就是一種思維內容。有效性是真的，無效性是假的。由于推理形式本身包含了“有效規則”，因而它是內容和形式的統一。形式邏輯的核心，就是邏輯后承，或有效后承。所以，簡要地說，形式邏輯只是研究有效推理的規則，只有遵守這種邏輯規則，才能使推理形式有效。有效的推理，其結論必定是真的;無效的推理，其結論必定是假的。“必然性”，“必然地推出”，是指內容方面的問題;如何通過形式之間的關系來實現這種“必然性”和“必然地推出”，關鍵在于形式的保證，是形式方面的問題。這同樣表明，在任何形式中，都包含著與思維形式相適應的內容。

第四，內涵和外延都是思維內容。邏輯內容不僅包括作為符號內涵的質，而且也包括符號外延的量。在關于概念的討論中，邏輯教科書都把內涵與外延看作概念的兩個邏輯特征。不只是概念，語句也同樣具有這兩個邏輯特征。形式邏輯通常都不研究概念的內涵，而只研究概念的外延關系，因而我們都稱形式邏輯為外延邏輯。正是這個原因，不少人把現代的哲學邏輯稱為非形式邏輯或內涵邏輯，因為它引進了一些哲學范疇作為邏輯常項，如“必然”與“可能”，“過去”、“現在”與“將來”等。上面所說的對符號的解釋，首先得到明確的是符號的內涵，即意義，然后即可確定它們的外延關系。例如，在模態邏輯中，符號“”和“”之間的關系，由于賦予了“必然”和“可能”的意義，同時也就規定了它們的外延關系。在模態對當方陣中的矛盾關系、差等關系和反對關系，同形式邏輯中的對當方陣一樣，都是用外延關系來確定的。外延關系是由內涵決定的。如果說形式邏輯是外延邏輯，那么，模態邏輯也應該是外延邏輯。不同的是，模態邏輯引進了必然(“”)和可能(“”)等不同的邏輯常項，表明它具有不同的內容。但要進行邏輯運算，都必須依賴于外延關系。內涵是思維的內容，這是沒有異議的。問題是，外延也是思維內容嗎?形式邏輯對全稱量詞(?x)和存在量詞(?x)的賦值，已經對這個問題作了肯定回答。因為這些賦值都屬于量的方面，而且成為這些符號的意義。所以，外延的量同樣是一種意義，屬于思維內容。內涵與外延的關系，不屬于內容與形式的關系，而是質與量的關系。任何事物都具有質和量的規定性，對這兩種規定性的反映，使概念、詞項、句子等都具有內涵與外延的屬性?？柤{普認為，一個謂詞包括作為“類”和作為“性質”兩個方面的特性，如，“人”既是作為包含許多個別人為元素的類的“人”，又是作為具有同樣人性的性質的“人”。于是，謂詞“P”的外延是相應的類，而其內涵則是相應的性質。

關于語句，當它具有真值時，便是一個命題。因此，語句的內涵是命題，它的外延則是它的真值。關于某一個體詞，它的內涵是它所表達的個體的概念，它的外延是它所指稱的個體。所以，外延是由內涵決定的，因而內涵與外延是不能各自獨立存在的，是不能分離的。詹斯奧爾伍德指出:內涵是“連接語言和這個世界的黏合物。一個內涵就是使一個語言表達式和它的外延產生聯系的某種東西。它決定一個語言表達式的外延”①。在一切邏輯科學中，內涵與外延都是統一的，形式邏輯也不能例外。由于外延是由內涵決定的，因而外延的存在必須以確定的內涵為前提，所以它不屬于邏輯形式，而屬于邏輯內容。作為邏輯內容的內涵和外延，其中雖然也有對經驗內容的進一步抽象，但不都是經驗內容。事物的質和量，是現實世界中的形式和關系，它反映到邏輯科學中，表現為內涵和外延，這只是說明邏輯內容和邏輯形式的外表來源。“但是，為了對這些形式和關系能夠從它們的純粹狀態來進行研究，必須使它們完全脫離自己的內容，把內容作為無關重要的東西放在一邊”①。這樣，我們就得到了沒有經驗內容的邏輯內容。內涵和外延，就是事物的質和量這些經驗內容的抽象，說的都是邏輯學的思維內容。上述分析表明，形式邏輯不僅研究推理形式，而且也同時研究推理內容。所以，認為形式邏輯只管思維形式而不管思維內容的觀點，是不能成立的。#p#分頁標題#e#

邏輯學研究的意義邏輯轉向

在宏觀上，意義可以分為兩類，一類是經驗內容的意義，另一類是非經驗內容的意義。具體科學中的意義屬于前者，邏輯學中的意義屬于后者。萊布尼茨早就提出了理性真理和事實真理的區分，他說:“有兩種真理:推理的真理和事實的真理。推理的真理是必然的，它的否定是不可能的;事實的真理是偶然的，它的否定是可能的。”②形式邏輯所追求的是推理的真理，屬于非經驗內容的意義;具體科學所追求的是事實的真理，屬于經驗內容的意義。因此，推理的真理只是形式的真，只管形式的正確性，不管內容的真實性。其中的邏輯必然性，也只是形式必然性或抽象必然性，雖然它也是事實真理的必要條件，但并不是充分條件。要使抽象必然性向具體必然性過渡，實現邏輯的真理與事實的真理的統一，必須建構經驗內容進入邏輯思維的通道。但形式邏輯系統的封閉性已經斷絕了這種通道，也就已經無緣實現這種結合了。

一旦邏輯學向經驗內容開放，它便離開了單純的形式研究而進入邏輯應用的具體科學領域。這時，推理的有效性不僅依賴于形式的正確性，而且必須依賴于經驗內容的真實性。斯蒂芬•里德指出:“經典邏輯堅持所有邏輯推論都是形式問題，就不能把其正確性依賴非邏輯詞項之間的關系的推理作為有效推理。給定一個圓的對象，可以推出它不是方的;但這個推理根據形式不是有效的，如果根據內容，即根據‘是圓的’的含義，那么它是有效的。我們可以稱這樣的推理為實質有效推理，即根據內容而不是形式為有效的推理。”③實質有效推理所得到的結論是事實的真理。在這里，需要輸入經驗內容的意義。從單純形式的立場看，知道了“若是圓的”，并不能知道它“不是方的”，而只能是:知道了“若是圓的”，就知道“不是非圓的”，即“若是p”，就“不是?p”。斯蒂芬•里德的分析，為我們提供了一個重要的啟示:實質有效推理使邏輯學研究走向意義邏輯，是使理性真理向事實真理轉化，實現兩種真理的統一的途徑。波普爾在研究社會科學的邏輯時，提出了27個命題。其中的第一個命題是:我們擁有大量的知識;第二個命題是:我們的無知是無限的、令人清醒的。關于這兩個命題，波普爾指出:“當然，我的關于知識與無知的兩個命題只是看上去好像彼此矛盾。這種表面的矛盾的主要原因在于這樣一個事實，在這兩個命題中各在頗不相同的意義上使用了‘知識’這個詞。然而這兩種意義都是重要的。”④要說明這兩個命題的不矛盾性，同樣需要經驗內容的引入。

為什么從形式上看，這兩個命題是自相矛盾的?因為這里的形式是指把“知識”這個語詞作為“概念”，即作為一種符號來使用，作為同一個概念的符號只能給予同一種意義，但兩個命題給出了兩種相反的意義。如果合取這兩個命題，那么，就要產生邏輯矛盾，這種邏輯矛盾表達式是:“A∧?A”。但由于輸入了經驗內容的意義，這兩個命題中的“知識”一詞具有了不同的意義:第一個命題中的“知識”是關于“已知”的知識，第二個命題中的“知識”是關于“未知”的知識。由于對“知識”一詞作不同的解釋，賦予不同的意義，因而成為兩個不同的概念，不構成邏輯矛盾表達式。這說明，第一，在應用形式邏輯于知識內容的研究時，必須對思維形式賦予具有經驗內容的意義;第二，在形式邏輯立場上認為存在邏輯矛盾的地方，往往產生了內容與形式的非對應性的錯位，只有根據經驗內容對符號的意義作出不同解釋，才能消除這種邏輯矛盾。

篇4

［關鍵詞］人工智能，常識推理，歸納邏輯，廣義內涵邏輯，認知邏輯，自然語言邏輯

現代邏輯創始于19世紀末葉和20世紀早期，其發展動力主要來自于數學中的公理化運動。當時的數學家們試圖即從少數公理根據明確給出的演繹規則推導出其他的數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴格的演繹大廈，然后用某種程序和方法一勞永逸地證明數學體系的可靠性。為此需要發明和鍛造嚴格、精確、適用的邏輯工具。這是現代邏輯誕生的主要動力。由此造成的后果就是20世紀邏輯研究的嚴重數學化，其表現在于：一是邏輯專注于在數學的形式化過程中提出的問題；二是邏輯采納了數學的方法論，從事邏輯研究就意味著象數學那樣用嚴格的形式證明去解決問題。由此發展出來的邏輯被恰當地稱為“數理邏輯”，它增強了邏輯研究的深度，使邏輯學的發展繼古希臘邏輯、歐洲中世紀邏輯之后進入第三個高峰期，并且對整個現代科學特別是數學、哲學、語言學和計算機科學產生了非常重要的影響。

本文所要探討的問題是：21世紀邏輯發展的主要動力將來自何處？大致說來將如何發展？我個人的看法是：計算機科學和人工智能將至少是21世紀早期邏輯學發展的主要動力源泉，并將由此決定21世紀邏輯學的另一幅面貌。由于人工智能要模擬人的智能，它的難點不在于人腦所進行的各種必然性推理（這一點在20世紀基本上已經做到了，如用計算機去進行高難度和高強度的數學證明，“深藍”通過高速、大量的計算去與世界冠軍下棋），而是最能體現人的智能特征的能動性、創造性思維，這種思維活動中包括學習、抉擇、嘗試、修正、推理諸因素，例如選擇性地搜集相關的經驗證據，在不充分信息的基礎上作出嘗試性的判斷或抉擇，不斷根據環境反饋調整、修正自己的行為，……由此達到實踐的成功。于是，邏輯學將不得不比較全面地研究人的思維活動，并著重研究人的思維中最能體現其能動性特征的各種不確定性推理，由此發展出的邏輯理論也將具有更強的可應用性。

實際上，在20世紀中后期，就已經開始了現代邏輯與人工智能（記為AI）之間的相互融合和滲透。例如，哲學邏輯所研究的許多課題在理論計算機和人工智能中具有重要的應用價值。AI從認知心理學、社會科學以及決策科學中獲得了許多資源，但邏輯（包括哲學邏輯）在AI中發揮了特別突出的作用。某些原因促使哲學邏輯家去發展關于非數學推理

的理論；基于幾乎同樣的理由，AI研究者也在進行類似的探索，這兩方面的研究正在相互接近、相互借鑒，甚至在逐漸融合在一起。例如，AI特別關心下述課題：

·效率和資源有限的推理；

·感知；

·做計劃和計劃再認；

·關于他人的知識和信念的推理；

·各認知主體之間相互的知識；

·自然語言理解；

·知識表示；

·常識的精確處理；

·對不確定性的處理，容錯推理；

·關于時間和因果性的推理；

·解釋或說明；

·對歸納概括以及概念的學習。[①]

21世紀的邏輯學也應該關注這些問題，并對之進行研究。為了做到這一點，邏輯學家們有必要熟悉AI的要求及其相關進展，使其研究成果在AI中具有可應用性。

我認為，至少是21世紀早期，邏輯學將會重點關注下述幾個領域，并且有可能在這些領域出現具有重大意義的成果：（1）如何在邏輯中處理常識推理中的弗協調、非單調和容錯性因素？（2）如何使機器人具有人的創造性智能，如從經驗證據中建立用于指導以后行動的歸納判斷？（3）如何進行知識表示和知識推理，特別是基于已有的知識庫以及各認知主體相互之間的知識而進行的推理？（4）如何結合各種語境因素進行自然語言理解和推理，使智能機器人能夠用人的自然語言與人進行成功的交際？等等。

1．常識推理中的某些弗協調、非單調和容錯性因素

AI研究的一個目標就是用機器智能模擬人的智能，它選擇各種能反映人的智能特征的問題進行實踐，希望能做出各種具有智能特征的軟件系統。AI研究基于計算途徑，因此要建立具有可操作性的符號模型。一般而言，AI關于智能系統的符號模型可描述為：由一個知識載體（稱為知識庫KB）和一組加載在KB上的足以產生智能行為的過程（稱為問題求解器PS）構成。經過20世紀70年代包括專家系統的發展，AI研究者逐步取得共識，認識到知識在智能系統中力量，即一般的智能系統事實上是一種基于知識的系統，而知識包括專門性知識和常識性知識，前者亦可看做是某一領域內專家的常識。于是，常識問題就成為AI研究的一個核心問題，它包括兩個方面：常識表示和常識推理，即如何在人工智能中清晰地表示人類的常識，并運用這些常識去進行符合人類行為的推理。顯然，如此建立的常識知識庫可能包含矛盾，是不協調的，但這種矛盾或不協調應不至于影響到進行合理的推理行為；常識推理還是一種非單調推理，即人們基于不完全的信息推出某些結論，當人們得到更完全的信息后，可以改變甚至收回原來的結論；常識推理也是一種可能出錯的不精確的推理模式，是在容許有錯誤知識的情況下進行的推理，簡稱容錯推理。而經典邏輯拒斥任何矛盾，容許從矛盾推出一切命題；并且它是單調的，即承認如下的推理模式：如果p?r，則pùq?r；或者說，任一理論的定理屬于該理論之任一擴張的定理集。因此，在處理常識表示和常識推理時，經典邏輯應該受到限制和修正，并發展出某些非經典的邏輯，如次協調邏輯、非單調邏輯、容錯推理等。有人指出，常識推理的邏輯是次協調邏輯和非單調邏輯的某種結合物，而后者又可看做是對容錯推理的簡單且基本的情形的一種形式化。[②]

“次協調邏輯”（ParaconsistentLogic）是由普里斯特、達·科斯塔等人在對悖論的研究中發展出來的，其基本想法是：當在一個理論中發現難以克服的矛盾或悖論時，與其徒勞地想盡各種辦法去排除或防范它們，不如干脆讓它們留在理論體系內，但把它們“圈禁”起來，不讓它們任意擴散，以免使我們所創立或研究的理論成為“不足道”的。于是，在次協調邏輯中，能夠容納有意義、有價值的“真矛盾”，但這些矛盾并不能使系統推出一切，導致自毀。因此，這一新邏輯具有一種次于經典邏輯但又遠遠高于完全不協調系統的協調性。次協調邏輯家們認為，如果在一理論T中，一語句A及其否定?A都是定理，則T是不協調的；否則，稱T是協調的。如果T所使用的邏輯含有從互相否定的兩公式可推出一切公式的規則或推理，則不協調的T也是不足道的(trivial)。因此，通常以經典邏輯為基礎的理論，如果它是不協調的，那它一定也是不足道的。這一現象表明，經典邏輯雖可用于研究協調的理論，但不適用于研究不協調但又足道的理論。達·科斯塔在20世紀60年代構造了一系列次協調邏輯系統Cn（1≤n≤w），以用作不協調而又足道的理論的邏輯工具。對次協調邏輯系統Cn的特征性描述包括下述命題：(i)矛盾律?(Aù?A)不普遍有效；(ii)從兩個相互否定的公式A和?A推不出任意公式；即是說，矛盾不會在系統中任意擴散，矛盾不等于災難。(iii)應當容納與(i)和(ii)相容的大多數經典邏輯的推理模式和規則。這里，(i)和(ii)表明了對矛盾的一種相對寬容的態度，(iii)則表明次協調邏輯對于經典邏輯仍有一定的繼承性。

在任一次協調邏輯系統Cn(1≤n≤w)中，下述經典邏輯的定理或推理模式都不成立：

?(Aù?A)

Aù?AB

A(?AB)

(A??A)B

(A??A)?B

A??A

(?Aù(AúB))B

(AB)(?B?A)

若以C0為經典邏輯，則系列C0,C1,C2,…Cn,…Cw使得對任正整數i有Ci弱于Ci-1，Cw是這系列中最弱的演算。已經為Cn設計出了合適的語義學，并已經證明Cn相對于此種語義是可靠的和完全的，并且次協調命題邏輯系統Cn還是可判定的。現在，已經有人把次協調邏輯擴展到模態邏輯、時態邏輯、道義邏輯、多值邏輯、集合論等領域的研究中，發展了這些領域內的次協調理論。顯然，次協調邏輯將會得到更進一步的發展。[③]

非單調邏輯是關于非單調推理的邏輯，它的研究開始于20世紀80年代。1980年，D·麥克多莫特和J·多伊爾初步嘗試著系統發展一種關于非單調推理的邏輯。他們在經典謂詞演算中引入一個算子M，表示某種“一致性”斷言，并將其看做是模態概念，通過一定程序把模態邏輯系統T、S4和S5翻譯成非單調邏輯。B·摩爾的論文《非單調邏輯的語義思考》（1983）據認為在非單調邏輯方面作出了令人注目的貢獻。他在“缺省推理”和“自動認知推理”之間做了區分，并把前者看作是在沒有任何相反信息和缺少證據的條件下進行推理的過程，這種推理的特征是試探性的：根據新信息，它們很可能會被撤消。自動認知推理則不是這種類型，它是與人們自身的信念或知識相關的推理，可用它模擬一個理想的具有信念的有理性的人的推理。對于在計算機和人工智能中獲得成功的應用而言，非單調邏輯尚需進一步發展。

2．歸納以及其他不確定性推理

人類智能的本質特征和最高表現是創造。在人類創造的過程中，具有必然性的演繹推理固然起重要作用，但更為重要的是具有某種不確定性的歸納、類比推理以及模糊推理等。因此，計算機要成功地模擬人的智能，真正體現出人的智能品質，就必須對各種具有不確定性的推理模式進行研究。

首先是對歸納推理和歸納邏輯的研究。這里所說的“歸納推理”是廣義的，指一切擴展性推理，它們的結論所斷定的超出了其前提所斷定的范圍，因而前提的真無法保證結論的真，整個推理因此缺乏必然性。具體說來，這種意義的“歸納”包括下述內容：簡單枚舉法；排除歸納法，指這樣一些操作：預先通過觀察或實驗列出被研究現象的可能的原因，然后有選擇地安排某些事例或實驗，根據某些標準排除不相干假設，最后得到比較可靠的結論；統計概括：從關于有窮數目樣本的構成的知識到關于未知總體分布構成的結論的推理；類比論證和假說演繹法，等等。盡管休謨提出著名的“歸納問題”，對歸納推理的合理性和歸納邏輯的可能性提出了深刻的質疑，但我認為，（1）歸納是在茫茫宇宙中生存的人類必須采取也只能采取的認知策略，對于人類來說具有實踐的必然性。（2）人類有理由從經驗的重復中建立某種確實性和規律性，其依據就是確信宇宙中存在某種類似于自然齊一律和客觀因果律之類的東西。這一確信是合理的，而用純邏輯的理由去懷疑一個關于世界的事實性斷言則是不合理的，除非這個斷言是邏輯矛盾。（3）人類有可能建立起局部合理的歸納邏輯和歸納方法論。并且，歸納邏輯的這種可能性正在計算機科學和人工智能的研究推動下慢慢地演變成現實。恩格斯早就指出，“社會一旦有技術上的需要，則這種需要比十所大學更能把科學推向前進?！盵④]有人通過指責現有的歸納邏輯不成熟，得出“歸納邏輯不可能”的結論，他們的推理本身與歸納推理一樣，不具有演繹的必然性。（4）人類實踐的成功在一定程度上證明了相應的經驗知識的真理性，也就在一定程度上證明了歸納邏輯和歸納方法論的力量。毋庸否認，歸納邏輯目前還很不成熟。有的學者指出，為了在機器的智能模擬中克服對歸納模擬的困難而有所突破，應該將歸納邏輯等有關的基礎理論研究與機器學習、不確定推理和神經網絡學習模型與歸納學習中已有的成果結合起來。只有這樣，才能在已有的歸納學習成果上，在機器歸納和機器發現上取得新的突破和進展。[⑤]這是一個極有價值且極富挑戰性的課題，無疑在21世紀將得到重視并取得進展。

再談模糊邏輯。現實世界中充滿了模糊現象，這些現象反映到人的思維中形成了模糊概念和模糊命題，如“矮個子”、“美人”、“甲地在乙地附近”、“他很年輕”等。研究模糊概念、模糊命題和模糊推理的邏輯理論叫做“模糊邏輯”。對它的研究始于20世紀20年代，其代表性人物是L·A·查德和P·N·馬林諾斯。模糊邏輯為精確邏輯（二值邏輯）解決不了的問題提供了解決的可能，它目前在醫療診斷、故障檢測、氣象預報、自動控制以及人工智能研究中獲得重要應用。顯然，它在21世紀將繼續得到更大的發展。

3．廣義內涵邏輯

經典邏輯只是對命題聯結詞、個體詞、謂詞、量詞和等詞進行了研究，但在自然語言中，除了這些語言成分之外，顯然還存在許多其他的語言成分，如各種各樣的副詞，包括模態詞“必然”、“可能”和“不可能”、時態詞“過去”、“現在”和“未來”、道義詞“應該”、“允許”、“禁止”等等，以及各種認知動詞，如“思考”、“希望”、“相信”、“判斷”、“猜測”、“考慮”、“懷疑”，這些認知動詞在邏輯和哲學文獻中被叫做“命題態度詞”。對這些副詞以及命題態度詞的邏輯研究可以歸類為“廣義內涵邏輯”。

大多數副詞以及幾乎所有命題態度詞都是內涵性的，造成內涵語境，后者與外延語境構成對照。外延語境又叫透明語境，是經典邏輯的組合性原則、等值置換規則、同一性替換規則在其中適用的語境；內涵語境又稱晦暗語境，是上述規則在其中不適用的語境。相應于外延語境和內涵語境的區別，一切語言表達式（包括自然語言的名詞、動詞、形容詞直至語句）都可以區分為外延性的和內涵性的，前者是提供外延語境的表達式，后者是提供內涵性語境的表達式。例如，殺死、見到、擁抱、吻、砍、踢、打、與…下棋等都是外延性表達式，而知道、相信、認識、必然、可能、允許、禁止、過去、現在、未來等都是內涵性表達式。

在內涵語境中會出現一些復雜的情況。首先，對于個體詞項來說，關鍵性的東西是我們不僅必須考慮它們在現實世界中的外延，而且要考慮它們在其他可能世界中的外延。例如，由于“必然”是內涵性表達式，它提供內涵語境，因而下述推理是非有效的：晨星必然是晨星，

晨星就是暮星，

所以，晨星必然是暮星。

這是因為：這個推理只考慮到“晨星”和“暮星”在現實世界中的外延，并沒有考慮到它們在每一個可能世界中的外延，我們完全可以設想一個可能世界，在其中“晨星”的外延不同于“暮星”的外延。因此，我們就不能利用同一性替換規則，由該推理的前提得出它的結論：“晨星必然是暮星”。其次，在內涵語境中，語言表達式不再以通常是它們的外延的東西作為外延，而以通常是它們的內涵的東西作為外延。以“達爾文相信人是從猿猴進化而來的”這個語句為例。這里，達爾文所相信的是“人是從猿猴進化而來的”所表達的思想，而不是它所指稱的真值，于是在這種情況下，“人是從猿猴進化而來的”所表達的思想（命題）就構成它的外延。再次，在內涵語境中，雖然適用于外延的函項性原則不再成立，但并不是非要拋棄不可，可以把它改述為新的形式：一復合表達式的外延是它出現于外延語境中的部分表達式的外延加上出現于內涵語境中的部分表達式的內涵的函項。這個新的組合性或函項性原則在內涵邏輯中成立。

一般而言，一個好的內涵邏輯至少應滿足兩個條件：（i）它必須能夠處理外延邏輯所能處理的問題；（ii）它還必須能夠處理外延邏輯所不能處理的難題。這就是說，它既不能與外延邏輯相矛盾，又要克服外延邏輯的局限。這樣的內涵邏輯目前正在發展中，并且已有初步輪廓。從術語上說，內涵邏輯除需要真、假、語句真值的同一和不同、集合或類、謂詞的同范圍或不同范圍等外延邏輯的術語之外，還需要同義、內涵的同一和差異、命題、屬性或概念這樣一些術語。廣而言之，可以把內涵邏輯看作是關于象“必然”、“可能”、“知道”、“相信”，“允許”、“禁止”等提供內涵語境的語句算子的一般邏輯。在這種廣義之下，模態邏輯、時態邏輯、道義邏輯、認知邏輯、問題邏輯等都是內涵邏輯。不過，還有一種狹義的內涵邏輯，它可以粗略定義如下：一個內涵邏輯是一個形式語言，其中包括（1）謂詞邏輯的算子、量詞和變元，這里的謂詞邏輯不必局限于一階謂詞邏輯，也可以是高階謂詞邏輯；（2）合式的λ—表達式，例如(λx)A，這里A是任一類型的表達式，x是任一類型的變元，(λx)A本身是一函項，它把變元x在其中取值的那種類型的對象映射到A所屬的那種類型上；（3）其他需要的模態的或內涵的算子，例如€，ù、ú。而一個內涵邏輯的解釋，則由下列要素組成：（1）一個可能世界的非空集W；（2）一個可能個體的非空集D；（3）一個賦值，它給系統內的表達式指派它們在每w∈W中的外延。對于任一的解釋Q和任一的世界w∈W，判定內涵邏輯系統中的任一表達式X相對于解釋Q在w∈W中的外延總是可能的。這樣的內涵邏輯系統有丘奇的LSD系統，R·蒙塔古的IL系統，以及E·N·扎爾塔的FIL系統等。[⑥]

在各種內涵邏輯中，認識論邏輯（epistemiclogic）具有重要意義。它有廣義和狹義之分。廣義的認識論邏輯研究與感知（perception）、知道、相信、斷定、理解、懷疑、問題和回答等相關的邏輯問題，包括問題邏輯、知道邏輯、相信邏輯、斷定邏輯等；狹義的認識論邏輯僅指知道和相信的邏輯，簡稱“認知邏輯”。馮·賴特在1951年提出了對“認知模態”的邏輯分析，這對建立認知邏輯具有極大的啟發作用。J·麥金西首先給出了一個關于“知道”的模態邏輯。A·帕普于1957年建立了一個基于6條規則的相信邏輯系統。J·亨迪卡于60年代出版的《知識和信念》一書是認知邏輯史上的重要著作，其中提出了一些認知邏輯的系統，并為其建立了基于“模型集”的語義學，后者是可能世界語義學的先導之一。當今的認知邏輯紛繁復雜，既不成熟也面臨許多難題。由于認知邏輯涉及認識論、心理學、語言學、計算機科學和人工智能等諸多領域，并且認知邏輯的應用技術，又稱關于知識的推理技術，正在成為計算機科學和人工智能的重要分支之一，因此認知邏輯在20世紀中后期成為國際邏輯學界的一個熱門研究方向。這一狀況在21世紀將得到繼續并進一步強化，在這方面有可能出現突破性的重要結果。

4．對自然語言的邏輯研究

對自然語言的邏輯研究有來自幾個不同領域的推動力。首先是計算機和人工智能的研究，人機對話和通訊、計算機的自然語言理解、知識表示和知識推理等課題，都需要對自然語言進行精細的邏輯分析，并且這種分析不能僅停留在句法層面，而且要深入到語義層面。其次是哲學特別是語言哲學，在20世紀哲學家們對語言表達式的意義問題傾注了異乎尋常的精力，發展了各種各樣的意義理論，如觀念論、指稱論、使用論、言語行為理論、真值條件論等等，以致有人說，關注意義成了20世紀哲學家的職業病。再次是語言學自身發展的需要，例如在研究自然語言的意義問題時，不能僅僅停留在脫離語境的抽象研究上面，而要結合使用語言的特定環境去研究，這導致了語義學、語用學、新修辭學等等發展。各個方面發展的成果可以總稱為“自然語言邏輯”，它力圖綜合后期維特根斯坦提倡的使用論，J·L·奧斯汀、J·L·塞爾等人發展的言語行為理論，以及P·格賴斯所創立的會話含義學說等成果，透過自然語言的指謂性和交際性去研究自然語言中的推理。

自然語言具有表達和交際兩種職能，其中交際職能是自然語言最重要的職能，是它的生命力之所在。而言語交際總是在一定的語言環境（簡稱語境）中進行的，語境有廣義和狹義之分。狹義的語境僅指一個語詞、一個句子出現的上下文。廣義的語境除了上下文之外，還包括該語詞或語句出現的整個社會歷史條件，如該語詞或語句出現的時間、地點、條件、講話的人（作者）、聽話的人（讀者）以及交際雙方所共同具有的背景知識，這里的背景知識包括交際雙方共同的信念和心理習慣，以及共同的知識和假定等等。這些語境因素對于自然語言的表達式（語詞、語句）的意義有著極其重要的影響，這具體表現在：（i）語境具有消除自然語言語詞的多義性、歧義性和模糊性的能力，具有嚴格規定語言表達式意義的能力。（ii）自然語言的句子常常包含指示代詞、人稱代詞、時間副詞等，要弄清楚這些句子的意義和內容，就要弄清楚這句話是誰說的、對誰說的、什么時候說的、什么地點說的、針對什么說的，等等，這只有在一定的語境中才能進行。依賴語境的其他類型的語句還有：包含著象“有些”和“每一個”這類量化表達式的句子的意義取決于依語境而定的論域，包含著象“大的”、“冷的”這類形容詞的句子的意義取決于依語境而定的相比較的對象類；模態語句和條件語句的意義取決于因語境而變化的語義決定因素，如此等等。（iii）語言表達式的意義在語境中會出現一些重要的變化，以至偏離它通常所具有的意義（抽象意義），而產生一種新的意義即語用涵義。有人認為，一個語言表達式在它的具體語境中的意義，才是它的完全的真正的意義，一旦脫離開語境，它就只具有抽象的意義。語言的抽象意義和它的具體意義的關系，正象解剖了的死人肢體與活人肢體的關系一樣。邏輯應該去研究、理解、把握自然語言的具體意義，當然不是去研究某一個（或一組）特定的語句在某個特定語境中唯一無二的意義，而是專門研究確定自然語言具體意義的普遍原則。[⑦]美國語言學家保羅·格賴斯把語言表達式在一定的交際語境中產生的一種不同于字面意義的特殊涵義，叫做“語用涵義”、“會話涵義”或“隱涵”（implicature），并于1975年提出了一組“交際合作原則”，包括一個總則和四組準則。總則的內容是：在你參與會話時，你要依據你所參與的談話交流的公認目的或方向，使你的會話貢獻符合這種需要。仿照康德把范疇區分為量、質、關系和方式四類，格賴斯提出了如下四組準則：

（1）數量準則：在交際過程中給出的信息量要適中。

a．給出所要求的信息量；

b．給出的信息量不要多于所要求的信息量。

（2）質量準則：力求講真話。

a．不說你認為假的東西，。

b．不說你缺少適當證據的東西。

（3）關聯準則：說話要與已定的交際目的相關聯。

（4）方式準則：說話要意思明確，表達清晰。

a．避免晦澀生僻的表達方式；

b．避免有歧義的表達方式；

c．說話要簡潔；

d．說話要有順序性。[⑧]

后來對這些原則提出了不和補充，例如有人還提出了交際過程中所要遵守的“禮貌原則”。只要把交際雙方遵守交際合作原則之類的語用規則作為基本前提，這些原則就可以用來確定和把握自然語言的具體意義（語用涵義）。實際上，一個語句p的語用涵義，就是聽話人在具體語境中根據語用規則由p得到的那個或那些語句。更具體地說，從說話人S說的話語p推出語用涵義q的一般過程是：

（i）S說了p；

（ii）沒有理由認為S不遵守準則，或至少S會遵守總的合作原則；

（iii）S說了p而又要遵守準則或總的合作原則，S必定想表達q；

（iv）S必然知道，談話雙方都清楚：如果S是合作的，必須假設q；

（v）S無法阻止聽話人H考慮q；

（vi）因此，S意圖讓H考慮q，并在說p時意味著q。

試舉二例：

（1）a站在熄火的汽車旁，b向a走來。a說：“我沒有汽油了。”b說：“前面拐角處有一個修車鋪?！边@里a與b談話的目的是：a想得到汽油。根據關系準則，b說這句話是與a想得到汽油相關的，由此可知：b說這句話時隱涵著：“前面的修車鋪還在營業并且賣汽油?！薄坝小卑鏅嗨?/p>