思維導圖在高等數學教學的運用

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摘要:通過思維導圖方式記錄筆記及整理學習思路是提高學習效率的一種有效手段。高等數學是理工科學生的基礎課，通過思維導圖建立學習框架系統能夠有效提高高等數學的學習效率。文章簡單介紹了思維導圖的概念、建立步驟及常用版式，通過在高等數學課程利用思維導圖做讀書筆記、講授課堂小結的教學實例，驗證了思維導圖能夠整理學習思路，條理知識脈絡，提高學生學習效率，達到有效課堂教學，取得較好的教學效果。

關鍵詞:高等數學;思維導圖;提高學習效率

《高等數學》課程作為理工類大學的一門專業課，要求理工科學生必須具備使用數學語言表述數學規律，能夠用數學的思維方式來分析問題。盡管師生充分利用眾多的學習資料及網絡學習資源，對高等數學課程投入了足夠的精力，高等數學課程的教學與學習依然是一個難點。因此，在當代教學活動中，提高高等數學學習效率一直是當前課堂改革的一個研究熱點。提高學習效率的手段主要有培養良好的學習習慣［1］、重視反思［2］、實施興趣教學［3］等。在數學教學中，教師進行有效教學，建立有意義課堂學習的策略之一就是建立學習框架系統，在學習者的大腦中建立一種有效的認知結構，達到有效課堂教學。有序條理的課堂筆記能夠促進人們理解數學并有效記憶，如何建立整潔有效的課堂學習筆記是提高學習效率的一種重要學習方法。通過思維導圖方式記錄筆記及整理學習思路，能夠提高發散思維能力，整理知識脈絡，建立知識學習框架系統，提高學習效率。20世紀60年代，英國人TonyBuzan提出了思維導圖的概念，并將思維導圖作為一種記筆記的方法［4］。思維導圖強調發散性思維與邏輯思維能力，它將圖像與關鍵字詞相結合，運用線條將各級主題關系相連接，刺激大腦記憶。在繪制思維導圖過程中通過主動構建內容框架，形成關鍵詞與圖像的有效銜接，快速在大腦內部建立內在聯系，從關鍵詞出發，思緒像蜘蛛網一樣往外擴散蔓延，能夠培養全面思考的思維模式。每個關鍵詞都可以看做一個節點，通過有向或者無向的線條建立一個網絡，每個關鍵詞可以發散出無數的節點，從而呈現一種網絡結構。在這個網絡結構中，我們將關鍵詞用線連接起來，形成節點的連接，通過關鍵詞的連線將知識點進行連接，在大腦中建立個人知識數據庫。

1思維導圖的相關概念

1．1思維導圖的概念。思維導圖(TheMindMap)是一種利用圖像來進行輔助記憶的有效工具。它利用圖像與文字的結合，把具有不同權重或者不同地位的內容放置于圓圈或者方框等符號之中，并用線段將相關內容連接，建立關鍵詞與記憶的有效銜接，通過顏色、線條、符號、數字、文字等方式刺激大腦，建立網絡結構，促進有效記憶。1．2繪制思維導圖的步驟。(1)中心主題。對內容建立邏輯次序，尋找關鍵詞，將關鍵詞定義為中心主題。(2)主干。從中心主題出發，尋找與其相關的關鍵詞，將這些關鍵詞作為其延伸出來的分支。選擇與中心主題聯系最密切、最相關的分支作為主干，并用特殊線條進行標記。(3)支干。從各個主干延伸出來的小的分類，用較細的線條標記，與主干進行區別。(4)對具有邏輯推理次序的內容用箭頭表示，體現內容之間的邏輯次序。(5)使用圖像、線條、關鍵詞、色彩來構建合理的思維導圖，要有邏輯布局，能體現邏輯次序，并具有視覺效果，使得內容方便記憶，緊抓要點，提綱挈領。1．3思維導圖的常用版式。(1)邏輯線型。從左到右，從上到下，內容為并列關系。(2)路徑型。有次序，有邏輯順序。(3)有向圖型。按照內容之間的順序關系建立有向圖，按照有向圖的形式繪制思維導圖，能夠明顯看出內容之間的復雜邏輯順序。(4)樹狀圖。它是一種利用關鍵詞按分支關系組織起來的網絡結構，主要體現內容之間的層次關系。

2思維導圖在高等數學中應用的可能性

在目前的教學活動中，常見的教學方式為板書與PPT教學。判斷課堂有效教學的方式有課堂習題答疑，課后檢查教學筆記，批閱課后作業等。即使采取多種手段，課堂教學效果依然取決于學生在課堂上對知識的理解與掌握程度，那么課堂筆記的記錄就尤為重要。思維導圖的最初目的就是改進筆記方法，對于高等數學課堂教學當然也可以嘗試。很多人學習高等數學之后，發現很難理解概念，如果沒有及時整理歸納，記憶將會隨著時間逐漸減弱。在學習過程中，將教學內容用圖示展現出來，利用思維導圖整理學習思路，從而讓學生學會建立條理的課堂學習筆記，能夠增加對高等數學課堂學習內容的理解，并在最大程度上消化內容，提高學習效率。從教師的角度來看，在教學過程中引入思維導圖，將知識點有序串聯，能夠通過有意思的圖示及重要的關鍵詞信息，刺激學生大腦記憶，促進學生對高等數學各個知識點的理解與認知，幫助學生建立自己的高等數學內容框架體系。在板書教學中，教師可以在授課環節或者課堂內容小結部分按照實際課堂需要，引入思維導圖，在黑板上利用各色粉筆與其他輔助教學手段在黑板上呈現課堂內容之間的聯系，引導學生思維，幫助學生將知識體系建立起來，在大腦中建立關鍵詞與內容的有效銜接。在PPT教學中，教師利用多種形式的PPT動畫及圖像，還可以添加動畫、顏色、線條、超鏈接等輔助手段來勾勒教學內容的整體輪廓，提高學生學習興趣。從學生的角度來看，思維導圖通過提取關鍵詞找出各個知識點的邏輯關系，對其進行分類，總結概括要點，提煉觀點，將知識點以由點到面的方式進行有序銜接，幫助學生整理思路，提高學習效率。在課堂學習中，學生引入思維導圖方式來記錄筆記、做好筆記，做到有層次、有重點、有要點，能在筆記中看出學習思路與課堂重點知識。在課后復習中，利用思維導圖，學生建立起課堂內容學習體系，能夠找到本節課中心思想與要點知識，通過關鍵詞的分支與延伸來理清思路，達到事半功倍的效果。

3實例

在高等數學教學中將思維導圖作為教學與學習工具，將其應用于做筆記，做總結，進行知識歸納，整理知識梳理等。特別注意的是在建立思維導圖時對關鍵字詞的選擇需要滿足兩個基本原則:盡可能簡潔、能闡明關鍵信息。總之，思維導圖就是找到中心，圍繞中心進行梳理，核心為簡化旁支、凸顯重點。3．1讀書筆記。以同濟大學版《高等數學》［5］教材的第三章第一節內容為例，在學習第三章第一節時，如果不用思維導圖，做的筆記可能為:羅爾定理:如果函數f(x)滿足(1)在閉區間［a，b］上連續;(2)在開區間(a，b)內可導;(3)在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么(a，b)在內至少有一點ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0。羅爾定理的幾何意義:如果連續的曲線弧兩個端點處的縱坐標相等，且除端點外處處有不垂直于x軸的切線，則曲線弧的最高點或者最低點處，曲線有水平的切線。拉格朗日中值定理:如果函數f(x)滿足(1)在閉區間［a，b］上連續;(2)在開區間(a，b)內可導;那么在(a，b)內至少有一點ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a)。拉格朗日中值定理的幾何意義:如果連續曲線的弧除端點外處處有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點，使得曲線在這一點處的切線平行于曲線弧對應的弦。柯西中值定理:如果函數f(x)及F(x)滿足(1)在閉區間［a，b］上連續;(2)在開區間(a，b)內可導;(3)對任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，那么在(a，b)內至少有一點ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)F(b)－F(a)=f'(ξ)F'(ξ)?？挛鞫ɡ碇兄刀ɡ淼膸缀我饬x:如果曲線弧由參數方程表示，除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線，那么這段弧上至少有一點，使得曲線在這一點處的切線平行于曲線弧對應的弦。分析:常規筆記僅僅是對內容的歸納，從筆記中可以看出對第一節內容要點為羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。在常規筆記中能夠得到的信息為三個定理滿足的條件與結論及三個定理分別的幾何意義，對內容進行了歸納與整理，但是三個定理之間的關系與聯系并沒有體現，說明對于這個筆記的整理僅僅是對主要內容的提煉，還需要對其做進一步的探討。思維導圖筆記(如圖1所示):分析:根據內容之間的聯系，通過樹形圖，建立了思維導圖筆記，體現了三個微分中值定理的條件之間的聯系與區別。從圖1可以看出，思維導圖筆記將三個定理共同的條件放在虛線框內，三個定理之間的關系利用箭頭進行體現。定理的條件與結論是學生記憶的一個難點，在思維導圖筆記中將結論用中值定理的幾何意義來代替，能夠促進學生深刻記憶結論并便于理解幾何意義。在思維導圖筆記中可以看到，篇幅進行了縮減，但是關鍵信息進行了保留，而且通過圖示可以明顯看出三個定理的聯系與區別，雖然沒有寫出微分中值定理明確的結論，依然可以通過幾何意義來簡單得到，體現了對內容的高度凝練。在建立思維導圖筆記的時候形式多樣，可以根據個人習慣進行增減，也可以添加顏色、線條、文字等輔助工具。3．2目錄。目錄是天然的思維導圖。通過目錄，可以明顯的看到一級二級三級內容的層次關系。以同濟大學版《高等數學》第二章導數與微分為例，在學習第二章課程內容之后的課堂總結中，可以利用這一章的目錄來建立思維導圖(如圖2所示)，第二章的標題為中心主題，按照每一個小節的題目作為關鍵詞作為主干，每一節的小標題為支干。按照個人習慣，可以采用其他類型的思維導圖版式，并可以進一步繼續細化，甚至還可以補充一些教學內容的重要結論作為分支。分析:利用目錄建立的思維導圖，明顯體現了教材對教學內容的有序整理與層次分析，利用聯想記憶，將一個個知識片段銜接起來，能簡單建立知識框架結構。3．3歸納內容。利用思維導圖來整理教學內容，以章節目錄為中心主題，對教學內容進行歸納整理，并對目錄中的內容進行一定程度的調換，使得思維導圖形式上和內容上滿足實際教學需要。以同濟大學《高等數學》教材第一章為例，在這一章內容教學結束后的課堂總結上，由于不同小節內容方面有所關聯，我們不能簡單粗暴的利用目錄直接建立思維導圖，而是需要調整與整理分支，使得滿足歸納總結需求，從而建立整理后的思維導圖(如圖3所示)。分析:在這個思維導圖中，主體還是目錄的章節表示，但是將部分內容進行了調整，并且形式上分了主要與次要，按照人們的閱讀習慣，將主要的極限部分放置于右側，將概念、定理、性質放置于左側，在極限的運算部分，對極限的運算法則進行歸納整理，分為四個分支，體現了對數學知識的邏輯整理與有序，促進學生對整體概念的把握。

4結論

通過分析，我們發現，在高等數學教學中引入思維導圖能夠建立內容框架結構，整理教學內容，對知識的邏輯性與有序性進行進一步的開發，輔助學生理清思路，提高學習效率;作為課程內容的可視化體現，有助于刺激大腦協作，增強記憶力，提高學習興趣。思維導圖能最大程度激活認知發展，有助于將新知識納入舊的認知結構中;思維導圖利用鮮艷的色彩與明顯的標志性符號對知識進行標注，有助于提高學生學習興趣;以思維導圖作為教學與學習工具，有助于提高邏輯推理能力和發散思維能力，使學生迅速掌握重點與重點間的邏輯關系;思維導圖的建立使得師生思路清晰，能夠簡單清晰地將內容脈絡呈現出來，便于記憶，有助于開發大腦潛在能力。總之，引入思維導圖的教學模式，將其體現在高等數學的教學過程中，例如課堂教學的導入、授課、

等各個教學過程中，通過將關鍵詞進行有條理、有層次地銜接，將枯燥的數學知識點利用生動有趣的圖示進行展現，在大腦中建立高等數學內容知識框架，最終實現有效的數學學習。

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［5］同濟大學應用數學系．高等數學［M］．5版．北京:高等教育出版社，2002．

作者:劉芳 單位:忻州師范學院數學系