三角函數范文

導語：如何才能寫好一篇三角函數，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

三角函數與函數交匯的試題是近兩年?？碱}型，主要以選擇題形式呈現，用來考查轉化能力、運算求解能力、推理論證能力，難度較大.

■

解答三角函數與函數交匯的試題時，需要充分運用三角函數的奇偶性、周期性和對稱性，并結合函數性質的定義進行討論；要盡量作出所要求函數的示意圖，從數形結合的角度考慮問題會更直觀.

■

■ 函數y=■的圖象大致為（ ）

■

A B

■

C D

破解思路 本題應從奇偶函數圖象的對稱性和極限思想的角度來排除選項. 由于函數y=■為奇函數，其圖象關于原點對稱，可排除A，利用極限思想（如當x0+時，y +∞）可排除B，C，從而得到答案D.

經典答案 令y=f（x）=■，因為f（-x）=■=-■=-f（x），所以函數y=■為奇函數，所以其圖象關于原點對稱，可排除A；又當x0+時，y+∞，故可排除B；當x +∞時，y0，故可排除C；而D均滿足以上分析. 故選D.

■ 設函數f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x3. 又已知函數g（x）=xcos（πx），則函數h（x）=g（x）-f（x）在-■，■上的零點個數為（ ）

？搖A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

破解思路 利用函數的奇偶性與函數的解析式，求出x∈0，■，x∈■，■時，g（x）的解析式，推導出f（0）=g（0）， f（1）=g（1），g■=g■=0，畫出函數的草圖，判斷零點的個數即可.

經典答案 因為當x∈[0，1]時，f（x）=x3.又當x∈[1，2]時，2-x∈[0，1]，所以f（x）= f（2-x）=（2-x）3.當x∈0，■時，g（x）=xcos（πx）；當x∈■，■時，g（x）=-xcos（πx）. 注意到函數f（x），g（x）都是偶函數，且f（0）=g（0）， f（1）=g（1）=1，g■=g■=0，作出函數f（x）和g（x）的草圖（如圖1），函數h（x）除了0，1這兩個零點之外，分別在區間-■，0，0，■，■，1，1，■上各有一個零點，共有6個零點，故選B.

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圖1

■

已知函數f（x）=4x3-3x2sinθ+■的極小值大于零，其中x∈R，θ∈[0，π].

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那么，三角函數有沒有筆算可以解決的方法呢？帶著這樣的思考對一些三角函數的算法進行了一些小結，供大家一起研討：

正弦和余弦的較為精確的算法：

眾所周知，在數學里有一個重要的公式：cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB。從這個公式里我們可以看出每個函數值之間都有存在著一定的聯系，那么這個聯系是什么呢？通過這個聯系能否找到筆算解決的辦法呢？歸根結蒂這個聯系就是上面的公式，因為通過此公式可以從一個函數值推出其它三角函數值，也就是所謂的另種筆算解法。

經上面介紹，大家大概可以明白這個解法是利用所推出公式來計算的，但是不是要推出并記住所有的公式呢？大可不必，只需9個就可以了，

即：C2=2C2-1

C3=C（4C2-3）

C4=8C2（C2-1）+1

C5=C（16C4-20C2+5）

C6=2C2（4C2-3）2-1

C7=（1+C）（8C3-4C2-4C+1）2-1

C8=2（8C4-8C2+1）2-1

C9=C（4C2-3）[（4C2-3）2-3]

C10=2C2（164-20C2+5）2-1

（注：C=cosA，C2=cos2A……C10=cos10A）

另外再記住1°，1′角的余弦值就可以使用了，

即：cos1°=0.99984769516

cos1′=0.999999957692807

例如：求cos76°的值？

解：1.通過1°的余弦值利用C6，C7公式求出6°，7°的余弦值。

2.把7°角余弦值代入公式求出70°角的余弦的值。

3.通過cos（A+B）的公式把70°角的余弦值和6°的余弦值相加，即：cos76°的值。

若求正弦，正切，余切的值可通過以下公式：sinA=cos（90°-A），sinA（1- cos2A）-2，taA=sinA/cosA，ctg=cosA/sinA，可以看出，使用這種方法可以求解，但需要太多的公式，且公式中有許多二次，三次，四次方運算，計算的數值也多有重復，運算過程過于繁雜等等，若想來方便的利用它，只有把這些公式編成程序辦入到計算機中使用了，那么如何利用它在筆算中簡便的使用呢？

正弦和余弦在實際中又有哪些應用呢？我們用一個具體的例子看看。

例：求sin33°33′=？（注：有些數字仍需開平方，大家不妨學一下筆算開平方的方法，具體解法請參考初二代數157頁）

解：sin33°=sin（30°+3′）。

=0.5×（1-0.05232）-2+0.8660×0.0523=0.5446

sin33°=sin（30°+33′）。

=0.5446+（1-0.54462）-2×33×2.909×10-4

=0.5526

可以看出，這種方法基本上達到了筆算要求，運算相對也比較簡便。

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關鍵詞：三角函數；定義域；性質；周期

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）15-0126

一、關于三角函數的定義域、解析式、值域

由象限角引入的正弦函數，使我們面臨兩個直角坐標系――象限角所在的直角坐標系與的圖象所在的直角坐標系，這兩個“系”中，此 x非彼 x，此 y彼 y，此“象限”也非彼“象限”，在教學之初，應明確指出期間的聯系與差別，以避免學生混用 。

多對一的（函數）對應關系，學生并不是第一次接觸，他們最為熟悉的“多對一”函數模型，是二次函數，但二次函數之“多”，最多為兩個，與正弦函數之“無窮多”還是不能同日而語。所以，在最初教師做正弦函數圖象時，要多畫幾個周期，以幫助學生較好的建立“無窮多對一”的直觀形象記憶 。

正弦函數的值域為有限區間，我們在處理與值域有關的問題時，要注意引導學生與以前常見的值域有限制的函數（如：反比例函數、（定義域為有限區間的）二次函數、指數函數等等）研究同類問題時的常用方法做比較，以促進前期學習內容的正遷移 。

例：求函數y=sinx+cosx+sin42x的值域。

二、關于三角函數的圖象

由于前期學習，在單位圓背景下學生對正弦函數的圖象有了初步的認識，所以，與以往用“描點作圖”的方法做出函數圖象相同的是：我們會根據對定義域、函數性質的分析選點作圖；比較特殊的是我們可以利用三角函數線這一數形結合的工具來實現選點、描點、連線等步驟。

與前期學習一樣，我們會關注圖象的幾何特征。特別的，正弦函數的對稱點、對稱軸、平衡軸等圖象特征，將在正弦型函數圖象研究中再次起到關鍵作用，所以，我們可以在研究正弦函數圖象性質時為后期的學習做好鋪墊。

例：已知函數的部分圖象，如圖所示。

（1）求ω、φ的值；

（2）求函數的對稱軸方程和對稱中心坐標。

三、關于三角函數的周期

在三角函數這一章中我們知道y=Asin（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，（A，ω，φ）為常數）與y=Acos（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，A，ω，φ為常數）這些三角函數的周期。那么，三角函數y=Asinn（ωx+φ）與y=Acosn（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，A，ω，φ為常數）的周期又是怎樣的呢？

定理1 函數y=sinnx（x∈R）。當n為偶數時的周期為kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期為π；當n為奇數時，周期為2kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期為2π；函數y=cosnx（x∈R）。當n為偶數時的周期為kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期為π；當n為奇數時，周期為2kπ（k∈Z，k≠0），最小正周期為2π。

證：易證y=sinnx（x∈R）是周期函數（顯然2π為其一個周期）。

設k（k≠0）為y=sinnx（x∈R）的周期。

由周期定義知sinnx= sinn（x+k）（x∈R）（1）

當n為奇數時，（1）成立的充要條件為sinx= sin（x+k）（x∈R），

即k=2mπ（m∈Z，m≠0）最小正周期為2π。

所以當n為奇數時，函數y=sinnx（x∈R）。的周期為2mπ（m∈Z，m≠0），最小正周期為2π。

當n為偶數時，（1）成立的充要條件為sinx=sin（x+k）（x∈R）。

所以當n為偶數時，y=sinnx（x∈R）。的周期為mπ（m∈Z，m≠0），最小正周期為π。

同理：函數y=cosnx（x∈R）的周期也成立。

當然一些比較簡單的我們也可以用降低函數的次數來求函數的周期，不過我們在降低次數的時候千萬不能出錯，不然就會功虧一簣。

四、關于三角函數的性質

周期性與單調性、奇偶性的不同點在于周期性的概念敘述，是“存在性”命題，一般來說，利用“存在性”來判定給定函數是否具有滿足命題的特征時，比較困難。特別的，對學生將要接觸的組合或復合型函數，要想利用周期性符號語言的概念來判定、證明其是否滿足周期性，是否存在最小正周期，有些問題將相當困難。但是，若能通過圖象變換等方法，做出待判定的函數圖象，則判斷函數是否存在周期性、求出函數的最小正周期往往就比較容易。

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1、高中三角函數公式主要有tana·cota=1sind·cscd=1cosa·seca=1，sind/cosd=tand=secd/csca cosa/sind=cotd=cscd/seca等。

2、三角函數是數學中屬于初等函數中的超越函數的函數。它們的本質是任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的。其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全?，F代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數系。

（來源：文章屋網 ）

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目的：要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

過程：一、提出課題：“三角函數”

回憶初中學過的“銳角三角函數”——它是利用直角三角形中兩邊的比值來定義的。相對于現在，我們研究的三角函數是“任意角的三角函數”，它對我們今后的學習和研究都起著十分重要的作用，并且在各門學科技術中都有廣泛應用。

二、角的概念的推廣

1.回憶：初中是任何定義角的?(從一個點出發引出的兩條射線構成的幾何圖形)這種概念的優點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”

2.講解：“旋轉”形成角(P4)

突出“旋轉”注意：“頂點”“始邊”“終邊”

“始邊”往往合于軸正半軸

3.“正角”與“負角”——這是由旋轉的方向所決定的。

記法：角或可以簡記成4.由于用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了。

1°角有正負之分如：a=210°b=-150°g=-660°

2°角可以任意大

實例：體操動作：旋轉2周(360°×2=720°)3周(360°×3=1080°)

3°還有零角一條射線，沒有旋轉

三、關于“象限角”

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角

角的頂點合于坐標原點，角的始邊合于軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角(角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限)

例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角

585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等

四、關于終邊相同的角

1.觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同

2.終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與個周角的和

390°=30°+360°-330°=30°-360°30°=30°+0×360°1470°=30°+4×360°-1770°=30°-5×360°3.所有與a終邊相同的角連同a在內可以構成一個集合

即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和

4.例一(P5略)

五、小結：1°角的概念的推廣

用“旋轉”定義角角的范圍的擴大

2°“象限角”與“終邊相同的角”

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三角函數輔助角公式總結：asinx+bcosx=√(a2+b2)sin[x+arctan(b/a)]。在數學中，輔助角是指三角代換中收縮變換的代表輔助角公式asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ)，其中tanφ=b/a。

三角函數是角的函數，它們在研究三角形和建模周期現象和許多其他應用中是很重要的。三角函數通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是復數值。

（來源：文章屋網 ）

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關鍵詞：幾何畫板 三角函數 動態演示

在新課程改革的大背景下，如何充分應用信息技術服務教學成為了我們每個教育工作者必須關心的話題。在傳統的三角函數教學中，基本上都是使用常規工具（如粉筆，圓規或直尺等）畫圖，所作的圖形是靜態的，具有一定的局限性；而在數學中很多關系和規律是在變化中被發現和掌握的，傳統的教學沒有變化過程，無法展現圖形變化的任意性，從而不利于規律的發現。本文將通過三角函數教學中的兩個案例，展示幾何畫板輔助三角函數教學所具有的獨特優勢，讓三角函數教學"動"起來。

案例1：借助幾何畫板形象說明y=sinx是以2π為周期的周期函數

在人教版數學必修4《第一章三角函數》這一章中，如何理解"三角函數的周期性"是教學的重點，也是教學的難點，正確理解三角函數的周期性對于學生在三角函數的學習中有著舉足輕重的地位。數學概念都是死的，是不能再創造的。傳統的教學對三角函數的周期性這一概念往往是讓學生死記，再機械應用，但隨著時間的推移，學生的記憶就會很快的被遺忘。而事實上，對三角函數的周期性這一概念的教學應該關注學生的學習過程，提供足夠的材料、時間和空間，讓學生通過觀察、比較、交流、討論等活動來完成。幾何畫板對于達到上述目標具有先天的優勢，借助幾何畫板的"平移圖像"功能，通過數形結合很好的向學生展示了三角函數在每個周期上的函數圖像是一樣的。

下面以y=sinx為例，向學生展示y=sinx是以2π為周期的周期函數，繪圖步驟如下：

①建立直角坐標系xOy，執行"圖表-定義坐標系"。在直角坐標系xOy中作出函數y=sinx的圖像：執行"圖表-定義坐標系"，"圖表-繪制新函數-函數-sin-x"。

②在畫板中任取點P，以點P為

坐標原點建立新的直角坐標系，如

應用1，作出y=sinx在區間[0，2π]

上的函數圖像。選中該圖像，執行

"編輯-操作類按鈕-隱藏/顯示"，

生成按鈕顯示軌跡。圖一

③在x軸上繪制點A(-2π，0)、A（2π，0）。依次選中點P、點O，執行"編輯-操作類按鈕-移動"，生成按鈕還原；依次選中點P、點A，執行"編輯-操作類按鈕-移動"，生成按鈕周期1；依次選中點P、點B，執行"編輯-操作類按鈕-移動"，生成按鈕周期2；

④隱藏所有沒必要的對象,如圖一。

教學時，點擊按鈕顯示軌跡，函數在區間[-2π，2π]上的圖像便以粗體的形式出現在學生面前。拉動點P，再次讓學生體會y=sinx在區間[-2π，2π]上的圖像。點擊按鈕還原，則該圖像會回到原來的位置。點擊按鈕周期1和周期2，y=sinx在區間[-2π，2π]上的圖像就會分別移動到區間[-2π，0]和[2π，4π]上，此時，學生很容易看出在這三個周期上的函數圖像是一樣的，依此類推，通過圖像的移動等動態演示，從而使學生深刻理解三角函數的周期性這一概念。

案例2：借助幾何畫板探究函數y=Asin(ωx+φ)的圖像

人教版數學必修4《1.5函數y=Asin(ωx+φ)的圖像》這一章節的教學中，重點是如何讓學生認清楚參數φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)圖像的影響。為此，我們借助幾何畫板分別作出y=sinx與y=sin(x+φ)、y=sinx與y=sinωx、y=sinx與y=Asinx三組圖像，通過改變參數φ、ω、A的值，引導學生觀察參數φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)圖像的影響。

下面，我以φ對y=sin(x+φ)的圖像的影響為例，談談如何借助幾何畫板動態演示y=sinx的圖像轉換成y=sin(x+φ)（φ∈(-π，π)）的圖像，作圖步驟如下：

①作y=sinx的圖像:建立直角坐標系xOy，執行"圖表-定義坐標系"。作函數y=sinx的圖像，執行"圖表-定義坐標系"，"圖表-繪制新函數-函數-sin-x"。

②作y=sin(x+φ)的圖像:在x軸上繪制點M(-π，0)、N(π，0)，作線段MN。選中線段MN，執行"作圖-線段上的點"，得到點P。依次選中點P與原點O，執行"變換-標記向量"。選中y=sinx的圖像，執行"作圖-函數圖像上的點"，得到點A。選中點

A，執行"變換-平移-標記"，得到點B。

依次選中點A和點B，執行"作圖-軌跡"，

得到y=sin(x+φ)的圖像。

③依次選中點P、點A和點B，執行

"度量-橫坐標"，得到點P、點A和點B

的橫坐標xP、xA、xB，則φ=xP。

④隱藏所有沒必要的對象,如圖二。圖二

在教學中，先將點P移至原點。演示的時候，提醒學生觀察參數xP、xA、xB的變化，其中φ=xP。若將點P向x軸的負半軸移動時，函數y=sin(x+φ)的圖像向右移動，此時φ=xP0。通過以上動態演示，學生不難得出以下結論:當φ0時，y=sin(x+φ)的圖像可由y=sinx的圖像向左平移|φ|個單位。

運用幾何畫板輔助三角函數的教學，不僅讓三角函數教學"動"起來，而且還增大課堂容量、優化教學結構，增強學生的學習興趣，激發學生的探究精神。同時，充分體現了"以人為本"的新課程理念，并且拓寬了數學課堂的教學形式，改變以往單一的教學手段，使數學問題更形象化，更貼近生活，為數學教育開辟了更為廣闊的天地。

參考文獻

篇8

1. [cos23°sin53°-sin23°cos53°]=（ ）

A. [12] B.[-32]

C.[-12] D. [32]

2. 已知[α∈（π2，π），cosα=-45，]則[tan（α+π4）]的值為（ ）

A. [17] B. [7]

C. [-17] D. [-7]

3.[tan20°+tan40°+3tan20°tan40°]=（ ）

A. [-3] B. [3]

C. 3 D. [33]

4. 若[270°

A. [sinα2] B. [-sinα2]

C. [cosα2] D. [-cosα2]

5. 若[A]是[ABC]的內角，當[cosA=725]，則[cosA2=]（ ）

A. [±35] B. [35]

C. [±45] D. [45]

6. 化簡[1-sin20°]的結果是（ ）

A. [cos10°] B. [cos10°-sin10°]

C. [sin10°-cos10°] D. [±（cos10°-sin10°）]

7. 設[（2cosx-sinx）（sinx+cosx+3）=0]，則[2cos2x+sin2x1+tanx]的值為（ ）

A. [25] B. [58]

C. [85] D. [52]

8. 已知[cos2x2cos（x+π4）=][15]，[0

A. [-43] B. [-34]

C. [2] D. [-2]

9. 若函數[y=3sin2x+sinx?cosx-32]的圖象關于直線[x=φ]對稱，則[x=φ]可以為（ ）

A. [π4] B. [π3]

C. [5π12] D. [π2]

10. 設[α，β]都是銳角，且[cosα=55]，[sin（α+β）=35]，則[cosβ]=（ ）

A. [2525] B. [255]

C. [2525]或[255] D. [15]或[2525]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 若[cosα=-45，α]是第三象限的角，則[sin（α-π4）=] .

12. 已知對任意的[α，β]有[cosα+βcosα-β=][cos2β-sin2α]恒成立，則[sin210°+cos70°cos50°]的值等于 .

13. 已知[θ]是三角形的一個內角，且[sinθ]，[cosθ]是關于[x]的方程[2x2+px-1=0]的兩根，則[θ]等于 .

14. 若[0

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）已知[cosα=35，cosβ=255]，且[α，β]為銳角，求：

（1）[sin（α-β）]的值；

（2）[tan（2α+β）]的值.

16. （10分）已知向量[a=cosα+2π，1，b=][-2，cosπ2-α]，[α∈π，3π2]，且[ab.]

（1）求[sinα]的值；

（2）求[tan2α+π4]的值.

17. （12分）在平面直角坐標系[xOy]中，以[Ox]軸為始邊作兩個銳角[α]，[β]，它們的終邊分別與單位圓相交于[A，B]兩點，已知點[A]的橫坐標為[210]，點[B]的縱坐標為[55].

（1）求[tan（α+β）]的值；

（2）求[α+2β]的值.

18. （12分）求證：

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一、 “給角求值”

一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察則非特殊角與特殊角總有一定的關系。解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角關系轉化為特殊角，并且求出特殊角的三角函數而得解。

點評本題中“切化弦”是解題的關鍵，它為逆用

和角公式鋪平了道路，然后通過對角的合理變換，將其轉化為特殊角的三角函數值的求解問題。

二、 “給值求值”

給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數式的值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系。

點評化未知角為已知角的思考，抓住了問題的本質是函數值與自變量之間的最基本的對應關系，而不是“變角”技巧。同時，在求解三角函數值時，一方面要注意角的取值情況，切勿出現增根，另一方面要關注角與角之間的關系。通過應用整體法來處理各個角，以減少問題的運算量。

三、 “給值求角”

實質上也轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函數值結合該自變量的取值范圍求得角。

求“動點軌跡的方程”是解析幾何部分的重點和難點，我們要求學生在解答時要注意完備性與純粹性。完備性即軌跡上一個點也不能漏掉；純粹性即軌跡上一個點也不能增加。讓很多學生頭疼的是，最后求出來的曲線方程是否符合完備性和純粹性？方程后面有沒有附加條件？怎樣做可以避免這類問題的錯誤？我們就學生作業中出現的問題來談一談如何有效地去掉動點軌跡中多余的點。

下面是兩道學生作業題中出現的問題：求出一個軌跡方程便結束，以為完成了所有解答，卻不知還有多余的點要去除。

例1 蘇教版選修2-1第64頁第3題：

已知動拋物線的準線為y軸，且經過點A（1，0），求拋物線焦點的軌跡方程。

學生解

設焦點為F（x，y），

由拋物線定義得AF=d=1，

代入坐標得（x-1）2+y2=1。

分析 本題的題設描述的是拋物線的焦點、準線和拋物線上一點的關系，使用定義可以建立幾何等式，進一步得到代數等式，但是在使用拋物線定義時，要注意焦點不在準線上，所以本題還需要添加如下過程：

因為焦點F不在準線y軸上，所以x≠0，

所以焦點的軌跡方程為（x-1）2+y2=1，其中x≠0。

例2 蘇教版選修2-1第64頁第4題：

在求軌跡方程時，很多往往算出一個方程便結束，出現作業題“對而不全”的情況，求動點軌跡如何去掉多余的點，總結起來應注意以下幾種情況：

1. 有些題目中含有已知曲線，如橢圓、雙曲線、拋物線，它們的定義中都有附加條件，解題時要根據曲線的定義來考慮完備性和純粹性，如例1；

2. 利用三角形的三點不共線，去掉多余的點，如例2；

篇10

例1.(2009寧夏)如圖1、圖2,是一款家用的垃圾桶,踏板AB(與地面平行)或繞定點P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下轉動(轉動過程中始終保持AP=A′P,BP=B′P).通過向下踩踏點A到A′(與地面接觸點)使點B上升到點B′,與此同時傳動桿BH運動到B′H′的位置,點H繞固定點D旋轉(DH為旋轉半徑)至點H′,從而使桶蓋打開一個張角∠HDH′.如圖3,桶蓋打開后,傳動桿H′B′所在的直線分別與水平直線AB、DH垂直,垂足為點M、C,設H′C=B′M.測得AP=6cm,PB=12cm,DH′=8cm.要使桶蓋張開的角度∠HDH′不小于60°,那么踏板AB離地面的高度至少等于多少cm?(結果保留兩位有效數字)(參考數據:■≈1.41,■≈1.73)

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圖1

■

圖2 圖3

解:過點A′作A′NAB垂足為N點,

在RtH′CD中,

若∠HDH′不小于60°,

則■≥sin60°=■

■

即H′C≥■H′D=4■

B′M=H′C≥4■

RtA′NP∽RtB′MP

■=■

A′N=■≥■=2■≈3.5cm

踏板AB離地面的高度至少等于3.5cm.

歸納:本題以生活為背景,生活氣息比較濃厚,體現了數學源于生活,生活離不開數學。解決此類問題需要正確地理解題意,從實際問題中構建直角三角形模型。

例2.(2009寧德)某大學計劃為新生配備如圖1所示的折疊椅.圖2是折疊椅撐開后的側面示意圖,其中椅腿AB和CD的長相等,O是它們的中點.為使折疊椅既舒適又牢固,廠家將撐開后的折疊椅高度設計為32cm,∠DOB=100°,那么椅腿的長AB和篷布面的寬AD各應設計為多少cm?(結果精確到0.1cm)

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圖1 圖2

解法1:連接AC,BD

OA=OB=OC=OD

四邊形ACBD為矩形

∠DOB=100°, ∠ABC=50°

■

由已知得AC=32在RtABC中,

sin∠ABC=■

AB≈41.8(cm)

tan∠ABC=■

BC≈26.9(cm)

AD=BC=26.9(cm)

答:椅腿AB的長為41.8cm,篷布面的寬AD為26.9cm.

解法2:作OEAD于E.

OA=OB=OC=OD,

∠AOD=∠BOC

AOD≌BOC

∠DOB=100°,

∠OAD=50°

OE=16

■

在RtAOE中,sin∠OAE=■

OA≈20.89

AB=2OA≈41.8(cm)

tan∠OAE=■,AE≈13.43

AD=2AE≈26.9(cm)

答:椅腿AB的長為41.8cm,篷布面的寬AD為26.9cm.

歸納:求椅腿的長AB和篷布面的寬AD,其解題思路是從實際問題中構建直角三角形模型,通過解直角三角形求得相應線段的長度,近而求得線段的長。新課程倡導, 在教學中,應注重所學知識與日常生活的密切聯系;應注重數學自身的特點,更應遵循學生學習數學的心理規律,強調從學生已有的生活經驗出發,讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程,進而使學生獲得對數學理解的同時,在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。