三角函數解題應用分析論文

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三角函數是學習高等數學的必備基礎知識之一，學習時要注重三角知識的基礎性，突出三角函數的圖象、周期性、單調性、奇偶性、對稱性等性質。以及化簡、求值和最值等重點內容的復習，又要注重三角知識的工具性，突出三角與代數、幾何、向量的綜合聯系，以及三角知識的應用意識。

一、知識整合

1．熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應用特點，常規使用方法等；熟悉三角變換常用的方法——化弦法，降冪法，角的變換法等；并能應用這些方法進行三角函數式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應用的特點，并能結合三角形的公式解決一些實際問題．

2．熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的性質，并能用它研究復合函數的性質；熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數圖象的形狀、特點，并會用五點畫出函數的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數圖象的變化．

二、方法技巧

1.三角函數恒等變形的基本策略。

（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次與升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。

2.證明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。

（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數學歸納法。

3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數的單調性，利用正、余弦函數的有界性，利用單位圓三角函數線及判別法等。

4.解答三角高考題的策略。

（1）發現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。

（2）尋找聯系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯系。

（3）合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化。

四、例題分析

例1．已知，求（1）；（2）的值.

解：（1）；

(2)

.

說明：利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。

例2．求函數的值域。

解：設，則原函數可化為

，因為，所以

當時，，當時，，

所以，函數的值域為。

例3．已知函數。

（1）求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；

（2）證明：函數的圖像關于直線對稱。

解：

(1)所以的最小正周期，因為，

所以，當，即時，最大值為；

(2)證明：欲證明函數的圖像關于直線對稱，只要證明對任意，有成立，

因為，

，

所以成立，從而函數的圖像關于直線對稱。

例4．已知函數y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,

（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；

（2）該函數的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++（2sinx·cosx）+1

=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+

=sin(2x+)+

所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。

所以當函數y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}

（2）將函數y=sinx依次進行如下變換：

（i）把函數y=sinx的圖像向左平移，得到函數y=sin(x+)的圖像；

（ii）把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數y=sin(2x+)的圖像；

（iii）把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到函數y=sin(2x+)的圖像；

（iv）把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數y=sin(2x+)+的圖像。

綜上得到y=cos2x+sinxcosx+1的圖像。

說明：本題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數的圖像和性質。這類題一般有兩種解法：一是化成關于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin(ωx+)+k的形式，二是化成某一個三角函數的二次三項式。本題（1）還可以解法如下：當cosx=0時，y=1；當cosx≠0時，y=+1=+1

化簡得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：≤y≤

∴ymax=，此時對應自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z}

例5．已知函數

（Ⅰ）將f(x)寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標；

（Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數f(x)的值域.

解：

（Ⅰ）由=0即

即對稱中心的橫坐標為

（Ⅱ）由已知b2=ac

即的值域為.

綜上所述，，值域為.

說明：本題綜合運用了三角函數、余弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數形結合的思想來解決函數值域的問題，有利于培養學生的運算能力，對知識進行整合的能力。

例6．在中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，

(1)求的值；

(2)若，且a=c，求的面積。

解：(1)由正弦定理及，有，

即，所以，

又因為，，所以，因為，所以，又，所以。

(2)在中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以的面積為

。

例7．已知向量

，且，

(1)求函數的表達式；

(2)若，求的最大值與最小值。

解：(1)，，，又，

所以，

所以，即；

(2)由(1)可得，令導數，解得，列表如下：

t－1(－1，1)1(1，3)

導數0－0+

極大值遞減極小值遞增

而所以。

例8．已知向量，

求的值；

(2)若的值。

解：(1)因為

所以

又因為，所以，

即；

(2)，

又因為，所以，

，所以，所以

例9．平面直角坐標系有點

求向量和的夾角的余弦用表示的函數；

求的最值.

解：（1），

即

（2），又，

，，.

說明：三角函數與向量之間的聯系很緊密，解題時要時刻注意。